2024年高考数学第一轮复习讲义第十三章13.1　坐标系(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第十三章13.1　坐标系(学生版+解析)，共16页。

考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
知识梳理
1．伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：____________________________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和以射线Ox为始边，射线OM为终边的角θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．ρ称为点M的________，θ称为点M的________．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
________________或____________________这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )
(4)tan θ＝1与θ＝eq \f(π,4)表示同一条曲线．( )
教材改编题
1．点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(5π,6)))，则点M的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，3\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\r(3)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，3\r(3)))
2．在极坐标系中，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))到直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1的距离为( )
A．2 B．1 C．3 D.eq \r(3)－1
3．将直角坐标方程(x－3)2＋y2＝9化为极坐标方程为____________．
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)已知点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,3)))，则点M的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2\r(3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，－2))
听课记录：_______________________________________________________________________
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(2)点M的直角坐标是(－1，eq \r(3))，则点M的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,3)))
听课记录：_______________________________________________________________________
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思维升华 (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时，常先通过变形，构造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的式子，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
跟踪训练1 (1)若点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，那么它的极坐标可表示为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))
(2)在极坐标系中，已知两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，则线段AB的长为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D．2
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 已知圆心C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．
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思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)将已知条件转化到直角坐标系中．
(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程．
(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程．
跟踪训练2 已知圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，直线l过坐标原点O，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ，θ))＝0；
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(2)设直线l与圆C交于A，B两点，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(7)时，求直线l的极坐标方程．
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题型三 极坐标方程的应用
例3 在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcs θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
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思维升华 极坐标方程及其应用的解题策略
(1)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．
(2)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．
跟踪训练3 已知曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－2))2＝8，以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
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(2)设射线l1：θ＝eq \f(π,3)，l2：θ＝eq \f(π,6).若l1，l2分别与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△ABO的面积．
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________________________________________________________________________曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
圆心为(r,0)，半径为r的圆
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线
§13.1 坐标系
考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
知识梳理
1．伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和以射线Ox为始边，射线OM为终边的角θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0，))这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( √ )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × )
(4)tan θ＝1与θ＝eq \f(π,4)表示同一条曲线．( × )
教材改编题
1．点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(5π,6)))，则点M的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，3\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\r(3)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，3\r(3)))
答案 B
解析 设点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，
故x＝ρcs θ＝6×cs eq \f(5π,6)＝－3eq \r(3)，
y＝ρsin θ＝6×sin eq \f(5π,6)＝3.
故点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\r(3)，3)).
2．在极坐标系中，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))到直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1的距离为( )
A．2 B．1 C．3 D.eq \r(3)－1
答案 A
解析 点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，
直线的极坐标方程可化为ρsin θ＋eq \r(3)ρcs θ－2＝0，转化为直角坐标方程为eq \r(3)x＋y－2＝0，
则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))到直线eq \r(3)x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)＋\f(3,2)－2)),\r(3＋1))＝2.
3．将直角坐标方程(x－3)2＋y2＝9化为极坐标方程为____________．
答案 ρ＝6cs θ
解析 由(x－3)2＋y2＝9，
得x2－6x＋9＋y2＝9，
即x2＋y2－6x＝0，
则极坐标方程为ρ2－6ρcs θ＝0，
即ρ＝6cs θ.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)已知点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,3)))，则点M的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2\r(3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，－2))
答案 A
解析 由4cs eq \f(π,3)＝2,4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，可得点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2\r(3))).
(2)点M的直角坐标是(－1，eq \r(3))，则点M的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,3)))
答案 B
解析 设点M的极坐标为(ρ，θ)，θ∈[0,2π)，则ρ＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，故sin θ＝eq \f(\r(3),2)，cs θ＝－eq \f(1,2)，故θ＝eq \f(2π,3)，故点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))).
