六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷专题20：循环跑道问题（提高卷）（附参考答案）

这是一份六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷专题20：循环跑道问题（提高卷）（附参考答案），共29页。试卷主要包含了小红和爷爷在圆形街心花园散步，商场进行促销活动，甲商场等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．小红和爷爷围绕一个圆形的湖泊散步锻炼身体，小红走完一圈需要6分钟。爷爷走完一圈需要8分钟。如果两人同时从同地出发，相背而行。走了12分钟以后，两人的位置是如图的第（ ）幅图。
A．B．C．
2．小红和爷爷在圆形街心花园散步。小红走一圈需要6分，爷爷需要8分。如果两人同时同地出发，相背而行，12分时两人的位置如下面（ ）图。
A．B．C．D．
3．军军和明明在学校操场的环形跑道上跑步，军军112小时跑一圈，明明110小时跑一圈，如果两人同时同点相背而行，（ ）小时两人相遇。
A．122B．111C．6011
4．一个环形跑道，淘气跑一圈需要4分钟、笑笑跑一圈需要6分钟。两人同时从起点出发，至少（ ）分钟后还能在起点相遇。
A．4B．6C．10D．12
5．在正方形ABCD上，甲乙分别从AC同时出发，方向如图所示，乙的速度是甲的速度的4倍，第199次在那条边相遇？（ ）
A．AB边上B．BC边上C．CD边上D．DA边上
6．六年级有9位老师带着42名学生去青少年活动中心参观，在门口看到了下面的公示牌。请你算一算，怎样买票合算，最少需要（ ）元钱。
（团体票人数≥11人）
A．1290B．1530C．1130D．84
7．用载重3吨和4吨的货车一次运走13吨水泥，下面哪种方案最合适。（ ）
A．5辆载重3吨车
B．2辆载重4吨车和2辆载重3吨车
C．4辆载重4吨车
D．3辆载重3吨车和1辆载重4吨车
8．西安某校准备安排15名老师带领85名学生去参观富县“鄜州博物馆”。租车公司有以下两种购票方案，其中租车付费最划算的是（ ）
购票须知：成人每张40元；儿童每张15元；团体票（30人及以上）每张20元。
A．15名老师和85名学生都购买团体票
B．15名老师购买成人票，85名学生购买儿童票
C．15名老师和15名学生购买团体票，剩下的学生购买儿童票
9．甲、乙两家超市以同样的价格卖同一品牌的酸奶。为了促销，两家超市打出优惠广告（如图所示）。下面几种说法中，正确的是（ ）
A．甲超市的便宜
B．乙超市的便宜
C．两家超市折扣相同，到哪家买都可以
D．两家超市折扣相同，但在甲超市买3瓶以上才有优惠
10．商场进行促销活动，甲商场：每满100元返25元现金；乙商场一律九折，且折后满100元再返20元现金。小林阿姨要买一条240元的裤子，在（ ）买划算。
A．甲商场B．乙商场
C．两个商场一样D．无法确定
二．填空题（共10小题）
11．淘气跑一圈跑道要6分钟，妈妈跑一圈要4分钟，爸爸跑一圈只需2分钟。他们一同起跑后， 分在起点第一次相遇，相遇时，妈妈跑了 圈。
12．小明在400米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间里，他每秒跑5米，后一半时间里，他每秒跑3米，他跑后半圈路程用了 秒。
13．一条环形跑道，爸爸跑一圈用4分，妈妈跑一圈用6分，淘气跑一圈用8分，三人同时从起点出发， 分后，可以在起点第一次相遇。
14．甲、乙二人在圆形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方同时出发，同向跑，则经过3分20秒可以第一次相遇；若反向跑，则经过40秒也可以第一次相遇，已知甲跑步的速度每秒跑6m，这个圆形跑道的直径是 m。（圆周率π取3）
15．如图，正方形边长是100来，甲、乙两人同时从A、B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走75米，乙每分钟走65米，且两人每到达一个顶点都需要休息2分钟。甲从出发到第一次看见乙用 分钟。
16．为了迎接2022年北京冬奥会，六年级科技小组的学生要制作吉祥物冰墩墩送给孤儿院的小朋友。他们计划在网上购买材料，如果要购买材料的两家店的标价都是88元，去 店购买便宜。
17．爸爸开车和妈妈一起从家外出办事。爸爸要去办公室取资料，妈妈要去商场购物。如图是他们的行走路线和所用时间。他们办完这些事回到家，至少需要 分钟。
