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2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.5 椭 圆(学生版+解析)
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这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.5 椭 圆(学生版+解析)，共25页。
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
2．椭圆的标准方程和简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
教材改编题
1．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A．6 B．3 C．4 D．2
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
3．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
听课记录：____________________________________________________________________
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(2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
听课记录：____________________________________________________________________
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延伸探究 若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
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思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为( )
A．4 B．8 C．10 D．20
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 (2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2), F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,60)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,60)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
听课记录：____________________________________________________________________
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则该椭圆的方程为________________．
听课记录：____________________________________________________________________
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
跟踪训练2 (1)“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2022·南京师大附中模拟)已知过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 (1)(2022·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(3)－1 C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
听课记录：____________________________________________________________________
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(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
听课记录：____________________________________________________________________
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思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例5 (1)(2023·长沙模拟)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为eq \f(1,2)，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
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(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
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思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3 (1)(2023·镇江模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于点B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),5)
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
范围
顶点
轴长
短轴长为______，长轴长为______
焦点
焦距
|F1F2|＝________
对称性
对称轴：________，对称中心：______
离心率
a，b，c的关系
§9.5 椭 圆
考试要求 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( × )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
教材改编题
1．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A．6 B．3 C．4 D．2
答案 A
解析 由椭圆方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
答案 C
解析 由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2eq \r(2)，
则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
3．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
答案 A
解析 由题意知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
答案 A
解析 设动圆P的半径为r，
又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，
则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，
可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．
(2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 方法一 由题意知，c＝eq \r(a2－4).
又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，
∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－
2|PF1||PF2|cs 60°
＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，
∴|PF1||PF2|＝eq \f(16,3)，
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(4\r(3),3).
方法二 由题意得b2＝4，∠F1PF2＝60°，∴＝4×tan 30°＝eq \f(4\r(3),3).
延伸探究 若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
解 ∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)
＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝4.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)
B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0)
D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
答案 A
解析 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，
∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
又8>4，
∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b2＝12，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)．
(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为( )
A．4 B．8 C．10 D．20
答案 D
解析 如图，设F1为椭圆C的左焦点，
则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，
当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，
当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，
所以△ABF周长的最大值为20.
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 (2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2), F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,60)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,60)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
答案 D
解析 由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2eq \r(3)，
焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则该椭圆的方程为________________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
将P1，P2代入方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))
所以椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
跟踪训练2 (1)“1A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当方程eq \f(x2,k－1)＋eq \f(y2,5－k)＝1表示椭圆时，必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－1>0，,5－k>0，,k－1≠5－k，))所以1当1即“1(2)(2022·南京师大附中模拟)已知过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 B
解析 如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，
得C为AF1的中点，F1为BC的中点，
所以x0＝1，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
解得y0＝eq \f(b2,a)，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(b2,a)))，
所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2,2a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(b2,2a)))，
将点B的坐标代入椭圆方程得eq \f(4,a2)＋eq \f(\f(b4,4a2),b2)＝1，
即eq \f(4,a2)＋eq \f(b2,4a2)＝1，
结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4，
所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 (1)(2022·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 因为过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，
因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|cs 30°＝eq \r(3)c，|PF2|＝|F1F2|·sin 30°＝c，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1，
所以椭圆E的离心率为eq \r(3)－1.
(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
所以kAP·kAQ＝eq \f(n,m＋a)·eq \f(n,－m＋a)＝eq \f(n2,a2－m2)＝eq \f(1,4).(*)
因为点P在椭圆C上，
所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1，得n2＝eq \f(b2,a2)(a2－m2)，
代入(*)式，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例5 (1)(2023·长沙模拟)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为eq \f(1,2)，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 A
解析 如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大，
∴|MO|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c，
∴sin∠OMF2＝eq \f(|OF2|,|MF2|)＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
∴∠OMF2＝eq \f(π,6)，
故∠F1MF2＝eq \f(π,3)，
所以∠F1MF2的最大值为eq \f(π,3).
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 4
解析 由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
设P点的坐标为(x0，y0)，－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3)，
代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得yeq \\al(2,0)＝3－eq \f(3,4)xeq \\al(2,0).
因为F(－1,0)，A(2,0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，
eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，
所以当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))取得最大值4.
