2024年高考数学第一轮复习讲义第十二章12.4　二项分布与正态分布(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第十二章12.4　二项分布与正态分布(学生版+解析)，共25页。

知识梳理
1．条件概率及其性质
(1)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝________________.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝______________________.
2．相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______.
(3)若A与B相互独立，则A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔________________________________.
3．独立重复试验与二项分布
(1)一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝________________________________________，此时称随机变量X服从二项分布，记为________________________，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝________，D(X)＝________________.
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________________.
5．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线________对称．
③曲线在________处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
④曲线与x轴之间的面积为________．
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．( )
(2)若X表示n次独立重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( )
(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( )
教材改编题
1．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )
A.eq \f(1,28) B.eq \f(1,10) C.eq \f(1,9) D.eq \f(2,7)
2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为eq \f(2,3)，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是( )
A.eq \f(80,243) B.eq \f(80,81) C.eq \f(163,243) D.eq \f(163,729)
3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
题型一 条件概率
例1 (1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(2,7) D.eq \f(1,5)
听课记录：_______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为( )
A.eq \f(7,8) B.eq \f(5,6)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(20,21)
听课记录：_______________________________________________________________________
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思维升华 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(2)基本事件法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
跟踪训练1 (1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
(2)某射击运动员每次击中目标的概率为eq \f(4,5)，现连续射击两次．
①已知第一次击中，则第二次击中的概率是______；
②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是________．
题型二 相互独立事件与二项分布
命题点1 相互独立事件
例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
(2)参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
命题点2 二项分布
例3 (2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为eq \f(2,3)，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概率为eq \f(7,9).求P0的大小；
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？
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思维升华 二项分布问题的解题关键
(1)定型：
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
跟踪训练2 某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．
(1)求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
(2)记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．
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题型三 正态分布
例4 (1)(2023·赤峰模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )
①甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值；
②甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值；
③甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性；
④甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为( )
A．2 800 B．4 200 C．5 600 D．7 000
思维升华 解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为x＝μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间．
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
(2)(2022·西安模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段(m，n]内抽取学生，并确定m＝67，且P(m(附：P(μ－σ§12.4 二项分布与正态分布
考试要求 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
知识梳理
1．条件概率及其性质
(1)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．( √ )
(2)若X表示n次独立重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √ )
(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( × )
教材改编题
1．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )
A.eq \f(1,28) B.eq \f(1,10) C.eq \f(1,9) D.eq \f(2,7)
答案 D
解析 当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为eq \f(2,7).
2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为eq \f(2,3)，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是( )
A.eq \f(80,243) B.eq \f(80,81) C.eq \f(163,243) D.eq \f(163,729)
答案 A
解析 用X表示发芽的粒数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(2,3)))，则P(X＝3)＝Ceq \\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2＝eq \f(80,243)，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为eq \f(80,243).
3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
答案 B
解析 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是eq \f(1,2)×0.682 7×48≈16.
题型一 条件概率
例1 (1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(2,7) D.eq \f(1,5)
答案 D
解析 设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，则P(AB)＝eq \f(2,C\\al(2,7))＝eq \f(2,21)，P(A)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,7))＝eq \f(10,21)，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(2,21),\f(10,21))＝eq \f(1,5).
(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为( )
A.eq \f(7,8) B.eq \f(5,6) C.eq \f(3,4) D.eq \f(20,21)
答案 A
解析 记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，
则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，
则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，
故P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(PB,PA)＝eq \f(0.84,0.96)＝eq \f(7,8).
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(2)基本事件法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
跟踪训练1 (1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
答案 C
解析 设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，
所以P(A)＝eq \f(3,5)，P(AB)＝eq \f(3,10)，则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq \f(1,2).
(2)某射击运动员每次击中目标的概率为eq \f(4,5)，现连续射击两次．
①已知第一次击中，则第二次击中的概率是________；
②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是________．
答案 ①eq \f(4,5) ②eq \f(1,2)
解析 ①设第一次击中为事件A，第二次击中为事件B，则P(A)＝eq \f(4,5)，
由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，
因此已知第一次击中，则第二次击中的概率是eq \f(4,5).
