江苏省苏州高新区实验初级中学2022-2023学年九年级下学期数学开学测试试题

这是一份江苏省苏州高新区实验初级中学2022-2023学年九年级下学期数学开学测试试题，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，一些大小相同的小正方体组成的一个几何体，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．若一组数据的平均数为17，方差为2，则另一组数据的平均数和方差分别为（ ）
A．17，2B．17，3C．18，1D．18，2
6．已知线段cm，点C是直线上一点，cm，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（ ）
A．12cmB．8cmC．10cmD．8cm或12cm
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（ ）
A．2B．C．D．4
二、填空题
9．下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有______个．
10．若代数式有意义，则x的取值范围是___________．
11．已知是二元一次方程的一个解，则a的值为________ ．
12．计算的结果是______．
13．已知圆锥的侧面积为10πcm2，底面圆的半径为2cm，则该圆锥的母线长为______ ．
14．如图，是的直径，四边形内接于，，则的度数是______．
15．关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是________．
16．2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评，运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台，一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走200米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走500米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西37°走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东73°方向，则中餐台到就餐区（即）的距离是______．（结果保留整数）（参考数值：，，，，，.）
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
19．解不等式组，并写出它的非负整数解．
20．甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，A转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之差的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由．
21．如图，在中，是对角线、的交点，延长边到点，使，过点作，连接、．
(1)求证；
(2)连接，已知且，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
22．【问题背景】
某市初三学生进行了第一次现场作业质量检测，已知市一中初三年级学生总数占全市初三年级学生总数的10%．
【评分标准】
90分及以上为优秀；80分-89分为良好；60分-79分为及格；60分以下为不及格，将测试数据制成如图统计图.请根据相关信息解答下面的问题：
(1)扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是______°；
(2)求参加本次测试学生的平均成绩；
(3)若市一中参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有192人，请你估计全市“优秀”等级的学生的人数．
23．如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求双曲线的解析式；
(3)若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．
24．如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点作于点，交延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)作弦平分，交于点，连接，若，，求线段的长．
25．跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．
(1)求抛物线C2的函数解析式；
(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
26．如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边．
例如：若中，，则为以边为底边的倍角三角形．
问题提出
(1)如图，已知为倍角三角形，且，为的角平分线．
①则图中相等的线段有______，图中相似三角形有______；
②若点正好在的垂直平分线上，且，求的值；
问题解决
(2)如图，现有一块梯形板材，，，，，，工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，且为以为底边的倍角三角形，工人师傅在这块板材上的作法如下：
第一步：作的垂直平分线交于点；
第二步：在上方的直线上截取，连接并延长，交于点；
第三步：连接，得．
①请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的想法．
②是否存在其它满足要求的？若存在，请在图中画出一种符合要求的图形并简要说明作法；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，过点、作直线．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点为直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，而在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步对各个图形加以判断即可.
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项符合题意；
C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的判断，熟练掌握相关概念是解题关键.
2．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000045=4.5×10-8，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．D
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
4．C
【分析】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，是一个标准“L”型，从而可确定答案．
【详解】从左面看，左边上下两个正方形，右边一个正方形，故是C选项，
故选：C．
【点睛】本题考查了由小正方体组成的几何图形的三视图，一定的空间想象力是解决问题的关键．
5．D
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【详解】解：∵数据的平均数为17，
∴数据的平均数为17+1=18，
∵数据的方差为2，
