精品解析：重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 在实数－3、0、、3中，最小的实数是（ ）
A. －3B. 0C. D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】解：因为1<2<4，
∴1<<2，∴−1>->−2
∵3>2，∴−3<−2
∴−3<−2<<0<3
∴其中最小的实数是−3
故选：A
2. 下列调查中，最适宜采用抽样调查方式的是（ ）
A. 检测神舟飞船各个零部件的情况
B. 调查市场上奶制品的质量情况
C. 了解某班学生的身体健康状况
D. 调查和某新冠肺炎感染者密切接触人群
【答案】B
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知．
【详解】解：A. 检测神舟飞船各个零部件的情况，这个调查很重要不可漏掉任何零部件，适合普查，故该选项不符合题意．
B. 调查市场上奶制品的质量情况，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项符合题意；
C. 了解某班学生的身体健康状况，人员不多，且这个调查很重要不可漏掉任何人，适合普查，故该选项不符合题意．
D. 调查和某新冠肺炎感染者密切接触人群，这个调查很重要不可漏掉任何人，适合普查，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键．
3. 估算的结果在两个整数之间正确的是（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算出的取值范围，再得出的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即在4和5之间，
故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，关键是要理解算术平方根与平方互为逆运算．
4. 已知多边形的每个内角都是，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 十边形
【答案】A
【解析】
【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案．
【详解】∵多边形的每个内角都是，
∴每个外角是，
∴这个多边形的边数是，
∴这个多边形是五边形，
故选：A．
【点睛】此题考查多边形的外角与内角，解题关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补，多边形的外角和等于．
5. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：∵点和点关于x轴对称，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．
6. 下列命题中正确的有（ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合；
④等底等高的两个三角形全等．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定，等腰三角形的性质逐项分析即可．
【详解】解：①三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题错误；
②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；
③等腰三角形的顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线互相重合，原命题错误；
④等底等高的两个三角形不一定全等，原命题错误；
正确有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和等腰三角形的三线合一是解题的关键．
7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由在中，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数.
【详解】解：∵在中，，，
的垂直平分线交于点D，
，
，
，
故选：B
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.
8. 为打造成渝地区双城经济圈，成渝高速公路在今年开始打造八车道高速公路通道，其中重庆段从重庆江北区到荣昌区全长约为，若一辆小汽车，一辆货车同时从江北，荣昌两地同时相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行，设小汽车和货车的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设小汽车和货车的速度分别为，，根据“全长约为，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行”列方程组即可．
【详解】解：设小汽车和货车的速度分别为，，
45分钟小时，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）

A. 3B. 4C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置．
【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，；
②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，；
③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰，
∴符合条件的点C共7个，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键．
10. 如图是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，，为的角平分线，点在的延长线上，连接、，，①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】先证明，得到，可判断①；过点H作交延长线于N，作于M，由角平分线的性质得，可证明，推出是等边三角形，再证明，，可判断④；根据角之间的关系得出，即，可判断③；在上截取，证明，得出，根据线段的和差，可判断②．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，故①正确；
过点H作交延长线于N，作于M，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，④正确；
∵，，
∴，
∴，③错误；
在上截取，
∵，
∴是等边三角形，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形性质及判定，全等三角形的性质及判定，角平分线的性质定理，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11. 100的算术平方根是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵102＝100，
∴＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义．
12. 已知，，是的三边长，满足，，为奇数，则的周长为________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
【详解】解： ∵，，
∴，
又∵c为奇数，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．解题的关键是确定边长c的取值范围．
13. 在平面直角坐标系中，若点P(2x＋6，5x)在第四象限，则x的取值范围是_________；
【答案】﹣3＜x＜0
【解析】
【分析】根据第四象限内横坐标为正，纵坐标为负列不等式组可得出答案.
【详解】∵点P（2x-6，x-5）在第四象限，
∴
解得：-3＜x＜0．
故答案为：-3＜x＜0
【点睛】本题考查了点的坐标、一元一次不等式组，解题的关键是知道平面直角坐标系中第四象限横、纵坐标的符号.
14. 如图，中，点为边上一点，满足，连接，点为中点，连接，若的面积是3，则的面积是________．

【答案】
【解析】
【分析】根据为中点可得的面积是3，求出的面积，再根据同高的三角形的面积比等于底边的比求出的面积即可．
【详解】解：∵点为中点，的面积是3，
∴的面积是3，
∴的面积是6，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，熟知同高或等高的三角形的面积比等于底边的比是解题的关键．
15. 如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是_____．
【答案】####7.2
【解析】
【分析】过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，先根据角平分线的性质得到，进而根据证明，再根据证明，然后根据证明，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示．
在中，．
∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
延长，交于F，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16. 如图，中，于点，为边上一点，连接并延长至，，，若，，则的长度为________.

