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环形跑道问题（提高卷）-六年级数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
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这是一份环形跑道问题（提高卷）-六年级数学思维拓展高频考点培优卷（通用版），共49页。试卷主要包含了如图，两个骑车人在不同的赛道上训练，如图，长方形ABCD中AB等内容，欢迎下载使用。
环形跑道问题（提高卷）
小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
一．选择题（共9小题）
1．Ⅰ型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，Ⅰ型每5分钟跑一圈，Ⅱ型每3分钟跑一圈．某一时刻，Ⅰ型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则Ⅰ型比Ⅱ型提前（ ）分钟开始跑动．
A．32 B．36 C．38 D．54
2．如图：AB是圆的直径，甲在A点，乙在B点，同时出发，甲逆时针方向走，乙顺时针方向走，他们第一次相遇在C点，C点离A点160米，在D点第二次相遇，D点离B点120米，那么这个圆周的周长是（ ）米．
A．1440 B．960 C．720 D．480
3．两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人A用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人B用直线赛道，其长度为5千米． 骑车人A用10分钟完成3圈，而骑车人B用5分钟行进了2个来回．那么骑车人A与骑车人B的速度比是（ ）
A．1：1.6π B．π：10 C．3：4 D．3π：40
4．兔子和乌龟在100米的环形跑道上赛跑．它们从同一地点同时出发，乌龟每爬行5米，兔子超过它一圈．当乌龟爬完一圈时，兔子跑了（ ）圈．
A．18 B．20 C．21 D．22
5．如图，长方形ABCD中AB：BC＝5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．
A．AB B．BC C．CD D．DA
6．池塘周围有一条道路，A、B、C三人从同一地点同时出发，A和B往逆时针方向走，C往顺时针方向走．A以每分钟80米、B以每分钟65米的速度行走，C在出发后的20分钟遇到A，再过2分钟遇到B，池塘的周长是（ ）米．
A．2800 B．3000 C．3200 D．3300
7．甲、乙两人同时同地沿400米环形跑道反向而行，经1分20秒相遇，如果两人同时同地同向而行，甲跑3圈就追上乙．甲每秒跑（ ）米．
A．2 B．3 C．2.4 D．1.6
8．小泉和小美在一条400米的环形跑道上同一起点开始跑步，都跑了三圈，小美比小泉早6分钟出发，反而比小泉晚到2分钟，小泉在跑了（ ）米后追上小美．
A．900 B．800 C．720 D．300
9．如图，赛车场的2400米跑道中套着1800米小跑道，大跑道与小跑道有1200米路程相重，甲车以每秒40米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒20米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，那么他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了（ ）米．
A．4400 B．3600 C．2800 D．1500
二．填空题（共35小题）
10．边长为50cm的正方形ABCD的顶点A，C各有一只小虫，它们同时出发沿正方形的边顺时针爬行，小虫甲每秒爬4cm，小虫乙每秒爬5cm，它们在顶点处转弯时都需要耗时2秒。经过 秒其中一只小虫将首次追上另一只小虫。
11．一条圆形跑道，长400米，甲乙在同一地点同时刻反向而行，甲的速度是90米/分钟，乙的速度是60米/分钟，运动20分钟的时候，两人相遇了 次。
12．甲、乙二人在400米环形跑道上进行10000米赛跑，两人从起点同时、同向出发，开始时甲每秒跑8米，乙每秒跑6米，当甲每次追上乙后，甲每秒减少2米，乙每秒减少0.5米，如此往复，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人每秒都增速0.5米，这样一直到终点。那么，领先者到达终点时，另一人距终点 米。
13．小明和小红在200米的环形跑道上跑步，他们从同一地点同向出发。如果小红先跑了50米后小明再出发，则小明跑了100米后追上小红。如果小明跑了100米小红再出发，那么小红跑了 米后被小明追上。
14．甲、乙两运动员在周长是400米的环形跑道上向同一方向竞走，已知乙的速度是平均每分80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙的前面100米．问甲第二次追上乙时一共用了 分．
15．如图所示，在一条400米的环形跑道上，A、B两点相距100米．甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米都要停10秒钟，那么甲追上乙需要 秒．
16．甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了250米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前80米处又第二次相遇。此圆形场地的周长为 米。
17．甲、乙、丙三人绕操场步行一周，甲走要3分钟，乙走要4分钟，丙走要6分钟．如果三人同时同地同向出发绕操场行走，当他们三人第一次重新相遇在出发点时，三人共走了 周．
18．一只老鼠从A点沿着长方形路线逃跑，一只花猫同时从A点朝长方形路线的另一方向捕捉，结果在距离中点6米的C处，花猫捉住了老鼠。已知老鼠的速度是花猫的1114，则长方形的周长 米。
19．小姚、小勇两人在200米的环形跑道上相距100米背向出发，小姚每秒种跑2.3米，到他们第三次相遇时总共用了100秒，此时小勇再跑 米就会回到自己的出发地．
20．在一个长400厘米的圆形的轨道上有A，B，C，D四个等距离的小球，开始时B，D两个小球不动，小球A，C分别以每秒1厘米和每秒29厘米的速度沿着圆形道向小球B运动，接下去的运动规则如下：当某两个小球相遇时，其速度及方向就传递给对方，那么当第一次有三个小球相遇时，小球D运动了 厘米．（例如：当小球C第一次遇到小球B后，小球C的速度就变为0，而小球B的速度就变为每秒29厘米，并沿着小球C原来的方向运动，小球半径忽略不计．）
21．在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发后反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇，那么乙环行一周需要 分钟．
22．甲、乙、丙三人在一条周长为360米环形跑道上的同一出发点：甲先出发，逆时针方向跑步；在甲还未完成一圈时，乙、丙同时出发，顺时针方向跑步；当甲、乙第一次相遇时，丙刚好距他们半圈；一段时间后，当甲、丙第一次相遇时，乙刚好也距他们半圈．如果乙的速度是甲的4倍，那么，当乙、丙出发时，甲已经跑了 米．
23．A、B两人同时从同一地点绕操场跑道跑步．如果是沿着同一方向跑，3小时后A追上B；如果沿着相反方向跑，2小时后能相遇．A、B两人跑步速度比的比值是 ．
24．甲、乙两名运动员在环形跑道上从同一点同时背向而行，在出发30分钟后两人第一次相遇．已知甲运动员跑一圈要80分钟，那么乙运动员跑一圈要 分钟．
25．如图，是一个边长为90米的正方形，甲从A出发，乙同时从B出发，甲每分钟行进63米，乙每分钟行进72米，当乙第一次追上甲时，乙在 点上．
26．小明和小红在600米的环形跑道上跑步，两人从同一起点同时出发，朝相反方向跑，第一次和第二次相遇时间间隔50秒，已知小红的速度比小明慢2米/秒，则小明的速度为 米/秒．
27．甲乙两人从300米环形跑道的同一点出发，背向而行，甲每秒跑2米，乙每秒跑4米．当两人迎面相遇时，甲转身往回跑；当甲乙再相遇时，乙转身往回跑．若依此类推，出发后 秒两人第一次在出发点相遇．
28．如图，A、B为圆形轨道一条直径的两个端点，甲、乙、丙三个微型机器人在圆形轨道上同时出发，作匀速圆周运动，甲、乙从A出发，丙从B出发；乙顺时针运动，甲、丙逆时针运动，出发后12秒钟甲到达B，再过9秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇；那么当丙第一次到达A后，再过 秒钟，乙才第一次到达B．
29．小明在240米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑3米，那么小明后一半路程用了 秒．
30．如图，在一个周长是300米的环形跑道上，甲、乙、丙三人同时从A地出发，甲、乙沿顺时针方向行走，速度分别是每分钟40米和每分钟50米；丙沿逆时针方向行走，速度是每分钟60米．乙每跑100米，就要休息1分钟；甲、丙每次相遇，两人都会同时休息半分钟，那么，当甲第三次超越乙时，丙一共走了 米．
31．甲、乙、丙3人在一个周长是300米的环形跑道上同时出发，出发地和行走方向如图所示．已知，出发15秒后乙和丙第一次相遇，又过了10秒，甲和乙第一次相遇．那么，再经过 秒，甲第一次追上丙．
32．如图，甲、乙两人从A地同时背向出发，在环形路线上行走，第一次相遇时甲比乙多走了200米，当甲回到A地后速度提高一倍，继续行走，结果距A地250米与乙第二次相遇，那么这个环形跑道长为 。
33．环形跑道周长是500米，甲、乙两人按顺时针沿环形跑道同时、同地起跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑50米，甲、乙两人每跑200米均要停下休息1分钟．那么甲首次追上乙需 分钟．
34．甲、乙、丙3人在周长是300米的环形跑道上同时同地同向出发．甲第一次追上乙时，甲、乙恰好都回到出发点，此时丙距离出发点100米；过了一会，甲第一次追上丙时，乙跑了7圈多一些，那么，丙第一次追上乙时，甲总共跑了 米．
35．爷爷和孙子两人同时从同一地点反向绕一条环形跑道跑步，在第一次相遇后，爷爷又跑了8分钟回到原地，已知孙子跑一圈需要6分钟，爷爷跑一圈的时间是偶数，爷爷跑一圈的时间是 分钟．