∴数据的方差不变，还是2；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为，方差为a2S2．
6．C
【分析】分在线段上以及在线段的延长线上，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①点在线段上时，如图：
∵cm，cm，
∴，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，
∴；
②点在线段的延长线上时，如图：
∵cm，cm，
∴，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，
∴，
∴；
综上：；
故选C．
【点睛】本题考查有关线段中点的计算．熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键．注意，分类讨论．
7．A
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝-ax2-b的图象应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．B
【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题．
【详解】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为A，B，C，E，F，

记BE＝m，AB＝b，
则利用托勒密定理有：
，
可得：，
即，
∴b＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了托勒密定理，根据托勒密定理列出方程组是解题的关键．
9．4##四
【分析】单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式．据此判断即可．
【详解】解：在代数式，，，，0，中，，，，0是单项式，共有4个，
故答案为：4
【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
10．且
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，且，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
11．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确的计算是解决本题的关键．
12．##
【分析】先利用平方差公式化简然后直接计算即可．
【详解】；
故答案为：．
【点睛】此题考查平方差公式和二次根式的乘法，解题关键是牢记平方差公式为：．
13．5
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设圆锥的母线长为R cm，
圆锥的底面周长=2π×2=4π，
则4π×R÷2=10π，
解得，R=5（cm），
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．##度
【分析】直径所对圆周角为直角，内接四边形对角互补，直接求出即可计算出．
【详解】因为是的直径，
所以，
因为，
所以
因为四边形内接于，
所以
故答案为：．
【点睛】此题考查圆周角和圆内接四边形的性质，解题关键是先得到直径所对的圆周角，然后通过内角和计算角度，最后利用对角互补求角度．
15．且
【分析】关于x的函数y=（k-2）x2-（2k-1）x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2-4ac＞0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得k＞- 且k≠2．
故答案是：k＞-且k≠2．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．米##m
【分析】设未知数通过锐角三角函数列方程求解即可．
【详解】如图，设为米，则，
所以，
所以，
所以，即，
解得，
故答案为：米．
【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是设出未知数，通过锐角三角函数可将所有的边都用未知数表示出来，然后列方程求解．
17．
【分析】先计算乘方，绝对值，负整数指数幂，锐角三角函数的值，再计算加减．
【详解】原式
．
【点睛】此题考查了乘方，绝对值，负整数指数幂，锐角三角函数的综合计算，解题关键是根据计算法则直接计算，绝对值计算公式为：，负指数幂：．
18．.
【分析】方程两边同时乘以2(x-1)，把分式方程转化为整式方程求解即可.
【详解】解：方程两边同时乘以2(x-1)，得
，
去括号，得
，
移项，合并同类项，得
，
系数化为1，得
，
经检验，是原方程的根，
所以原方程的解为.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练确定最简公分母是解题的关键，解后要验根是注意事项，不能漏落.
19．，它的非负整数解为0，1，2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的非负整数解为0、1、2．
【点睛】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
20．不公平，理由见解析
【分析】用列举法表示出所有可能的结果，利用数字之差的绝对值大于2，和数字之差的绝对值小于2的情况各有多少种，进而计算该事件发生的概率，从而得出是否公平；
【详解】解：每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
从表中看出：共有12种等可能的结果，其中数字之差绝对值大于2的有5种，数字之差的绝对值小于2的有3种，
∴甲获胜的概率P
乙获胜的概率P
∵二人获胜的概率不相等，
因此游戏不公平
【点睛】此题考查了概率的应用．求某件事件发生的概率，必须先把所有可能的结果列举出来，然后再求概率；游戏是否公平，就是判断事件发生的概率是否相等．
21．(1)证明过程见详解
(2)四边形是正方形，理由见详解
【分析】（1）根据，可得，根据角边角，即可求证；
（2）由（1）可知，，可证四边形是平行四边形，再根据，，可证平行四边形是菱形，根据是等腰直角三角形， 且，可证菱形是正方形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，且，，
∴．
（2）解：四边形是正方形，理由如下，
由（1）可得，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，即，
∴平行四边形是菱形，
∵是等腰直角三角形， 且，
∴菱形是正方形．
【点睛】本题主要考查特殊四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质是解题的关键．
22．(1)
(2)分
(3)人
【分析】（1）计算出“不及格”等级所占百分比，再乘即可；
（2）利用加权平均数直接计算即可；
（3）求出“优秀”等级的百分比，再直接乘人数即可．
【详解】（1）
答：“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是．
（2）（分）
答：参加本次测试学生的平均成绩为分．
（3）（人）
答：全市“优秀”等级的学生的人数为人．
【点睛】此题考查条形统计图和扇形图的综合题，解题关键是求出每部分的百分比，解题技巧是圆心角利用百分比乘直接求出．
23．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据相似求出点的坐标直接代入一次函数求解析式即可；
（2）将（1）中点坐标代入反比例函数中，直接求解；
