2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.3　圆的方程(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.3　圆的方程(学生版+解析)，共19页。

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．( )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
教材改编题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
3．下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是( )
A．(0,3) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
题型一 圆的方程
例1 (1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________.
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________________．
听课记录：_____________________________________________________________________
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思维升华 求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为________．
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
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思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 (2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝eq \r(2)|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
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题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3 (2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
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命题点2 利用函数求最值
例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
延伸探究 若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是( )
A．6 B．25 C．26 D．36
(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则eq \f(y,x＋1)的最大值为________．定义
平面上到________的距离等于______的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C________
半径为________
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心C__________
半径r＝______________
§9.3 圆的方程
考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．( × )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
教材改编题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
答案 B
解析 由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，
得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，
由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.
3．下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是( )
A．(0,3) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
答案 D
解析 由(0－1)2＋(3＋2)2>25知(0,3)在圆外；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上；由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圆内.
题型一 圆的方程
例1 (1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为_______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________.
答案 (x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25)
解析 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－4，,E＝－6，))满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－4，,E＝－2，))满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－\f(8,3)，,E＝－\f(14,3)，))满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－eq \f(8,3)x－eq \f(14,3)y＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)；
若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋1－D＋E＋F＝0，,16＋4D＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝－\f(16,5)，,D＝－\f(16,5)，,E＝－2，))满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为
x2＋y2－eq \f(16,5)x－2y－eq \f(16,5)＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25).
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 方法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b－1＝0，,3－a2＋b2＝r2，,a2＋1－b2＝r2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，,r2＝5，))
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－1＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝2，,F＝－3，))
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
则kAB＝eq \f(1－0,0－3)＝－eq \f(1,3)，AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))，
∴AB的垂直平分线方程为y－eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，即3x－y－4＝0.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－4＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
思维升华 求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
答案 A
解析 根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(6,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,5)))2＝eq \f(9,5)
解析 设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝eq \r(a－02＋－2a＋3－02)＝eq \r(5a2－12a＋9)
＝eq \r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(6,5)))2＋\f(9,5)).
当a＝eq \f(6,5)时，rmin＝eq \f(3\r(5),5).
故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(6,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,5)))2＝eq \f(9,5).
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得
(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 (2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝eq \r(2)|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝eq \r(2)|PM|，
所以eq \r(x－22＋y2)＝eq \r(2)·eq \r(x－12＋y2)，
整理得x2＋y2＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以eq \(AQ,\s\up6(→))＝2eq \(QB,\s\up6(→))，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xA＝3x－12，,yA＝3y，))
又点A在轨迹C上运动，
由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，
化简得(x－4)2＋y2＝eq \f(2,9)，
即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝eq \f(2,9).
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3 (2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解 (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆．
设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq \r(3)，解得k2＝3，
∴kmax＝eq \r(3)，kmin＝－eq \r(3).
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))max＝eq \r(3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))min＝－eq \r(3).
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得eq \f(|2＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，即b＝－2±eq \r(6)，
故(y－x)min＝－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
命题点2 利用函数求最值
例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 12
解析 由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
延伸探究 若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．
答案 10
解析 由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
所以当x＝5时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2×eq \r(6×5－5)＝10.
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是( )
A．6 B．25 C．26 D．36
答案 D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[eq \r(2－52＋0＋42)＋1]2＝36.
(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则eq \f(y,x＋1)的最大值为________．
答案 eq \f(4,3)
解析 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，
eq \f(y,x＋1)表示圆上的点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率，
设过点(－1,0)的圆的切线斜率为k，
则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＝0，
由圆心到切线的距离等于半径，
可得eq \f(|k－1＋k|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝0或k＝eq \f(4,3)，
所以0≤k≤eq \f(4,3)，即eq \f(y,x＋1)的最大值为eq \f(4,3).
课时精练
1．(2023·六安模拟)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案 D
解析 因为圆心为(1，－2)，半径为3，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为( )
A．－6eq \f(1,2)
C．k>－6 D．k答案 A
解析 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝eq \r(1－2k).
