2021-2022学年甘肃省武威市凉州区高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省武威市凉州区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 复数是虚数单位的共轭复数在复平面内对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 如图所示，每个小正方形的边长都是，则下列说法正确的是(    )

A. ，是该平面所有向量的一组基，
B. ，是该平面所有向量的一组基，
C. ，不是该平面所有向量的一组基，
D. ，不是该平面所有向量的一组基，

3. 已知是第四象限角，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，若，则该三角形的形状一定是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

5. 厦门中学生助手有男志愿者人，女志愿者人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本．如果样本按比例分配，那么男志愿者应抽取的人数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法中正确的是(    )

A. 若事件与事件是互斥事件，则
B. 若事件与事件满足条件：，则事件与事件是对立事件
C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D. 把红、橙、黄、绿张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁人，每人分得张，则事件“甲分得黄牌”与事件“乙分得黄牌”是互斥事件

7. 设，，是直线，、是平面，下列命题正确的是(    )

A. ，，共面
B. ，，共面
C. ，
D. ，，、、是不同的三点，，共面

8. 分别统计了甲、乙两位同学周的各周课外体育运动时长单位：，得如图茎叶图：
   则下列结论中错误的是(    )

A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于
C. 甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于
D. 乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值大于

9. 已知、，且，则点的坐标为(    )

A. ． B. ． C.  D. ．

10. “宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，文峰塔是水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安祥，运河流淌，形成动静对比．某个学生想要测量塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为米．(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 下列四个等式中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，则在的投影向量的坐标为______．
14. 如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为______．
     

15. 已知随机事件、互相独立，且，，则______．
16. 若，，其中，则最大时，______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 平面内给定两个向量
    求；
    若，求实数的值．
18. 化简：；
    计算：．
19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
    求角；
    若，的面积为，求，．
20. 如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
    求证：平面；
    在线段上是否存在一点，使平面平面？请说明理由．

21. 足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．为了解某社区足球爱好者的年龄分布情况，从该社区随机抽取名足球爱好者，将这人的年龄按，，，，分成组，得到了如下的频率分布直方图．
    求样本的平均数及中位数；
    从年龄段和中按分层抽样的方法随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求这两人的年龄都落在的概率．

22. 在中，角，，的对边分别为，，，设向量满足．
    求；
    若，当取最小值时，求的周长；
    求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
其对应点位于第二象限．
故选：．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：结合题意，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，故CD错误，
又，
故选：．
根据，不共线以及向量的线性运算求出答案即可．
本题考查了数形结合以及向量的线性运算，考查平面向量基本定理，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由已知，是第四象限角，，所以，
所以．
故选：．
由已知，根据是第四象限角，，可计算出，然后利用正切的和差公式即可求解出．
本题考查的知识要点：三角函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，即，
所以，
所以三角形为等腰三角形．
故选：．
应用子结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式及诱导公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：厦门中学生助手有男志愿者人，女志愿者人，
按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本．
样本按比例分配，那么男志愿者应抽取的人数是：
人．
故选：．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于：若抛一枚骰子，事件为点朝上，事件为点朝上，与互斥，但之和不等于，故A错，
对于：若事件为抛一枚硬币，正面朝上，则，事件为从放有红黑两个球的袋中随机摸一个，摸到红球，则，
有，但它们不是对立事件，故B错，
对于：事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”的交集为一次中靶，故C错，
对于：事件“甲分得黄牌”与事件“乙分得黄牌”不可能同时发生，是互斥事件，故D正确．
故选：．
根据互斥事件，对立事件的定义可判断．
本题考查了互斥事件，对立事件的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：平行六面体的同一顶点的三条棱两两相交，但三条棱不共面，故A错误；
三棱柱中，三条侧棱分别平行，但不共面，故B错误；
两平面相交，平面内的点不一定在交线上，故C错误；
三条直线两两相交，但不共点，则三条直线确定一个平面，故D正确．
故选：．
举例说明ABC错误；由不共线的三点确定一个平面判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，选项A说法正确；
由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于，选项B说法正确；
甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值为，选项C说法错误；
乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值为，选项D说法正确．
故选：．
根据茎叶图逐项分析即可得出答案．
本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，且，设点，
则，
即，解得，即点．
故选：．
设点，利用定比分点坐标公式，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的等式，即可求得点的坐标．
本题主要考查定比分点坐标公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：在三角形中：，
由正弦定理得，，
在中，．
故选：．
利用正弦定理求得，进而求得．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：作出该几何体的轴截面如图示：为圆锥的高，

设内接圆柱的高为，而，，
因为内接圆柱的体积为，即，则，
由于，故∽，则，
即，故，
所以圆锥体积为，
故选：．
作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积．
本题主要考查了圆柱和圆锥体积的运算，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，，，故A错误，
对于，原式，故B错误，
对于，原式，故C错误，
对于，，故D正确．
故选：．
利用两角和的正切公式判断，利用二倍角的公式判断，利用辅助角公式判断．
本题考查三角恒等变换的应用，诱导公式的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，
所以在的投影向量为，．
故答案为：．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，
由，
则异面直线与所成的角的平面角为或其补角，
又为正三角形，
则，
故答案为：．
连接、，由，则异面直线与所成的角的平面角为或其补角，然后求解即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：随机事件、互相独立，且，，
则．
故答案为：．
利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：若，，
则，
又，
则
即当，
即时，取最大值，
故答案为：．
由平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换中的辅助角公式可得，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了三角恒等变换中的辅助角公式，属基础题．
 

17.【答案】解：由条件知：，
故．
，，
，
，
解得． 

【解析】本题考查向量的运算法则和模的计算公式、向量共线定理是解题的关键．
利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．
利用向量共线定理即可得出．
 

18.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】使用诱导公式化简即可；
切化弦，然后由和差公式化简可得．
本题考查三角恒等变换及化简求值，是基础题．
 

19.【答案】解：的内角，，所对的边分别为，，，向量，，
由，得，
由正弦定理得，
因为，所以，又，所以，
由余弦定理得，所以，
由余弦定理得，
得，得，解之可得． 

【解析】利用向量平行，推出，结合正弦定理，转化求解即可．
由余弦定理得，由余弦定理得，求解即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，是基础题．
 

20.【答案】证明：因为，分别为线段的中点，
所以，
因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
解：取的中点，连接，，

因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，
又因为，，平面，所以平面平面，
故在线段上存在一点，使平面平面． 

【解析】根据中位线的性质可得，再根据线面平行的判定可得即可；
取的中点，连接，，根据中位线的性质判定即可．
本题主要考查了空间中的平行关系，属于基础题．
 

21.【答案】解：由频率分布直方图可知，
样本的平均数为；
，，
样本的中位数为；
：：，
从年龄段和中分别抽取人，人；
再从这人中随机抽取人，
共有种方法，
其中这两人的年龄都落在的共有人，
故这两人的年龄都落在的概率为． 

【解析】结合频率分布直方图，利用平均数与中位数的定义代入值求解即可；
先确定从年龄段和中分别抽取的人数，再利用古典概率模型求概率．
本题考查了频率分布直方图及古典概率模型的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可得，
由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，
又，故；
，
由可得，因此，
当且仅当时，取得最小值，此时，
因为，所以由正弦定理可得，
则的周长为；
，
因为，所以，所以，
因此，所以
即的取值范围是． 

【解析】根据数量积的坐标运算以及正弦定理即可求解．
由二倍角公式可将其化为，利用二次函数即可求最值，进而可求出此时，继而可求．
根据和差角公式以及二倍角公式化简得到，然后根据角的范围即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，正余弦定理的应用以及三角函数的值域问题，属于中档题．