36．如图是一个边长100米的正方形．甲、乙两人同时从A点出发，沿正方形的边走．甲逆时针每分钟行75米，乙顺时针每分钟行45米，两人第一次在CD边（不包括C、D两点）上相遇，是出发以后第 次相遇．
37．甲、乙两人在一环形跑道上，甲跑步，乙步行．如果他们同时从同一点出发，背向而行，1分钟后二人相遇；如果他们同时从同一点同向而行，则3分钟后甲从背后追上乙．依这样的速度，甲沿着环形跑道跑一圈所花的时间是 分 秒．
38．在一个环形跑道上有相距100米的甲、乙两个电动玩具车，两车同时出发同向而行，甲车在前，乙车在后，5分钟后乙车第一次追上甲车，又过了20分钟，乙车第二次追上甲车，此时甲车正好驶完一圈．那么乙车的速度为每分钟 米．
39．如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为1、2、3、4的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾车匀速行驶，且从1、2、3、4号车站出发的车的速度分别为1、2、3、4，以后速度再不变化．行驶完毕后，他们有如下的话：
甲说：“我第一次追上乙时恰在车站①”．
乙说：“我第一次追上丙时恰在车站②”．
丙说：“我第一次追上丁时恰在车站③”．
丁说：“我第一次追上甲时恰在车站④”．
已知其中有两人的话正确，两人说的话错误．那么四位数ABCD= ．
40．甲、乙、丙三人同时从A点出发，按逆时针方向沿着构成正方形ABCD的4条街道跑步．已知三个人的速度分别为每秒5米、4米和3米．在甲第一次看到乙、丙与他在同一条街后，又过了7分钟，三个人第一次到达同一点．那么四条街道的总长是 米．
41．甲、乙、丙三人在长2790米的环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙在距离乙180米处遇见甲．丙每分钟走 米．
42．可可、乐乐两人绕周长240米的湖边跑步．他们从一棵大树下同时出发背向而行，可可每秒跑4米、乐乐每秒跑5米．他们第3次相遇时．可可离大树 米．
43．甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，已知甲跑完一圈用40秒．如果他们同时从同一地点出发，背向而行，每隔24秒相遇一次；如果他们同向而行，每隔 秒钟相遇一次．
44．甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变，如果两人同时从两地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需 分钟．
三．解答题（共16小题）
45．在周长为400米的圆形场地的一条直径的两端，甲、乙二人分别以每秒12米、每秒10米的速度同时同向骑车出发，沿圆周行驶．问：14分钟内甲追上乙多少次？
46．如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米．甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米．甲、乙二人同时由A点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑．问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？（路程按甲跑的计算）
47．有甲、乙、丙三个人同时同向从同地出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟360米，乙每分钟300米，丙每分钟210米，问他们至少各绕了多少圈后才能再次相遇？
48．甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？
49．在一个周长500米的环形跑道上，艾迪和薇儿同时同地出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇，相遇后两人继续前行．已知艾迪比薇儿每秒多跑2米，请回答下列问题：
（1）薇儿的速度是多少？
（2）6分钟内两人共相遇多少次？
（3）第3次相遇后，艾迪至少还需要再跑多少米才能回到出发点？
50．某校运动会在400米环形跑道上进行一万米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
51．一个环形跑道一共两个跑道，1号跑道一共400米，2号跑道一共440米，而且直线跑道都是100米．艾迪每分钟跑240米，薇儿每分钟跑200米．
（1）艾迪和薇儿从1号跑道同时出发逆时针跑，问：艾迪多久追上薇儿？
（2）艾迪和薇儿从2号跑道同时出发，相背而行，问：他们相遇5次用时多少分钟？
（3）艾迪和薇儿分别从1号和2号跑道的起点处，同时以同一速度顺时针跑步，问：艾迪第一次追上薇儿时（两人并排），艾迪已经跑了多少米？
52．艾迪和薇儿在公园里沿着周长为30米的圆形花坛边玩相遇与追及的游戏，艾迪的跑步速度为6米/秒，薇儿的跑步速度为4米/秒，两人约定，如果两人迎面相遇，那么艾迪就立即回头；如果艾迪从后面追上薇儿，那么薇儿就立即回头，两人从花坛周围的某一点A同时背向出发．所有转身的时间都忽略不计，且无论两人迎面相遇还是同向追及，都认为是一次“相遇”．
（1）第1次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（2）第2次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（3）如果两人持续地跑下去，第2014次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
53．如图，点M、N分别是边长为4米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒．求：
（1）第1秒时△NPQ的面积；
（2）第15秒时△NPQ的面积；
（3）第2015秒时△NPQ的面积．
54．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？
55．如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从A点出发，逆时针环行．已知，甲、乙、丙跑一圈的时间分别为6、10、16分钟．
（1）出发后多少分钟后，甲乙丙第一次同时经过A点？
（2）出发后多少分钟（分钟数为整数）后，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰好为正方形ABCD面积的一半？
56．小明绕操场跑一圈5分钟，妈妈绕操场跑一圈用3分钟．
（1）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，几分钟后两人再次同时到达起点？此时妈妈和小明各跑了几圈？
（2）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，几分钟后妈妈第一次追上小明？
（3）如果小明和妈妈从同一起点同时反向出发，几分钟后两人第四次相遇？
57．在周长为400米的椭圆跑道上，甲、乙两人分别骑自行车从相距300米的两点同时出发沿着跑道相向而行，相遇后两人各自继续前进．已知甲的骑车速度是4米/秒，乙的骑车速度是6米/秒．那么相遇6次时，两人至少骑了 秒．
58．有一个圆形跑道，甲用40秒跑完一圈，乙跑的方向与甲相反，每15秒遇到甲一次．乙跑完一圈需要几秒？
59．如图，一张方桌周围有16把椅子，依次编号1至16，现在小泉从1号椅子出发先逆时针前进54个，再顺时针前进45个，又逆时针方向前进54个，这时小泉在几号椅子上？
60．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的14圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？
环形跑道问题（提高卷）小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．Ⅰ型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，Ⅰ型每5分钟跑一圈，Ⅱ型每3分钟跑一圈．某一时刻，Ⅰ型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则Ⅰ型比Ⅱ型提前（ ）分钟开始跑动．
A．32 B．36 C．38 D．54
【分析】由题意知：两类型的玩具车都刚跑完了18圈，我们又知道I型车比II型车每圈多用5﹣3＝2分钟，那可求18圈多用的时间是18×2＝36分钟，这里多用的时间就是I型比II型提前的时间，即36分钟．
【解答】解：5﹣3＝2（分钟）
18×2＝36（分钟）
故选：B。
【点评】做此题，主要是要明白I型比II型跑相同圈数多用时间就是应该提前的时间．
2．如图：AB是圆的直径，甲在A点，乙在B点，同时出发，甲逆时针方向走，乙顺时针方向走，他们第一次相遇在C点，C点离A点160米，在D点第二次相遇，D点离B点120米，那么这个圆周的周长是（ ）米．
A．1440 B．960 C．720 D．480
【分析】第一次相遇的时候两人行驶的路程之和是圆周长的一半，第二次相遇的时候两人行的路程之和是圆周长的一倍半．由此知道甲一共行了3个160，这样就可以求出圆周长的一半是多少．
【解答】解：
第二次相遇甲行的路程160×3＝480（米）
圆周长的一半480﹣120＝360（米）
圆周长360×2＝720（米）
故选：C。
【点评】此题重点在分析第一次相遇和第二次相遇之间存在的关系，由此推算出第二次相遇甲行的路程．
3．两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人A用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人B用直线赛道，其长度为5千米． 骑车人A用10分钟完成3圈，而骑车人B用5分钟行进了2个来回．那么骑车人A与骑车人B的速度比是（ ）
A．1：1.6π B．π：10 C．3：4 D．3π：40
【分析】通过分析可知；A的速度为：πD×3÷10＝π×1000×3÷10＝300π（米/分）
B的速度为：5000×2×2÷5＝4000（米/分）
其速度比为：A：B＝π×1000×3÷10：5000×2×2÷5，据此解答即可．
【解答】解：由题目中的数据，求得A的速度为：πD×3÷10＝π×1000×3÷10＝300π（米/分）
