第3章 圆锥曲线与方程讲义教案——2023-2024学年高二数学苏教版（2019）选修一

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《圆锥曲线与方程》有效教学讲义【内容提要】解析几何是高中数学的重要的教学内容，本文探讨了高中解析几何基础知识和技能的教学策略，为解析几何的教学提供点粗浅建议，同时也对相关学科的教学起到抛砖引玉的作用.【关键词】有效教学；解析几何；知识和技能引言：解析几何是高中数学的主干知识之一，其特点是用代数的方法研究、解决几何问题。重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，其命题一般紧扣课本，考查全面，突出重点主干知识，注重“知识交汇处”，强化思想方法，突出创新意识。“圆锥曲线与方程”一向是高考解析几何考点中的重点和难点，掌握好圆锥曲线与方程这部分的考查重点和解题策略将是高考取得好成绩的重要保证。一、考纲要求与考点分析（一）圆锥曲线与方程在考试大纲中的要求：①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。④理解数形结合的思想。⑤了解圆锥曲线的简单应用。（二）考点分析：2010年—2016年的高考文科数学中，圆共有4道，椭圆共有7道，双曲线5道，抛物线5道，共计21道题，每年两道小题（选择+填空，两道选择题的居多），题目不是太难。大题圆2道，椭圆3道，双曲线没有大题，抛物线2道；难度不等。1、考题中对双曲线的要求不高，这一点与新课程版的考试大纲是吻合的。2、客观题主要考查直线与圆的位置关系，圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质，注重考查基础知识、基本方法；解答题一般分为两个问，第一问一般为求轨迹方程、圆锥曲线的方程，第二问主要考查直线与圆锥曲线的位置关系这一热点内容，围绕最值、定值、存在性、位置关系等设置问题。3、选择题、填空题均属容易中等题，解答题计算量较少，思维量较大。特别是韦达定理的应用已难寻踪影，加大了与相关知识的联系（如向量、函数、方程、不等式、数列等），凸现教材中研究性学习的能力要求，加大探索性题型的份量。4、将开口向上或向下的抛物线与二次函数进行综合考查，一方面对抛物线的性质有所要求，另一方面对二次函数的性质、导数的几何意义等也可进行相应的考查。5、前两年文理题目基本相同，主要是通过改变题目在试卷中的位置来体现区别；后两年渐显差异，可能是考虑到文理科考生数学基础要求不同，而且理科考查的内容相对较多，需要在考题内容上体现一定的差异。二、复习建议解析几何是将几何与代数结合起来的一门学科，也可以说是用代数的方法研究几何图形的一门学科。而代数是“数”，几何是“形”，即代数中的运算、几何中的画图和识图，是基本技能。运算就是我们通常所说的计算、方程的变形等。画图是根据所给方程绘出曲线，而识图指的是根据给出的曲线来判断方程的特点。通过画图、识图及数形关系分析，培养学生的数与形结合能力。其次，高中解析几何主要研究直线、圆及三种圆锥曲线的方程和性质，所以对这些图形的方程和性质必须做到熟练掌握。所以要求学生一定要熟练地掌握公式并会灵活运用。最后，要培养学生形象的、逻辑的、辩证的思维能力，从而提高学生分析和解决数学问题的能力，其中数形结合能力是一个主要能力。鉴于高考要求及对高考题型特征的认识，“圆锥曲线与方程”这部分内容的复习，应牢牢把握：直线与圆锥曲线的几何性质和综合应用，注重能力的培养。（一）强化基础强化基础包括强化基础知识、基本方法、基本技能和基本活动经验，强化基础的关键是把握好教材，教材是高考考试内容的具体化，是高考命题的基本依据，客观题一般直接来源于课本，往往是课本的原题或变式题，主观试题的生长点也是课本，所以在复习中要精通课本，贯彻“源于课本，高于课本”的原则。1、强化基础知识、基本运算例1.圆心在原点上与直线相切的圆的方程为 例2.中心在远点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为       （A）                         （B）       （C）                        （D）点评：圆锥曲线的定义、方程、几何性质是本部分的基石，熟练掌握基础知识是解题的关键。2、强化基本方法、基本技能例3.以抛物线上的一点为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么该圆的方程为 .点评：离心率的求解一般是求出a、b、c的值或找到关于a、b、c的齐次方程，灵活运用圆锥曲线定义求解是基本技能。3、强化圆锥曲线几何性质例4.双曲线的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．点评：圆锥曲线中的基本元素：长轴、短轴长，焦距，渐近线，离心率等，在多处综合就会演变成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。（二）突出重点解析几何的基本思想方法和核心是坐标法，复习时要重点把握两个方面：一是由曲线求方程；二是由方程研究曲线。1、要掌握求曲线方程的思路和方法求曲线方程的方法有多种，但其思路的实质都是根据曲线上点适合的共同条件找出动点的坐标和之间的关系式。常见的求曲线方程的类型有两种，一种是曲线形状明确且便于用标准形式表示，这时可用特定系数法求其方程；一种是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，这时可用直接法、定义法、相关点法、参数法等求方程。例5.在平面直角坐标系中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，直线AP与BP的斜率之积等于．（1）求动点P的轨迹方程；（2）略．解：因为点B与点A（-1,1）关于原点对称，所以点B的坐标为（1，-1），设点P的坐标为，由题意得，化简得．点评：求轨迹方程时要注意曲线方程的“纯粹性”和“完备性”。2、注重解析几何的基本思想和方法解析几何的基本思想是在平面直角坐标系中，把点与实数对，曲线与方程，区域与不等式统一起来，用代数方法研究平面上的几何问题．因此在复习中应让学生逐步掌握函数与方程、数形结合、转化与化归、特殊与一般、分类讨论等数学思想与方法。例6.已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；xAxBD（２）若曲线与区域有公共点，试求的最小值．解：（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径．