39，山东省淄博第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份39，山东省淄博第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出的对应点即可选择正确答案.
【详解】由知其对应点为，则对应点在第二象限.
故选：B.
2. 已知向量，.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.
详解】解：向量，；
若，则，
即，
解得.
故选：A.
点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题
3. 要想得到函数图象，只需将函数的图象上所有的点
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度试卷源自 期末大优惠，全站资源一元不到！即将回复原价。D. 横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【详解】函数的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，再向右平移个单位长度，
故选C
4. 已知向量不共线，，，，则（ ）
A. A，B，D三点共线B. A，B，C三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再根据可判断A；利用向量共线定理，设，利用向量相等列方程组求解即可判断B；同样，设，求判断C；求出，令，求解来判断D．
【详解】对于A，，
又，所以，则与共线，
又与有公共点B，所以A、B、D三点共线，A正确；
对于B，令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即A，B，C三点不共线，B错误；
对于C，令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即B，C，D三点不共线，C错误；
对于D，，
令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即A，C，D三点不共线，D错误.
故选：A．
5. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线
B. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
C. 若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈l
D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】B
【解析】
【详解】若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故A正确．若两条直线没有公共点，则两条直线可能异面，也可能平行，故B错误．若a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β.因为α∩β＝l，所以A∈l，故C正确．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确．故选B.
6. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由
.
故选：A．
7. 在中,分别为角的对边),则的形状为
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【详解】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，故三角形为直角三角形，故选A.
8. 法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意化简即可得解.
【详解】根据题意，由，
可得
.
故虚部为.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 设、为复数，且，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若为纯虚数，则为实数
C. 若，则的实部与的虚部互为相反数
D. 若，则、在复平面内对应的点不可能在同一象限
【答案】CD
【解析】
【分析】本题可通过令、得出A错误，通过令、得出B错误。然后设、，、、、均是实数，通过得出，C正确，最后通过得出，根据当、在复平面内对应的点在同一象限时即可得出D正确.
【详解】A项：若，，则满足，不满足，A错误；
B项：若，，则满足为纯虚数，不满足为实数，B错误；
C项：设，，、、、均是实数，
因为，所以，即，，，
故的实部与的虚部互为相反数，C正确；
D项：设，，、、、均是实数，
则，
因为，所以，
若、在复平面内对应的点在同一象限，则，
故、在复平面内对应的点不可能在同一象限，D正确，
故选：CD.
10. 在中，下列命题正确的是（ ）
A.
B. 若，则为等腰三角形
C.
D. 若，则为锐角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，由向量的线性运算法则，可得，所以A错误；
对于B，由，得，即，
所以为等腰三角形，所以B正确；
对于C，因为，所以C正确；
对于D，在中，，则，可得A为锐角，
但不能确定其它角是否是锐角，所以D错误．
故选：BC.
11. 正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点.则（ ）
A 直线与直线相交B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为D. 点与点到平面的距离相等
【答案】BC
【解析】
【分析】由异面直线的定义可判断A选项；证明平面平面可得平面，可判断B选项；由，可得，，，四点共面，所以求截面的面积，可判断C选项；利用等体积法，即由，的面积关系，可判断D选项.
【详解】对于A：因为平面，平面，，
所以和为异面直线，故A错误；
对于B，的中点，连接，，，
因为E，F，G分别为，，的中点，
所以，，，，所以，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面，，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确；
对于C，如图所示，连接，延长，交于，
由选项可知，，因为，，
所以，，所以四点共面，
所以梯形为截面，因为，，
所以，
因为∽，且相似比为，
所以，故C正确；
对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，
因为，
，
所以，故D错误.
故选：BC.
.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，长方体的体积是60，为的中点，则三棱锥的体积是________.
【答案】5
【解析】
【分析】由长方体的体积为60,即,而三棱锥的体积为,代入求解即可
【详解】由题,长方体的体积为,
所以,
故答案为：5
【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题
13. 在中，，，其面积为，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案.
【详解】依题意，，
由余弦定理得，，
由正弦定理得.
故答案为：
14. 根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______.

【答案】
【解析】
【分析】
若，解得，得到，不符合题意；若，解得，求得，进而求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由已知可得显然，
若，则，解得，
此时，与矛盾，不符合题意；
若，则，解得，此时，符合.
所以，，，，，所以，
所以
.
【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面
（1）证明：平面
（2）证明：
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由线段对应成比例可得，进而得到，再由线面平行的判定定理证明即可.
（2）先有线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得到
【小问1详解】
连接交于，连接．
因为四边形为直角梯形，，所以，
又因为，所以，
因为面面，所以平面.
【小问2详解】
因为四边形为直角梯形，所以．
因为面面，所以平面．
因为面，面面．
所以．
16. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，
（1）求b的值
（2）的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由A与C度数求出B的度数，再由c及C的度数，利用正弦定理求出b的值即可；
（2）由b，c及的值，利用三角形面积公式即可求出三角形的面积.
【详解】（1）∵，，∴，
又，，
∴由正弦定理得：；
（2）∵，，，
∴.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.
17. 已知函数．
（1）若，的最小值为，求的对称中心；
（2）已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求得解析式，然后可求出其对称中心；
（2）将代入，由向右平移个单位，可得，则可求出的最小正周期，再利用正弦函数的零点和周期性可求得结果.
【小问1详解】
的最小正周期为，
又，的最小值为，
的最小正周期是，
故，解得，
当时，，
由，
的对称中心为；
当时，，
由，
的对称中心为，
综上所述，的对称中心为或．
【小问2详解】
函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
，最小正周期，
令，则，
即或，
解得或．
若函数在（且）上恰好有12个零点，
则，
要使最小，须，恰好为的零点，
故．
可得的最小值为．
18. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.
（1）设，求；
（2）已知，，求；
（3）若，，与的夹角记为，求的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意计算，再代入向量模的公式，即可求解；
（2）由向量的坐标转化为基底表示，再代入数量积公式，即可求解；
（3）首先求，和，再代入向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，，，
所以，
；
【小问2详解】
，，
则，，
所以，
；
【小问3详解】
，，
根据（2）的结果可知，；
；
，
则.
19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
（1）求该烟花体积；
（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），
①请用表示燃料的体积；
②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可；
（2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；
②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解；
【小问1详解】
该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积；
（2）①由图可知：，，
在梯形中，由，，
易知，故，
则，
所以；
【小问2详解】
由上问可知：
即
，
令，则，
上式即为，
又令，，则，
当时，，
当时，，
当时，
当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为．
【点睛】本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的难点和突破点；