2024年青海省中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年青海省中考数学一模试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，其中的字母图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.计算：−2+5的结果是( )
A. 3B. −3C. 7D. −7
3.如图是下列哪个几何体的俯视图( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. (x3)2=x5B. 2× 3= 6
C. −2(x+y)=−2x+2yD. 2+ 3= 5
5.若m>n，则根据不等式的性质，下列不等式变形正确的是( )
A. m+1>n+1B. m−n<0C. −2m>−2nD. 1−m>1−n
6.如图，在⊙O中，若∠BAC=40∘，则∠BOC=( )
A. 80∘
B. 60∘
C. 40∘
D. 20∘
7.青海省2020年人均GDP是5.08万元，2022年人均GDP是6.07万元.设人均GDP年平均增长率是x，根据题意，下列方程正确的是( )
A. 5.08(1+2x)=6.07B. 2×5.08(1+x)=6.07
C. 5.08(1+x)2=6.07D. 5.08(1+x2)=6.07
8.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离(s)与出发时间(t)之间的对应关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.−12的相反数是______.
10.如图，直线a//b，c是截线，∠1=120∘，∠2的度数是______.
11.2023年第一季度青海省接待游客608.3万人次，实现旅游收入约55.7亿元.数据55.7亿用科学记数法表示为______.
12.连续两次抛掷一枚均匀的硬币，两次都正面朝上的概率是______.
13.已知一扇形的半径长是4，圆心角为120∘，则这个扇形的弧长为______.
14.已知点A(−2,a)关于原点的对称点A′的坐标是(b,−3)，则ba的结果是______.
15.如图，CD是△ABC的角平分线，在AC上取一点E，使得CE=DE.若∠A=55∘，∠ADE=65∘，则∠BCD的度数是______.
16.观察以下算式：
①12+14=1−14=34；
②12+14+18=1−18=78；
③12+14+18+116=1−116=1516；
…
按照以上规律，12+14+18+116+132+164=______(写出最简结果).
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：327+4cs45∘−|− 2|−(π−3.14)0.
18.(本小题7分)
先化简，再求值：a2+2ab+b2a2+ab÷a+ba−b，其中a=12，b=13.
19.(本小题7分)
如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=2x和反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，AC⊥x轴，垂足是C.求：
(1)反比例函数y=kx的解析式；
(2)△ABC的面积.
20.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)当m取(1)中满足条件的最大整数解时，解方程x2−4x+m=0.
21.(本小题7分)
如图，▱ABCD中，E，F是DC上两点，且DE=CF，AF=BE.求证：
(1)△ADF≌△BCE；
(2)▱ABCD是矩形.
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在BA延长线上，且∠DCA=∠ABC.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是3，∠D=31∘，求切线DC的长.
(结果取整数，参考数据：sin31∘≈0.52，cs31∘≈0.86，tan31∘≈0.6)
23.(本小题8分)
某学校对校内社团活动进行了调查，分别从A足球，B音乐，C舞蹈，D美术，E书法五个项目了解学生的参与情况，对部分学生参与的社团活动类别进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查的样本容量是______；
(2)将图1中的条形统计图补充完整；
(3)图2中，“E”所占圆心角的度数是______；
(4)若该学校共有学生1200人，请估算该校参与足球社团的学生人数.
24.(本小题11分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的对称轴是直线x=1，图象与x轴相交于点A(−1,0)和点B，交y轴于点C.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)点P是对称轴上一点，当△BOC∽△APB时，求点P的坐标(请在图1中探索)；
(3)二次函数图象上是否存在点M，使△ABC的面积S1与△ABM的面积S2相等？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索).
25.(本小题11分)
综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2km和3km，AB=xkm.现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短.
数学小组设计了两种铺设管道的方案：
(1)方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，且d1=PA+AB(其中AP⊥l)，d1=______km(用含x的式子表示).
(2)方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB(其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P).为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得d2=______km(用含x的式子表示).
(3)归纳推理：
①当x=4时，比较大小：d1______d2(填“>”、“=”或“<”)；
②当x=6时，比较大小：d1______d2(填“>”、“=”或“<”).
(4)方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】解：−2+5=+(5−2)=3，
故选：A.
利用有理数的加法法则计算即可．
此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.该圆柱的俯视图是一个圆，故本选项不符合题意；
B.该圆锥的俯视图是一个带圆心的圆，故本选项不符合题意；
C.该圆台的俯视图是两个同心圆，故本选项符合题意；
D.球的俯视图是一个圆，故本选项不符合题意．
故选：C.
根据各个选项的几何体的俯视图判断即可．
此题主要考查了由三视图判断几何体，正确掌握常见几何体的形状是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：(x3)2=x6，故A选项不符合题意；
2× 3= 6，故B选项符合题意；
−2(x+y)=−2x−2y，故C选项不符合题意；
2+ 3≠ 5，故D选项不符合题意，
故选：B.
