2023-2024学年山东省淄博第四中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省淄博第四中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图可知，图中的阴影部分表示的集合为,根据交集的定义即可求解.
【详解】由图可知，图中的阴影部分表示的集合为.
故选：C
2．已知命题：，，那么命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，故命题的否定是，.
故选：D
3．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：
①是的充要条件； ②是的充分不必要条件；
③是的必要不充分条件； ④是的充分不必要条件.
正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】B
【分析】由充分必要条件的定义和传递性，逐个判断，可得结论.
【详解】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，
可得，推不出，，，
所以，故是的充要条件，①正确；
，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
，故是的充要条件，③错误；
，故是的充要条件，④错误.
故选：B.
4．已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知，且xy+2x+y=6，
y=
2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，
故2x+y的最小值为4.
故选:A
5．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；将所求不等式变为，根据一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】的解集为
且方程的两根为：和
，解得：
即，解得：
的解集为
故选:
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得的值.属于中档题.
6．设是定义在上的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，.
【详解】由题意是定义在上的奇函数，
则由奇函数的性质可得，
解得，
所以，从而.
故选：C.
7．定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题设知为偶函数且在上单调递增，利用奇偶性、单调性比较函数值大小即可.
【详解】由题设为偶函数且在上单调递增，
所以，即.
故选：A
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，问题转化为，再判断函数的单调性，利用单调性求解即可得解.
【详解】，，，
所以不等式可转化为，
又在R上单调递增，在R上单调递增，
进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，
，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
9．下列四组函数中，与表示同一函数是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则一致时，两个函数表示同一函数，直接判断各选项即可.
【详解】对于A，的定义域是，
的定义域是，
故A中与不表示同一函数；
对于B，的定义域是，
的定义域是，
故B中与不表示同一函数；
对于C，的定义域为，
的定义域是，
故C中与不表示同一函数；
对于D，，
的定义域和对应法则都相同，
故D中与表示同一函数.
故选：D.
二、多选题
10．函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．，
C．有最大值D．最小值为0
【答案】BD
【分析】转化为分段函数求出的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的单调性确定各选项即可得解
【详解】令，即，解得或，
所以可知，
所以，故A错误；
当时，，故B正确；
由（或）可知，函数无最大值，故C错误；
当或时，，当时，，
所以最小值为0，故D正确.
故选：BD
11．定义在上的函数满足为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由已知条件得到函数的奇偶性和对称性，对选项进行验证.
【详解】由，令，则有，
即为奇函数，，
由为偶函数，的对称轴为，得，故B选项正确；
则有，可得
即有，
所以是周期函数，且周期为4（不一定是最小正周期），C选项正确；
，故A选项错误；
，已知条件不能得到的值，D选项错误．
故选：BC
12．已知函数的图象关于对称，且对，，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BCD
【分析】根据题意，得到函数为偶函数，且在上为单调递增函数，把不等式转化为对任意恒成立，当时，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，可得函数为偶函数，
又因为当，且时，成立，
所以函数在上为单调递增函数，
由对任意恒成立，所以对任意恒成立，
当时，恒成立；
当时，，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即实数的取值范围为，
结合选项，BCD项符合题意.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】根据一次函数与二次函数的单调性分类讨论求解.
【详解】当时，在区间上单调递减，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
因为f（x）在区间上单调递减，所以，得，所以；
当时，函数在区间上单调递减，符合题意．
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
14．已知集合，函数．若命题“存在，使得”为假命题，则实数a的取值范围
【答案】
【分析】根据命题与命题的否定的真假关系，转化为任意，恒成立，分离参数求解即可.
【详解】因为命题“存在，使得”为假命题，
所以命题“任意，使得”为真命题，
因为，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上单调递增，
所以当时，，
所以，即.
故答案为：
15．函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由分段函数单调性列不等式组求解.
【详解】当时，
，根据其是由函数向右平移1个单位再向上平移1个单位得到，
则在上单调递减，
由题意得，解得，则的取值范围为.
故答案为：.
16．设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，且有，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意可得的对称轴为，函数在单调递增，若，，且有，则，结合基本不等式求解最值即可．
【详解】为偶函数，则，则的对称轴为，
函数在单调递减，则函数在单调递增，
若，，且有，
则，即，，
∴
，
当且仅当且，，即时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
四、解答题
17．（1）求值：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据对数的运算性质将原式化简即可.
（2）由，运用完全平方公式可以求出，运用立方和公式，求出，然后代入求值即可.
【详解】（1）原式
；
（2）因为，
所以，
所以
18．求下列函数的解析式
(1)若，求；
(2)已知是一次函数，且，求
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用配凑法即可得函数解析式.
（2）利用待定系数法即可得到结论.
【详解】（1），
所以.
（2）由是一次函数，设，，
则，
则，，解得，，或，，
所以或.
19．设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．
(1)若命题“”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据集合的包含关系求解；
(2)将必要不充分条件转换为集合的真包含关系求解.
【详解】（1）因为命题“”是真命题，所以，
所以解得，即实数m的取值范围是.
（2）命题p是命题q的必要不充分条件,所以是的真子集，
若即，此时，
满足是的真子集，
若即，
因为是的真子集，所以解得，
经检验时，满足是的真子集，
综上，实数m的取值范围是.
20．已知函数是奇函数．
(1)求a的值，判断的单调性并说明理由；
(2)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，是R上的递增函数，证明见解析；
(2)
【分析】（1）由函数为奇函数，，求a的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在上恒成立，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数m的取值范围．
【详解】（1）函数，定义域是R，
依题意有，得，即 ，
此时 满足题意.
，
由此可判断出是R上的递增函数.
以下用定义证明：，且，则，
，
即，故是R上的递增函数.
（2）是奇函数且在R上的单调递增，不等式，可得，得，即，
对任意的，恒成立，即在上恒成立，
时，，，，当且仅当，即时等号成立，
∴，实数m的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：此类函数不等式对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性和区间上的单调性，脱去函数的符号“f”，转化为解一般不等式的问题.
21．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【详解】（1）当时，，
当时,，
所以.
（2）当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
22．已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)单调递增，证明见详解
(3)或
【分析】（1）根据题意，令，即可判断；
（2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性；
（3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解.
【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.
（2）在上单调递增.
证明：由题意，可知，
假设，使得，则，
而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.
设，且，则，
因此
，
因为，且当时，，所以，
又因为，所以，即，
又因为，所以在上单调递增.
（3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增，
因此，，
故，，
因为，恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
令，则，恒成立，
故，解得或.