2024年河南省南阳市西峡县九年级中考二模考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6 页，满分 120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 2024的绝对值是（ ）
A. B. C. －2024D. 2024
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．
【详解】解：由题意得，．
故选：D．
2. 嘉嘉将数据“”用科学记数法表示为，下列说法正确的是（ ）
A. ①应该是0.941B. ①应该是94.1
C. ②应该是D. ②应该是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：的9后面有5个位数，根据科学记数法要求表示为，即①应该是；②应该是；
A、①应该是0.941错误，不符合题意；
B、①应该是94.1错误，不符合题意；
C、②应该是正确，符合题意；
D、②应该是错误，不符合题意；
故选：C．
3. 将一个长方体粉笔盒子去掉一角的图形如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图即可解答．本题考查了实物体的三视图，学会三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：从图形的右侧看到的图形是长方形左上角有个直角三角形，故项错误；
主视图是长方形右上角有个直角三角形，故项正确；
俯视图是长方形，故错误；
左视图是长方形，故错误．
故选：．
4. 生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的．如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R 是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有，，三种，其中基因为和的人能卷舌，基因为的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是，则他们的子女可以卷舌的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，然后求出概率即可．
【详解】解：根据题意画树状图，如图所示：

∵由树状图可知，共有4种等可能结果，其中他们的子女可以卷舌的结果有3种，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，同底数幂乘法，零指数幂，幂的乘方，整式的除法的运算法则，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据对应运算法则逐一运算验证即可．
【详解】A．，该选项不符合题意；
B．，该选项不符合题意；
C．，该选项符合题意；
D．，该选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，将一个装有水的矩形量杯如图放置，使得杯内水面刚好经过点，若 ，则水杯底面与水平面夹角的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，平行公理，平角的定义，掌握平行线的性质及矩形的性质是解题的关键．根据平行公理得到，再利用平行线的性质得到，最后利用矩形的性质及平行线的性质即可解答．
【详解】解：过点作，
∵是水平面，
∴，
∴，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选．