若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足eq \r(3－12＋1＋22)>eq \r(1－2k)，且1－2k>0，即13>1－2k且k3．若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为( )
A．(1，－1) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－2,1)
答案 C
解析 由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.
所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，
设圆心坐标为(x，y)，
由中点坐标公式得x＝eq \f(2＋0,2)＝1，y＝eq \f(0－4,2)＝－2.
故所求圆心坐标为(1，－2)．
4．圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2y－3＝0 B．x2＋y2－2y－15＝0
C．x2＋y2＋2y－3＝0 D．x2＋y2＋2y－15＝0
答案 A
解析 由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1,0)，半径为2，
故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0,1)，半径为2，
故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，
即x2＋y2－2y－3＝0.
5．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于( )
A. 2eq \r(2) B.eq \r(2) C．3 D．9
答案 C
解析 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝5＋eq \f(k2,4)，
则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)，－1))，半径为r＝eq \r(5＋\f(k2,4))，
因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，
所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
所以－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，解得k＝4.
所以圆的半径r＝eq \r(5＋\f(k2,4))＝3.
6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
答案 D
解析 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．
设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，
即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意．
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×eq \f(5,2)＜0，
∴a＝2不符合题意；
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
8．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________.
答案 x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
解析 设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1)．
所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．
9．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
解 设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2))).
又kAB＝－3，所以km＝eq \f(1,3)，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y－3＝0，,x－y＋1＝0，))得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝eq \r(－3－12＋－2－12)＝5，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5,0)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋5,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－5，,y0＝2y.))
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝eq \f(25,4).
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝eq \f(25,4).
10．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上．
(1)求圆C1的方程；
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标．
解 (1)由题意知AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(7,2)))，
kAB＝eq \f(4－3,2－1)＝1，
∴线段AB的垂直平分线为y＝5－x，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝5－x，,y＝2x－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示．
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝eq \r(74)－4，
当且仅当M，N，P在线段C1C2上时取等号，
∴|PM|＋|PN|的最小值为eq \r(74)－4.
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,7x－5y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,12)，,y＝\f(1,12)，))
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,12)，\f(1,12))).
11．若直线ax－by－6＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则eq \f(3,a)＋eq \f(3,b)的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，依题意，点(2，－2)在直线ax－by－6＝0上，
则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，
于是得eq \f(3,a)＋eq \f(3,b)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝eq \f(3,2)时取“＝”，
所以eq \f(3,a)＋eq \f(3,b)的最小值为4.
12．已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为( )
A．[－15,1] B．(－15,1)
C．[－15,1) D．(－15,1]
答案 B
解析 由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，
圆心为(1,2)，半径为r＝eq \r(10－a)(a<10)，
圆心到已知直线的距离d＝eq \f(|3－8－15|,\r(32＋－42))＝4，
则圆心到与直线3x－4y－15＝0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，
由题意得3解得－1513．等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－5－2eq \r(3) B．－5－4eq \r(3)
C．－6－2eq \r(3) D．－6－4eq \r(3)
答案 A
解析 设等边△ABC的边长为a，
则面积S＝eq \f(\r(3),4)a2＝9eq \r(3)，
解得a＝6.
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由M为△ABC的内心，
可知M在OC上，且OM＝eq \f(1,3)OC，
则A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq \r(3))，M(0，eq \r(3))，
由|MN|＝1，可知点N在以M为圆心，1为半径的圆上．
设N(x，y)，则x2＋(y－eq \r(3))2＝1，
即x2＋y2－2eq \r(3)y＋2＝0，
且eq \r(3)－1≤y≤1＋eq \r(3)，
又eq \(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq \(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
所以eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2
＝x2＋y2－9＝2eq \r(3)y－11
≥2eq \r(3)×(eq \r(3)－1)－11＝－5－2eq \r(3).
14．(2022·沧州模拟)阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2)，则△PAB面积的最大值是( )
A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4
答案 C
解析 设以经过点A，B的直线为x轴，eq \(AB,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，以线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－1,0)，B(1,0)．
设P(x，y)，∵eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2)，∴eq \f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq \r(2)，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即点P的轨迹为(x－3)2＋y2＝8.
要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，
此时面积为eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2).定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)