【答案】1.1
【解析】
【分析】过点B作交的延长线于点G，利用证明，得到，再利用证明，得到，利用线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点B作交的延长线于点G，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
故答案为：1.1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差，正确作辅助线是解题的关键．
17. 若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是________.
【答案】
【解析】
【分析】首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数，求和即可得到答案．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴，
∵关于的不等式组有且只有2个整数解，
∴，
∴，
解方程得：，
∵关于的方程的解是负整数，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
∴符合条件的所有整数为和，
∵，
∴符合条件的所有整数的和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次方程的方法是解题的关键．
18. 材料：如果一个四位自然数N各个数位的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，规定，，当为整数时，称这个四位数为“齐心协力数”，则________．若“齐心协力数”，，，，，，为整数），且除以7余数为2，则________.
【答案】 ①. ②. 1229
【解析】
【分析】根据新定义求出和，然后相减即可；根据新定义首先求出和，然后根据除以7余数为2，求出b，c可能的取值，再分别代入，根据为整数进行验证即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
∵，
∴，，
∴，
，
∵除以7余数为2，
∴能被7整除，
∴能被7整除，
∵，，
∴，
∴或7，
∴或或或，
当时，，
∵当时，不是整数，
∴此情况不合题意；
当时，，
∵当时，是整数，符合题意，
∴；
当时，，
∵当时，不是整数，
∴此情况不合题意；
当时，，
∵当时，不是整数，
∴此情况不合题意；
综上，，
故答案为：1229．
【点睛】本题考查了新定义，整式的加减运算，正确理解“齐心协力数”的定义是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 计算
（1）
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】（1）
（2），数轴见解析
【解析】
【分析】（1）先计算乘方，算术平方根和绝对值，再进行加减计算；
（2）分别求两个不等式，再找到不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：
解①可得：
解②可得：
∴不等式组解集为，
表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查了实数的混合运算以及解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握实数混合运算的法则和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，请按要求分别完成下列各小题：

（1）把向下平移6个单位得到，画出；
（2）画出关于轴对称的；
（3）在轴上找一点，使得它到点和点的距离和最小（不要求写作法）.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到；
（2）依据轴对称的性质，即可得到；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接，与y轴交点即为点P，依据两点之间，线段最短，即可得到点P到点A和点B的距离和最小．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，点P即为所求，点P到点A和点B的距离和最小．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21. 如图，点在线段上，，，，交于点.

（1）尺规作图：过点作线段的垂线交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：（请补全证明过程）.
证明：∵，
∴ ① .
在和中，
∴
∴， ② ，
∴，
∴，
∴，
∴ ③ ．
∵ ④ ，
∴．
【答案】（1）见解析 （2）；；；
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图的方法作图即可；
（2）先证明，得出，，再根据等边对等角得出，然后求出，进而得出，再根据三线合一即可得证．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握基本尺规作图的方法，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
22. 如图，在中，，，是边上的一点（不与，重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接．

（1）求证：；
（2）当时，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据角的和差证明，再结合，，利用即可证明全等；
（2）由三角形内角和定理得，由全等的性质和已知得，，得到，利用三角形内角和定理求解即可，
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23. 重庆市2023年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成4个等级，A：，B：，C：，D：），绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：