B的速度为：5000×2×2÷5＝4000（米/分）
其速度比为：A：B＝300π：4000
＝3π：40
故选：D。
【点评】求出各自的速度，进行比较即可．
4．兔子和乌龟在100米的环形跑道上赛跑．它们从同一地点同时出发，乌龟每爬行5米，兔子超过它一圈．当乌龟爬完一圈时，兔子跑了（ ）圈．
A．18 B．20 C．21 D．22
【分析】题意可知：因为乌龟爬5米，兔子就超过它一圈，所以乌龟爬5米，兔子就跑了100+5＝105米，乌龟爬一圈，兔子就超过它100÷5＝20圈，则20×105＝2100米，2100÷100＝21圈，从而问题得解．
【解答】解：100+5＝105（米）
100÷5×（100+5）÷100
＝20×105÷100
＝21（圈）
答：当乌龟爬完1圈时，兔子跑了21圈．
故选：C。
【点评】解答此题的关键是明白：乌龟爬5米，兔子就跑了105米，乌龟爬一圈，兔子就超过它100÷5＝20圈，从而问题逐步得解．
5．如图，长方形ABCD中AB：BC＝5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．
A．AB B．BC C．CD D．DA
【分析】由题干，第一次相遇在B点，可知第一只蚂蚁与第二只蚂蚁的速度比也是5：4，那么相遇后再相遇，它们的路程比仍是5：4，令这个长方形的长和宽分别为5和4，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意可得蚂蚁的速度之比是5：4，
所以从B点出发再次相遇时它们爬行的路程比仍是5：4
令这个长方形的长和宽分别为5和4，
（5+4）×2＝9×2＝18，
5+4＝9，
18×59=10，
所以第一只蚂蚁从B点爬了10，
因为BC+CD＝4+5＝9，
所以此时第一只蚂蚁已经经过C点D点，
所以它们是在DA边上相遇．
故选：D。
【点评】此题的关键是抓住由路程比的关系得出速度比，根据长度比设出确切数据计算出结果从而判断二者相遇地点．
6．池塘周围有一条道路，A、B、C三人从同一地点同时出发，A和B往逆时针方向走，C往顺时针方向走．A以每分钟80米、B以每分钟65米的速度行走，C在出发后的20分钟遇到A，再过2分钟遇到B，池塘的周长是（ ）米．
A．2800 B．3000 C．3200 D．3300
【分析】由于A每分钟比B多行80﹣65米，所以20分钟后AC相遇时A比B多行了（80﹣65）×20＝300米，即此时AC与B相距300米，又C在遇到A后又过了两分钟遇到了B，所以BC的速度和是300÷2＝150米，则C的速度是每分钟150﹣65＝85米，则AC的速度和是每分钟85+80米，然后用两人的速度和乘两人的相遇时间，即得池塘周长是多少米．
【解答】解：（80﹣65）×20÷2﹣65
＝15×20÷2﹣65
＝150﹣65
＝85（米）
（80+85）×20
＝165×20
＝3300（米）
答：池塘周长是3300米．
故选：D。
【点评】首先根据速度差×共行时间＝路程差求出AC相遇时，BC相距多少米是完成本题的关键．
7．甲、乙两人同时同地沿400米环形跑道反向而行，经1分20秒相遇，如果两人同时同地同向而行，甲跑3圈就追上乙．甲每秒跑（ ）米．
A．2 B．3 C．2.4 D．1.6
【分析】如果反向而行1分20秒即80秒相遇，则相遇时甲和乙正好行一周，则他们的速度和是每秒400÷80＝5米，如果同向而行甲跑3圈就追上乙，因为甲追上乙，就要比乙多跑1圈就，那么乙跑了3﹣1＝2圈；所以甲、乙的速度比是3：2，那么甲的速度就占5米的33+2，然后用乘法解答即可．
【解答】解：1分20秒＝80秒
400÷80＝5（米/秒）
3：（3﹣1）＝3：2
5×33+2=3（米/秒）
故选：B。
【点评】本题考查了环形跑道上的追及和相遇问题，关键是求出甲、乙两人的速度和与速度比．
8．小泉和小美在一条400米的环形跑道上同一起点开始跑步，都跑了三圈，小美比小泉早6分钟出发，反而比小泉晚到2分钟，小泉在跑了（ ）米后追上小美．
A．900 B．800 C．720 D．300
【分析】绕一条400米的跑道跑三圈的路程是400×3＝1200（米），可理解为小泉跑1200米时，用6分钟时间赶上小美，再用2分钟时间甩开小美，每分钟比小美多跑1200÷（6+2）米，根据“路程＝速度×时间”，即可求出小泉跑多少米追上小美．
【解答】解：1200÷（6+2）×6
＝1200÷8×6
＝150×6
＝900（米）
答：小泉在跑了900米后追上小美．
故选：A。
【点评】也可理解为小美每分钟比小泉少跑1200÷（6+2）米，她早跑6分钟，用1200÷（6+2）米乘6就是小美先跑的路程，小泉要想追上小美，他跑的路程应等于小美先跑的路程．
9．如图，赛车场的2400米跑道中套着1800米小跑道，大跑道与小跑道有1200米路程相重，甲车以每秒40米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒20米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，那么他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了（ ）米．
A．4400 B．3600 C．2800 D．1500
【分析】根据题意，甲乙第一次相遇的时间是2400÷（40+20）＝40秒，第一次相遇甲跑的路程是40×40＝1600（米），第一次相遇乙跑的路程是40×20＝800（米），然后再求出乙跑完（1800﹣800）米的路程用的时间，即（1800﹣800）÷20＝50秒，即乙回到出发点A的时间，这时甲跑的路程是40×50＝2000米，这时甲所处的地点在A点左2000+1600﹣2400＝1200米处，即与乙错开，再相遇还需要的时间是（2400﹣1200）÷（40+20）＝20秒，所以从第一次相遇到第二次相遇时间是50+20秒，第一次相遇用40秒，所以在第二次相遇时，他们一共跑了40+50+20＝110秒，再用甲的速度乘以跑的时间，即可求出甲共跑的路程是多少．
【解答】解：第一次相遇的时间是：
2400÷（40+20）
＝2400÷60
＝40（秒）
第一次相遇甲行驶的路程是：
40×40＝1600（米）
第一次相遇乙行驶的路程是：
40×20＝800（米），
乙回到出发点A的时间：
（1800﹣800）÷20
＝1000÷20
＝50（秒）
甲行驶的路程是：
40×50＝2000（米）
甲处的位置在A点左：
2000+1600﹣2400＝1200（米）
再相遇还需要的时间是：
（2400﹣1200）÷（40+20）
＝1200÷60
＝20（秒）
甲一共跑的路程是：
40×（40+50+20）
＝40×110
＝4400（米）
答：甲共跑了4400米．
故选：A。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出甲第一次相遇后到他们第二次在跑道上相遇时，甲又行驶的时间是多少．
二．填空题（共35小题）
10．边长为50cm的正方形ABCD的顶点A，C各有一只小虫，它们同时出发沿正方形的边顺时针爬行，小虫甲每秒爬4cm，小虫乙每秒爬5cm，它们在顶点处转弯时都需要耗时2秒。经过 128 秒其中一只小虫将首次追上另一只小虫。
【分析】甲虫爬一圈用时（200÷4+2×4＝58）秒，乙虫爬一圈用时（200÷5+2×4＝48）秒，甲虫比乙虫多用10秒，10秒乙虫爬50cm，就到了D；当甲虫再爬一圈时，甲虫爬了400cm，到了A，乙虫转弯D时用2秒，它就爬了（250+250+5×8＝540）cm，它距离甲虫10cm，那么再过12秒钟，乙虫追上甲虫。答案即可求。
【解答】解：甲虫爬一圈用时（200÷4+2×4＝58）秒，乙虫爬一圈用时（200÷5+2×4＝48）秒，甲虫比乙虫多用10秒，10秒乙虫爬50cm，就到了D；当甲虫再爬一圈时，甲虫爬了400cm，到了A，乙虫转弯D时用2秒，它就爬了（250+250+5×8＝540）cm，它距离甲虫10cm，那么再过12秒钟，乙虫追上甲虫。
58+58+12
＝116+12
＝128（秒）
故答案为：128。
【点评】明确追击问题中数量间的关系是解决本题的关键。
11．一条圆形跑道，长400米，甲乙在同一地点同时刻反向而行，甲的速度是90米/分钟，乙的速度是60米/分钟，运动20分钟的时候，两人相遇了 7 次。
【分析】由于是背向而行，所以每相遇一次，就行400米，所以先求出20分钟内行驶的总路程，然后看总路程里面有几个400米，就相遇几次。
【解答】解：90+60＝150（米/分）
150×20＝3000（米）
3000÷400≈7（次）
答：两人相遇了7次．
故答案为：7。
【点评】本题考查的是环形行程问题中相遇问题，本题题关键是理解，每相遇一次行驶的路程等于圆形跑道的周长。
12．甲、乙二人在400米环形跑道上进行10000米赛跑，两人从起点同时、同向出发，开始时甲每秒跑8米，乙每秒跑6米，当甲每次追上乙后，甲每秒减少2米，乙每秒减少0.5米，如此往复，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人每秒都增速0.5米，这样一直到终点。那么，领先者到达终点时，另一人距终点 36411 米。
【分析】我们知道“只有快者比慢者多跑一圈才能追上慢者”。结合题意可这样一步步求解：①甲追乙1圈时，甲跑了8×[400÷（8﹣6）]＝1600米，此时甲、乙的速度分别变为6米/秒和5.5米/秒；②甲追上乙2圈时，甲跑了1600+6×[400÷（6﹣5.5）]＝6400米，此时甲、乙的速度分别变为4米/秒和5米/秒；③乙第一次追上甲时，甲跑了6400+4×[400÷（5﹣4）]＝8000（米），乙跑了8000﹣400＝7600米，此时，甲、乙的速度分别变为4.5米/秒和5.5米/秒（之后都是此速度）；④乙跑到终点还需（10000﹣7600）÷5.5=436411秒（与甲到达终点需要时间比较下），则知乙到达终点时，甲距终点（10000﹣8000）﹣4.5×436411=2000-1963711=36411（米）。
【解答】解：8×[400÷（8﹣6）]＝1600（米）
1600+6×[400÷（6﹣5.5）]＝6400（米）
6400+4×[400÷（5﹣4）]＝8000（米）
8000﹣400＝7600（米）
（10000﹣7600）÷5.5=436411（秒）
（10000﹣8000）﹣4.5×436411=2000-1963711=36411（米）
答：领先者到达终点时，另一人距终点36411米。
故答案为：36411.