（3）相似需要分类讨论，然后将边长的关系用未知数表示出来，直接代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）∵轴于点，轴，
∴，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴，即，
∵，的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
将代入，
∴，解得，
∴，
（2）由（1）可知，直接代入，
∴，解得 ，
∴；
（3）
当时，
∴，
设为，则，
∴，直接代入，
∴，解得或2，
∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
设为，则，
∴，直接代入，
∴，解得或，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或．
【点睛】此题考查一次函数和反比例函数综合应用，解题关键是找出相似三角形，推出点的坐标，求出解析式；解题技巧是当出现文字表示相似而不是“”符号时，必须进行分类讨论，然后通过相似比设未知数，直接代入函数解析式求解．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接证即可；
（2）的圆周角被平分出现，继而推出等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是圆半径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴,，
∴，，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴．
【点睛】此题考查圆的综合题型，解题关键是找出特殊角求边长，灵活使用勾股定理和相似三角形．
25．(1)
(2)12
(3)
【分析】（1）根据题意将点，代入抛物线求出b、c即可得出答案；
（2）设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同，根据题意得：，求出m的值即可；
（3）由（2）得的值，由抛物线求出最高点时的y值，作差即可得出答案．
【详解】（1）把点，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线；
（2）设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同，
根据题意得：，
化简得：，
解得：或（舍），
故运动员与点A的水平距离是12米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）由（2）得：当时，
∵抛物线，
∴顶点坐标为，
∵（米），
∴运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解题的关键．
26．(1)①，；②
(2)①符合要求，理由见详解；②存在，理由见详解
【分析】（1）①根据题意，可知，得等腰三角形，可求解；根据两个角对应相等即可求相似；②根据，构造直角三角形即可求解；
（2）①根据已知条件利用相似三角形的判定和性质可得；②根据已知条件，分类讨论，第一种情况，若点在上时，第二种情况，若在上时，第三种情况，若在上时，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示，
∵，为的角平分线，
∴，即是等腰三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，即，且是公共角，
∴；
故答案为：，；
②如图所示， 连接，作交于，
∵点是中点，且，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：①符合要求，
如图所示，延长交于，则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
，
∴，即，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于，
∴，即，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴符合要求；
②存在，，
第一种情况，若点在上时，连接，如图所示，
∴，
取的中垂线，交于，作于，连接，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得，，即，
∴，解得，，
在上去点，使得，连接，如图所示，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在上所有点都满足，
∴不存在；
第二种情况，若在上时，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴在上不存在其它满足要求的；
第三种情况，若在上时，如图所示，
作的垂直平分线交于，交于，作的平分线交于，连接并延长，设交于于，
∴，
∴是以为底边的倍角三角形，
作于，连接，如图所示，
∵平分，，
∴，
设，则，
由得，，解得，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
由得，，解得，．
综上所述，当在上时，存在.
【点睛】本题主要考查角的倍数关系，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握图形结合分析是解题的关键．
27．(1)
(2)的最大值为，此时点的坐标
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线的函数解析式，可求出直线的解析式，在中，分别算出，，如图所示，过点分别作轴，交于，作轴，交于，可证四边形是平行四边形，可得，且点在二次函数图像上，点的横坐标为，且点在直线上，即可求解；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，先向左平移个单位长度，再想上平移个单位长度，可求出，将线段沿着直线平移到线段，设，分别用含的式子表示，，，分类讨论，①当时，②当时，③当时，由此即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，
∴，解方程组得，，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：由（1）可知，抛物线的函数解析式为，
令，则，即抛物线与轴的交点坐标为，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
在中，，
∴，
∴，，
如图所示，过点分别作轴，交于，作轴，交于，
∵，
∴四边形是平行四边形，则，
∵轴，
∴，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在二次函数图像上，
∴设，
∴点的横坐标为，且点在直线上，
∴，
∴线段的长为，
∴当时，的值最大，最大值为，
∴，且，
∴的最大值为，此时点的坐标．
（3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∵，，
∴先向左平移个单位长度，再想上平移个单位长度，
∴，
∵新抛物线与原抛物线交于点，
∴，解得，，
∴当时，，
∴点的坐标为，
将线段沿着直线平移到线段，设，则，
∴，，，
若以为顶点的三角形是等腰三角形，
①当时，，整理得，
解得，或，
∴点的坐标为或；
②当时，，整理得，，无解；
③当时，，解得，，
∴点的坐标为；
综上所述，符合题意的点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查二次函数图形，几何变换的综合，理解二次函数图像的性质，掌握图形变换，三角函数，特殊四边形的性质是解题的关键．
BA
-1
-2
3
1
2
3
2
2
3
4
1
-3
2
1
6
-3
2
1
6