精品解析：重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中1—9题只有一个选项符合题目要求，10题有多个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
．
2. 实数的算术平方根是（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果．一个非负数的算术平方根只有一个，且为非负数，负数没有算术平方根．
【详解】解：，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是非负数，注意平方根和算术平方根的区别．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法的运算法则针对每一个选项分别进行计算即可得．
【详解】解：A、，故原运算不正确，不符合题意；
B、，故原运算不正确，不符合题意；
C、与不能合并，故原运算不正确，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 等边三角形只有一条对称轴
B. 若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形
C. 等腰三角形的一个底角为，则顶角为
D. 两直线平行，同旁内角相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质、三角形三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．等边三角形有三条对称轴，故A错误；
B．∵三条线段长度之比为，
∴设三条线段的长度为、、，
∵，
∴它们可以构成三角形，故B正确；
C．等腰三角形的一个底角为，则顶角为，故C错误；
D．两直线平行，同旁内角互补，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定．
5. 估算在下列哪两个整数之间（ ）
A. 5和6B. 6和7C. 7和8D. 8和9
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的估算方法即可得．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴在7和8之间，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题关键．
6. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘转动并停止后，指针落在B区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出B所在区域在圆中的占比即可得到答案．
【详解】解：由题意得，指针落在B区域的概率是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了几何概率，熟知落在B区域的概率值即为B区域在圆中的占比是解题的关键．
7. 如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据求出的度数，再由余角的性质得出的度数，根据即可得出结论．
【详解】解：，，

．
，
．
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．掌握平行线的性质是解题的关键．
8. 五一假期，小明去重庆欢乐谷游玩，坐上了他向往已久的摩天轮，摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法错误的是（ ）

A. 自变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t，因变量是小明离地面的高度h
B. 摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米
C. 摩天轮转一周需要9分钟
D. 当时，小明处于下降状态
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象逐项判断即可得．
【详解】解：A、自变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，则此项说法正确，不符合题意；
B、摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，则此项说法正确，不符合题意；
C、摩天轮转一周需要（分钟），则此项说法错误，符合题意；
D、因为摩天轮转一周需要6分钟，所以3分钟与9分钟之间的最低点对应的时间为6分钟，则当时，小明处于下降状态，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
9. 观察下图中用火柴棒摆的三角形图案，图①共用3根火柴棒，图②共用9根火柴棒，图③共用18根火柴棒，按这种方式摆下去，图⑦需要的总火柴棒数是（ ）

A. 63B. 108C. 74D. 84
【答案】D
【解析】
【分析】根据图①②③归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：图①需要的总火柴棒的根数是，
图②需要的总火柴棒的根数是，
图③需要的总火柴棒的根数是，
图⑦需要的总火柴棒的根数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确发现一般规律是解题关键．
10. （多选）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使．下列选项条件添加正确的是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ABD
【解析】
【详解】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【分析】解：A、已知，再加上条件，可利用证，故此选项符合题意；
B、由可知，，
已知，再加上条件，可利用证明，故此选项符合题意；
C、已知，再加上条件，不能证明，故此选项不符合题意；
D、已知，再加上条件，可利用证明，故此选项符合题意．
故选：ABD．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 用科学记数法表示________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数列式计算即可．
【详解】∵二次根式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．
13. 若，，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】先求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确把所求式子变形为是解题的关键．
14. 如图，在中，点D为边的中点，且，过点B作，交延长线于点E，若，，则的面积为________．

【答案】6
【解析】
【分析】连接，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：

∵点D为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判断方法，证明，．
三、解答题（15题8分，16题8分，17题8分，18题10分，19题10分，共44分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算零指数幂与负整数指数幂、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得；
（2）先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再合并同类项即可得．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、实数的加减法、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；16
【解析】
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再根据绝对值和乘方的非负性求出x、y的值，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，，
解得：，，
把，代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是根据整式混合运算法则准确计算，根据绝对值和乘方的非负性求出x、y的值．
17. 如图，已知，用尺规完成以下基本作图（不写作法，保留作图痕迹）．