【点评】此题主要考查环形跑道的追及问题，关键是弄明白随着速度的变化，快到终点时乙的速度要快一些．
13．小明和小红在200米的环形跑道上跑步，他们从同一地点同向出发。如果小红先跑了50米后小明再出发，则小明跑了100米后追上小红。如果小明跑了100米小红再出发，那么小红跑了 100 米后被小明追上。
【分析】据题意，我们知道小明跑100米的时间于小红跑100﹣50＝50米的时间相等，则他们速度比为100：50＝2：1；因为跑道是环形的，故把“如果小明跑了100米小红再出发”看作是“小红在小明前面200﹣100＝100米，两人同时出发”或者是看成“他们从同一地点同向出发，小红先跑了100米后小明再出发”，之后结合他们是速度比即可求出答案。
【解答】解：100﹣50＝50（米）
100：50＝2：1
（200﹣100）÷（2﹣1）×1＝100（米）
答：小红跑了100米后被小明追上。
故答案为：100。
【点评】解此题的关键是先求出他们的速度比，再用变换角度看问题，如：故把“如果小明跑了100米小红再出发”看作是“小红在小明前面200﹣100＝100米，两人同时出发”或者是看成“他们从同一地点同向出发，小红先跑了100米后小明再出发”，即可轻松作答。
14．甲、乙两运动员在周长是400米的环形跑道上向同一方向竞走，已知乙的速度是平均每分80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙的前面100米．问甲第二次追上乙时一共用了 35 分．
【分析】甲在乙的前面100米，则第一次甲追上乙需要追及400﹣100米，则第二次追上乙还需要再追及一周即400米，即甲第二次追上乙需要追及700米，又甲的速度是每分80×1.25米，则用追及距离除以两人的速度差，即得第二次追上乙时一共用了多少分．
【解答】解：（400﹣100+400）÷（80×1.25﹣80）
＝（300+400）÷（100﹣80）
＝700÷20
＝35（分）．
答：甲第二次追上乙时一共用了35分．
【点评】本题体现了追及问题的基本关系式：追及距离÷速度差＝追及时间．
15．如图所示，在一条400米的环形跑道上，A、B两点相距100米．甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米都要停10秒钟，那么甲追上乙需要 140 秒．
【分析】根据题意和“追及问题”公式，可求得甲、乙在行程中都没停的情况下，甲追上乙的用时为100÷（5﹣4）＝100秒；在这段时间内甲停留了100×5÷100﹣1＝4次，即4×10＝40秒，乙停留了100×4÷100﹣1＝3次，即3×10＝30秒；由此可知：甲跑到100×5＝500米追上乙时，乙正好跑了100×4＝400米并在此休息了10秒正准备跑，至此即可得出答案．
【解答】解：100÷（5﹣4）＝100（秒）
100×5÷100﹣1＝4（次）
100+4×10＝140（秒）
故答案为：140．
【点评】解此题的关键是要明白“甲跑到100×5＝500米追上乙时，乙正好跑了100×4＝400米并在此休息了10秒正准备跑”，方可得出正确答案．
16．甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了250米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前80米处又第二次相遇。此圆形场地的周长为 1340 米。
【分析】根据题意，我们知道“他们第一次相遇共走了此圆形场地的一半，即圆周的一半；第二次相遇共走了一个圆周”，因第一次相遇乙走了250米，则第二次相遇乙走了第一次的2倍，即250×2＝500米，乙共走了250+250＝750米；再结合“在甲走完一周前80米处又第二次相遇”得知“乙走了半周多80米”，那么此圆形场地的半周长为750﹣80＝670米，之后便可求出问题答案。
【解答】解：250×2+250＝750（米）
750﹣80＝670（米）
670×2＝1340（米）
答：此圆形场地的周长为1340米。
【点评】解此题，可画出草图帮助学生理解题意，找到解题的思路。
17．甲、乙、丙三人绕操场步行一周，甲走要3分钟，乙走要4分钟，丙走要6分钟．如果三人同时同地同向出发绕操场行走，当他们三人第一次重新相遇在出发点时，三人共走了 9 周．
【分析】甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要3分钟，乙要4分钟，丙要6分钟，则三人第一次相遇的时间是3、4、6的最小公倍数，3、4、6最小公倍数是12，即12分钟后在第一次相遇，由此即能求出相遇时各行了多少周，再相加即可．
【解答】解：3、4、6的最小公倍数是12，
甲：12÷3＝4（周）
乙：12÷4＝3 （周）
丙：12÷6＝2（周）
4+3+2＝9（周）．
即三人共走了9周．
故答案为：9．
【点评】本题关键是明确三人第一次相遇的时间是3、4、6的最小公倍数是完成本题的关键．
18．一只老鼠从A点沿着长方形路线逃跑，一只花猫同时从A点朝长方形路线的另一方向捕捉，结果在距离中点6米的C处，花猫捉住了老鼠。已知老鼠的速度是花猫的1114，则长方形的周长 100 米。
【分析】根据“老鼠的速度是花猫的1114”，我们不妨这样认为“在相同的时间内（它们从A点到C点所用时间），老鼠跑11份的路程，则花猫就跑14份的路程”；据“在距离中点6米的C处，花猫捉住了老鼠”可知“此时花猫比老鼠多跑了6×2＝12米”；综上得知：“花猫多跑的14﹣11＝3份为12米”，则每份为12÷3＝4米。那么，长方形的周长为11+14＝25份，也就是25×4＝100米。
【解答】解：6×2＝12（米）
12÷（14﹣11）＝4（米）
4×（14+11）＝100（米）
答：长方形的周长100米。
【点评】解此题的关键是“弄清它们从A点到C点，花猫比老鼠多跑了2个6米”和“这些数量之间存在的关系”。
19．小姚、小勇两人在200米的环形跑道上相距100米背向出发，小姚每秒种跑2.3米，到他们第三次相遇时总共用了100秒，此时小勇再跑 130 米就会回到自己的出发地．
【分析】先求出老人的速度之和进而求出小勇的速度，即可求出小勇100秒跑得路程，即可得出结论．
【解答】解：两人共跑100+200×2＝500（米），
速度和为500÷100＝5（米/秒），
小勇的速度为5﹣2.3＝2.7（秒），
小勇跑了2.7×100＝270（米），
恰好是跑了一圈多70米，则还需要跑200﹣70＝130（米）可以回到出发地，
答：小勇还需要跑130米就会跑到自己的出发地，
故答案为：130．
【点评】此题主要考查了环形跑道问题，解本题的关键是求出两人的速度之和，是一道基础题．
20．在一个长400厘米的圆形的轨道上有A，B，C，D四个等距离的小球，开始时B，D两个小球不动，小球A，C分别以每秒1厘米和每秒29厘米的速度沿着圆形道向小球B运动，接下去的运动规则如下：当某两个小球相遇时，其速度及方向就传递给对方，那么当第一次有三个小球相遇时，小球D运动了 65313 厘米．（例如：当小球C第一次遇到小球B后，小球C的速度就变为0，而小球B的速度就变为每秒29厘米，并沿着小球C原来的方向运动，小球半径忽略不计．）
【分析】根据题意可知：运动小球的速度比为1：29．我们可将全程分为60份，标上刻度0到59，把开始时A的位置标0，B的位置标15，C的位置为30．D的位置为45．那么第一次相时，用时30÷（1+29）＝1，即逆时针向前1×1＝1格，在刻度1处相遇；以后每次相遇，用时60÷（1+29）＝2，即逆时针向前1×2＝2格，分别在刻度3、5、7…处相遇；开始时，B、D没动，所以每当走到B、D开始时的位置，即刻度为15、45的位置时，总会留下一个球，另一个球继续前进，所以15、45的位置总有球在，所以当在刻度15处相遇时，第一次三个球相遇，这是运动球第8次相遇；开始时，圈上四个球按逆时针顺序为ABCD，这个顺序永远不会改变．据此易知，第一次是AB相遇，第二次是BC相遇，第三次是CD相遇，第四次是DA相遇，…
故可得下面列表
从表中我们可以发现D走了30+10+2+22+30+2+2＝98个刻度，每个刻度长度为400÷60=203，所以共走了98×203=65313．
【解答】解：将全程分为60份，标上刻度0到59，把开始时A的位置标0，B的位置标15，C的位置为30．D的位置为45，则得
30÷（1+29）＝1
60÷（1+29）＝2
依此类推得下表
30+10+2+22+30+2+2＝98
400÷60=203