思维升华 (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时，常先通过变形，构造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的式子，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
跟踪训练1 (1)若点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，那么它的极坐标可表示为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))
答案 D
解析 因为点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，位于第一象限，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))
所以ρ＝eq \r(x2＋y2)＝2，
又tan θ＝eq \f(y,x)＝1，
所以θ＝eq \f(π,4)，
所以它的极坐标可表示为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4))).
(2)在极坐标系中，已知两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，则线段AB的长为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2) C．1 D．2
答案 C
解析 设极点为O，在极坐标系中，已知两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，则|AB|＝||OA|－|OB||＝1.
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 已知圆心C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．
解 (1)圆心C的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，
设圆C的直角坐标方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\r(2)))2＝r2，
依题意可知r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\r(2)))2＝4，
故圆C的直角坐标方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\r(2)))2＝4，
化为极坐标方程为ρ2－2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ))＝0，
即ρ＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ)).
(2)在x2＋y2－2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))＝0中，
令y＝0，得x2－2eq \r(2)x＝0，
解得x＝0或x＝2eq \r(2)，
则圆C与x轴的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，0))，
由于直线过圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，0))，
则该直线的直角坐标方程为
y－0＝eq \f(\r(2)－0,\r(2)－2\r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2\r(2)))，
即x＋y－2eq \r(2)＝0，即该直线的极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ－2eq \r(2)＝0.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)将已知条件转化到直角坐标系中．
(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程．
(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程．
跟踪训练2 已知圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，直线l过坐标原点O，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ，θ))＝0；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(7)时，求直线l的极坐标方程．
解 (1)将圆C的直角坐标方程x2＋y2－2x－2y－7＝0，转化为极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－2ρsin θ－7＝0，所以圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－2ρsin θ－7＝0.
(2)因为直线l过坐标原点O，所以直线l的极坐标方程为θ＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ∈R))，其中α为直线l的倾斜角，由于直线l与圆C相交，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρcs θ－2ρsin θ－7＝0，,θ＝α，))
消去θ整理得ρ2－2(cs α＋sin α)ρ－7＝0，
设A，B两点对应的极径为ρ1，ρ2，
则ρ1＋ρ2＝2(cs α＋sin α)，ρ1ρ2＝－7，
因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(7)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ρ1－ρ2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ1＋ρ2))2－4ρ1ρ2)
＝eq \r(4sin 2α＋32)＝2eq \r(7)，
整理得sin 2α＝－1，
又0≤α<π，所以0≤2α<2π，
所以2α＝eq \f(3π,2)，即α＝eq \f(3π,4)，
所以直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(3π,4)(ρ∈R)．
题型三 极坐标方程的应用
例3 在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcs θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解 (1)由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，
所以eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq \f(4,3)或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－eq \f(4,3)时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，
所以eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq \f(4,3).
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝eq \f(4,3)时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－eq \f(4,3)|x|＋2.
思维升华 极坐标方程及其应用的解题策略
(1)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．
(2)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．
跟踪训练3 已知曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－2))2＝8，以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设射线l1：θ＝eq \f(π,3)，l2：θ＝eq \f(π,6).若l1，l2分别与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△ABO的面积．
解 (1)由(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－2))2＝8得x2＋y2－4x－4y＝0，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ)) 代入上式化简，
得ρ＝4cs θ＋4sin θ，
即曲线C的极坐标方程为ρ＝4cs θ＋4sin θ.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝\f(π,3)，,ρ＝4cs θ＋4sin θ，)) 得|OA|＝2＋2eq \r(3)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝\f(π,6)，,ρ＝4cs θ＋4sin θ，))得|OB|＝2＋2eq \r(3)，
又∠AOB＝eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，
则S△ABO＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|·sin∠AOB＝4＋2eq \r(3).
课时精练
1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1(0≤θ<2π)，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解 (1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1得
ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ＋\f(\r(3),2)sin θ))＝1.
从而曲线C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1，
即x＋eq \r(3)y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝eq \f(π,2)时，ρ＝eq \f(2\r(3),3)，
所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(2)M点的直角坐标为(2,0)，
N点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).