（1）作的平分线，交边于点D；
（2）在（1）条件下，作线段的垂直平分线，交边于点E，交边于点F．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点D，则即为所求；
（2）以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G、H，连接，交边于点E，交边于点F，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的基本作图，解题的关键是熟练掌握尺规做角平分线和垂直平分线．
18. 某中学计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺、厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表．
样本中选择各技能课程的人数统计表
请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）在调查活动中，学校采取调查方式是 ___________ （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）所抽取样本的样本容量是 ___________ ；
（3）统计表中 ___________ ，扇形统计图中___________ ；
（4）若该校有名学生，则全校有意向选择“养殖”技能课程的人数约为 ___________ ．
【答案】（1）抽样调查
（2）
（3）
（4）人
【解析】
【分析】（1）根据调查的定义即可求解；
（2）利用的人数及其百分比即可求得样本容量；
（3）根据的百分比即可求得的值，的值等于样本容量减去其他的值即可求得，除以样本容量即可求得；
（4）根据抽样调查中选择“养殖”技能课程的百分数即可得到全校选择“养殖”技能课程的人数．
【小问1详解】
解：∵加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，
∴抽查方式为：抽样调查，
故答案为：抽样调查．
【小问2详解】
解：∵所占的百分数是，所占人数为人，
∴所抽取样本的样本容量是：；
故答案为：
【小问3详解】
解：∵所抽取样本总人是：人，所占的百分数为，
∴（人），
∵的人数分别是：，
∴人，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问4详解】
解：∵选择“养殖”技能课程的百分数为：，
∴全校选择“养殖”技能课程的人数为：（人），
故答案为：人．
【点睛】本题考查扇形统计图，明确统计图、表中的数量关系是解题关键．
19. 如图，，交于点E，，点F在线段上，，．连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质求出．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
B卷（共50分）
四、选择填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将20、21、23、24题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．22题有多个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
20. 已知，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，幂的乘方运算，正确把所求式子化为是解题的关键．
21. 已知n为满足是整数的最小正整数，若a为的小数部分，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据n为满足是整数的最小正整数，得出，根据，得出的小数部分是，得出，代入求值即可．
【详解】解：∵n为满足是整数的最小正整数，
∴，
∵，
∴的小数部分是，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，二次根式的混合运算，解题的关键是求出．
22. （多选）对两个整式，进行如下操作：将B加上A，结果为，称为第1次操作；将第1次操作的结果加上，结果为，称为第2次操作；将第2次操作的结果加上，结果为，称为第3次操作；将第3次操作的结果加上，结果为，称为第4次操作；…
下列说法正确有________．
A. 第6次操作的结果为：
B. 第12次操作的结果与第11次操作的结果的差为；
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据，，，，，得出当n为奇数时，，当n为偶数时，，然后逐项判断即可．
【详解】解：根据题意可知：，
，
，
，
，
……
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
∴，故A正确；
∵，
，
∴，故B错误；
∵，
，
∴当时，，
，
∴，故C正确；
，
当时，，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是根据给出的式子，得出当n为奇数时，当n为偶数时，．
23. 如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且．若，，则AE的长为________．

【答案】4
【解析】
【分析】过点作于点F，由角平分线的性质得出，证明，得出，求出，由证明，得出，即可求出结果．
【详解】解：过点作于点F，如图所示：

∵，AD平分交BC于点D，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据证明直角三角形的全等解答．
24. 如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作，连接AB，AC，E是线段AD上的一点，且，连接EB，EC，已知，，则的最小值为________．

【答案】
【解析】
【分析】延长至点，使得，过点作，并在该垂线上截取，可证，得到，因此，当与在同一直线时，为最小，过点作，交的延长线于点F，构造出，利用勾股定理求出的长，从而得到的最小值．
【详解】如图，延长至点，使得，过点作，并在该垂线上截取

∵，且
∴，
∵，
又
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
如下图，当与在同一直线时，为最小
过点作，交的延长线于点F