98×203=65313
故答案为：65313．
【点评】解此题的关键就是给圆形跑道标上刻度，根据相遇公式，推算出运动小球每次相遇时的位置刻度，方可轻松解答．
21．在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发后反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇，那么乙环行一周需要 30 分钟．
【分析】第一次相遇6分钟，第二次相遇甲乙加起来走了一圈共用8+4＝12分钟，甲走一圈的时间是8+12＝20分钟，那么乙走一圈就要20÷4×6＝30分钟．
【解答】解：甲乙合行一圈需要8+4＝12分钟．
乙行6分钟的路程，甲只需4分钟．
所以乙行的12分钟，甲需要12÷6×4＝8分钟，所以甲行一圈需要8+12＝20分钟．
乙行一圈需要20÷4×6＝30分钟．
答：甲行一圈需要20分钟．乙行一圈需要30分钟．
故答案为：30．
【点评】此题属于在环形跑道上多次相遇问题，理清他们之间所用时间的关系是解题的关键．
22．甲、乙、丙三人在一条周长为360米环形跑道上的同一出发点：甲先出发，逆时针方向跑步；在甲还未完成一圈时，乙、丙同时出发，顺时针方向跑步；当甲、乙第一次相遇时，丙刚好距他们半圈；一段时间后，当甲、丙第一次相遇时，乙刚好也距他们半圈．如果乙的速度是甲的4倍，那么，当乙、丙出发时，甲已经跑了 90 米．
【分析】先确定出丙的速度与乙的速度关系，即可确定出结论．
【解答】解：由于甲、乙第一次相遇时，丙刚好距他们半圈；一段时间后，当甲、丙第一次相遇时，乙刚好也距他们半圈．
所以，甲、乙第一次相遇之后，甲乙继续跑一圈半，乙丙相差半圈，
即：甲乙跑：360+12×360＝540米，甲丙一共跑：12×360＝180（米），
所以，甲跑了540×15=108（米），乙跑了540﹣108＝432（米），丙跑了180﹣108＝72（米），
所以，乙的速度是丙速度的43272=6倍，
即：丙的速度是甲的23，
180÷（4-23）＝54（米），
360﹣5×54＝90（米）
答：乙、丙出发时，甲已经跑了90米，
故答案为：90
【点评】此题是环形跑道问题，主要考查了路程，速度，时间的关系，确定出乙丙的速度关系是解本题的关键．
23．A、B两人同时从同一地点绕操场跑道跑步．如果是沿着同一方向跑，3小时后A追上B；如果沿着相反方向跑，2小时后能相遇．A、B两人跑步速度比的比值是 5 ．
【分析】首先根据题意，如果是沿着同一方向跑，3小时后A追上B，把跑道的长度看作单位“1”，那么速度差是13；如果沿着相反方向跑，2小时后能相遇，那么速度和是12，然后根据和差公式求出A、B两人跑步速度，再求出两人跑步速度比的比值即可．
【解答】解：（12+13）÷2=56
（12-13）÷2=16
56：16=5
故答案为：5．
【点评】本题考查了环形跑道问题中的追及和相遇问题，关键是明确行驶的方向不同．
24．甲、乙两名运动员在环形跑道上从同一点同时背向而行，在出发30分钟后两人第一次相遇．已知甲运动员跑一圈要80分钟，那么乙运动员跑一圈要 48 分钟．
【分析】在环形跑道上从同一点同时背向而行，在出发30分钟后两人第一次相遇，把环形跑道的长度看作单位“1”，那么速度和是130，然后减去甲运动员的速度180，再除1就是乙运动员跑一圈的时间．
【解答】解：1÷（130-180）＝48（分钟）
故答案为：48．
【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是求出乙运动员的速度．
25．如图，是一个边长为90米的正方形，甲从A出发，乙同时从B出发，甲每分钟行进63米，乙每分钟行进72米，当乙第一次追上甲时，乙在 B 点上．
【分析】根据题意，当乙第一次追上甲时，乙比甲多走了3条边的长度，即追及距离是90×3＝270米，由追及路程÷它们的速度差＝追及时间，用270÷（72﹣63）可以求出追及时间，进而求出乙走的路程，再用乙所走的路程，除以90，也就是经过了几条边，然后再进一步解答即可．
【解答】解：根据题意可得：
追及时间是：90×3÷（72﹣63）
＝270÷9
＝30（分）；
乙走的路程是：72×30＝2160（米）；
2160÷90＝24（条）
也就是乙从B点出发，经过了24个90米，也就是走了24÷4＝6（圈）；
因此，当乙第一次追上甲时，正好在起点B．
答：当乙第一次追上甲时，乙在B点上．
故答案为：B．
【点评】本题的关键是根据题意，先求出追及路程和追及时间，进而求出乙走的路程，然后再进一步解答即可．
26．小明和小红在600米的环形跑道上跑步，两人从同一起点同时出发，朝相反方向跑，第一次和第二次相遇时间间隔50秒，已知小红的速度比小明慢2米/秒，则小明的速度为 7 米/秒．
【分析】每相遇一次，两人的路程和就是跑道的全长，先用全长除以时间间隔，求出跑一圈两人的速度和，再根据和差公式：（两数和+两数差）÷2＝较大数求解．
【解答】解：600÷50＝12（米/秒）
（12+2）÷2
＝14÷2
＝7（米/秒）
答：小明的速度为 7米/秒．
故答案为：7．
【点评】本题也可以用方程求解：设小红的速度为x米/秒，小明的速度为x+2米/秒，50（x+x+2）＝600，解答x＝5，则小明的速度为 5+2＝7 米/秒．
27．甲乙两人从300米环形跑道的同一点出发，背向而行，甲每秒跑2米，乙每秒跑4米．当两人迎面相遇时，甲转身往回跑；当甲乙再相遇时，乙转身往回跑．若依此类推，出发后 250 秒两人第一次在出发点相遇．
【分析】第一次从起点出发，此时是一个相遇问题，经过时间是300÷（2+4）＝50（秒），第二次因为甲转身，变成了一个追击问题，300÷（4﹣2）＝150（秒），乙比甲多跑了一周，所以甲走了一圈，乙走了两圈，又在第一次相遇的地方第二次相遇；第三次出发，乙转身，又变成一个相遇问题，经过时间是300÷（2+4）＝50（秒），此时正好在最初的起点相遇．
【解答】解：
300÷（2+4）＝50（秒）
300÷（4﹣2）＝150（秒）
300÷（2+4）＝50（秒）
50+150+50＝250（秒）
故填250
【点评】这题要抓住乙的速度是甲速度的2倍，根据跑步的方向，来分析每次相遇的地点．
28．如图，A、B为圆形轨道一条直径的两个端点，甲、乙、丙三个微型机器人在圆形轨道上同时出发，作匀速圆周运动，甲、乙从A出发，丙从B出发；乙顺时针运动，甲、丙逆时针运动，出发后12秒钟甲到达B，再过9秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇；那么当丙第一次到达A后，再过 56 秒钟，乙才第一次到达B．
【分析】甲经过12秒钟到从A到达B，则再过9秒钟后甲到达C点，且BC的长度等于AB长度的34，则AC的长度等于AB长度的14，即21秒钟的时间内，甲的路程为AB+BC=74AB，乙的路程为AC=14AB，丙的路程为BC=34AB，据此可以算出甲乙丙的速度比，进而求解．
【解答】解：甲经过12秒钟到从A到达B，则再过9秒钟后甲到达C点，
且BC的长度等于AB长度的34，
则AC的长度等于AB长度的14，
即21秒钟的时间内，甲的路程为AB+BC=74AB段，
乙的路程为AC=14AB，丙的路程为BC=34AB，
则速度比甲：乙：丙＝7：1：3，
丙从C到达A所用时间＝21×13=7（秒），
此时乙从C点到达D点，所用时间也为7秒，
因为CA=13BC，则CD=13AC，则CB＝8CD，
丙到达A后乙到达B的所需时间：8×7＝56（秒）
故答案为：56
【点评】本题关键是能根据甲乙丙相同时间内的路程计算出速度比．
29．小明在240米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑3米，那么小明后一半路程用了 36 秒．
【分析】时间相同，所以行驶的平均速度是（5+3）÷2＝4（米/秒），行驶的总时间是240÷4＝60（秒），前一半路程的速度是5米/秒，共用（240÷2）÷5＝24（秒），然后再与60作差即可．
【解答】解：（5+3）÷2＝4（米/秒）
240÷4＝60（秒）
（240÷2）÷5＝24（秒）
60﹣24＝36（秒）
故答案为：36．
【点评】解答本题关键是求出行驶的总时间，难点是理解前一半路程的速度是5米/秒．
30．如图，在一个周长是300米的环形跑道上，甲、乙、丙三人同时从A地出发，甲、乙沿顺时针方向行走，速度分别是每分钟40米和每分钟50米；丙沿逆时针方向行走，速度是每分钟60米．乙每跑100米，就要休息1分钟；甲、丙每次相遇，两人都会同时休息半分钟，那么，当甲第三次超越乙时，丙一共走了 450 米．