②设仅击中一次为事件C，则仅击中一次的概率为P(C)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(4,5)×eq \f(1,5)＝eq \f(8,25)，
在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是P(B|C)＝eq \f(\f(1,5)×\f(4,5),\f(8,25))＝eq \f(1,2).
题型二 相互独立事件与二项分布
命题点1 相互独立事件
例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
答案 B
解析 事件甲发生的概率P(甲)＝eq \f(1,6)，事件乙发生的概率P(乙)＝eq \f(1,6)，事件丙发生的概率P(丙)＝eq \f(5,6×6)＝eq \f(5,36)，事件丁发生的概率P(丁)＝eq \f(6,6×6)＝eq \f(1,6).事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．
(2)参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
答案 0.46
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1eq \x\t(A)2A3∪eq \x\t(A)1A2A3的发生，
故所求概率P＝P(A1A2A3∪A1 eq \x\t(A)2A3∪eq \x\t(A)1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1 eq \x\t(A)2A3)＋P(eq \x\t(A)1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(eq \x\t(A)2)P(A3)＋
P(eq \x\t(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
命题点2 二项分布
例3 (2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为eq \f(2,3)，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概率为eq \f(7,9).求P0的大小；
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？
解 (1)由已知得，张某创业成功的概率为eq \f(2,3)，李某创业成功的概率为P0，且两人是否创业成功互不影响，
记“这2人累计获得的奖金X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝50”，
∵P(X＝50)＝eq \f(2,3)P0，
∴P(A)＝1－P(X＝50)＝1－eq \f(2,3)P0＝eq \f(7,9)，
解得P0＝eq \f(1,3).
(2)设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X1，都选择创业项目乙且创业成功的次数为X2，
则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E(20X1)，
选择项目乙累计获得的奖金的均值为E(30X2)，
由已知可得，X1～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3)))，X2～B(2，P0)，
∴E(X1)＝eq \f(4,3)，E(X2)＝2P0，
∴E(20X1)＝20E(X1)＝20×eq \f(4,3)＝eq \f(80,3)，
E(30X2)＝30E(X2)＝60P0，
若E(20X1)>E(30X2)，即eq \f(80,3)>60P0，解得0若E(20X1)若E(20X1)＝E(30X2)，即eq \f(80,3)＝60P0，解得P0＝eq \f(4,9).
综上所述，当0当eq \f(4,9)当P0＝eq \f(4,9)时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等．
思维升华 二项分布问题的解题关键
(1)定型：
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
跟踪训练2 某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．
(1)求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
(2)记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．
解 (1)根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为eq \f(2,5)，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为eq \f(3,5)，
所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为
P＝1－Ceq \\al(0,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))4－Ceq \\al(1,4)×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＝eq \f(513,625).
(2)根据题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,5)))，
则P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))4＝eq \f(81,625)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)×eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(216,625)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(216,625)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3×eq \f(3,5)＝eq \f(96,625)，
P(X＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))4＝eq \f(16,625)，
所以X的分布列为
所以E(X)＝4×eq \f(2,5)＝eq \f(8,5).
题型三 正态分布
例4 (1)(2023·赤峰模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )
①甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值；
②甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值；
③甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性；
④甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
答案 A
解析 X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，
Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))，
结合正态曲线可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，
故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故①正确，②错误；
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故③正确，④错误．
(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为( )
A．2 800 B．4 200
C．5 600 D．7 000
答案 A
解析 ∵ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，
∴P(ξ≤80)＝0.3，∴P(80≤ξ≤90)＝eq \f(1－0.3×2,2)＝0.2，
∴估计这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为14 000×0.2＝2 800.