7. 对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，先根据新运算的法则，列出一元二次方程，再根据判别式，判断根的情况即可．
【详解】解：由题意，得：，
即：，
∴；
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
8. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象得出，，二次函数与x轴的交点坐标为和，从而判断出二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，，即可得出答案．
【详解】解：由二次函数的图象可知，，，二次函数与x轴的交点坐标为和，
∴二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出，．
9. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，，若，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握其相关内容是解题的关键．连接，由，，得到四边形为平行四边形，又，得到四边形为菱形，进而得到是是等边三角形，由此即可求解．
【详解】解：连接，如图
，
，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形
，，
，
，即是是等边三角形，
，
，
故选：D．
10. 如图是一种轨道示意图，其中分别是菱形的四个顶点，．现有两个机器人(看成点)分别从两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则 与之间的函数关系用图象表示大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设菱形的边长为，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离的解析式，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：①设，如图所示，
∵移动时间为，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，；
②设，如图所示，
∵移动时间为，，
∴，，，，
∴，
∴ 在中，，
∴函数图像为两个二次函数图象；
③当从出发的机器人在点，从出发的机器人在点，此时距离是；从出发的机器人在点，从出发的机器人在点，此时距离是；
∵设，，
∴，，
∴，
∴，
∴函数图象的起点和终点高于中间点；
综上所述：项符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了二次函数图象的实际应用，菱形的性质，掌握二次函数图象的特点是解题的关键．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 请写出一个大于1小于3无理数______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
【详解】解：∵1=，3=，
∴写出一个大于1且小于3的无理数是．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质．
12. 已知点 A、B在数轴上表示的数如图所示，则 x 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据考查了实数与数轴的对应关系，根据数轴得到关于x不等式组是解题的关键．根据数轴得到，解不等式组即可．
【详解】根据数轴得，，
解，得，
解，得，
不等式组的解集为，
故答案为：.
13. 国内生产总值()是衡量某一地区经济状况的指标．统计显示，某市2023年间四个季度的逐季增长，第一个季度和第四季度的分别为218亿元243亿元．若四个季度的中位数和平均数相等，则该市2023年全年的为_________亿元．
【答案】922
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数和平均数的定义．设第二季度为x亿元，第三季度为y亿元，则，由题意可得 ，可求出的值，从而求出该地一年的．
【详解】设第二季度x亿元，第三季度为y亿元，则，
由题意可得， ，
解得，
该市2023年全年的为．
故答案为：922．
14. 如图，在扇形中，，半径 ，点C是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点 A落在的延长线上的点D处，连接，则图中阴影部分面积为__________(结果保留π) ．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作交与点E，垂足为E，作点O关于的对称点，连接，，由折叠的性质可得出，根据，由等边对等角得出，由对称的性质可得出，由直角三角形的性质可得出，解直角三角形可得出，再证明是等腰直角三角形，求出，再根据即可求出答案．
【详解】解：过点B作交与点E，垂足为E，作点O关于的对称点，连接，，如图∶
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查扇形面积的计算，直角三角形的性质，轴对称折叠的性质，解直角三角形的相关计算等知识点，构造直角三角形以及对称图形是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，，M、N分别是边上的动点且．连接．则最小值为_______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，平行四边形判定及性质，相似三角形判定及性质，最短距离问题．根据题意因不在一条直线上，只需将两条线转化在同一条直线上，作，使得，连接，由边的关系，继而当点三点共线时，有最小值，继而利用勾股定理和相似三角形即可得到本题答案．
【详解】解：过点作，使得，连接，令交于点，
，
∵矩形中，，，
设，则，
当三点共线时，的值最小，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点三点共线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴最小值为：10
故答案为：10．
三、解答题(共75分)
16. （1） ；
（2）
…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
任务一：以上化简步骤中第 步开始出现错误，错误原因是 ．
任务二：请写出正确的化简过程．
【答案】（1）2；（2）任务一：二；括号前是负号，去括号时里面有一项没有变号；任务二：见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的混合运算：
（1）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可得到答案；
（2）任务一：根据通分的概念和去括号法则进行填空既可；任务二：根据分式的计算法则进行计算即可
【详解】解∶（1）
；
（2）任务一：二；括号前是负号，去括号时里面有一项没有变号
任务二：


17. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：
a．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
，；
b．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
c．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
乙商品的成本与售价统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲商品这五周成本的平均数为 ，中位数为 ；
（2）表中m的值为 ，从第三周到第五周，甲商品第 周的售价最低；
（3）记乙商品这40 周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为，则 (填“”“”或“”)．
【答案】（1）50.4，50
（2）75，五 （3）
【解析】
【分析】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键．
（1）由题意知，成本从小到大依次排序为30，42，50，60，70；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可；
（2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据所得数据，作答即可；
（3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可．
【小问1详解】
解：由题意知，成本从小到大依次排序为30，42，50，60，70；
∴甲商品这五周成本的平均数为，
中位数为第3个位置的数即中位数是50，
故答案为：50.4，50；
【小问2详解】
由题意知，第二周成本的涨跌幅为，
∴第二周售价的涨跌幅为，即：解得，；
同理，第四周成本涨跌幅为，
∴第四周售价的涨跌幅为，即：解得，；
第五周成本的涨跌幅为，
∴第五周售价的涨跌幅为，即：解得，；
∴从第三周到第五周，甲商品第五周的售价最低，
故答案为∶75，五；
【小问3详解】
由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，
∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，