思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3 (1)(2023·镇江模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于点B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),5)
答案 D
解析 由题意|AF1|＝|AF2|＝a，
设|BF1|＝t，则|BF2|＝2a－t，
又以AB为直径的圆过F2，
所以AF2⊥BF2，
所以a2＋(2a－t)2＝(a＋t)2，
解得t＝eq \f(2,3)a，
所以|BF2|＝eq \f(4,3)a，
在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得
cs∠AF1F2＝eq \f(c,a)，
cs∠BF1F2＝eq \f(4c2＋\f(4,9)a2－\f(16,9)a2,2·2c·\f(2,3)a)＝eq \f(3c2－a2,2ac)，
因为∠AF1F2＋∠BF1F2＝180°，
所以cs∠AF1F2＋cs∠BF1F2＝0，
即eq \f(c,a)＋eq \f(3c2－a2,2ac)＝0，
整理得a2＝5c2，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5).
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
答案 C
解析 取AP的中点Q，则eq \(FQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))，
所以(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(FQ,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝eq \r(b2＋c2)＝a.
因为点P在直线x＝eq \f(a2,c)上，
所以|FP|≥eq \f(a2,c)－c，即a≥eq \f(a2,c)－c，
所以eq \f(a,c)≥eq \f(a2,c2)－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥eq \f(\r(5)－1,2)或e≤eq \f(－\r(5)－1,2).
又0＜e＜1，故eq \f(\r(5)－1,2)≤e＜1.
课时精练
1．(2023·昆明模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1得a＝2.
因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，
所以|MF1|＋|MF2|＝2a，|NF1|＋|NF2|＝2a，
因此△F1MN的周长为|MF1|＋|MN|＋|NF1|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a＝8.
2．(2022·贵阳模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，|PF1|＝eq \r(3)|PF2|，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3)－1,4) B.eq \f(\r(3)－1,2) C.eq \f(\r(3)＋1,4) D.eq \f(\r(3)＋1,3)
答案 B
解析 令|PF2|＝m，则|PF1|＝eq \r(3)m，
∴|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)m＝2a，
得a＝eq \f(\r(3)＋1m,2)，
又由余弦定理知，(2c)2＝(eq \r(3)m)2＋m2－2·eq \r(3)m·m·cs 30°，
即4c2＝m2，
∴m＝2c，得c＝eq \f(m,2)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(m,\r(3)＋1m)＝eq \f(\r(3)－1,2).
3．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(―→))·eq \(BA2,\s\up6(―→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1
答案 B
解析 依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，
所以eq \(BA1,\s\up6(―→))＝(－a，－b)，eq \(BA2,\s\up6(―→))＝(a，－b)，
eq \(BA1,\s\up6(―→))·eq \(BA2,\s\up6(―→))＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，
又C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,3)，
所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
所以C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．(2023·濮阳模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
答案 A
解析 设椭圆的半焦距为c，
由椭圆的中心对称性和M，F1，N，F2四点共圆，
知四边形MF1NF2为矩形，
所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，
则c>b，即c2>b2＝a2－c2，
所以2c2>a2，
故eq \f(\r(2),2)5.(2022·重庆模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2)))角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝eq \f(π,3)，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)
C．椭圆的标准方程可以是eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4－2eq \r(3)
答案 D
解析 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的射影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝eq \f(π,3)得2a＝eq \f(4,cs θ)＝8，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则c＝eq \r(a2－b2)＝2eq \r(3)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，B不正确；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1，C不正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2eq \r(3)，D正确．
6．(2022·白山模拟)椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下四个命题中不正确的是( )
A．若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0
C．椭圆C的离心率为eq \f(1,2)
D．若P为椭圆C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q间的最大距离为3
答案 C
解析 由椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，
过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确；
因为c>b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，即使得eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0，故B正确；
椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，故C错误；
因为P为椭圆C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，当P(2,0)，Q(－1,0)或P(－2,0)，Q(1,0)时，点P，Q间的距离最大，|PQ|max＝2＋1＝3，故D正确．
7．(2022·天津模拟)已知B(－eq \r(3)，0)是圆A：(x－eq \r(3))2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为________________．
答案 eq \f(x2,4)＋y2＝1
解析 如图，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4>2eq \r(3)＝|AB|，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±eq \r(3)，0)，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故动点D的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
8．(2023·平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为____________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．
答案 eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 1
解析 因为椭圆C的一个焦点为F(0,1)，所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1，
因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2，
因为b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1；
将M(3,3)代入椭圆方程，得eq \f(32,4)＋eq \f(32,3)＝eq \f(63,12)>1，所以M点在椭圆外，
如图所示，设椭圆C的另一个焦点为F′，
则|PF|＋|PF′|＝4，
所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4.
