甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷

这是一份甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(2,−1),b=(m,3)，若a//b，则m=( )
A. 32B. −32C. 6D. −6
2.已知是i虚数单位，则复数1+2i1+i的虚部是( )
A. −32B. −12C. 12D. 32
3.八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，给出下列结论：
①BF−HF+HD=0；
②OA+OC=− 2OF；
③AE+FC−GE=AB；
④OA+OB+OC+OD+OE+OF+OG+OH=0.
其中正确的结论为( )
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③
4.cs163∘cs223∘+cs253∘cs313∘等于( )
A. −12B. − 32C. 32D. 12
5.在△ABC中，A=120∘,C=15∘,AC= 6，则BC=( )
A. 4B. 2 3C. 3D. 2 2
6.一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为5 3N，则两个力的合力的大小为( )
A. 10 3NB. 0NC. 5 6ND. 5 62N
7.已知a，b是单位向量，|2a+b|= 3，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.在△ABC中，若AB=4，BC=5，B=60∘，则AC=( )
A. 21B. 31C. 51D. 61
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.关于复数，给出下列命题正确的是( )
A. 3>3iB. 16>(4i)2C. 2+i>1+iD. |2+3i|>|2+i|.
10.下列命题的判断正确的是( )
A. 若向量AB与向量CD共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B. 若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量AB与向量CD共线
C. 若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量AB与向量CD不共线
D. 若向量AB与向量BC共线，则A，B，C三点在一条直线上
11.下列函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递增的是( )
A. y=tanxB. y=|sinx|C. y=cs2xD. y=−sinxcsx
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数3i−1的共轭复数是______.
13.若tanα=−2，则tan2α=______，tan(2α+π4)=______
14.已知A(−2,4)，B(1,3)，C(m,n)，若A，B，C三点共线，则m，n的关系式为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(m2−m)+(m−3)i，m∈R(i为虚数单位).
(1)当m=2时，求复数zz−的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
已知|a|=4,|b|=3，在下列条件下求a⋅b：
(1)向量a与b平行时；
(2)向量a与b的夹角为60∘；
(3)向量a与b垂直时.
17.(本小题15分)
已知α∈(π2,π)，sinα=2 55.
(1)求sin(π4+α)的值；
(2)求cs(5π6−2α)的值．
18.(本小题17分)
已知sin(α+β)=23，sin(α−β)=−15，求tanαtanβ的值.
19.(本小题17分)
已知f(x)=2 3sinx2csx2+2sin2x2−1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)已知α，β均为锐角，f(α+π6)=85，csβ= 55，求sin(α−β)的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：向量a=(2,−1),b=(m,3)，且a//b，
则−1×m=2×3，
所以m=−6.
故选：D.
利用向量共线的坐标表示，列式计算作答．
本题主要考查了平行向量的坐标关系，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：1+2i1+i=(1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=3+i2=32+12i，
∴复数1+2i1+i的虚部为12.
故选：C.
根据复数的乘除法运算法则，计算可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：①：BF−HF+HD=BF+FH+HD=BH+HD=BD≠0，故①结论错误；
②：由正八边形性质知：OA⊥OC，OA=OC=OB=1，设OB∩AC=M，如图所示：
因为∠AOB=∠COB=45∘，所以M为AC中点，所以OA+OC=2OM，
因为OM=12AC= 22，所以OM= 22OB，所以OA+OC= 2OB，
又OB=−OF，所以OA+OC=− 2OF，故②结论正确；
③：由正八边形性质知：AG//CE且AG=CE，即AG=CE，
所以AE+FC−GE=AE+EG+FC=AG+FC=CE−CF=FE，
又FE=AB，所以AE+FC−GE=AB，故③结论正确；
④：OA+OB+OC+OD+OE+OF+OG+OH=(OA+OE)+(OB+OF)+(OC+OG)+(OD+OH)=0，故④结论正确．
故选：C.
根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可．
本题主要考查平面向量基本定理，命题真假的判断，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：cs163∘cs223∘+cs253∘cs313∘=−cs17∘(−cs43∘)+(−cs73∘)cs47∘=cs17∘cs43∘−sin17∘sin43∘
=cs(17∘+43∘)=cs60∘=12.
故选：D.
利用诱导公式及和差角公式即得．
本题考查诱导公式及两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：△ABC中，A=120∘,C=15∘,AC= 6，
所以B=180∘−A−C=45∘，
由正弦定理得ACsinB=BCsinA，
即 6sin45∘=BCsin120∘，解得BC= 6⋅ 32 22=3.
故选：C.
由三角形内角和可得角B的大小，然后由正弦定理可得BC的大小．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据平行四边形定则，两个合力的大小为：
F= F12+F22= (5 3)2+(5 3)2=5 6N，
故选：C.
根据向量加法的平行四边形法则，结合勾股定理，即可得出答案．
本题考查向量的运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由|2a+b|= 3，可得(2a+b)2=3，
即4a2+4a⋅b+b2=3，
又|a|=|b|=1，∴a⋅b=−12，
∴cs=a⋅b|a||b|=−12，
∵∈[0,π]，
∴=2π3.
故选：C.
由数量积性质，直接将向量的模转化为向量的数量积进行运算，解出夹角余弦值，进而根据范围求角．
本题考查平面向量数量积运算及性质，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB=4，BC=5，B=60∘，
∴由余弦定理可得：AC= AB2+BC2−2×AB×BC×csB= 16+25−2×4×5×12= 21.
故选：A.