【分析】甲、丙相遇时间300÷（40+60）＝3分钟，两人都会同时休息半分钟，列出表格，甲分别在乙前三次停时进行了三次超越，当甲第三次超越乙时，甲一共跑了300÷40＝7.5分钟，即可求出丙的路程．
【解答】解：甲、丙相遇时间300÷（40+60）＝3分钟，两人都会同时休息半分钟，100÷50＝2，列表
0～3
3.5～6.5
7～10
10.5～13.5
甲
0～120
120～240
240～360
360～480
0～2
3～5
6～8
9～11
乙
0～100
100～200
200～300
300～400
第一次相遇
第二次相遇
第三次相遇
则甲分别在乙前三次停时进行了三次超越，当甲第三次超越乙时，甲一共跑了300÷40＝7.5分钟（甲停丙也停），所以丙一共走了7.5×60＝450米．
【点评】本题主要考查了学生对行程问题中追及问题和相遇问题解答方法的掌握，难点是求甲第三次超越乙时，甲一共跑了300÷40＝7.5分钟．
31．甲、乙、丙3人在一个周长是300米的环形跑道上同时出发，出发地和行走方向如图所示．已知，出发15秒后乙和丙第一次相遇，又过了10秒，甲和乙第一次相遇．那么，再经过 50 秒，甲第一次追上丙．
【分析】当乙丙相遇时，和走了全程的一半，可以得到他们的速度和就是300÷2÷15＝10米/秒；
甲乙相遇时，和走了整个一圈全程，可以得到他们的速度和就是300÷（15+10）＝12米/秒；
由上面两个结论可以算出甲丙的速度差是12﹣10＝2米/秒．
用路程除以速度差就可以求出甲第一次遇到丙结果的时间．
【解答】解：
300÷2÷15＝10（米/秒） 乙丙速度之和
300÷（15+10）＝12（米/秒） 甲乙速度之和
12﹣10＝2（米/秒） 甲丙速度之差
300÷2÷2＝75（秒） 甲第一次追上丙所用时间
75﹣15﹣10＝50（秒） 从甲遇到乙后到甲遇到丙经过的时间
故此题填50
【点评】这题的难点就是怎样通过乙丙速度之和及甲乙速度之和求到甲丙速度之差．
32．如图，甲、乙两人从A地同时背向出发，在环形路线上行走，第一次相遇时甲比乙多走了200米，当甲回到A地后速度提高一倍，继续行走，结果距A地250米与乙第二次相遇，那么这个环形跑道长为 1000米 。
【分析】因为是环形跑道，所以他们每共同跑完一圈就相遇一次；第一次相遇时，甲跑了半圈多200÷2＝100米，乙跑了半圈少100米；第二次相遇时，假设甲速度没变，甲跑了2圈多250÷2＝125米（因甲跑的250米时提速一倍），乙跑了2圈少250米；设环形跑道长为2x，至此可根据他们是速度比得出：（2x+125）：（2x﹣250）＝（x+100）：（x﹣100）并解之，之后便可得到答案。
【解答】解：设环形跑道长为2x，则得
（2x+125）：（2x﹣250）＝（x+100）：（x﹣100）
（2x+125）（x﹣100）＝（x+100）（2x﹣250）
2x2﹣200x+125x﹣12500＝2x2﹣250x+200x﹣25000
25x＝12500
x＝500
2x＝2×500＝1000（米）
答：这个环形跑道的长为1000米。
故答案为：1000.
【点评】此题只要明白“他们每共同跑完一圈就相遇一次”并理解题意，分析出他们相遇时的行程情况，便可找到入手点，即可列式解答。
33．环形跑道周长是500米，甲、乙两人按顺时针沿环形跑道同时、同地起跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑50米，甲、乙两人每跑200米均要停下休息1分钟．那么甲首次追上乙需 77 分钟．
【分析】假设两人都不休息则需要500÷（60﹣50）＝50（分），此时甲走了50×60＝3000（米），则休息了3000÷200＝15（分）．在第65分钟甲跑了3000米，乙跑了65÷（200÷50+1）＝13个，即跑了13个200米，为2600米，此时二人相距100米，而追赶这100米需要时间100÷（60﹣50）＝10（分钟）．在10分钟内乙跑了10÷（5÷4）×50＝400（米），甲跑了420米，相距20米．20÷（60﹣50）＝2（分）．因此甲首次追上乙需要65+10+2＝77（分）．
【解答】解：假设两人都不休息则需要：500÷（60﹣50）＝50（分），
此时甲走了50×60＝3000（米），则休息了3000÷200＝15（分）．
在第65分钟甲跑了3000米，乙跑了65÷（200÷50+1）＝13个，
即跑了13个200米，为2600米，此时二人相距100米，而追赶这100米需要时间100÷（60﹣50）＝10（分钟）．
在10分钟内乙跑了10÷（5÷4）×50＝400（米），甲跑了420米，相距20米．
20÷（60﹣50）＝2（分）．
因此甲首次追上乙需要65+10+2＝77（分）．
答：甲首次追上乙需要77分钟．
故答案为：77．
【点评】本题为较为复杂的环形跑道问题，完成是要根据所给条件，认真分析，得出结论．
34．甲、乙、丙3人在周长是300米的环形跑道上同时同地同向出发．甲第一次追上乙时，甲、乙恰好都回到出发点，此时丙距离出发点100米；过了一会，甲第一次追上丙时，乙跑了7圈多一些，那么，丙第一次追上乙时，甲总共跑了 5400 米．
【分析】甲要比丙多跑一圈，才能第一次追上丙，“丙距离出发点100米“说明甲追了丙100米或200米．
若甲追丙100米，则甲需要跑目前圈数的两倍才能追上丙，此时乙跑的圈数也应该是目前乙圈数的两倍，即乙应该跑整数圈，与题意矛盾，故甲第一次追上乙的时候，甲比丙多跑200米．
这种情况下，则甲需要跑目前圈数的一半才能追上丙，此时乙跑的圈数也应该是目前乙圈数的一半，所以题目中的“七圈多一点“即为7.5圈．
【解答】解：根据题意，甲第一次追上乙时，也比丙多跑了200米；甲追上丙时，乙共跑了7.5圈
甲第一次追上乙：乙跑了5圈1500米，甲跑了6圈1800米，丙跑了1800﹣200＝1600（米）
甲乙丙的速度比为：1800：1500：1600＝18：15：16；
丙追上乙时，丙应该跑了16圈，乙跑了15圈，此时甲跑了18圈，为18×300＝5400（米）
故答案为5400．
【点评】本题的突破口为：“丙距离出发点100米“和“乙跑了7圈多一点“．
35．爷爷和孙子两人同时从同一地点反向绕一条环形跑道跑步，在第一次相遇后，爷爷又跑了8分钟回到原地，已知孙子跑一圈需要6分钟，爷爷跑一圈的时间是偶数，爷爷跑一圈的时间是 12 分钟．
【分析】爷爷跑一圈时间为偶数，爷爷又跑了8分钟回到原地，所以第一次相遇的时间也是偶数，那么孙子跑一圈需要6分钟，所以第一次相遇的时间小于6分钟，可能是2分钟、4分钟，然后分类讨论即可．
【解答】解：爷爷跑一圈时间为偶数，那么爷孙第一次相遇时，孙子用时应该是2分钟或4分钟．
假如是2分钟，则孙子跑了一圈的2÷6=13，爷爷应该跑了1-13=23，而爷爷后面又花8分钟回到原地，因此假设不成立．
第一次相遇时间应为4分钟后，则爷爷跑一圈应该为8+4＝12分钟．
验证：孙子跑4分钟跑完4÷6=23，爷爷同样用时跑完1-23=13．余下的23爷爷应该用时8分钟，与条件相符．
故答案为：12．
【点评】解答本题关键是明确第一次相遇的时间只能是2分钟、4分钟．
36．如图是一个边长100米的正方形．甲、乙两人同时从A点出发，沿正方形的边走．甲逆时针每分钟行75米，乙顺时针每分钟行45米，两人第一次在CD边（不包括C、D两点）上相遇，是出发以后第 七 次相遇．
【分析】先求出正方形的周长，除以两人的速度和可求出相遇时间，从而求出相遇时乙走了多少米，以后每次相遇时都再走这个米数，根据走的米数和正方形的周长来判断哪次相遇在CD边即可．
【解答】解：100×4＝400（米），
400÷（75+45），
＝400÷120，
=103（分）
45×103=150（米）
150×2＝300（米），
150×3＝450（米）…
第一次相遇在BC边，第二次相遇在D点，第三次相遇在AB边，第四次相遇在C点，第五次相遇在AD边，第六次相遇在B点，第七次相遇在CD边．
答：第七次相遇在CD边上．
【点评】此题主要考查了相遇问题，注意根据相遇问题数量关系解答，并注意根据每次相遇所行驶的路程判断行驶物所处的位置．
37．甲、乙两人在一环形跑道上，甲跑步，乙步行．如果他们同时从同一点出发，背向而行，1分钟后二人相遇；如果他们同时从同一点同向而行，则3分钟后甲从背后追上乙．依这样的速度，甲沿着环形跑道跑一圈所花的时间是 1 分 30 秒．