因为直线在y轴的截距为2，由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为．点评：利用数形结合的思想方法，解题思路简单明了。（三）培养能力1、运算能力解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以圆锥曲线的定义和性质是解题的基础。在计算过程中，要根据题目的要求，利用曲线性质将计算简化，或将某一个“因式”作为一个整体处理，这样就可大大简化计算。例7.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=________.例8.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则=________.点评：灵活运用公式，简化运算。高考最大的困难就是有时间限制，命题专家也一定会反复考虑和斟酌时间因素，而同一道题运算方法不同所用的时间也往往不同，所以，单位时间内能完成的题量差别就是学生之间的分数差别，可以说，这一点上起决定作用的因素就是运算能力。2、综合应用能力①解析几何与线性规划的综合例9.设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线所围成三角形的边界及内部．当时，的最大值为A．24 B．25 C．4 D．7②解析几何与立体几何的综合ABP例10.如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线点评：本题以立体几何为载体考查用平面截圆柱所得的截面这一椭圆的几何定义，这是课本阅读材料当中的内容，紧扣高考题源于课本的理念。③解析几何与导数、平面几何的综合例11.设，椭圆方程为，抛物线方程为如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点。（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。点评：本题主要考查直线、椭圆、抛物线等平面解析几何的基础知识，考查学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问题的能力。在第一问中涉及到切线问题，与导数相联系，难度不大，第二问中涉及到方程的解的问题，同时考查向量知识运用，也可以灵活运用圆的基本性质巧妙解决问题。在向量、导数、函数、方程交汇处设计题目，也是近几年来高考的热点之一。④解析几何与向量的综合例12.已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹C交于、两点，直线，与直线分别交于点，（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．点评：解析几何与向量的结合早已是常见的题型，向量方法还可以用来解决平行、垂直问题，共线问题以及夹角问题等。⑤解析几何与函数的综合例13.椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为6，焦距为，分别是椭圆的左右顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（3）设为椭圆上一动点，为关于轴的对称点，四边形的面积为，设，求函数的最大值.⑥解析几何与数列的综合例14.已知曲线，点是曲线上的点.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：.⑦解析几何与实际问题的综合例15.为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。（1）求考察区域边界曲线的方程：（2）如图4所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？（四）题型突破1、范围、最值问题求范围的基本思路为：①利用函数：将所求范围的变量表示为某一个变量的函数(注意定义域)，然后转化为求函数的值域.②建立方程或不等式：根据条件寻找变量所满足的方程或不等式.求最值的基本思路为：①利用函数：根据变量间的相互关系, 构造关于变量的目标函数(注意定义域)，然后转化为求函数的最值问题.②建立方程或不等式：根据条件寻找变量所满足的方程或不等式.例16.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.例17.已知椭圆C：的一个焦点为,且过点（2,0）.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点关于直线的对称点为，求的取值范围.例18.椭圆上有一点在抛物线 的准线上，抛物线的焦点也是椭圆的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线的垂线，垂足为，求的最小值.2、定点、定值问题在圆锥曲线的问题里，定点、定值问题往往是我们复习的一个难点.对于这类问题的解决，通常有两种处理方法：①从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关.②直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点(定值).例19.椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为6，焦距为，分别是椭圆的左右顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（3）略.ABOF例20.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,.（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.3、存在型探究性问题存在性问题是讨论具有某种性质的数学对象是否存在的问题.许多数学问题必须先探讨它所涉及的对象是否存在，然后才可能着手解决.一般应先假设存在，利用题设条件、定理、性质等加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则假设的命题成立.要注意很多问题的矛盾是很隐蔽的，比如要检验判别式和定义域，曲线的范围等。例21.设，椭圆方程为，抛物线方程为如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点。（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。例22.已知在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。