根据幂的乘方、二次根式的乘法、去括号及二次根式的加法法则，分别进行各选项的判断，即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
5.【答案】A
【解析】解：A、∵m>n，
∴m+1>n+1，原变形正确，故本选项符合题意；
B、∵m>n，
∴m−n>0，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、∵m>n，
∴−2m<−2n，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、∵m>n，
∴−m<−n，
∴1−m<1−n，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=40∘，
∴∠BOC=2∠BAC=80∘，
故选：A.
根据圆周角定理进行计算，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意得：5.08(1+x)2=6.07.
故选：C.
利用青海省2022年人均GDP=青海省2020年人均GDP×(1+人均GDP年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；
②停留一段时间时，离家的距离不变，
③乘车返回时，离家的距离减小至零，
纵观各选项，只有B选项符合．
故选：B.
从家出发步行至学校时，停留一段时间时，乘车返回时三段分析得到相应的函数图象，然后即可得解．
本题是对函数图象的考查，根据题意，理清从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，明确离开家的距离随时间的变化情况是解题的关键．
9.【答案】12
【解析】解：−12的相反数是12，
故答案为：12.
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
10.【答案】60∘
【解析】解：如图：
∵∠1=120∘，
∴∠3=180∘−∠1=60∘，
∵a//b，
∴∠2=∠3=60∘，
故答案为：60∘.
先利用平角定义可得∠3=60∘，然后利用平行线的性质可得∠2=∠3=60∘，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11.【答案】5.57×109
【解析】解：55.7亿=5570000000=5.57×109，
故答案为：5.57×109.
根据科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数，表示55.7亿即可．
本题考查的是科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义和形式是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两次都是正面朝上的结果数为1，
∴两次都是正面朝上的概率=14.
故答案为：14.
画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13.【答案】83π
【解析】解：这个扇形的弧长=120×π×4180=83π.
故答案为83π.
直接利用弧长公式计算．
本题考查了弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R).
14.【答案】8
【解析】解：∵点A(−2,a)关于原点的对称点A′的坐标是(b,−3)，
∴a=3，b=2，
则ba=23=8.
故答案为：8.
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y).
15.【答案】30∘
【解析】解：∵∠A=55∘，∠ADE=65∘，
∴∠AED=180∘−55∘−65∘=60∘，
∵CE=DE，
∴∠EDC=∠ACD=60∘2=30∘，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD=30∘，
故答案为：30∘.
根据三角形的内角和定理得出∠AED，进而利用三角形外角性质得出∠ACD，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等边对等角解答．
16.【答案】6364
【解析】解：按照以上规律，12+14+18+116+132+164=1−164=6364.
故答案为：6364.
按照所给的等式，逐项的探究规律，即可解答此题．
本题考查了规律型：数字的变化规律，分数的加减法，观察等式并找到规律是解题关键．
17.【答案】解：327+4cs45∘−|− 2|−(π−3.14)0
=3+4× 22− 2−1
=3+2 2− 2−1
=3+ 2−1
=2+ 2.
【解析】根据立方根、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂的运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：原式=(a+b)2a2+ab÷a+ba−b
=(a+b)2a(a+b)×a−ba+b
=a−ba，
当a=12,b=13时，
原式=12−1312
=(36−26)×2
=13.
【解析】利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
本题主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简，熟悉混合运算的顺序是解题关键．
19.【答案】解：(1)∵正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交点A的纵坐标为2，
∴2x=2.
∴x=1.
把x=1，y=2代入y=kx，得k=2.
∴反比例函数解析式为：y=2x.
(2)∵AC⊥x轴，垂足是C，
∴C(1,0).
由(1)得A(1,2)，
∴点A和点B关于原点对称．
∴B(−1,−2).
∴S△AOC=12×1×2=1.，
S△BOC=12×1×2=1.
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=1+1=2.
∴△ABC的面积是2.
【解析】(1)依据题意，由正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交点A的纵坐标为2，则2x=2，可得x=1，再把x=1，y=2代入y=kx，得k=2，即可得解；
(2)依据题意，由C(1,0)，再结合(1)得A(1,2)，又点A和点B关于原点对称，进而B(−1,−2)，从而可得S△AOC=12×1×2=1.，S△BOC=12×1×2=1，最后由S△ABC=S△AOC+S△BOC进行计算可以得解．
本题主要考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
20.【答案】解：(1)∵关于x的方程x2−4x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，即16−4m>0，
∴m<4，
∴m的取值范围是m<4；
(2)∵m是(1)中的最大整数，
∴m=3，
x2−4x+3=0，
(x−1)(x−3)=0，
∴x+1=0或x−3=0，
∴x1=1，x2=3.
【解析】(1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式Δ>0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
(2)由(1)知m=3，可得方程x2−4x+3=0，利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵DE=CF
∴DE+EF=CF+EF，
即DF=CE，
在△ADF和△BCE中，
AD=BCDF=CEAF=BE，
∴△ADF≌△BCE(SSS)；
(2)由(1)可知，△ADF≌△BCE，
∴∠D=∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠D+∠C=180∘，
∴∠D=∠C=90∘，
∴▱ABCD是矩形．
【解析】(1)由SSS证明△ADF≌△BCE即可；
(2)由全等三角形的性质得∠D=∠C，再由平行四边形的性质得AD//BC，则∠D+∠C=180∘，得∠D=∠C=90∘，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∵∠DCA=∠ABC，
∴∠DCA=∠OCB，
∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO，
∴∠DCO=∠ACB=90∘，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
(2)解：由(1)得∠DCO=90∘，
在Rt△DCO中，∠D=31∘，OC=3，tan∠D=OCDC，
∴DC=OCtan31∘≈30.6=5.
