【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第13讲 圆锥曲线重点题型汇总 讲义

第三章 圆锥曲线与方程

第13讲  圆锥曲线重点题型汇总

◆题型01 圆锥曲线过定点问题

1．已知椭圆C：.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.

2．设抛物线的对称轴是轴，顶点为坐标原点，点在抛物线上，

（1）求抛物线的标准方程；

（2）直线与抛物线交于、两点（和都不与重合），且，求证：直线过定点并求出该定点坐标.

3．已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设点(为常数)，过点作斜率分别为的两条直线与，交曲线于两点，交曲线于两点，点分别是线段的中点，若，求证：直线过定点.

4．已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，.

（1）求抛物线的方程：

（2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.

5．设是椭圆上的点，是焦点，离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上的两点，且，问线段的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由.

6．已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.

7．已知椭圆，焦距为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

◆题型02 圆锥曲线求定值问题

类型一:斜率的和与积为定值

1．已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为.

（1）点在椭圆上，求的取值范围；

（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；

2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为

（1）求椭圆C的标准方程

（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为

①求四边形APBQ的面积的最大值

②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.

3．如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为、，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点，求证：为定值.

类型二:面积为定值

4．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为，且经过点.

（1）求椭圆C的方程.

（2）直线与椭圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点.若椭圆上存在点N满足，求证：△PQN的面积S为定值.

5．如图，已知点，以线段为直径的圆内切于圆.

（1）证明为定值，并写出点G的轨迹E的方程；

（2）设点A，B，C是曲线E上的不同三点，且，求的面积.

6．如图，椭圆C：的离心率，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点．设直线，的斜率分别为，．

（1）求椭圆C的方程，并求的值；

（2）若，，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

类型三:线段关系与距离为定值

7．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

8．如图，过抛物线的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x轴不垂直，且点A位于x轴上方.AB的垂直平分线与x轴交于D点.

（1）若求AB所在的直线方程；

（2）求证：为定值.

9．已知椭圆的离心率，为椭圆上一点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆(异于椭圆顶点)于、两点，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

10．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率分别为的两条直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点.

（i）当时，求点的纵坐标；

（ii）若两点关于坐标原点对称，求证：为定值.

类型四:向量关系为定值

11．设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点.

（1）设的斜率为，求的值；

（2）求证：为定值.

12．已知椭圆方程为，直线与轴的交点记为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点.

（1）设若且交直线于，线段中点为，求证：，，三点共线；

（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

类型五:角度关系为定值

13．已知椭圆中心为原点，离心率，焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.

14．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接并延长交C于M，求证：.

15．设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：为定值．

类型六:坐标关系为定值

16．已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q.

（1）求点Q的轨迹方程；

（2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.

17．设椭圆，椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点．椭圆的离心率为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．

类型七:系数关系为定值

18．已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设，，试判断是否为定值？请说明理由.

19．焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．，是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点M为的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

◆题型03 圆锥曲线求最值与范围问题

类型一:距离或长度关系的范围最值

1．已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点

（1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求的最小值；

2．在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点．

（1）若，求实数的值；

（2）求的取值范围．

类型二:面积的范围最值

3．已知椭圆过点，椭圆的焦距为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线过点，且斜率为，若椭圆上存在两点关于直线对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值．

4．已知椭圆的一个焦点为，，为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，三角形面积的最大值为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设不过原点的直线与椭圆C交于A、B两点，若直线l的斜率的平方是直线、斜率之积，求三角形面积的取值范围.

类型三:坐标或截距的范围最值

5．已知圆的圆心为，过点作直线与圆交于点、，连接、，过点作的平行线交于点；

（1）求点的轨迹方程；

（2）已知点，对于轴上的点，点的轨迹上存在点，使得，求实数的取值范围．

6．椭圆两焦点分别为、，且离心率；

（1）设E是直线与椭圆的一个交点，求取最小值时椭圆的方程；

（2）已知，是否存在斜率为k的直线l与（1）中的椭圆交于不同的两点A、B，使得点N在线段AB的垂直平分线上，若存在，求出直线l在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由．

类型四:斜率或倾斜角的范围最值

7．已知动圆过点，且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设直线交曲线于，两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，求的取值范围.

8．已知双曲线的两个焦点分别为，，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若轨迹上存在两点，满足（，分别为直线，的斜率），求直线的斜率的取值范围.

类型五:离心率的范围最值

9．已知椭圆：（）的长半轴长为．

（1）若椭圆经过点，求椭圆的方程；

（2）为椭圆的右顶点，，椭圆上存在点，使得．求椭圆的离心率的取值范围．

10．如图所示，已知椭圆：，其中，，分别为其左，右焦点，点是椭圆上一点，，且．

（1）当，，且时，求的值；

（2）若，试求椭圆离心率的范围．

◆题型04 圆锥曲线的存在性问题

类型一:角度关系

1．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得. 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

2．已知椭圆，点为焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于S，T两点，且，点为x轴上一点，直线与椭圆C交于不同的两点A，B.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

类型二:面积关系

3．设直线与双曲线交于M，N两个不同的点，F为右焦点.

（1）求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；

（2）当时，设直线与C交于M，N，三角形面积为S，判断：是否存在k使得成立？若存在求出k的值，否则说明理由.

4．在直角坐标系中，已知点，，直线，交于，且它们的斜率满足：.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线交曲线于，两点，直线与分别交直线于点，，是否存在常数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

类型三:向量关系

5．已知椭圆C：的离心率为，且是C上一点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值？若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由．

6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．

类型四:数量关系

7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时，△的面积为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设斜率存在的直线与C的另一个交点为Q，是否存在点，使得?若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.

8．如图所示，已知椭圆，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．

（1）若直线的斜率为，求直线的斜率．

（2）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

类型五:几何关系

9．已知双曲线过点，焦距为，．

（1）求双曲线C的方程；

（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．

10．设动点的坐标为（、），向量，，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

11．已知椭圆：的焦距为8，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于、两点，试问在直线上是否存在一点，使得为正三角形？若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，说明理由．