【分析】根据题意，甲乙同时从同一点出发，背向而行，1分钟后二人相遇，可得1分钟两人可以跑一圈；如果他们同时从同一点同向而行则3分钟后甲从背后追上乙，可得，甲与乙3分钟共跑了3圈，甲追上乙，则甲比乙堆跑了1圈，也就是3分钟甲跑了3﹣1＝2圈，然后再进一步解答即可．
【解答】解：根据题意可得：
3÷（3﹣1）＝1.5（分钟）；
1.5分钟＝1分30秒．
答：甲沿着环形跑道跑一圈所花的时间是1分30秒．
故答案为：1，30．
【点评】本题的关键是两人和跑一圈的时间，再根据追及时间，可以求得两人共跑的圈数，又因为追上要多跑1圈，可以求出甲追上乙跑的圈数，然后再进一步解答即可．
38．在一个环形跑道上有相距100米的甲、乙两个电动玩具车，两车同时出发同向而行，甲车在前，乙车在后，5分钟后乙车第一次追上甲车，又过了20分钟，乙车第二次追上甲车，此时甲车正好驶完一圈．那么乙车的速度为每分钟 36 米．
【分析】原来相距甲乙相距100米，5分钟后乙车第一次追上甲车，则甲乙两车的速度差为100÷5＝20米/分钟．又过了20分钟，乙车第二次追上甲车，从乙车第一次追上第二次追上甲车，乙车应正好比甲车多行一圈．追及距离为20×20＝400米，即此环形跑道的周长应为400米，此时此时甲车正好驶完一圈，则甲车的速度为400÷（20+5）＝16米/分钟．所以乙车的速度为20+16＝36米/分钟．
【解答】解：跑道周长为：
100÷5×20＝400（米）；
乙车速度为：
400÷（20+5）+100÷20
＝400÷25÷+20，
＝16+20，
＝36（米/分钟）．
答：乙车的速度为每分钟36米．
【点评】根据路程差÷追及时间＝速度差求出两车的速度差是完成本题的关键．
39．如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为1、2、3、4的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾车匀速行驶，且从1、2、3、4号车站出发的车的速度分别为1、2、3、4，以后速度再不变化．行驶完毕后，他们有如下的话：
甲说：“我第一次追上乙时恰在车站①”．
乙说：“我第一次追上丙时恰在车站②”．
丙说：“我第一次追上丁时恰在车站③”．
丁说：“我第一次追上甲时恰在车站④”．
已知其中有两人的话正确，两人说的话错误．那么四位数ABCD= 2314 ．
【分析】先从④号车站出发的车追上①、②、③号车站出发的车的时间，进而判断出④追上②在车站④，追上③在车站④，依次判断③号车站出发的车追上①、②的位置，即可得出结论．
【解答】解：4个人共有6次追及，设正方形边长为a．
④第一次追上①时间a÷（4﹣1）=a3，
所以应在①、②中间．
④第一次追上②时间2a÷（4﹣2）＝a，
所以走了2a，在车站④．
同理④第一次追上③在车站④．
③第一次追上①在车站②．
③第一次追上②在车站④．
②第一次追上①在车站④，
所以甲、丙的话不可能正确．
乙第一次追上丙在车站②，
所以B＝3，C＝1．
丁第一次追上甲在车站④，
所以A＝2，D＝4．
所以四位数ABCD=2314，
故答案为2314．
【点评】此题主要考查的是追及问题，解本题的关键是抓住从④号车站出发的车追上①、②、③号出发的车的位置．
40．甲、乙、丙三人同时从A点出发，按逆时针方向沿着构成正方形ABCD的4条街道跑步．已知三个人的速度分别为每秒5米、4米和3米．在甲第一次看到乙、丙与他在同一条街后，又过了7分钟，三个人第一次到达同一点．那么四条街道的总长是 8400或4200 米．
【分析】甲、乙、丙的速度比为5：4：3，所以路程比也是5：4：3，当他们第一次相遇时，刚好是甲跑5圈、乙跑4圈、丙跑3圈后回到起点A的位置．由于甲是第一次看到乙、丙在自己同一边的前方，所以甲那时正好是跑到第五圈D点的位置．而甲从D点跑到A点与乙丙相遇需经过7分钟＝420秒，所以DA长为5×420＝2100（米），由此可知：甲与丙相距（5﹣3）×420＝840（米）．即2100米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于840米．据此解答．
【解答】解：甲跑5圈时间，乙跑4圈，丙跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点．倒退7分钟＝420秒，
甲的位置距A点5×420＝2100（米），甲与丙相距（5﹣3）×420＝840（米）．
因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上，
所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即2100米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于840米．
2100÷1＝2100＞840，2100÷2＝1050＞840，2100÷3＝700＜840．
所以正方形的边长是2100米或1050米，
周长为：2100×4＝8400（米）或1050×4＝4200（米）．
答：正方形的周长是8400米或4200米．
故答案为：8400或4200．
【点评】解答此题明确：在相同时间内速度的比等于路程的比，关键是求出正方形边长可能是多少米，进而根据正方形的周长公式解答．
41．甲、乙、丙三人在长2790米的环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙在距离乙180米处遇见甲．丙每分钟走 75 米．
【分析】丙在距离乙180米处遇见甲，即此时甲比乙多走了180米，由于甲每分钟比乙多走80﹣70＝10米，则丙遇见甲时，他们所走的时间为180÷10＝18分钟；由于丙与甲、乙背向而走，则两人相遇时，两人共行了一周即2790米，由此可知，两人的速度和为2790÷18＝155米/分钟，则丙每分钟走155﹣80＝75米．
【解答】解：甲丙相遇，他们共行了：
180÷（80﹣70）
＝180÷10，
＝18（分钟）．
则丙每分钟行：
2790÷18﹣80
＝155﹣80，
＝75（米）．
答：两每分钟行75米．
故答案为：75．
【点评】根据路程÷速度差＝追及时间求出甲丙相遇时用时间是完成本题的关键．
42．可可、乐乐两人绕周长240米的湖边跑步．他们从一棵大树下同时出发背向而行，可可每秒跑4米、乐乐每秒跑5米．他们第3次相遇时．可可离大树 80 米．
【分析】由于两人相背而行，则每次相遇两人都共行1个周长，则第三次相遇时，两人共行了三个周长，即240×3米，由于两人的速度和是每秒4+5＝9米，则两人相遇时共行了240×3÷9＝80秒，此时可可共行了4×80＝320米，320÷240＝1…80米，即此时可可行了一周又80米，距离大树有80米．
【解答】解：240×3÷（4+5）
＝720÷9，
＝80（秒）；
80×4÷240＝1（周）…80米，
答：可可离大树80米．
故答案为：80．
【点评】明确两人每相遇一次共行一周，并由此求出两人的相遇时间是完成本题的关键．
43．甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，已知甲跑完一圈用40秒．如果他们同时从同一地点出发，背向而行，每隔24秒相遇一次；如果他们同向而行，每隔 120 秒钟相遇一次．
【分析】已知甲跑完一圈用40秒，那么甲的速度表示为140，背向而行，每隔24秒相遇一次，那么速度和是124，所以乙的速度是124-140=160；然后根据路程÷速度差＝追及时间可知，每隔1÷（140-160）＝120秒，两人就相遇一次．
【解答】解：124-140=160
1÷（140-160）＝120（秒）
故答案为：120．
【点评】本题考查了环形跑道中的追及问题和相遇问题，关键是求出乙的速度．
44．甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变，如果两人同时从两地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需 12 分钟．
【分析】由题意，甲的速度是16周/分，4分钟后两人第一次相遇，乙的速度是14-16=112周/分，即可得出结论．
【解答】解：由题意，甲的速度是16周/分，4分钟后两人第一次相遇，乙的速度是14-16=112周/分，
所以乙跑一周需12分钟．
故答案为12．
【点评】本题考查环形跑道问题，考查相遇问题的求解方法，比较基础．
三．解答题（共16小题）