∵，，
∴四边形为矩形
∴，
∴
∴在中，
∴的最小值为，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查两点之间线段最短，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
五、解答题（25题10分，26题10分，27题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25. 若一个四位自然数各个数位上的数字均不为0，且它的千位数字和十位数字组成的两位数与百位数字和个位数字组成的两位数之和为85，我们称这样的数为“诚勤数”，例如：5314，因为它各个数位上的数字均不为0，且，所以5314是一个“诚勤数”．若一个“诚勤数”的千位数字与百位数字差的5倍与个位数字、十位数字之和为15，我们则称这样的数为“诚勤立达数”．例如：5314是一个“诚勤数”，且，所以5314是一个“诚勤立达数” ．
（1）最大的“诚勤数”是________，最小的“诚勤数”是________；
（2）求出所有的“诚勤立达数”．
【答案】（1），
（2），，，
【解析】
【分析】（1）最大的“诚勤数”千位数字要最大即为7，则百位数字为1，再保证十位数字最大即可；最小的“诚勤数”千位数字要最小即为1，百位数字也要最小即为6，再保证十位数字最小即可；
（2）设一个“诚勤立达数”的千位，百位，十位，个位数字分别为a、b、c、d，则，求出，由此讨论求解即可.
【小问1详解】
解：∵要保证“诚勤数”最大，
∴一定要保证千位数字最大，
∴千位数字最大为7，
∴百位数字为1，
同理此种情形下也要保证十位数字最大，
∴十位数字为4，
∴个位数字为1，
∴最大的“诚勤数”；
∵要保证“诚勤数”最小，
∴一定要保证千位数字最小，
∴千位数字最小为1，
∵也要保证百位数字最小，
∴百位数字为最小为6，
∵也要保证十位数字最小，
∴十位数字为6，
∴个位数字为9，
∴最小的“诚勤数”；
故答案为；，；
【小问2详解】
解：设一个“诚勤立达数”的千位，百位，十位，个位数字分别为a、b、c、d，
∴，
∴，
∴当时，，则，即，不符合题意；
当时，，则，即，
∴此时满足题意得数字可以为，，，；
综上所述，所有的“诚勤立达数” 为，，，.
【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解题意是解题的关键.
26. 为促进节约用水，某地按月实行阶梯水价，价目如下表（表示立方米）
（1）若A居民家4月份共用水，则应交水费为________元；
（2）设月用水量为，当月应交水费为y元．
当时，________（用含有x的式子表示）；
请利用上式计算：若B居民家5月份共交水费120元，则用水量为________；
（3）若C居民家5、6月用水量共（5月份用水量小于6月份用水量），这两个月共交水费174元，则C居民家5、6月用水量分别为多少立方米？
【答案】（1）
（2），32
（3）5月份用水，6月份的用水
【解析】
【分析】（1）根据用户用水情况，根据不同单价计算其应缴纳的水费；
（2）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费关系式，再代值计算即可；
（3）分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，应交水费为元，
故答案为：；
小问2详解】
解：由题意得，，
∴当时，则，解得，
∴若B居民家5月份共交水费120元，则用水量为，
故答案为：，32；
【小问3详解】
解：设C居民家5月份用水，则6月份的用水，
当时，则，
依题意得，
则；
当时，则，
依题意得，
解得，不符合题意，舍去；
当时，则，
，不符合题意
综上所述，C居民家5月份用水，6月份的用水．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程或代数式是解题的关键．
27. 如图1，已知等边，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接．

（1）若，求点D到边的距离；
（2）如图2，过点B作的垂线，分别交，于点E，F，求证：；
（3）如图3，点M，N分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）延长，过点作于点E，根据等边三角形性质求出，，根据等腰直角三角形性质求出，，求出，根据，根据含角的直角三角形性质求出；
（2）在上截取，连接，，证明，得出，根据即可证明结论；
（3）过点A作，截取，连接，过点C作于点E，证明，得出，得出，求出当、M、P三点共线时，最小，然后求出此时的面积即可．
【小问1详解】
解：延长，过点作于点E，如图所示：

∵为等边三角形，
∴，，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点D到边的距离为．
【小问2详解】
解：在上截取，连接，，如图所示：

∵为等边三角形，
∴，，
∵为等腰三角形三角形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：过点A作，截取，连接，过点C作于点E，如图所示：

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当、M、P三点共线时，最小，
根据（2）可知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形面积的计算，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
技能课程
人数
：剪纸
：陶艺
：厨艺
：刺绣
：养殖
阶梯
月用水量（）
单价（元）
第一阶梯
不超过22部分
3
第二阶梯
超过22但不超过30的部分
5
第三阶梯
超过30的部分
7