故答案为∶．
18. 如图，点在反比例函数 的图像上，过点 A作轴，垂足为点B，已知的面积为4．
（1）求反比例函数的表达式及点A的坐标；
（2）点C是x轴负半轴上一点，请用直尺和圆规做出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
（3）在（2）的条件下，①过点 A作轴，交于点D，②过点B作，交于点D，请从①②中任选一个作为已知条件，求出点D的横坐标(注：①②中的垂线均不需要使用尺规作图)．
【答案】（1），点A的坐标为
（2）图见解析 （3）①点D的横坐标为；②点D的横坐标为
【解析】
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由的面积为4，结合的几何意义可得反比例函数的解析式，再由A的横坐标可得A的纵坐标；
（2）按照尺规作图的要求作的平分线即可；
（3）① 由勾股定理求得，由，平分，得到，，由此可得点D的横坐标；②过点D作轴，垂足为点E．设与交于点F，由平分，得到，证明，得到，求得，得到，由此可得点D的横坐标．
【小问1详解】
的面积为4，
，
，
又 双曲线在第一象限，
，
反比例函数解析式为，
点A在双曲线上，且点 A 的横坐标为2，
，
点A的坐标为．
【小问2详解】
尺规作法：以任意合适长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边、于两点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长度为半径，作圆弧交于点，连接即为所求作．如图所示，
【小问3详解】
第一种情况：过点 A作轴，交于点D，如图所示，
在中，
，
，
，
又平分，
，
，
，
点D的横坐标为
第二种情况：过点B作，交于点D，如图所示，
在中，
，
过点D作轴，垂足为点E．设与交于点F．
平分，
，又，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点D的横坐标为．
19. 高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头．已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图1，镜头 B到地面的距离为米，镜头的拍摄广角，为水平线，图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部C时，测得 ，求此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地面的距离约为多少米？(结果精确到1米．参考数据：
【答案】此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A 到地面的距离约为31米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，由正切函数可求得的长，由互余关系可得，在中，由正切函数可求得的长，由即可求解．
【详解】解：由题意，可知在图2中，米．
在中，，，
∴（米）．
∵，
∴．
∴．
在中，，，
∴（米）．
∴（米）．
答：此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地面的距离约为米．
20. 如图①是少年宫科技发明小组制作的一个钟表，钟面的大小会随时间的变化而发生改变，钟表底座为两根金属滑槽 和，且交于点，钟面由若干个形如菱形的可活动木条组成，指针绕点转动，菱形的顶点点 与点 用连杆连接．如图②，为 点的运动轨迹，与 交于点，连接，当与相切时，点，，恰好在同一条直线上．请仅就图②的情形解答下列问题：

（1）求证 ；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质可得，可得，根据三角形的外角性质可得，即得结论；
（2）根据勾股定理可求出，作于点，证明，即可得出，进而问题得解.
【小问1详解】
解∶证明∶ 如解图①， 连接，