18．有50人去划船。每条大船限乘6人，租金30元；每条小船限乘4人，租金24元。租 条大船和 条小船最划算，至少需要 元。
19．32名同学乘车去公园，小轿车每车可以坐4人，面包车每车可以坐6人。如果两种车型都要租，并且每辆车都坐满，租 辆小轿车和 面包车才能正好一次都运完。
20．小明和爸爸、妈妈、爷爷准备参加旅行团外出旅行，甲旅行社告知：“大人买全票，学生买半价优惠”，乙旅行社告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全票的8折收费”；丙旅行社告知：“大人9折，学生6折”，那么 旅行社更优惠。
三．应用题（共10小题）
21．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？
22．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？
23．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。
24．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？
25．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？
26．某学校14名老师和324名学生乘车去参加研学旅行。大车可坐40人（不包括司机），每辆租金900元；小车可坐20人（不包括司机），每辆租金500元。怎样租车最省钱？
27．4名老师和40名学生去公园游玩。怎样购票最省钱？
28．四（1）班数学老师周末带12名学生去动物园游玩。他们怎样买票最划算？
成人每人50元，儿童每人20元。
团体10人以上（包括10人），每人30元。
29．一种儿童T恤的价格如下：
（1）如果买2件T恤，怎样买合算？
（2）小红最多可以买几件T恤？还剩多少钱？
30．甲乙两个超市的牛奶搞活动。原价都是45元一箱，每箱8盒。甲超市现在每箱降价为32元，乙超市买一箱送一盒，哪个超市卖得便宜一些？
四．解答题（共10小题）
31．奇思每分跑280m，妙想每分跑320m，环湖公路一周的长度是5400m，两人同时反方向跑步．
（1）估计两人在何处相遇，在图中标出来．
（2）多长时间后两人相遇？
32．如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行60米，乙按顺时针方向每分钟行30米，如果用记号（a.b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是多少？
33．小明和小亮在环形跑道上练习跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行。小明的速度是80米/分，小亮的速度是120米/分，2分钟后两人第一次相遇。环形跑道长多少米？
34．（如图）环湖公路一周长度是2400米，淘气和笑笑同时从起点出发， ，淘气每分钟跑180米，笑笑每分钟跑120米。几分钟后淘气和笑笑相遇？（下面两个问题任选其一列方程解答，都解答加2分。）
（1）如果两人相背而行几分钟相遇？
（2）如果两人同向而行几分钟相遇？
35．如图，两个圆只有一个公共点C，大圆直径AC为50厘米，小圆直径BC为30厘米。甲、乙两只蚂蚁同时从C点出发，甲蚂蚁以每秒0.6厘米的速度顺时针沿着大圆圆周爬行，乙蚂蚁以同样的速度顺时针沿着小圆圆周爬行。（本题圆周率π计算时取3）
（1）乙蚂蚁第一次爬回到C点时，需要多少秒？
（2）当乙蚂蚁第一次爬回到C点时，甲蚂蚁是否已经经过A点？
（3）甲乙两蚂蚁各自沿着圆周不间断地反复爬行，它们是否会在C点相遇？如果相遇，此时甲蚂蚁至少爬了几圈？如果不能相遇，请说明理由。
36．贝贝和丽丽、红红一起去给第一小组的48名同学买汽水，图是冷饮店打的广告。如果每瓶汽水1.2元，她们至少用多少钱给大家买汽水，才可使每人都能喝到1瓶汽水？
37．今年是中国共产党成立100周年，羌风小学全体师生450人要到红军纪念馆开展研学活动。请你根据客车租金安排最省钱的租车方案。
（1）租大车 辆和小车 辆最省钱。
（2）这种租车方案需要多少钱？
38．王老师花800元为学校篮球队购买运动服（如图），最多可以买多少套？还剩多少钱？
39．某公园将举办免费冰灯游园会，目的是为公众提供一个广泛参与，欢乐共享的冰雪季活动场所。该公园计划分两批运进冰块用于制作冰灯，第一批运进1 800立方米冰块，比第二批运进冰块少25%。