所以P点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
则P点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．
2．在极坐标系下，已知圆C：ρ＝cs θ＋sin θ和直线l：x－y＋2＝0.
(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的极坐标方程；
(2)求圆C上的点到直线l的最短距离．
解 (1)圆C：ρ＝cs θ＋sin θ，
即ρ2＝ρcs θ＋ρsin θ，
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0；
直线l：x－y＋2＝0，则直线l的极坐标方程为ρcs θ－ρsin θ＋2＝0.
(2)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(1,2)，
所以圆心C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，半径为eq \f(\r(2),2)，
因为圆心C到直线l的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2)＋2)),\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))2))＝eq \r(2)，因此圆C上的点到直线l的最短距离为eq \r(2)－eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋y2－4x＝0，点P为曲线C1上任意一点，记线段OP的中点Q的轨迹为曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)若点M，N分别是曲线C1和C2上的点，且OM⊥ON，证明：|OM|2＋4|ON|2为定值．
(1)解 曲线C1的方程为x2＋y2－4x＝0，
根据eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，,x2＋y2＝ρ2，))
可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cs θ，
设P(ρ，θ)，Q(ρ′，θ)，则ρ′＝eq \f(1,2)ρ，
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
(2)证明 设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，
则ρ1＝4cs θ1，ρ2＝2cs θ2，
因为OM⊥ON，所以θ1＝θ2±eq \f(π,2)，
所以|OM|2＋4|ON|2＝ρeq \\al(2,1)＋4ρeq \\al(2,2)＝16cs2θ1＋16cs2θ2＝16sin2θ2＋16cs2θ2＝16.
所以|OM|2＋4|ON|2为定值16.
4.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq \r(3)，求P的极坐标．
解 (1)由题设可得，，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cs θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cs θ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,4)))，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤θ≤\f(3π,4)))，
M3的极坐标方程为ρ＝－2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)≤θ≤π)).
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤eq \f(π,4)，则2cs θ＝eq \r(3)，
解得θ＝eq \f(π,6)；
若eq \f(π,4)≤θ≤eq \f(3π,4)，则2sin θ＝eq \r(3)，
解得θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(2π,3)；
若eq \f(3π,4)≤θ≤π，则－2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(5π,6).
综上，P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,6)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(2π,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(5π,6))).
5．在平面直角坐标系xOy中，圆C1的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，半径为1，圆C1与圆C2关于直线y＝x对称．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C1与圆C2的极坐标方程；
(2)设M，N分别是圆C1和圆C2上的两个动点，且∠MON＝eq \f(2π,3)，求△MON面积的最大值．
解 (1)因为圆C1的圆心为(0,1)，半径为1，圆C1与圆C2关于直线y＝x对称，
所以圆C2的圆心为(1,0)，半径为1，
所以圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，
圆C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，
圆C2的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
(2)设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ1，θ＋\f(2π,3)))，N(ρ2，θ)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
因为θ＋eq \f(2π,3)∈(0，π)，
所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,3)))，
所以S△MON＝eq \f(1,2)ρ1ρ2sin eq \f(2π,3)＝eq \f(1,2)×2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))×2cs θsin eq \f(2π,3)
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))cs θ＝eq \f(3,2)cs2θ－eq \f(\r(3),2)sin θcs θ＝eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))＋eq \f(3,4)，
因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,3)))，
所以2θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，\f(5π,6)))，
所以S△MON＝eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))＋eq \f(3,4)≤eq \f(3,4)＋eq \f(\r(3),2)，当且仅当2θ＋eq \f(π,6)＝0，即θ＝－eq \f(π,12)时，等号成立．
所以△MON面积的最大值为eq \f(3,4)＋eq \f(\r(3),2).曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)≤θ<\f(π,2)))
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcs θ＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))
过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0<θ<π)