∴切线DC的长约是5.
【解析】(1)连接OC，由AB为直径，∠ACO+∠BCO=90∘，由OC=OB，得出∠OCB=∠OBC，得出∠ACO+∠ABC=90∘，由∠DCA=∠ABC，得出∠ACO+∠DCA=90∘，得出∠OCD=90∘，由OC为半径，得出DC是⊙O的切线；
(2)在Rt△DCO中，根据三角函数的定义即可求出答案．
本题主要考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形，综合运用相关知识是解决问题的关键．
23.【答案】20036∘
【解析】解：(1)此次抽样调查的样本容量是：50÷25%=200；
故答案为：200；
(2)C的人数：200−40−50−60−20=30(名)，
补全条形统计图如下：
(3)图2中，“E”所占圆心角的度数是360∘×20200=36∘，
故答案为：36∘；
(4)1200×40200=240(人)，
答：估算该校参与足球社团的学生人数为240人．
(1)由B的人数除以所占百分比即可；
(2)求出C的人数，补全条形统计图即可；
(3)由360∘乘以E所占的比例即可；
(4)由该校共有学生人数乘以参加A的学生人数所占的比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：(1)由题意得：x=−b2×1=11−b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
∴二次函数的解析式是y=x2−2x−3；
(2)设对称轴与x轴交于点D，
由(1)及已知得，OB=OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
又∵点P在对称轴上，且△BOC∽△APB，
∴△APB是等腰直角三角形，∠APB=90∘，
∴AD=PD=2，
当点P在x轴上方时，坐标是(1,2)，
当点P在x轴下方时，坐标是(1,−2)，
∴综上，点P的坐标是(1,2)或(1,−2)；
(3)存在，理由：
点M1和点C(0,−3)关于对称轴x=1对称，
∴点M1的坐标是(2,−3)，
点C(0,−3)关于x轴的对称点C′(0,3)，
∵S1=S2，
∴x2−2x−3=3，
解得：x1=1+ 7，x2=1− 7，
∴M2(1+ 7,3)，M3(1− 7,3)，
∴点M的坐标是(2,−3)或(1+ 7,3)或(1− 7,3).
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)证明△APB是等腰直角三角形，∠APB=90∘，则AD=PD=2，即可求解；
(3)点M1和点C(0,−3)关于对称轴x=1对称，则点M1的坐标是(2,−3)，点C(0,−3)关于x轴的对称点C′(0,3)，由S1=S2，得到x2−2x−3=3，即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、等腰直角三角形的性质、点的对称等，分类求解是解题的关键．
25.【答案】(x+2) x2+24 <<
【解析】解：(1)∵A到主管道l的距离是2km，AP⊥l，
∴PA=2km，
∵AB=xkm.
∴d1=AB+PA=x+2(km)，
故答案为：x+2；
(2)由题意，得BD=3−2=1(km)，B′D=2×3−1=5(km)，
由勾股定理，得AD2=AB2−BD2=x2−12=x2−1，
∴d2=AB′= AD2+B′D2= x2−1+52= x2+24(km)，
故答案为： x2+24；
(3)①当x=4时，d1=4+2=6(km)，d2= 42+24=2 10(km)，
∵6<2 10，
∴d1故答案为：<；
②当x=6时，d1=6+2=8(km)，d2= 62+24=2 15(km)，
∵8>2 15，
∴d1>d2，
故答案为：>；
(4)d12−d22=(x+2)2−( x2+24)2=4x−20，
①当4x−20>0，即x>5时，d12−d22>0，
∴d1−d2>0，即d1>d2，
②当4x−20=0，即x=5时，d12−d22=0，
∴d1−d2=0即d1=d2，
③当4x−20<0，即x<5时，d12−d22<0，
∴d1−d2<0，即d1综上可得：当x>5时，选方案二；当x=5时，选方案一或方案二；当x<5时，选方案一．
(1)根据方案一表示出d1即可；
(2)根据方案二，利用勾股定理求出d2即可；
(3)①当x=4时，求出d1，d2，再比较大小即可；
②当x=6时，求出d1，d2，再比较大小即可；
(4)利用方框中的方法，求出d12−d22，再分三种情况讨论，求出x的范围即可确定是选择方案一还是方案二．
本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及列代数式，勾股定理，解不等式，解方程等知识，理解题意，掌握相关知识是解题的关键．方法指导
当不易直接比较两个正数的大小时.可以对它们的平方进行比较.
要比较d1，d2的大小，比较d12，d22的大小即可.
当d12−d22>0时，d1−d2>0，即d1>d2.
当d12−d22=0时，d1−d2=0，即d1=d2.
当d12−d22<0时，d1−d2<0，即d1