（1）本次共调查了________名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，m的值是________；B对应的扇形圆心角的度数是________；
（4）若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）50； （2）见解析；
（3），；
（4）估计此次测试成绩优秀的学生共有800人．
【解析】
【分析】（1）用D等级的人数除以所占百分比可得调查总人数；
（2）用总人数减去其余等级的人数得到C等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）用C等级的人数除以总人数，求出C等级的人数所占的百分比即可得到m的值；用B等级的人数除以总人数乘以即可得到B对应的扇形圆心角的度数；
（4）用2000乘以D等级所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：（人），
即本次共调查了50名学生，
故答案为：50；
【小问2详解】
解：C等级的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
解：C等级人数所占的百分比为：，
∴，
B对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，；
【小问4详解】
解：（人），
答：估计此次测试成绩优秀的学生共有800人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总体，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
24. 某工厂采购A，B两种原料共花费1380万元，A原料采购了300吨，B原料采购了240吨，两种原料的单价之和是5万元．
（1）求A，B两种原料单价各为多少万元/吨？
（2）现计划安排甲，乙两种不同规格的货车共50辆运输这批原料，每辆甲货车可装7吨A原料和3吨B原料，每辆乙货车可装5吨A原料和7吨B原料，问共有哪几种运输方案？
【答案】（1）A原料单价每吨3万元，B原料单价每吨2万元；
（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆甲型货车，25辆乙型货车；方案2：安排26辆甲型货车，24辆乙型货车；方案3：安排27辆甲型货车，23辆乙型货车．
【解析】
【分析】（1）设原料单价每吨万元，原料单价每吨万元，根据“采购，两种原料共花费万元，原料采购了吨，原料采购了吨，两种原料的单价之和是万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排甲型货车m辆，则安排乙型货车辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．
【小问1详解】
解：设A原料单价每吨x万元，B原料单价每吨y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A原料单价每吨3万元，B原料单价每吨2万元；
【小问2详解】
解：设安排甲型货车m辆，则安排乙型货车辆，
依题意，得：，
解得：．
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆甲型货车，25辆乙型货车；方案2：安排26辆甲型货车，24辆乙型货车；方案3：安排27辆甲型货车，23辆乙型货车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25. 在平面直角坐标系中，已知，，
（1）如图1，将线段平移至，点与点对应，点与点对应，若点的坐标为，求的面积；
（2）如图2，以为腰做等腰直角，点在第二象限，且，如果在平面直角坐标系内有一点，使得的面积是面积的2倍，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质求出点的坐标，然后如图构造直角梯形，求出，，，，，再根据计算即可；
（2）过点作轴，证明，可得，，然后分情况讨论：①当点P在点A右侧时，②当点在点A左侧时，分别利用（1）中方法构造直角梯形和直角三角形，表示出的面积，再根据的面积是面积的2倍列方程求出的值．
【小问1详解】
解：∵，，将线段平移至，点A与点对应，点与点对应，若点的坐标为，
∴平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴点的坐标为，
如图，过点C、F作垂直于x轴的直线，过点E作平行于x轴的直线，三条直线交于点G，H，则四边形是直角梯形，和是直角三角形，
∵，，，
∴，，
∴，，，，，
∴
．
【小问2详解】
解：过点作轴，则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
①当点P在点A右侧时，过点P作轴于N，
∵，，，，
∴，，，
∴
，
又∵，的面积是面积的2倍，
∴，
∴；
②当点在点A左侧时，过点作平行于x轴的直线，分别过点，A作x轴的垂线，三条直线交于点K，T，
∵，，，，
∴，，，，，
∴
，
又∵，的面积是面积的2倍，
∴，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出直角梯形和直角三角形是解题的关键．
26. 如图，中，以，为边，分别在各自的上方作等边三角形，等腰三角形，，，连接，；

（1）如图1，若，，求的面积
（2）如图2，点为中点，求证：
（3）如图3，，，点为直线上的动点，连接，作关于所在直线的对称图形，记作，连接，，当直角三角形时，请直接写出的度数．
【答案】（1）的面积为36；
（2）见解析 （3）的度数为或或或．
【解析】
【分析】（1）作交的延长线于点F，求得，利用含30度角的直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可求解；
（2）延长至点M，使，延长交于点N，连接，先后证明和，推出是等边三角形，据此即可证明结论成立；
（3）由题意得点在以D为圆心，为半径的圆上，分四种情况讨论，画出图形，利用轴对称的性质即可求解．
【小问1详解】
解：作交的延长线于点F，如图，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的面积；
【小问2详解】
解：延长至点M，使，延长交于点N，连接，

∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：分四种情况讨论，
由题意得点在以D为圆心，为半径的圆上，
①当时，如图，

；
②当时，如图，

同理，；
③当时，如图，

同理，；
④当时，如图，

同理，；
综上，的度数为或或或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．