2024年江苏省苏州高新区实验初级中学九年级数学中考二模试题（学生版+教师版）

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本试卷由单选题、填空题和解答题三大题组成，共27题，满分130分，考试用时120分钟．
一、单选题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得到．
【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形，
故选：B．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方及积的乘方，完全平方和平方差公式，理解相关知识是解答关键．根据运算法则逐一判断即可．
【详解】解：解：A．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
C．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，故原选项计算正确，此项符合题意．
故选：D．
4. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有醇酒瓶，薄酒瓶，根据题意可列方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
【详解】设有醇酒瓶，薄酒瓶，
根据题意得：，
故选：．
5. 如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设弧和弧的交点为E,连接作.先求出，再求出，即可得到.再根据即可得到空白的面积.再根据即可得到得到阴影的面积，再用即可得到空白的面积，最后用即可得到图中空白两部分的面积之差.
【详解】设弧和弧的交点为E,连接则是等边三角形
作，则


故选：D
【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键
6. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．
7. 如图①，在矩形ABCD中，，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB，DC于点M，N，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为（ ）
A. 8B. 12C. 9D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接PM，从图②可知，当x=6时，y=，即当BP=6时，BM=，利用勾股定理求出此时BM长，再根据线段垂直平分线性质求得AB长，即可求得答案．
【详解】解：由图②可知，当x=6时，y=，即当BP=6时，BM=，
连接PM，如图①，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，
∴PM=，
∵MN是AP的垂直平分线，
∴AM=PM=，
∴AB=AM+BM=+=9，
当点P与B重合，∵MN是AP的垂直平分线，
∴点M为AB中点，
∴BM=AB=，
∴当BP=0时，BM=，
则当x=0时，y=a=，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，函数的图象，线段垂直平分线的性质，勾股定理，从函数图象获取到信息，求出AB长是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，证明是解题的关键．过点B分别作于点M， 于点N，证明，得到，即，求出点，则点，进一步由，即可求解．
【详解】解：过点B分别作于点M， 于点N，

设点，则，
∵于点N，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
即，
即，
则，则，
则点，则点，
设直线的表达式为，则
解得
∴直线的表达式为：，
当，，
解得，，
∴点；
设直线的表达式为，则
解得
∴直线的表达式为：，
当，，
∴点，则，
∵，
则，
故选：C．
二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）
9. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，正确应用平方差公式是解题关键．
【详解】解：，
，
故答案为：．
10. 华为非凡大师配备了令人惊艳的英寸显示屏，能够呈现出万种色彩，无论是视觉效果还是操作流畅度都达到了业界领先水平，则万用科学记数法表示为 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：一个数表示成的形式，其中是整数且，根据科学记数法作答即可．
【详解】解：万．
故答案为：．
11. 已知抛物线与轴的两个交点为，则______．
【答案】29
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点．熟练掌握函数与方程的关系，一元二次方程根与系数和关系，根的概念，是解决问题的关键．
根据抛物线与轴的两个交点为，，得到方程的二根为，，根据根与系数的关系和根适合方程得到，， 分别代入化简即得．
【详解】∵抛物线与轴的两个交点为，，
∴方程的二根为，，
∴，，
∴ ，
∴．
故答案为：29．
12. 如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据矩形，得到,结合点E是的中点，得到，得到，结合矩形性质，得到，根据公式计算即可，本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式，特殊角的三角函数，侧面展开是解题的关键．
【详解】∵矩形，
∴,，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
设圆锥的底面半径为r，
根据题意，得，
解得，
故答案为：1．
13. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为________
【答案】##31.5度
【解析】
【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
14. 已知二次函数（）图象的对称轴为直线，该二次函数图象上存在两点，，若对于，始终有，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，首先根据得到二次函数图象开口向下，再得到点在对称轴左侧，结合题意可以得到t的最小值，即可得到答案．
【详解】解：二次函数（）图象开口向下，对称轴为直线，
∵二次函数图象上存在两点，，对于，始终有，
∴点在对称轴的左侧，如图，
，
∴，
故答案为：．
15. 如图，已知点、，点在轴上运动．将绕顺时针旋转45°得到，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，取点．在x轴的负半轴上取点F，使得，连接，过点B作于点G，由“”可证，可得点D在过点F上升且于x轴夹角为45度的直线上移动，则求出BF，再利用三角形BFG是等腰直角三角形求出BG，即的最小值即可．
【详解】取点．在x轴的负半轴上取点F，使得，连接，过点B作于点G，
∵，，
∴，，，
又由旋转可知：，
∴，即，
∵ ，，
∴，
，
又∵，
∴，
∴点D在直线上移动，直线即为过点F上升且于x轴夹角为45度的直线，
∴，
∵，、
∴，
∵，即
∴，
由垂线段最短可知，的最小值即为BG的长度，即，
故答案为：．
16. 已知点是正方形内部一点，且，连接并延长交于点，若时，的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，因为，所以、、、共圆，结合圆周角定理得出，运用勾股定理得出，证明，结合解直角三角形的性质，列式计算，即可作答．
【详解】解：如图，分别延长，，分别交于，交于，
∵
当时，即，
设，
，
、、、共圆，
，
，
，
∴
∴
∵
，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形相关性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题（本题满分82分，共11小题）
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，化简二次根式，负整数指数幂和实数的运算，先计算特殊角三角函数值，化简二次根式和计算负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组并在数轴上表示它的解集
【答案】；数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集．按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
．
19. 先化简，再求值：，其中是方程．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，因式分解法解一元二次方程，先通分合并括号内，得，再运算除法，化简得，再结合，解出，然后代入，即可作答．
【详解】解：(1)