当F′，P，M三点共线时，|PM|＋|PF′|取得最小值，
且最小值为|MF′|＝eq \r(3－02＋3＋12)＝5，
所以|PM|－|PF|的最小值为1.
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，求椭圆C的标准方程．
解 (1)由题意得，A(－a,0)，
直线EF2的方程为x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b，
即eq \f(|－a－c|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(6),2)b，所以a＋c＝eq \r(3)b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝eq \f(1,2)或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2c，①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，
则eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \r(3)，
所以|PF1||PF2|＝4，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝2c2，))
得a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解 不妨设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，
即eq \f(4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝eq \f(4b2,3).
又因为|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以eq \f(c,a)≥eq \f(1,2)，
所以e≥eq \f(1,2).
又因为0所以所求椭圆的离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
(2)证明 由(1)可知|PF1|·|PF2|＝eq \f(4b2,3)，
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin 60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(4b2,3)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(\r(3)b2,3)，
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
11.(2023·长沙模拟)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论不正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆
D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
答案 B
解析 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确；
eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(1－e,1＋e)＝eq \f(2,1＋e)－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度更慢，根据面积守恒定律，则运行时间更长，D正确．
12．(2022·邯郸模拟)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为________．
答案 eq \r(15)
解析 由题意可得a＝3，b＝eq \r(5)，c＝eq \r(9－5)＝2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－2c＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，所以cs∠PF2F1＝eq \f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝eq \f(16＋16－4,2×4×4)＝eq \f(7,8)，
所以sin∠PF2F1＝eq \r(1－cs2∠PF2F1)＝eq \f(\r(15),8)，
故△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1＝eq \r(15).
13．(2023·青岛模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，y0))为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )
A．△MF1F2的周长为4
B．△MF1F2的面积为eq \f(\r(15),2)
C．△MF1F2的内切圆的半径为eq \f(\r(15),9)
D．△MF1F2的外接圆的直径为eq \f(32,11)
答案 C
解析 椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，
因为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，y0))为椭圆C上一点，
所以eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2,4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，
解得|y0|＝eq \f(\r(15),3)，
所以|MF1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),3)))2)＝eq \f(8,3)，|MF2|＝4－eq \f(8,3)＝eq \f(4,3).
△MF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，A错误；
△MF1F2的面积为eq \f(1,2)×2c×|y0|＝c×|y0|＝1×eq \f(\r(15),3)＝eq \f(\r(15),3)，B错误；
设△MF1F2的内切圆的半径为r，则eq \f(1,2)×6×r＝eq \f(\r(15),3)，解得r＝eq \f(\r(15),9)，C正确；
cs∠F1MF2＝eq \f(\f(64,9)＋\f(16,9)－4,2×\f(8,3)×\f(4,3))＝eq \f(11,16)>0，
所以∠F1MF2为锐角，
则sin∠F1MF2＝eq \r(1－cs2∠F1MF2)
＝eq \f(3\r(15),16)，
所以△MF1F2的外接圆的直径为eq \f(|F1F2|,sin∠F1MF2)＝eq \f(2,\f(3\r(15),16))＝eq \f(32,3\r(15))＝eq \f(32\r(15),45)，D错误．
14.甲、乙两名探险家在某山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A，B两点处，甲站在A处唱歌时，乙在与A处有一定距离的B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点．现已知椭圆C：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1上一点M，过点M作切线l，A，B分别为椭圆C的左、右焦点，cs∠AMB＝－eq \f(1,4)，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为________．
答案 eq \f(5\r(6),2)
解析 如图，过M作切线l的垂线交AB于N，过A，O，B分别作l垂线交l于A1，O1，B1，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，
则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，
因为cs∠AMB＝－eq \f(1,4)，
故cs(π－∠AMB)＝cs 2∠AMA1＝1－2sin2∠AMA1＝eq \f(1,4)，
所以sin∠AMA1＝eq \f(\r(6),4)，
|OO1|＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq \f(1,2)(|AM|sin∠AMA1＋|BM|sin∠BMB1)＝eq \f(1,2)×20×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(5\r(6),2).