（1）第二批运进多少立方米冰块？
（2）该公园运进每批冰块时，都只能从甲、乙两家运输公司中选择其中一家运输公司运进。
甲、乙两家运输公司的相关信息如下表：
①选择哪家运输公司运进第一批冰块的运费最低，最低运费是多少元？
②选择哪家运输公司运进第二批冰块的运费最低，最低运费是多少元？
40．有34名同学去旅游，怎样租车最合算？
（小升初思维拓展）专题20：循环跑道问题（提高卷）六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【答案】C
【分析】把圆形湖泊的周长看作单位“1”，小红走一圈需要6分钟，平均每分钟走16圈，爷爷走一圈需要8分钟，平均每分钟走18圈，根据速度和×时间＝总路程，据此求出12分钟时两人走了多少圈，进而确定两人的位置，据此解答。
【解答】解：（16+18）×12
=724×12
＝312（圈）
因为两人12分钟走了3圈半，所以两人相距半圈的距离。
由此可以确定两人的位置在图象C的位置。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，关键是把圆形街心花园的周长看作单位“1”。
2．【答案】D
【分析】把圆形街心花园的周长看作单位“1”，小红走一圈需要6分钟，平均每分钟走16圈，爷爷走一圈需要8分钟，平均每分钟走18圈，根据速度和×时间＝总路程，据此求出12分钟时两人走了多少圈，进而确定两人的位置，据此解答。
【解答】解：（16+18）×12
＝（424+324）×12
=724×12
=72
＝312（圈）
因为两人12分钟走了3圈半，所以两人相距半圈的距离。
由此可以确定两人的位置在图象D的位置。
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，关键是把圆形街心花园的周长看作单位“1”。
3．【答案】A
【分析】把环形跑道的长度看作单位“1”，分别表示出两个人的速度，再根据“相遇时间＝路程÷速度和”解答即可。
【解答】解：1÷（1÷112+1÷110）
＝1÷22
=122（小时）
答：122小时两人相遇。
故选：A。
【点评】本题考查了环形跑道相遇问题，关键是把环形跑道的长度看作单位“1”。
4．【答案】D
【分析】两人在起点相遇，说明两人都跑了整数圈，也就是相遇时间既是4的倍数也是6的倍数，找出4和6的最小公倍数即为所求。
【解答】解：4＝2×2
6＝2×3
它们的最小公倍数为：
2×2×3＝12
答：至少12分钟后还能在起点相遇。
故选：D。
【点评】本题主要考查了环形跑道问题，用公倍数来解题是本题解题的关键。
5．【答案】B
【分析】因为乙的速度是甲的速度的4倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的110；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的 15，从第2次相遇起，5次一个循环，从而求得它们第199次相遇位置。
【解答】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的12×14+1=110；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长14+1=15，从第2次相遇起，5次一个循环。
（199﹣1）÷5＝39…3
110+15×3=710=12+15
所以它们第199次相遇在边BC上。
故选：B。
【点评】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。
6．【答案】C
【分析】方案一：购买9张成人票和42张学生票，根据“总价＝单价×数量”求出9位老师需要的钱数和42名学生需要的钱数，然后相加，求出需要的总钱数；
方案二：购买（9+42）张团体票，用团体票的单价乘上这个数，求出需要的总钱数；
方案三：9位老师和2名学生购买11张团体票，剩下的学生购买学生票；求出本方案需要的钱数。
比较三个方案需要的钱数，找出最便宜的即可。
【解答】解：方法一：购买9张成人票和42张学生票，需要的钱数为：
50×9+20×42
＝450+840
＝1290（元）
方法二：购买团体票，需要的钱数为：
30×（9+42）
＝30×51
＝1530（元）
方法三：9位老师和2名学生购买11张团体票，剩下的学生购买学生票，需要的钱数为：