思维升华 解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为x＝μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间．
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
答案 0.14
解析 因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2(2)(2022·西安模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段(m，n]内抽取学生，并确定m＝67，且P(m(附：P(μ－σ答案 10 74
解析 由图①可知，μ＝72，σ＝5，
∴随机变量X～N(72,25)，
∴P(67P(62∵P(67＝0.954 5－eq \f(0.954 5－0.682 7,2)，
∴n＝82，
由图②可知，该班在(67,82]内抽取了10人，即k＝10，∴平均分为
eq \f(68＋70＋73＋75＋72＋71＋76＋78＋76＋81,10)＝74.
课时精练
1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，则谜题没被破解出的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,6) D．1
答案 A
解析 设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，
则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，
故P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,3)，
所以P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
即谜题没被破解出的概率为eq \f(1,6).
2．(2023·昆明模拟)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值为( )
A．1 B.eq \f(3,2) C．2 D.eq \f(5,2)
答案 A
解析 同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，每次两枚硬币均正面向上的概率p＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))，
X的均值为E(X)＝4×eq \f(1,4)＝1.
3．(2023·西宁模拟)已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(100,32)，从中随机抽取一件，其长度恰好落在区间(103,106]内的概率约为( )
(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σA．0.045 6 B．0.135 9 C．0.271 8 D．0.317 4
答案 B
解析 P(1034．下列说法不正确的是( )
A．设随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝eq \f(5,16)
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是eq \f(1,9)
D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)
答案 C
解析 对于A，若随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝Ceq \\al(3,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))3＝eq \f(5,16)，故A正确；
对于B，因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是直线x＝2.
因为P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，
所以P(0对于C，设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，
则P(AB)＝eq \f(3,33)＝eq \f(1,9)，
P(A)＝1－eq \f(A\\al(3,3),33)＝eq \f(7,9)，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,7)，故C不正确；
对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D正确．
5．(2022·安庆模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是( )
A.eq \f(5,32) B.eq \f(5,16) C.eq \f(3,16) D.eq \f(3,32)
答案 A
解析 由题意知，小球下落过程中共碰撞小木块5次，小球落到第⑤个格子需向左落下1次，向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均为eq \f(1,2)，故小球落到第⑤个格子的概率P＝Ceq \\al(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＝eq \f(5,32).
6．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则( )
A．事件A与B相互独立
B．事件A与C相互独立
C．P(B|A)＝eq \f(5,12)
D．P(C|A)＝eq \f(5,12)
答案 D
解析 将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36(个)基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件个数为Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝12，
则P(A)＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3)，
同理P(B)＝P(C)＝eq \f(1,3)，
事件AB含有的基本事件个数为Aeq \\al(2,2)＝2，
则P(AB)＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)，
事件AC含有的基本事件个数为Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＝5，
则P(AC)＝eq \f(5,36)，
对于A，P(A)P(B)＝eq \f(1,9)≠P(AB)，即事件A与B不相互独立，故A不正确；
对于B，P(A)P(C)＝eq \f(1,9)≠P(AC)，即事件A与C不相互独立，故B不正确；
对于C，P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,6)，故C不正确；
对于D，P(C|A)＝eq \f(PAC,PA)＝eq \f(5,12)，故D正确．
7．(2023·泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10 000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为 ________.(结果四舍五入精确到个位)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ答案 73 1 587
解析 由题意知，μ≈eq \f(45×5＋55×10＋65×25＋75×30＋85×20＋95×10,100)＝73.
易知P(X>85.9)＝P(X>73＋12.9)≈eq \f(1－0.682 7,2)＝0.158 65，
故估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数大约为10 000×0.158 65≈1 587.
8．某医生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的条件下，他在周三晚上值班的概率为________．
答案 eq \f(1,6)
解析 设事件A为“周二晚上值班”，事件B为“周三晚上值班”，
则P(A)＝eq \f(C\\al(1,6),C\\al(2,7))＝eq \f(2,7)，
P(AB)＝eq \f(1,C\\al(2,7))＝eq \f(1,21)，
故P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,6).