，
∵，
∴解得：（舍去），
∴把代入得：原式．
20. 如图，在四边形中，，，点O为的中点，连接并延长，交于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，掌握相关的判定与性质定理成为解题的关键．
（1）由平行的性质可得，然后结合中点的定义、对顶角相等运用“角边角”即可证明结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再说明，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴ ,
在和中，
,
∴．
【小问2详解】
解：如图：四边形是菱形,证明如下：
∵,
∴,
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，即，
∴四边形是菱形．
21. 不透明的袋子中装有4个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”、“美”、“泸”、“州”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为______；
（2）随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表和画树状图求概率，掌握画树状图的方法和概率的计算公式是解题的关键．
（1）先确定随机摸出一个小球，所有等可能的结果和摸到“美”字的结果，再用概率的计算公式求解即可；
（2）先画树状图，再确定所有等可能的结果和两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的结果，最后利用概率的公式计算即可．
【小问1详解】
解：∵随机摸出一个小球，有4种等可能的结果，摸到“美”字的结果只有1种，
∴摸到“美”字的概率为：
故答案为：；
【小问2详解】
解：将标有“最”、“美”、“泸”、“州”的4个小球分别用A，B，C，D表示，根据题意，画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且可能性相等，
两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的结果有2种，
∴两次摸到的球上的汉字，一个是“泸”，一个是“州”的概率为：．
22. 2024年3月22日是第32届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校2000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，这些学生成绩的中位数是 ；
（2）补全上面不完整的条形统计图；
（3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数．
【答案】（1）60，96分
（2）见解析 （3）900名
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和平均数数，由样本所占百分比求总体数量，解题的关键是理解题意，结合图形求解．
（1）结合图形求出被抽查的学生总数，再求出分数为94分的人数，利用中位数定义求解即可；
（2）根据（1）中所求数值，补充条形统计图即可；
（3）求出98分及以上（含98分）的学生所占的百分比，再乘以2000即可．
【小问1详解】
解：，
∴本次调查共抽取了60名学生，
∵，
∴94分的有12人，
∵，，
∴这些学生成绩的中位数是96分．
故答案为：60，96分；
【小问2详解】
解：补全统计图：
；
【小问3详解】
解：2000×=900（名）．
答：估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是900名．
23. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，．
（1）求k的值：
（2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长．
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）利用正切函数的定义可求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值．
（2）连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出OH，CH的长度，进而利用勾股定理可得OC长度．
【小问1详解】
解：
根据k值的几何意义可知：
【小问2详解】
解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M．
四边形AMHB是矩形
设，则，
解得：（舍去）
则
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键．
24. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面
示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，）
（1）求图中到一楼地面的高度；
（2）求日光灯到一楼地面的高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案；
（2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可．
【小问1详解】
解：过点作于，如图（2）所示：