30×（9+2）+20×（42﹣2）
＝30×11+20×40
＝330+800
＝1130（元）
1130＜1290＜1530
答：最少需要1130元钱。
故选：C。
【点评】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是求出三种购票方案需要的钱数。
7．【答案】D
【分析】根据题意，用载重3吨和4吨的货车一次运走13吨水泥，保证每辆货车装满，这样方案最合适。
【解答】解：A.如果用5辆载重3吨车，3×5＝15（吨），15＞13，有一辆车装不满；
B.如果用2辆载重4吨车和2辆载重3吨车，2×4+2×3＝14（吨），14＞13，有一辆车装不满；
C.如果用4辆载重4吨车，4×4＝16（吨），14＞13，有一辆车装不满；
D.如果用3辆载重3吨车和1辆载重4吨车，3×3+4＝13，每辆货车正好装满，这样方案最合适。
故选：D。
【点评】对于解决方案问题，注意题目中蕴含的条件和数据，通过具体的计算，找出最优化的方案。
8．【答案】C
【分析】方案一：15名老师购买成人票，85名学生购买儿童票，求出成人票需要的钱数加儿童票需要的钱数即可；
方案二：购买团体票，用团体票的单价乘上（15+85）人，求出需要的总钱数；
方案三：15名老师和15名学生，构成一个团体，购买30张团体票；剩下的学生85﹣15＝70（人）购买儿童票；分别求出30张团体票和70张儿童票需要的钱数，然后相加，求出本方案需要的钱数；
比较三个方案需要的钱数，找出最便宜的即可。
【解答】解：方案一：购买15张成人票和85张儿童票，
40×15+15×85
＝600+1275
＝1875（元）
方案二：全部购买团体票；
20×（15+85）
＝20×100
＝2000（元）
方案三：15名老师和15名学生购买团体票，剩下的学生购买儿童票；
85﹣15＝70（人）
20×30+70×15
＝600+1050
＝1650（元）
1650＜1875＜2000
答：15名老师和15名学生购买团体票，剩下的学生购买儿童票最省钱。
故选：C。
【点评】本题主要考查了优化问题，根据需要购票的学生及成人的人数与票价设计不同的方案进行分析是完成此类题目的常用方法。
9．【答案】D
【分析】甲超市：买三赠一是指买4瓶，只需要付3瓶的钱，然后用3除以4求出现价是原价的百分之几，进而再和乙超市的折扣比较即可。
【解答】解：甲超市：3÷（3+1）
＝3÷4
＝75%
乙超市：1﹣25%＝75%
75%＝75%
所以两家超市折扣相同，但在甲超市买3瓶以上才有优惠。
故选：D。
【点评】解决本题关键是理解两个超市优惠方法，找出其相同点和不同点，从而解决问题。
10．【答案】B
【分析】每满100元返25元现金就是总价里有几个100元，就返几个25元。一律九折，且折后满100元再返20元现金就是总价的百分之九十后，有几个100元就返几个20元。
【解答】解：甲商场：240÷100＝2••••••40（元）
25×2＝50（元）
240﹣50＝190（元）
乙商场：240×0.9＝216（元）
216÷100＝2••••••16（元）
20×2＝40（元）
216﹣40＝176（元）
答：去乙商场买划算。
故选：B。
【点评】本题主要考查了学生对优惠方案的理解，同时也考查了计算能力及应用意识。
二．填空题（共10小题）
11．【答案】12，3。
【分析】淘气跑一圈跑道要6分钟，妈妈跑一圈要4分钟，爸爸跑一圈只需2分钟，淘气回到起点的时间是6的整数倍，妈妈回到起点的时间是4的整数倍，爸爸回到起点的时间是2的整数倍，他们一同起跑后，在起点第一次相遇的时间即是6的整数倍，是4的整数倍，也是2的整数倍，即为6、4、2这三个数的倍数，且是最小的，由此解答即可。
【解答】解：由分析可得：最小公倍数为：[6，4，2]＝12（分钟）
12÷4＝3（圈）
答：他们一同起跑后，12分在起点第一次相遇，相遇时，妈妈跑了3圈。
故答案为：12，3。
【点评】此题考查最小公倍数的应用。关键在于理解题意。
12．【答案】60.
【分析】小明在环形跑道上跑了一圈，用了两种速度，用这两种速度跑所用的时间相同.于是，我们就可以想成是相遇问题.就能求出用两种速度跑所用的相同时间，后半圈路程所用时间即可求.
【解答】解：400÷（3+5）
＝400÷8
＝50（秒）
（5×50﹣200）÷5
＝50÷5
＝10（秒）
50+10＝60（秒）
答：他跑后半圈路程用了60秒.
故答案为：60.
【点评】本题关键是把相同时间内，用不同的速度，行完了一段路程，想成相遇问题来解答.