由已知及余弦定理即可求值得解．
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：不全是实数的两个复数不能比较大小，故AC错误；
因为(4i)2=−16，因此16>(4i)2，故B正确；
因为|2+3i|= 22+32= 13,|2+i|= 22+12= 5，因此|2+3i|>|2+i|，故D正确．
故选：BD.
利用复数的意义判断AC；利用复数的乘方计算判断B；计算复数的模判断D作答．
本题主要考查了复数的运算和模长公式，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，在平行四边形ABCD中，CD=AB，满足AB与CD共线，而A，B，C，D四点不共线，故A错误；
对于B，A，B，C，D四点在一条直线上，则AB与CD方向相同或相反，即AB与CD共线，故B正确；
对于C，平行四边形ABCD中，满足A，B，C，D四点不共线，有AB=DC，即向量AB与CD共线，故C错误；
对于D，向量AB与BC共线，而向量AB与BC有公共点B，因此A，B，C三点在一条直线上，故D正确．
故选：BD.
根据给定条件，利用共线向量的意义逐项判断作答．
本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A：函数y=tanx的最小正周期为π，在区间(π2,π)上单调递增，故A正确；
对于B：函数y=|sinx|的最小正周期为π，在区间(π2,π)上单调递减，故B错误；
对于C，函数y=cs2x=1+cs2x2=12cs2x+12的最小正周期为π，在区间(π2,π)上单调递增，故C正确；
对于D：函数y=−sinxcsx=−12sin2x的最小正周期为π，在区间(π2,π)上先减后增，故D错误．
故选：AC.
直接利用函数的周期性和单调性的应用求出结果．
本题主要考查了三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
12.【答案】−1−3i
【解析】解：∵复数3i−1=−1+3i，
∴根据复数共轭复数的定义可知复数的共轭复数为−1−3i.
故答案为：−1−3i.
根据共轭复数的定义即可得到结论．
本题主要考查复数的有关概念，比较基础．
13.【答案】43 −7
【解析】解：因为tanα=−2，所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−2)1−(−2)2=43，
所以tan(2α+π4)=tan2α+11−tan2α=43+11−43=−7.
故答案为：43；−7.
利用正切的和角及倍角公式，再利用条件即可求出结果．
本题主要考查二倍角的正切公式及两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】3n+m=10
【解析】解：由A(−2,4)，B(1,3)，C(m,n)可得：AB=(3,−1),BC=(m−1,n−3)，
因为A，B，C三点共线，所以AB//BC，
所以3(n−3)=1−m，整理得：3n+m=10.
故答案为：3n+m=10.
由A，B，C三点共线，可得AB//BC，利用向量共线的充要条件即可得到m，n的关系式．
本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】解：(1)当m=2时，z=2−i，故zz−=(2−i)(2+i)=5；
(2)若复数z在复平面内对应的点(m2−m,m−3)位于第三象限，
则m2−m<0m−3<0，解得0∴m的取值范围为(0,1).
【解析】(1)代入m=2，根据复数的乘法求解即可；
(2)根据第三象限实部为负，虚部为负求解不等式即可．
本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
16.【答案】解：(1)当向量a与b平行时，向量a与b的夹角为0∘或180∘，
当向量a与b的夹角为0∘时，a⋅b=|a||b|cs0∘=3×4×1=12；
当向量a与b的夹角为180∘时，a⋅b=|a||b|cs180∘=3×4×(−1)=−12，
综上，a⋅b=±12.
(2)当向量a与b的夹角为60∘时，a⋅b=|a||b|cs60∘=3×4×12=6.
(3)当向量a与b垂直时，向量a与b的夹角为90∘，
所以a⋅b=|a||b|cs90∘=3×4×0=0.
【解析】根据向量数量积的定义逐一求解即可．
本题考查平面向量数量积的运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵α∈(π2,π)，sinα=2 55，
∴csα=− 1−sin2α=− 55，
∴sin(α+π4)=sinπ4csα+csπ4sinα= 1010；
(2)∵α∈(π2,π)，sinα=2 55> 32，
∴α∈(π2,23π)，2α∈(π,43π)，
∵sin2α=2csαsinα=−45，
∴cs2α=− 1−sin22α=−35，
∴cs(56π−2α)=cs5π6cs2α+sin56πsin2α=3 3−410.
【解析】本题考查由一个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的余弦公式、两角和与差的正弦公式、二倍角正弦公式，属于中档题．
(1)利用同角三角函数平方关系求出csα，结合两角和差的三角函数公式，求解即可得出答案；
(2)先根据sinα=2 55> 32求出α∈(π2,23π)，从而得到2α∈(π,43π)，利用二倍角公式求出sin2α，利用同角三角函数平方关系，求出cs2α，结合两角和差的三角函数公式，求解即可得出答案．
18.【答案】解：sin(α+β)=23，sin(α−β)=−15
得sinαcsβ+csαsinβ=23,sinαcsβ−csαsinβ=−15,
所以sinαcsβ=23−152=730,csαsinβ=23+152=1330.
从而得tanαtanβ=sinαcsβcsαsinβ=730×3013=713.
【解析】利用正弦的和差角公式，弦化切化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=2 3sinx2csx2+2sin2x2−1
= 3sinx−csx
=2sin(x−π6)，
故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)f(α+π6)=85，
则2sinα=85，解得sinα=45，
∵α，β均为锐角，csβ= 55，
∴csα= 1−sin2α=35，sinβ= 1−cs2β=2 55，
∴sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=45× 55−35×2 55=−2 55.
【解析】(1)根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及最小正周期公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于中档题．