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
2．椭圆的标准方程和简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
教材改编题
1．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A．6 B．3 C．4 D．2
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
3．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
听课记录：____________________________________________________________________
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(2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
听课记录：____________________________________________________________________
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延伸探究 若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
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思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为( )
A．4 B．8 C．10 D．20
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 (2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2), F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,60)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,60)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
听课记录：____________________________________________________________________
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则该椭圆的方程为________________．
听课记录：____________________________________________________________________
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
跟踪训练2 (1)“1
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2022·南京师大附中模拟)已知过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 (1)(2022·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(3)－1 C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
听课记录：____________________________________________________________________
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(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
听课记录：____________________________________________________________________
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思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例5 (1)(2023·长沙模拟)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为eq \f(1,2)，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
听课记录：____________________________________________________________________
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(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
听课记录：____________________________________________________________________
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思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3 (1)(2023·镇江模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于点B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),5)
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
范围
顶点
轴长
短轴长为______，长轴长为______
焦点
焦距
|F1F2|＝________
对称性
对称轴：________，对称中心：______
离心率
a，b，c的关系
§9.5 椭 圆
考试要求 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( × )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
教材改编题
1．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A．6 B．3 C．4 D．2
答案 A
解析 由椭圆方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
答案 C
解析 由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2eq \r(2)，
则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
3．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
答案 A
解析 由题意知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
答案 A
解析 设动圆P的半径为r，
又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，
则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，
可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．
(2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 方法一 由题意知，c＝eq \r(a2－4).
又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，
|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，
∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－
2|PF1||PF2|cs 60°
＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，
∴|PF1||PF2|＝eq \f(16,3)，
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(4\r(3),3).
方法二 由题意得b2＝4，∠F1PF2＝60°，∴＝4×tan 30°＝eq \f(4\r(3),3).
延伸探究 若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
解 ∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)
＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝4.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)
B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0)
D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
答案 A
解析 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，
∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
又8>4，
∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b2＝12，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)．
(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为( )
A．4 B．8 C．10 D．20
答案 D
解析 如图，设F1为椭圆C的左焦点，
则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，
当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，
当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，
所以△ABF周长的最大值为20.
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 (2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2), F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,60)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,60)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
答案 D
解析 由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2eq \r(3)，
焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则该椭圆的方程为________________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
将P1，P2代入方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))
所以椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
跟踪训练2 (1)“1
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当方程eq \f(x2,k－1)＋eq \f(y2,5－k)＝1表示椭圆时，必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－1>0，,5－k>0，,k－1≠5－k，))所以1
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 B
解析 如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，
得C为AF1的中点，F1为BC的中点，
所以x0＝1，
所以eq \f(1,a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
解得y0＝eq \f(b2,a)，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(b2,a)))，
所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2,2a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(b2,2a)))，
将点B的坐标代入椭圆方程得eq \f(4,a2)＋eq \f(\f(b4,4a2),b2)＝1，
即eq \f(4,a2)＋eq \f(b2,4a2)＝1，
结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4，
所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 (1)(2022·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(3)－1
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 因为过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，
因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|cs 30°＝eq \r(3)c，|PF2|＝|F1F2|·sin 30°＝c，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1，
所以椭圆E的离心率为eq \r(3)－1.
(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
所以kAP·kAQ＝eq \f(n,m＋a)·eq \f(n,－m＋a)＝eq \f(n2,a2－m2)＝eq \f(1,4).(*)
因为点P在椭圆C上，
所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1，得n2＝eq \f(b2,a2)(a2－m2)，
代入(*)式，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例5 (1)(2023·长沙模拟)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为eq \f(1,2)，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 A
解析 如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大，
∴|MO|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c，
∴sin∠OMF2＝eq \f(|OF2|,|MF2|)＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
∴∠OMF2＝eq \f(π,6)，
故∠F1MF2＝eq \f(π,3)，
所以∠F1MF2的最大值为eq \f(π,3).
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 4
解析 由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
设P点的坐标为(x0，y0)，－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3)，
代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得yeq \\al(2,0)＝3－eq \f(3,4)xeq \\al(2,0).
因为F(－1,0)，A(2,0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，
eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，
所以eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2，
所以当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))取得最大值4.