设，
的坡度为，
，
，
中，由勾股定理得，
解得：，
，．
答：到一楼地面的高度为；
【小问2详解】
解：过点作于交于，过点作于交于，

则，四边形、四边形是矩形，，
，，，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
，
答：日光灯到一楼地面的高度约为．
25. 如图，是的直径，点在上，点为弧的中点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，求角的正切值，平行线的性质与判定等等：
（1）连接，由等边对等角得到，由等弧所对的圆周角相等得到，进而证明，从而得到，即可证明是的切线；
（2）先证明，设半径为，则解得：，则，再证明，得到，解得：，由勾股定理得：，再根据正切的定义求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
，
∴，
点为弧的中点，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，

由（1）得：，，
，
，
设半径为，
，
解得：，则，
是的直径，
，
，
，
，
，
解得：，
由勾股定理得：，
在中，，
．
26. 如图（1），已知二次函数（）图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．连接，．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______；（用含有的代数式表示）
（2）如图（2），若平分，若点是二次函数图象上的点，且在直线下方．
①若对称轴与直线交于点，试说明与相等；
②求二次函数的表达式；
③点到直线距离的最大值为______；
④直线，分别交轴于点，，问是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
【答案】（1），
（2）①见解析；②；③；④是定值4
【解析】
【分析】（1）令，解方程求得的值，可求得点的坐标，配成顶点式，即可求得顶点的坐标；
（2）①利用平行线的性质结合等角对等边可求得；
②用表示点和点的坐标，得到的值，利用待定系数法求得直线的解析式，用表示点的坐标，根据列式计算求解即可；
③设点的坐标为，利用三角形面积公式求得的面积关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
④证明和，用表示出和的长，代入计算即可求解．
【小问1详解】
解：令，则，
解得或；
∴，，
∵，
∴顶点的坐标为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：①根据题意作图，
平分，
，
对称轴与直线交于点，
在抛物线对称轴上，
轴，
，
，
；
②把代入，得，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得：，解得：，
即直线的解析式为，
把代入，得，
点的坐标为，
，
，
，即，
解得，，，
，
，
二次函数的表达式为；
③设点的坐标为，点到直线的距离为，
过点作轴，交于点，
由直线的解析式为，得点的坐标为，
点是二次函数图象上的点，且在直线下方，
，
由②知，，则，
；
由，即当的面积取最大值时，取最大值，
由（），
当时，取得最大值，
即，得，
点到直线距离的最大值为；
故答案为：；
④是定值，理由如下：
过点作轴，垂足为点，
由点的坐标为，则点的坐标为，
轴，
∴轴，
，
，即，
得，
轴，
，
，即，
得，
．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数和一次函数综合，要综合运用所学知识，读懂题意，特别是数形结合的应用．
27. 如图（1），在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，交BD于点F．
（1）如图（2），若点M在BC边上，且DE＝CM，连结AM，EM．求证：三角形AEM为等边三角形；
（2）设，求tan∠AFB的值（用x的代数式表示）；
（3）如图（3），若点G在线段BF上，且FG＝2BG，连结AG、CG，，四边形AGCE的面积为S1，ABG的面积为S2，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接 证明都为等边三角形，可得 再证明从而可得答案；
（2）如图，记交于点 设 四边形为菱形， 表示 利用 则 再利用三角函数的定义可得答案；
（3）如图，设证明 再表示 结合菱形的轴对称的性质可得： 表示 可得 可得 再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】明：（1）如图，连接
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，

都为等边三角形，




是等边三角形
（2）如图，记交于点
设 四边形为菱形，




则


（3）如图，设
四边形是平行四边形，



FG＝2BG，

根据菱形的轴对称的性质可得：



，

所以有最大值，
当时，最大值为：
【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.