山东省淄博第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份山东省淄博第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．要想得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
4．已知，是两个不共线的向量，且，，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
5．下列说法不正确的是（ ）
A．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线
B．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
C．若，，，，则
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
6．（ ）
A．B．C．D．
7．在中，（、、分别为角、、的对边），则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
8．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则．设，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．设、为复数，且，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的实部与的虚部互为相反数
C．若为纯虚数，则为实数
D．若，则、在复平面内对应的点不可能在同一象限
10．在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为锐角三角形
11．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则（ ）
题11
A．直线与直线相交B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为D．点与点到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，长方体的体积是60，为的中点，则三棱锥的体积是______．
题12
13．在中，，，其面积为，则______．
14．根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理．而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且．如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______．
题14
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
16．在中，，，分别是角，，的对边，且，，．
（1）求的值；
（2）的面积．
17．已知函数．
（1）若，的最小值为，求的对称中心；
（2）已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值．
18．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标．
（1）设，求；
（2）已知，，求；
（3）若，，与的夹角记为，求的余弦值．
19．某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设，
①请用表示燃料的体积；
②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
2024年05月山东省淄博市高一（下）期中数学—淄博六中
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．【解析】B
【分析】由复数与复平面内的点一一对应，即可求出结果．
【详解】由知其对应点为，而点在第二象限；
故正确答案为B
【点睛】本题考查复数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型．
2．【解析】A
【分析】根据平面向量的坐标运算，列方程求出的值．
【详解】向量，；
若，则，
即所以，解得．
故选：A．
【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题．
3．【解析】
【详解】函数的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，再向右平移个单位长度，
故选C
4．【解析】A
【分析】借助向量运算与共线定理即可得．
【详解】，故，则，
又因为两向量有公共点，
故，，三点共线．
故选：A．
5．【解析】B
【详解】若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故A正确．若两条直线没有公共点，则两条直线可能异面，也可能平行，故B错误．若，，，则，．因为，所以，故C正确．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确．故选B．
6．【解析】A
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解．
【详解】由
．
故选：A．
7．【解析】A
【详解】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，，故三角形为直角三角形，故选A．
8．【解析】C
【分析】根据题意化简即可得解．
【详解】根据题意，由，
可得
．
故虚部为．
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．【解析】BD
【分析】本题可通过令、得出A错误，通过令、得出C错误．然后设、，、、、均是实数，通过得出，B正确，最后通过得出，根据当、在复平面内对应的点在同一象限时即可得出D正确．
【详解】A项：若，，则满足，不满足，A错误；
B项：设，，、、、均是实数，
因为，所以，即，，，
故的实部与的虚部互为相反数，B正确；
C项：若，，则满足为纯虚数，不满足为实数，C错误；
D项：设，，、、、均是实数，
则，
因为，所以，
若、在复平面内对应的点在同一象限，则，
故、在复平面内对应的点不可能在同一象限，D正确，
故选：CD．
10．【解析】BC
【解析】根据向量加减法法则和数量积的运算判断各选项．
【详解】，A错；
由向量加法法则，B正确；
，即，，为等腰三角形，C正确；
，则是锐角，但其它两个内角是不是锐角，不知道，D错误．
故选：BC．
【点睛】易错点睛：本题考查向量的加减法运算，考查数量积的运算．在由判断是锐角时要注意，本题是，因此有锐角的结论，如果一般的两个向量，满足，不一定能得出为锐角．判断三角形形状时，仅仅由，只能得出是锐角，但，两个角什么角，没法判断．还有下结论是锐角三角形．
11．【解析】BC
【分析】由和为异面直线，可判断A；取的中点，连接，，利用线面平行的判定定理，可判断B；连接，，得到平面为平面截正方体所得的截面，再计算其面积即可判断C；利用反证法即可判断D．
判定异面直线
研究工具：平面
异面直线
总结
①作出一个与另一条直线相交的平面
②直线与平面有一个公共点
判定方法
过直线作平面，与另一条直线交于点，若不在直线上，则与是异面直线．
符号语言
，，若，则与是异面直线．
【详解】对于A，平面，平面，，和为异面直线，故A错误；
对于B，如图所示，取的中点，连接，，
由条件可知：，，且，，
又平面，平面，平面，平面，
平面，平面，又，
所以平面平面，又因为平面，
所以平面，故B正确；
对于C，因为，为，的中点，所以，
所以，，，四点共面，所以截面即为梯形，
由题得该等腰梯形的上底，下底，腰长为，所以梯形面积为，故C正确；
对于D，，；
，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【解析】5
【分析】由长方体的体积为60，即，而三棱锥的体积为，代入求解即可
【详解】由题，长方体的体积为，
所以，
故答案为：5
【点睛】本题考查三棱锥的体积，属于基础题
13．【解析】
【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案．
【详解】依题意，，，
由余弦定理得，，
由正弦定理得．
故答案为：
14．【解析】
【解析】若，解得，得到，不符合题意；若，解得，求得，进而求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
【详解】由已知可得显然，
若，则，解得，
此时，与矛盾，不符合题意；
若，则，解得，此时，符合．
所以，，，，，所以，
所以
．
【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）由线段对应成比例可得，进而得到，再由线面平行的判定定理证明即可．
（2）先有线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得到．
【详解】（1）连接交于，连接．
因为四边形为直角梯形，，所以，
又因为，，所以，
因为面，面，所以平面．
（2）因为四边形为直角梯形，所以．
因为面，面，所以平面．
因为面，面面．
所以．
16．【解析】（1）2；（2）；．
【解析】（1）由与度数求出的度数，再由及的度数，利用正弦定理求出的值即可；
（2）由，及的值，利用三角形面积公式即可求出三角形的面积．
【详解】（1），，，
又，，
由正弦定理得：；
（2），，，
．
【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题．
17．【解析】（1）或；
（2）．
【分析】（1）由题意，利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求得解析式，然后可求出其对称中心；
（2）先利用三角函数图象变换规律求出，再根据，从而可求出的解析式，则可求出的最小正周期，再利用正弦函数的零点和周期性可求得结果．
【详解】（1）的最小正周期为，
又，的最小值为，的最小正周期是，
故，解得，
当时，，
由，
的对称中心为；
当时，，
由，
的对称中心为，
综上所述，的对称中心为或．
（2）函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
，最小正周期，
令，则，
即或，
解得或．
若函数在（且）上恰好有12个零点，则，
要使最小，须，恰好为的零点，
故．
可得的最小值为．
18．【解析】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由题意计算，再代入向量模的公式，即可求解；
（2）由向量的坐标转化为基底表示，再代入数量积公式，即可求解；
（3）首先求，和，再代入向量的夹角公式，即可求解．
【详解】（1）由题意可知，，，
所以，
；
（2），，
则，，
所以，
；
（3），，
根据（2）的结果可知，；
；
，
则．
19．【解析】（1）
（2）①；②
【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可；
（2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；
②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解；
【详解】（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积；
（2）①由图可知：，，
在梯形中，由，，
易知，故，
则，
所以；
②由上问可知：
即
，
令，则，
上式即为，
又令，，则，
当时，，
当时，，
当时，
当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为．
【点睛】本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的难点和突破点．