思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3 (1)(2023·镇江模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于点B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),5)
答案 D
解析 由题意|AF1|＝|AF2|＝a，
设|BF1|＝t，则|BF2|＝2a－t，
又以AB为直径的圆过F2，
所以AF2⊥BF2，
所以a2＋(2a－t)2＝(a＋t)2，
解得t＝eq \f(2,3)a，
所以|BF2|＝eq \f(4,3)a，
在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得
cs∠AF1F2＝eq \f(c,a)，
cs∠BF1F2＝eq \f(4c2＋\f(4,9)a2－\f(16,9)a2,2·2c·\f(2,3)a)＝eq \f(3c2－a2,2ac)，
因为∠AF1F2＋∠BF1F2＝180°，
所以cs∠AF1F2＋cs∠BF1F2＝0，
即eq \f(c,a)＋eq \f(3c2－a2,2ac)＝0，
整理得a2＝5c2，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5).
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
答案 C
解析 取AP的中点Q，则eq \(FQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))，
所以(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(FQ,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝eq \r(b2＋c2)＝a.
因为点P在直线x＝eq \f(a2,c)上，
所以|FP|≥eq \f(a2,c)－c，即a≥eq \f(a2,c)－c，
所以eq \f(a,c)≥eq \f(a2,c2)－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥eq \f(\r(5)－1,2)或e≤eq \f(－\r(5)－1,2).
又0＜e＜1，故eq \f(\r(5)－1,2)≤e＜1.
课时精练
1．(2023·昆明模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1得a＝2.
因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，
所以|MF1|＋|MF2|＝2a，|NF1|＋|NF2|＝2a，
因此△F1MN的周长为|MF1|＋|MN|＋|NF1|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a＝8.
2．(2022·贵阳模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，|PF1|＝eq \r(3)|PF2|，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3)－1,4) B.eq \f(\r(3)－1,2) C.eq \f(\r(3)＋1,4) D.eq \f(\r(3)＋1,3)
答案 B
解析 令|PF2|＝m，则|PF1|＝eq \r(3)m，
∴|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)m＝2a，
得a＝eq \f(\r(3)＋1m,2)，
又由余弦定理知，(2c)2＝(eq \r(3)m)2＋m2－2·eq \r(3)m·m·cs 30°，
即4c2＝m2，
∴m＝2c，得c＝eq \f(m,2)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(m,\r(3)＋1m)＝eq \f(\r(3)－1,2).
3．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(―→))·eq \(BA2,\s\up6(―→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1
答案 B
解析 依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，
所以eq \(BA1,\s\up6(―→))＝(－a，－b)，eq \(BA2,\s\up6(―→))＝(a，－b)，
eq \(BA1,\s\up6(―→))·eq \(BA2,\s\up6(―→))＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，
又C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,3)，
所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
所以C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．(2023·濮阳模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
答案 A
解析 设椭圆的半焦距为c，
由椭圆的中心对称性和M，F1，N，F2四点共圆，
知四边形MF1NF2为矩形，
所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，
则c>b，即c2>b2＝a2－c2，
所以2c2>a2，
故eq \f(\r(2),2)
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)
C．椭圆的标准方程可以是eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4－2eq \r(3)
答案 D
解析 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的射影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝eq \f(π,3)得2a＝eq \f(4,cs θ)＝8，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则c＝eq \r(a2－b2)＝2eq \r(3)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，B不正确；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1，C不正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2eq \r(3)，D正确．
6．(2022·白山模拟)椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下四个命题中不正确的是( )
A．若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0
C．椭圆C的离心率为eq \f(1,2)
D．若P为椭圆C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q间的最大距离为3
答案 C
解析 由椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，
过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确；
因为c>b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，即使得eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0，故B正确；
椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，故C错误；
因为P为椭圆C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，当P(2,0)，Q(－1,0)或P(－2,0)，Q(1,0)时，点P，Q间的距离最大，|PQ|max＝2＋1＝3，故D正确．
7．(2022·天津模拟)已知B(－eq \r(3)，0)是圆A：(x－eq \r(3))2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为________________．
答案 eq \f(x2,4)＋y2＝1
解析 如图，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4>2eq \r(3)＝|AB|，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±eq \r(3)，0)，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故动点D的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
8．(2023·平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为____________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．
答案 eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 1
解析 因为椭圆C的一个焦点为F(0,1)，所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1，
因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2，
因为b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1；
将M(3,3)代入椭圆方程，得eq \f(32,4)＋eq \f(32,3)＝eq \f(63,12)>1，所以M点在椭圆外，
如图所示，设椭圆C的另一个焦点为F′，
则|PF|＋|PF′|＝4，
所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4.