13．【答案】24。
【分析】通过分析可知，可以通过求4、6、8的最小公倍数的方法求出在起点第一次相遇的时间。
【解答】解：4＝2×2
6＝2×3
8＝2×2×2
2×2×2×3＝24（分钟）
答：三人同时从起点出发，24分钟后，可以在起点第一次相遇。
故答案为：24。
【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决问题的能力。
14．【答案】4003。
【分析】同向跑甲和乙第一次相遇时，甲跑了1200米，也就是甲跑了一圈加上乙跑的路程；又从反向跑第一次相遇可得，跑一圈甲就跑240米，1200米甲跑了5个240米，乙也跑了5个反向距离，1200米减去一圈的甲的240米，就是乙的6个反向相遇距离。乙的速度可得，圆的周长可得，直径即可求。
【解答】解：60×3+20
＝180+20
＝200（秒）
6×200＝1200（米）
（1200﹣6×40）÷（200÷40+1）
＝960÷6
＝160（米）
160÷40
＝4（米）
（6+4）×40÷3
＝400÷3
=4003（米）
故答案为：4003。
【点评】弄清楚行程问题数量间的关系是解决本题的关键。
15．【答案】2423。
【分析】首先根据图示，可得甲、乙距离是正方形的两个边长，分别求出甲、乙走每个边长加上休息的时间；然后根据乙走7个边长到A左边的顶点用时7×3713−2＝221013（分钟），241013分钟离开，因为2423＜241013，甲到A点时，乙还没有离开A左侧顶点，此时甲第一次看到乙，据此解答即可。
【解答】解：根据图示，可得甲乙距离是正方形的两个边长，
甲每个边长用时：100÷75＝113（分钟），加上休息需要313分钟；
乙每个边长用时：100÷65＝1713（分钟），加上休息需要3713分钟；
甲走两周回到A点用时313×8＝2423（分钟）；
乙走7个边长到A左边的顶点用时7×3713−2＝221013（分钟），241013分钟离开；
因为2423＜241013，甲到A点时，乙还没有离开A左侧顶点，此时甲第一次看到乙；即2423分钟末甲第一次看到乙。
答：2423分钟末甲第一次看到乙。
故答案为：2423。
【点评】此题主要考查了行程问题的应用，解答此题的关键是分别求出甲乙走每个边长加上休息的时间。
16．【答案】甲。
【分析】根据两家店的优惠政策，分别计算所需钱数，再比较即可。
【解答】解：甲店：88×70%＝61.6（元）
乙店：88﹣16＝72（元）
61.6＜72
答：去甲店购买便宜。
故答案为：甲。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是根据两家店的优惠政策，分别计算所需钱数。
17．【答案】60。
【分析】从家开车去花坛，之后分头走，爸爸取完资料之后去商场接妈妈，需要42分钟；妈妈步行到商场加上购物时间刚好42分钟。再一起开车回家。
【解答】解：8+15+10+15+2+2+8
＝33+15+12
＝48+12
＝60（分钟）
答：他们办完这些事回到家，至少需要60分钟。
故答案为：60。
【点评】此题要注意，如果爸爸先开车送妈妈去商场，则会浪费时间。
18．【答案】7，2，258。
【分析】每条大船每人次需要30÷6＝5（元）；每条小船每人需要24÷4＝6（元）；由此可知，首先要尽量租大船且没有空座时最省钱，据此解答即可。
【解答】解：每条大船每人次需要：30÷6＝5（元）
每条小船每人需要：24÷4＝6（元）
5＜6
所以要尽量租大船且没有空座时最省钱，
50÷6＝8（条）……2（人）
租8条大船，1条小船。
8×30+24
＝240+24
＝264（元）
租7条大船，2条小船。
7×30+2×24
＝210+48
＝258（元）
258＜264
答：租7条大船和2条小船最划算，至少需要258元。
故答案为：7，2，258。
【点评】明确尽量满载没有空座且要尽量多租大船是完成本题的关键。
19．【答案】2（或5），4（或2）。
【分析】两种车的载客人数分别为4人和6人，两种车型都要租，但要每次都坐满。用列表的方法把不同的租车方案一一列举出来，再选择最优方案即可。
【解答】解：
可以租车的方法有：租2辆小轿车和4辆面包车；也可以租5辆小轿车和2辆面包车。
故答案为：2（或5），4（或2）。
【点评】根据已知条件和数量关系将所有可能的方案一一列举出来，然后再从各种方案中选择最优方案。
20．【答案】乙。
【分析】根据各旅行社的优惠政策，分别计算甲旅行社、乙旅行社和丙旅行社分别需要多少钱，比较即可得出结论。
【解答】解：假设门票是100元，
甲旅行社：
100×3+100÷2
＝300+50
＝350（元）
乙旅行社：
100×4×80%＝320（元）
丙旅行社：
100×3×90%+1×100×60%
＝270+60
＝330（元）