与相切，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解∶ 在 中，
如解图②，作于点，

四边形为菱形，
，
，
，
， 由（1）知，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、菱形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.
21. 甲、乙两个绿化队共同承担两个荒地的绿化任务，在工期内，甲、乙两个绿化队分别可以绿化30万平方米和70万平方米，两个荒地需要绿化的面积分别为60万平方米与40万平方米，且两个绿化队在两个荒地完成1万平方米的绿化任务的成本如下：设甲绿化队在荒地绿化 万平方米 完成这两个荒地共需总成本万元．
（1）求与的函数关系式；
（2）是否能等于 6500万元，请说明理由；
（3）若在施工过程中，甲绿化队在 荒地绿化1万平方米的成本减小元，但仍高于甲绿化队在荒地绿化1万平方米成本，求如何分配绿化任务，使总成本最小．
【答案】（1）
（2）不能等于6500万元， 理由见解析
（3）分配方案见解析
【解析】
【分析】（1）设甲绿化队在 荒地绿化万平方米，则甲绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在 荒地绿化万平方米，根据题意，求出表达式即可得到答案；
（2）假设，代入函数关系式，解方程得到，由即可判断；
（3）由题意，的东岸总成本与 荒地绿化面积的函数关系，讨论一次项系数的正负，利用一次函数增减性分析求解即可得到问题．
【小问1详解】
解：设甲绿化队在 荒地绿化万平方米，则甲绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在荒地绿化万平方米，乙绿化队在 荒地绿化万平方米，
由题意得，
∴与的函数关系式为∶；
【小问2详解】
解：不能等于6500万元，
理由如下∶
当时，， 解得，
∵，
∴不符合题意，
∴不能等于6500万元；
【小问3详解】
解：由题意得，
∵，解得，
∴，
①当时，则，
∴随的增大而增大，
∴时，有最小值，
此时，甲绿化队在 荒地绿化10万平方米，则甲绿化队在荒地绿化20万平方米，乙绿化队在荒地绿化50万平方米，乙绿化队在 荒地绿化20万平方米；
②当时，则，
∴随的增大而减小，
∴时，有最小值，
此时，甲绿化队在 荒地绿化20万平方米，则甲绿化队在荒地绿化10万平方米，乙绿化队在荒地绿化40万平方米，乙绿化队在 荒地绿化30万平方米；
③当时，总成本与分配绿化任务无关，均是6200万元．
【点睛】本题考查一次函数解实际应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、解一元一次方程、一次函数增减性求最值等知识，读懂题意，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务 2：喷水口升高的最小值为米；任务3∶建议花卉的种植宽度为米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．
任务1：依据题意，利用待定系数法即可求解；
任务2：由题意得喷泉池的半径为米，则令，求出值，即可求解；
任务3：根据题意，将抛物线向上平移个单位后，令，求出值，再减去半径即可．
【详解】解∶ 任务1∶ 由题意得，，顶点为，
可设抛物线的函数表达式为，
又抛物线过，
，
，
抛物线的函数表达式为，
任务 2：由题意，喷泉池的半径为米，
令，则，
喷水口升高的最小值为(米)，
任务3∶ 当向上平移个单位，
，
令， 即，
当或(舍去)．
(米)．
建议花卉的种植宽度为米．
23. 王老师在进行“图形的变化”主题教学时，设计了如下版块．
【观察发现】
（1）如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是1），点均在格点上（网格线的交点），且点P在线段上，连接，将绕点P顺时针旋转，使点C的对应点D落在线段上，分别作关于直线的对称线段和．则
①______；
②线段可以看作是由线段绕点P顺时针旋转______得到．
深入探究】
（2）如图2，，P为上一点，连接，将绕点P顺时针旋转，使点C的对应点D落在射线上，分别作关于直线的对称线段和．请回答下列问题：
①求的度数；
②连接，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接，当，时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①45；②90；（2）①；②，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）①根据是等腰直角三角形即可得出，故可得出答案；②连接，证明是直角三角形即可得出；
（2）选图2：①设，求出，由三角形内角和定理得，由对称得，从而可求出；②证明得，从而可得结论；
（3）由（2）得是等腰直角三角形，为等边三角形，连接，证明是等腰直角三角形；也是等腰直角三角形，求出，解直角三角形得出，最后求出结果即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴；
②连接，如图，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且是斜边，
∴；
故答案为：45；90；
（2）①由题意，可知，
设，则，
∵，
∴，
由轴对称的性质，可知，
∴；
②，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）由（2），可得，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即为等边三角形，
∴；
连接，如图所示，
∵点E，C关于直线对称，
∴，，
∵F、D关于直线对称，
∴，
∴、F、A在同一直线上，
∴，
即是等腰直角三角形；
同理，也是等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查勾股定理与勾股定理逆定理，对称的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
第一周
第二周
第三周
第四周
第五周
成本
30
60
50
70
42
售价
50
m
68.75
n
p
荒地完成1万平方米绿化的成本
荒地完成1万平方米绿化的成本
甲绿化队
90元
70元
乙绿化队
60元
50元
素材1
一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉(图1中的阴影部分)．

素材 2
从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2 是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．

问题解决
任务1
建立模型
以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2
利用模型
为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口升高的最小值．
任务 3
分析计算
喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．