云南省昭通市水富市第一中学2023-2024学年高二下学期第三次月考（5月）数学试题

这是一份云南省昭通市水富市第一中学2023-2024学年高二下学期第三次月考（5月）数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知随机变量，则，若函数，下列说法正确的有，已知，分别是椭圆等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册~选择性必修第三册第七章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.的展开式中的系数为（ ）
A.32B.C.16D.
4.已知等比数列的前项和为，若，.则（ ）
A.20B.18C.17D.16
5.已知随机变量，则（ ）
注：若，则，.
6.在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（ ）
A.12种B.18种C.24种D.36种
7.如图，在四面体中，平面，，，则此四面体外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
8.若函数（，且）不存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的有（ ）
A.若随机变量X的数学期望，则
B.若随机变量Y的方差，则
C.将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
D.从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布
10.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ）
A.B.2C.D.
11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调，则的可能取值为（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象在点处的切线方程是______.
13.2023年冬天我国多地爆发流感，已知在A，B，C三个地区分别有3%，5%，4%的人患了流感，这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为______.
14.已知P是抛物线上一动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，.则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角的大小；
（2）若，.求的面积.
16.（本小题满分15分）
如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中PO是圆锥的高，AB是圆锥底面的一条直径，，，是的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）.
（1）用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有X个，求X的分布列与数学期望；
（2）消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有Y人，求至少有3人满意的概率及Y的数学期望与方差.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线：的焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）若直线交双曲线于A，B两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积.
19.（本小题满分17分）
给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“固点”，经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数.
（1）当时，试求的对称中心；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值.
水富市第一中学高二年级2024年春季学期第三次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A ，故.故选A.
2.C 由题意得，所以的共轭复数，其在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选C.
3.D 的二项展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为.故选D.
4.B 因为为等比数列，所以，且，所以，则.故选B.
5.C 因为，，，所以.故选C.
6.A 先排列3幅书法作品有种排法，再将3幅美术作品插入3幅书法作品形成的3个空中，有种排法，所以不同排列方法有种.故选A.
7.B 将四面体补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2，1，2，四面体的外接球即为长方体的外接球，而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，故，所以外接球的表面积为.故选B.
8.D 当时，曲线（，且）与有一个交点，不满足题意；当时，若直线与曲线（，且）相切，，设切点为，则，又，所以，所以，，即，因为，所以，所以，即，由指数函数的特点知，当时，在第一象限内的图象在的上方，故当函数（，且）与没有交点时，.故选D.
9.ACD 对于A，因为，故A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确；对于D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确.故选ACD.
10.AC 由，，得.，由，得.在中，由余弦定理得，得或，所以或.故选AC.
11.BCD 由题意知，，将的图象向左平移个单位长度后得到，当时，，当在上单调递增时，
，，即，解得，，故CD正确；
当在上单调递减时，，，即，解得，，故A错误，B正确.故选BCD.
12. ，，所以，故所求切线方程为，即.
设在这三个地区任选1人患流感为事件，选的人来自，，地区分别为事件，，.由题意知，，，且，，，所以.
14. 由题意知圆：，故，半径为1，设，则，当且仅当，即时，等号成立，即当时，取得最小值，且，所以，又，所以.
15.解：（1）因为，
所以由正弦定理得，又，
所以，所以，
所以，所以.
因为，所以，所以，
所以.
（2）因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，所以，
解得，所以，
所以的面积.
16.解：（1）以为原点，，，的方向分别作为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.
设直线与所成的角为，则，
即直线与所成角的余弦值是.
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，则
取，得，所以平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）由题知，在各随机抽取的100件产品中，甲、乙两条生产线的优等品分别有20件、10件，用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，其中从甲、乙两条生产线的样品中抽取的优等品分别有4件、2件，
所以的所有取值为0，1，2，
且，
，
，
故的分布列为：
所以.
（2）由题意知，，
则，
，
，
故.
又，所以，.
18.解：（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以，
故到渐近线的距离，
所以，
又，，所以，，
故的方程为.
（2）设点，，
因为是弦的中点，则
由于，，
所以两式相减，得，
所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
联立
消去并整理，得，
所以，且，
所以.
点到直线的距离为，
所以的面积为.
19.解：（1）当时，，，，
令，解得，，
故的对称中心为.
（2），
令，则，
当时，，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，，在，上，，函数在，上单调递增；在上，，函数在上单调递减；
当时，，在，上，，函数在，上单调递增；在上，，函数在上单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，，，
令，得，，所以对称中心为，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
要使得有三个解，故，，且，，是方程的根，
由于对称性，为了简化研究，只研究的情况，
根据常数项知：，根据对称性知：，
，且，
故，即，
当时，取得最大值，此时.
0
1
2