320＜330＜350
答：乙旅行社更优惠。
故答案为：乙。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是根据各旅行社的优惠政策，计算所需钱数。
三．应用题（共10小题）
21．【答案】20分钟。
【分析】如果两人同时同地出发，同方向而行，小红超出小丽一整圈，看作单位“1”，然后用1除以两人的速度差就是追及时间。
【解答】解：1÷（1÷4﹣1÷5）
＝1÷120
＝20（分钟）
答：如果两人同时同地出发，同方向而行，20分钟后小红超出小丽一整圈。
【点评】环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）；第几次追上就多跑几圈。
22．【答案】7.5分钟。
【分析】如果甲比乙多跑1圈，那么甲就比乙多跑300米，然后除以两者的速度差即可。
【解答】解：300÷（280﹣240）
＝300÷40
＝7.5（分钟）
答：经过7.5分钟甲比乙多跑1圈。
【点评】解答本题关键是明确甲比乙多跑300米，然后根据“路程差÷速度差＝追及时间”解答即可。
23．【答案】713。
【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。
【解答】解：400÷24=1006（米/秒）
设原来甲的速度是x米/秒。
x+x+2=1006
2x+2=1006
2x=443
x＝713
答：甲原来的速度是713米/秒。
【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力。
24．【答案】24分钟。
【分析】小红的爸爸妈妈同时从起点出发，到他们第一次在起点相遇的时间，是他们各自跑一圈所用时间6分钟和8分钟的最小公倍数。
【解答】解：6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是：
2×2×2×3＝24
答：他俩24分钟后可以在起点第一次相遇。
【点评】在起点处相遇，就是爸爸用若个8分和妈妈用若干个6分相好相等，从出发到第一次在起点处相遇的时间就是6分和8分的最小公倍数。
25．【答案】这个环形跑道长500米。
【分析】根据题意得，环形跑道，反向而行则最后还是会相遇，同时出发则两人相遇时用的时间相等，两人都跑了50秒，跑道的长度等于小明行驶的路程加上小亮行驶的路程，可以用速度和乘时间；列式为（4+6）×50，据此解答即可。
【解答】解：（4+6）×50
＝10×50
＝500（米）
答：这个环形跑道长500米。
【点评】本题主要考查了行程问题。相遇问题：路程和＝速度和×时间；追及问题：路程差＝速度差×时间。
26．【答案】租8辆大车和1辆小车最省钱。
【分析】分别计算大车和小车每人所需钱数，尽量多租便宜的，空位尽量少最省钱。据此解答。
【解答】解：900÷40＝22.5（元/人）
500÷20＝25（元/人）
22.5＜25
（324+14）÷40
＝338÷40
＝8（辆）……18（人）
答：租8辆大车和1辆小车最省钱。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键是计算每人钱数。
27．【答案】4名教师和6名学生购买团体票，另外34名学生买学生票，最省钱。
【分析】按照“购买单人票、团体票和老师4人和学生6人购买团体票，剩余学生购买学生票”三种方案，分别计算出买票需要的钱数，最后进行比较即可解决问题。
【解答】解：单人票：
10×4+5×40
＝40+200
＝240（元）
团体票：
6×（4+40）
＝6×44
＝264（元）
教师4人和学生6人购买团体票，其余学生购买学生票：
6×（4+6）+5×（40﹣6）
＝60+170
＝230（元）
230＜240＜264
答：4名教师和6名学生购买团体票，另外34名学生买学生票，最省钱。
【点评】本题关键是找出购买票的不同方法，然后分别求出需要的钱数，进行比较即可。
28．【答案】1人买成人票12人买儿童票最划算。
【分析】根据题意，分别求出两种方案及两种方案混合，购票需要的钱数各是多少，再比较大小，判断出选择哪种方案购票最划算即可。
【解答】解：1+12＝13（人）
方案一：50+12×20
＝50+240
＝290（元）
方案二：10×30+（13﹣10）×20
＝300+60
＝360（元）
290＜360
答：1人买成人票12人买儿童票最划算。
【点评】此题主要考查了最优化问题，解答此题的关键是分别求出两种方案及两种方案混合，购票需要的钱数各是多少。
29．【答案】（1）同时购买2件合算。
（2）5件，3元。
【分析】（1）一件一件的买，买2件需要2个49元，即49×2＝98（元），98＞89，所以，同时购买2件合算。