9．(2022·襄阳模拟)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝eq \f(1,10)，P2＝eq \f(1,9)，P3＝eq \f(1,8).
(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．
解 (1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,9)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,8)))＝eq \f(3,10).
(2)设“该款智能自动检测合格”为事件A，“人工抽检合格”为事件B，
则P(A)＝eq \f(9,10)，P(AB)＝1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10)，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(7,10),\f(9,10))＝eq \f(7,9).
10．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示.
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；
(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N(μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数eq \x\t(x)以及方差s2(同一区间的数据用该组区间的中点值替代)．
①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)；
②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，求η的方差．
参考数据：eq \r(2)≈1.4；若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解 (1)由题意得，抽取的5人中消费金额在区间[9,11)内的人数为eq \f(2,5)×5＝2，消费金额在区间[11,13)内的人数为eq \f(3,5)×5＝3，
设抽取的3人中消费金额在区间[11,13)内的人数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，
所以P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(0,2)C\\al(3,3),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
所以X的分布列为
则E(X)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(9,5).
(2)①由题意得，μ＝eq \x\t(x)＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，
σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，
所以σ＝eq \r(8)＝2eq \r(2)≈2.8，
所以P(5.2≤ε<13.6)＝P(8－2.8≤ε<8＋2×2.8)≈eq \f(0.682 7＋0.954 5,2)≈0.8.
②由题意及①得η～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(4,5)))，n＝4，p＝eq \f(4,5)，
所以D(η)＝np(1－p)＝4×eq \f(4,5)×eq \f(1,5)＝eq \f(16,25).
11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数ar(r＝2,3,4,5)中，出现0的概率为eq \f(1,3)，出现1的概率为eq \f(2,3)，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时，下列命题正确的是( )
①X服从二项分布；
②P(X＝1)＝eq \f(4,81)；
③X的均值E(X)＝eq \f(8,3)；
④X的方差D(X)＝eq \f(8,3).
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
答案 B
解析 由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能为0,1，
且每个数位上的数字互不影响，X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4－k，k＝0,1,2,3,4，
故X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，故①正确；
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(8,81)，故②错误；
E(X)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，故③正确；
D(X)＝4×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(8,9)，故④错误．
12．(2022·天津模拟)某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是 ________；若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝________.
答案 eq \f(2,17) eq \f(9,7)
解析 记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，
则P(AB)＝P(A)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，P(B)＝1－eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(34,35)，
故P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(\f(4,35),\f(34,35))＝eq \f(2,17)，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是eq \f(2,17)，
由题意可知，X服从超几何分布，E(X)＝3×eq \f(3,7)＝eq \f(9,7).
13．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝eq \f(1,π1＋x2).已知X～C(1,0)，P(|X|≤eq \r(3))＝eq \f(2,3)，P(1A.eq \f(1,6) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为f(－x)＝eq \f(1,π1＋x2)＝f(x)，所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称，
由P(|X|≤eq \r(3))＝eq \f(2,3)，可得P(0因为P(1所以P(0因此P(－1所以P(X≤－1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4).
14．(2023·开封模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则eq \f(1,x)＋eq \f(9,a－x)(0答案 4
解析 随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，可得1＋a－3＝2×1，解得a＝4，
由0则eq \f(1,x)＋eq \f(9,a－x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(9,4－x)＝eq \f(1,4)[x＋(4－x)]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,4－x)))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(4－x,x)＋\f(9x,4－x)))
≥eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(9)))＝4，
当且仅当eq \f(4－x,x)＝eq \f(9x,4－x)，即x＝1时取等号．
所以eq \f(1,x)＋eq \f(9,a－x)(00
1
2
3
4
P
eq \f(81,625)
eq \f(216,625)
eq \f(216,625)
eq \f(96,625)
eq \f(16,625)
笔试成绩X
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
5
10
25
30
20
10
消费金额(千元)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15]
人数
30
50
60
20
30
10
X
1
2
3
P
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
eq \f(1,10)