当F′，P，M三点共线时，|PM|＋|PF′|取得最小值，
且最小值为|MF′|＝eq \r(3－02＋3＋12)＝5，
所以|PM|－|PF|的最小值为1.
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，求椭圆C的标准方程．
解 (1)由题意得，A(－a,0)，
直线EF2的方程为x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b，
即eq \f(|－a－c|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(6),2)b，所以a＋c＝eq \r(3)b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝eq \f(1,2)或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2c，①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，
则eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \r(3)，
所以|PF1||PF2|＝4，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°＝2c2，))
得a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解 不妨设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，
即eq \f(4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝eq \f(4b2,3).
又因为|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以eq \f(c,a)≥eq \f(1,2)，
所以e≥eq \f(1,2).
又因为0
(2)证明 由(1)可知|PF1|·|PF2|＝eq \f(4b2,3)，
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin 60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(4b2,3)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(\r(3)b2,3)，
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
11.(2023·长沙模拟)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论不正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆
D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
答案 B
解析 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确；
eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(1－e,1＋e)＝eq \f(2,1＋e)－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度更慢，根据面积守恒定律，则运行时间更长，D正确．
12．(2022·邯郸模拟)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为________．
答案 eq \r(15)
解析 由题意可得a＝3，b＝eq \r(5)，c＝eq \r(9－5)＝2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－2c＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，所以cs∠PF2F1＝eq \f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝eq \f(16＋16－4,2×4×4)＝eq \f(7,8)，
所以sin∠PF2F1＝eq \r(1－cs2∠PF2F1)＝eq \f(\r(15),8)，
故△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1＝eq \r(15).
13．(2023·青岛模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，y0))为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )
A．△MF1F2的周长为4
B．△MF1F2的面积为eq \f(\r(15),2)
C．△MF1F2的内切圆的半径为eq \f(\r(15),9)
D．△MF1F2的外接圆的直径为eq \f(32,11)
答案 C
解析 椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，
因为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，y0))为椭圆C上一点，
所以eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2,4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，
解得|y0|＝eq \f(\r(15),3)，
所以|MF1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),3)))2)＝eq \f(8,3)，|MF2|＝4－eq \f(8,3)＝eq \f(4,3).
△MF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，A错误；
△MF1F2的面积为eq \f(1,2)×2c×|y0|＝c×|y0|＝1×eq \f(\r(15),3)＝eq \f(\r(15),3)，B错误；
设△MF1F2的内切圆的半径为r，则eq \f(1,2)×6×r＝eq \f(\r(15),3)，解得r＝eq \f(\r(15),9)，C正确；
cs∠F1MF2＝eq \f(\f(64,9)＋\f(16,9)－4,2×\f(8,3)×\f(4,3))＝eq \f(11,16)>0，
所以∠F1MF2为锐角，
则sin∠F1MF2＝eq \r(1－cs2∠F1MF2)
＝eq \f(3\r(15),16)，
所以△MF1F2的外接圆的直径为eq \f(|F1F2|,sin∠F1MF2)＝eq \f(2,\f(3\r(15),16))＝eq \f(32,3\r(15))＝eq \f(32\r(15),45)，D错误．
14.甲、乙两名探险家在某山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A，B两点处，甲站在A处唱歌时，乙在与A处有一定距离的B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点．现已知椭圆C：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1上一点M，过点M作切线l，A，B分别为椭圆C的左、右焦点，cs∠AMB＝－eq \f(1,4)，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为________．
答案 eq \f(5\r(6),2)
解析 如图，过M作切线l的垂线交AB于N，过A，O，B分别作l垂线交l于A1，O1，B1，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，
则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，
因为cs∠AMB＝－eq \f(1,4)，
故cs(π－∠AMB)＝cs 2∠AMA1＝1－2sin2∠AMA1＝eq \f(1,4)，
所以sin∠AMA1＝eq \f(\r(6),4)，
|OO1|＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq \f(1,2)(|AM|sin∠AMA1＋|BM|sin∠BMB1)＝eq \f(1,2)×20×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(5\r(6),2).
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0
a2＝b2＋c2
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