（2）根据上题可知同时购买两件比较合算，所以看230元有几个89元，就可以买几个两件，再看剩余的钱能否再买一件，据此解答。
【解答】解：（1）49×2＝98（元）
98＞89
答：同时购买2件合算。
（2）230÷89＝2（个）（元）
52÷49＝1（件）（元）
共买：2×2+1＝5（件）
答：小红最多可以买5件T恤，还剩3元。
【点评】此题考查有余数的除法应用题，解决此题关键先确定哪一种买法合算，能够尽可能的多买，进而得解。
30．【答案】甲超市。
【分析】由题意可知，甲超市每箱卖32元，一箱有8盒，根据总价÷数量＝单价，可求出买1盒需要多少钱。乙超市买一箱送一盒，可知花45元可买（8+1）盒，根据总价÷数量＝单价，可求出买1盒需要多少钱；经过比较，即能得出到哪家超市买比较便宜一些。
【解答】解：甲超市：32÷8＝4（元）
即买1盒花4元；
乙超市：45÷（8+1）
＝45÷9
＝5（元）
即买1盒花5元；
4元＜5元
答：甲超市卖得便宜一些。
【点评】先理解两个超市的优惠方法，再根据优惠的方法求出买1盒各需要多少钱，进而求解。
四．解答题（共10小题）
31．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）相遇时两人一共跑了一周的长度，奇思每分跑280m，妙想每分跑320m，两人的速度比是：280：320＝7：8，那么两人的路程比就是7：8，即奇思跑了全程的一半少一些，妙想跑了全程一半多一些，由此找出跑的位置即可；
（2）把两人每分钟跑的路程相加，求出速度和，再用一周的长度除以速度和即可求出相遇需要的时间．
【解答】解：（1）两人的速度比是：280：320＝7：8，那么两人的路程比就是7：8，奇思跑了全程的一半少一些，妙想跑了全程一半多一些，相遇位置如下：
（2）5400÷（280+320）
＝5400÷600
＝9（分钟）
答：9分钟后两人相遇．
【点评】解决本题关键是明确：相遇时两人的路程和就是公路一周的长度．
32．【答案】（13，1）。
【分析】当甲逆时针行走到正方形右上顶点时他走了20米，用时13分钟；乙顺时针走到正方形的左下顶点时，走了10米，用时13分钟；那么他们相遇1次是在19分钟时。对应的记号可求。
【解答】解：10×2÷60
＝20÷60
=13（分钟）
10÷30=13（分钟）
答：那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号是（13，1）
【点评】熟悉正方形周长的意义，及行程问题数量间的关系是解决本题的关键。
33．【答案】环形跑道长400米。
【分析】这是一种变相的相遇问题。可以理解为小明和小亮从两地相对出发，2分钟相遇。所以用速度和乘相遇时间。
【解答】解：（80+120）×2＝200×2＝400（米）答：环形跑道长400米。
【点评】在熟练掌握相遇问题的基础上，再来看这道题就不难理解，把一个环形的纸条从一个地方剪开，伸直后就变成一个直的线路，两人从两端相对出发，就是典型的相遇问题。
34．【答案】（1）8分钟；（2）40分钟。
【分析】（1）两人相背而行，求几分钟相遇，用路程2400除以速度和即可。
（2）两人同向而行，求几分钟相遇，用路程2400除以速度差即可。
【解答】解：（1）2400÷（180+120）
＝2400÷300
＝8（分钟）
答：如果两人相背而行8分钟相遇。
（2）2400÷（180﹣120）
＝2400÷60
＝40（分钟）
答：如果两人同向而行40分钟相遇。
【点评】本题主要考查行程问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题；注意跑的方向。
35．【答案】（1）150秒；（2）甲蚂蚁已经经过A点；（3）3圈。
【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，求出小圆的周长，再根据时间＝路程÷速度，用小圆的周长除以乙蚂蚁速度即可求解；
（2）求出大圆的半圆的长，再除以甲蚂蚁的速度，得出用的时间与（1）中的时间对比即可；
（3）根据求两个数的最小公倍数的方法，得出150与250的最小公倍数，再除以甲蚂蚁一圈的时间即可。
【解答】解：（1）C小圆＝πd小圆＝3×30＝90（厘米）
90÷0.6＝150（秒）
答：乙蚂蚁第一次爬回到C点时，需要150秒。
（2）C大半圆=12πd大圆=12×3×50＝75（厘米）
75÷0.6＝125（秒）
125＜150
答：当乙蚂蚁第一次爬回到C点时，甲蚂蚁已经经过A点。
（3）乙蚂蚁第一次爬回到C点时，需要150秒，甲蚂蚁第一次爬回到C点时，需要250秒，
150与250的最小公倍数是750，
750÷250＝3（圈）
答：此时甲蚂蚁至少爬了3圈。
【点评】此题主要根据圆的周长公式、路程、速度、时间三者之间的关系、及求两个数的最小公倍数的方法解决问题。
36．【答案】46.8。
【分析】每5个空瓶可换1瓶汽水那么：5个空瓶可换得1个空瓶和瓶中的汽水，所以4个空瓶就可换得1瓶汽水，所以买4瓶就相当于买了5瓶；先用48除以5，看看需要买多少个这样的一组，还余下几瓶，进而得出需要买的总瓶数，再根据总价＝单价×数量求解。
【解答】解：48÷5＝9（组）……3（瓶）
4×9+3＝39（瓶）
1.2×39＝46.8（元）
答：她们至少用46.8元钱给大家买汽水，才可使每人都能喝到1瓶汽水。
【点评】解决本题关键是理解“每5个空瓶可换1瓶汽水”的含义，找出购买汽水的方法，从而求解。
37．【答案】（1）10，2。
（2）9200元。
【分析】（1）先分别用两种车每辆的租金除以可以坐的人数计算出平均每人需租金多少元，再比较大小，可以知道大车的人均价格更低，所以先尽量租大车，其次再选择小车，且尽量没有空余座位时最省钱，再用总人数除以50计算出需要几辆大车，剩下的人坐小车即可。
（2）根据第一题的数据，利用单价×数量＝总价，算出价钱即可。
【解答】解：（1）450÷40＝10（辆）……50（人）
50÷25＝2（辆）
答：租大车10辆和小车2辆最省钱。
（2）10×800+2×600
＝8000+1200
＝9200（元）
答：这种租车方案需要9200元钱。
故答案为：10，2。
【点评】此题考査的是经济问题的计算，要使租车最省钱，则应尽量多租最便宜的一种车型，并且使每辆车都坐满。
38．【答案】33套，2元。
【分析】48÷2＜30，因此两套两套地买合算。800÷48求出能买几组两套的，再看余数能买几个单套的即可，最后的余数就是剩余钱数。
【解答】解：800÷48＝16（组）……32（元）
32÷30＝1（套）……2（元）
16×2+1＝33（套）
答：最多可以买33套，还剩2元。
【点评】此题的关键是明确两套两套地买更合算，然后再进一步解答。
39．【答案】（1）2400立方米；
（2）①乙公司，14400元；②甲公司，19250元。
【分析】（1）把第二批运进的冰块看作单位“1”，求单位“1”用除法，据此解答；
（2）分别按照两家公司的优惠条件，选择不同的运输方式，分别计算所需的钱数，再比较数据的大小得出答案。
【解答】解：（1）1800÷（1﹣25%）
＝1800÷34
＝2400（立方米）
答：第二批运进2400立方米冰块。
（2）①运进第一批冰块：
甲公司：1800÷60×600
＝30×600
＝18000（元）
运费：5000+（18000﹣5000）×75%
＝5000+9750
＝14750（元）
乙公司：1800÷45×420
＝40×420
＝16800（元）
运费：16800÷2000＝8……800（元）
16800﹣8×300
＝16800﹣2400
＝14400（元）
14750＞14400
答：选择乙公司运进第一批冰块的运费最低，最低运费是14400元。
②运进第二批冰块：
甲公司：2400÷60×600
＝40×600
＝24000（元）
运费：5000+（24000﹣5000）×75%
＝5000+14250
＝19250（元）
乙公司：
2400÷45＝53……15（立方米）
53+1＝54（车）
54×420＝22680（元）
运费：22680÷2000＝11……680（元）
22680﹣11×300
＝22860﹣3300
＝19380（元）
19380＞19250
答：选择甲公司运进第一批冰块的运费最低，最低运费是19250元。
【点评】本题主要考查了分数除法的应用，以及优化问题的灵活运用。
40．【答案】租5辆面包车和1辆轿车。
【分析】租面包车，每人次需要花费：200÷6≈33.3（元）；租轿车每人次需要：150÷4＝37.5（元），所以租车要省钱，就要尽量租用面包车；据此解答即可。
【解答】解：租面包车，每人次需要花费：
200÷6≈33.3（元）
租轿车每人次需要：
150÷4＝37.5（元）
33.3＜37.5
所以租车要省钱，就要尽量租用面包车；
34÷6＝5（辆）……4（人）
余下4人，所以租5辆面包车和1辆轿车，没有空座，最省钱。
答：租5辆面包车和1辆轿车最合算。
【点评】关键是先算出租哪种车比较合适，再根据坐车的人数，尽量选用比较便宜的车乘坐，而且要尽量少空座。
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成人：每人10元
学生：每人5元
团体（10人及10人以上）：每人6元
项目
公司
运载量（立方米/车）
运费（元/车）
优惠条件
甲家运输公司
60
600
运费不超过5 000元时，无优惠；运费超过5 000元时，超过5 000元的部分打七五折
乙家运输公司
45
420
运费每满2000元减300元，少于2 000元的部分不享受优惠
租一条面包车
200元
租一辆轿车
150元