45．在周长为400米的圆形场地的一条直径的两端，甲、乙二人分别以每秒12米、每秒10米的速度同时同向骑车出发，沿圆周行驶．问：14分钟内甲追上乙多少次？
【分析】根据“追及时间＝路程差÷速度差”，如图，第一次甲追上乙是在400÷2÷（12﹣10）＝100秒后，14分＝60×14＝840秒，后来又行了14×60﹣100＝740（秒），后来甲行了740×12÷400＝22.2（圈），乙行了740×10÷400＝18.5（圈）；超过1圈追上1次，所以共追上3+1＝4次．
【解答】解：第一次甲追上乙需：400÷2÷（12﹣10）
＝200÷2
＝100（秒），
（60×14﹣100）×12÷400﹣（60×14﹣100）×10÷400
＝740×12÷400﹣740×10÷400
＝22.2﹣18.5
＝3.7（圈）；
超过1圈追上1次，所以共追上3+1＝4次；
答：问14分钟内甲追上乙4次．
【点评】此题属于复杂的环形跑道追及问题，解答此题的关键是根据路程差、速度差和追及时间三者之间的关系，进行分析解答即可．
46．如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米．甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米．甲、乙二人同时由A点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑．问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？（路程按甲跑的计算）
【分析】根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆环跑一周需要100秒，乙绕小圆环跑一周也需要100秒．所以两人的第一次相遇肯定是在A点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到A点，如果甲也在A点，则两人在A点相遇；如果甲不在A点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇．设乙第m次回到A点的时间为t秒，则t＝100m，此时甲跑了6×100m＝600m米．而甲一个周期为600+400＝1000米，因此，t时刻甲跑了600m÷1000个周期．而600m÷1000=3m5=[3m5]+{3m5}，其中整数部分表示甲回到A点，小数部分表示甲又从A点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是{3m5}×1000米．由此，我们可以算出甲的位置．
【解答】解：
按照上面的分析可以列出下表
3m＝
5k
5k+1
5k+2
5k+3
5k+4
小数部分表示的路程
0
200
400
600
800
甲、乙相距的路程
0
800
600
400
200
甲、乙相遇还需的时间
0
80
60
40
20
甲、乙相遇的位置
0
80
160
240
320
以其中的第三列5k+1为例进行说明：这一列表示3m＝5k+1，于是{3m5}×1000＝200，这表明甲回到A点后又跑了200米，此时乙在A点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距1000﹣200＝800米，所以需要的时间为800÷（4+6）＝80秒，在80秒内乙跑了4×90＝320米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为400﹣320＝80米，这就是此时相遇点与A点的距离．其它情况同理可得．
答：甲、乙可能相遇的位置在距离A点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米．
【点评】此题的情况比较复杂，在分析的时候可以借助表格．
47．有甲、乙、丙三个人同时同向从同地出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟360米，乙每分钟300米，丙每分钟210米，问他们至少各绕了多少圈后才能再次相遇？
【分析】他们其中的两人每相遇一次，速度快的就要比慢的多跑一圈．所以，甲比乙每多跑一圈900与乙相遇一次需要900÷（360﹣300）＝15分钟，甲比丙每多跑一圈900米与丙相遇一次，甲每次与丙相遇需要900÷（360﹣210）＝6分钟，乙比丙每多跑一圈900米与丙相遇一次，乙每次与丙相遇需要900÷（300﹣210）＝10分钟；15、10、6的公倍数为30．即出发30分钟后三人第一次同时相遇，所以甲跑的圈数为 360×30÷900＝12圈，乙跑的圈数 300×30÷900＝10圈，甲跑的圈数 210×30÷900＝7圈．
【解答】解：甲乙第一次相遇需要：900÷（360﹣300）＝15（分钟）；
甲丙第一次相遇需要：900÷（360﹣210）＝6（分钟）；
乙丙第一次相遇需要：900÷（300﹣210）＝10（分钟）；
15、10、6的公倍数为30，
即出发30分钟后三人第一次同时相遇，
所以甲跑的圈数为：360×30÷900＝12（圈），
乙跑的圈数：300×30÷900＝10（圈），
丙跑的圈数：210×30÷900＝7（圈）．
答：甲绕了12圈后，乙绕了10圈后，丙绕了7圈后，三人第一次相遇．
【点评】本题是通过求他相遇时间的公倍数来进行解答的，比设未知数要简单一些．
48．甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？
【分析】每相遇一次，两人就跑一个跑道的全长，先把两人是反向跑步，所以先求出两人的速度的和，再乘跑步的时间30分钟，即可求出24圈的长度，再除以24即可求出跑道的长度．
【解答】解：（180+240）×30÷24
＝420×30÷24
＝12600÷24
＝525（米）
答：跑道的长度最多是525米．
【点评】解决本题关键是理解每相遇一次，两人就跑了一个跑道的全长，根据路程＝速度和×时间，求出一共跑了多少米，再除以圈数即可．
49．在一个周长500米的环形跑道上，艾迪和薇儿同时同地出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇，相遇后两人继续前行．已知艾迪比薇儿每秒多跑2米，请回答下列问题：
（1）薇儿的速度是多少？
（2）6分钟内两人共相遇多少次？
（3）第3次相遇后，艾迪至少还需要再跑多少米才能回到出发点？
【分析】（1）求出两人的速度和为500÷50＝10m/s，根据艾迪比薇儿每秒多跑2米，求出薇儿的速度；
（2）6×60＝360s，一次相遇的时间是50s，可得6分钟内两人共相遇多少次；
（3）第3次相遇后，艾迪走的路程150×6＝900m，900＝500×1+400，即可求出艾迪至少还需要再跑多少米才能回到出发点．
【解答】解：（1）两人的速度和为500÷50＝10m/s，由于艾迪比薇儿每秒多跑2米，所以薇儿的速度是（10﹣2）÷2＝4m/s；
（2）6×60＝360s，一次相遇的时间是50s，360＝50×7+10，故6分钟内两人共相遇7次；
（3）从开始到第三次相遇一共用时：3×50＝150s，艾迪的速度是（10+2）÷2＝6m/s，艾迪走的路程150×6＝900m，900＝500×1+400．
那么艾迪至少还需要再跑500﹣400＝100米才能回到出发点．
【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和＝路程÷相遇时间．
50．某校运动会在400米环形跑道上进行一万米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
【分析】在整个过程中，乙为匀速运动；在前15分钟甲慢，在第15分钟时甲加快速度直到终点．在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙．可知甲加快速度后在23﹣18＝5分钟内，比乙多行一圈，即400米，所以甲每分钟比乙多行400÷5＝80米．在第23分50秒时，甲到达终点，而此刻乙距终点应还有80×（23分50秒﹣18分）=14003米，所以乙速度为（10000-14003）米÷（23分50秒）＝400米/分，所以乙跑完全程所用的时间是10000÷400＝25分钟．
【解答】解：①甲每分钟比乙多行400÷（23﹣18）＝80（米）．
②在第23分50秒时，甲到达终点，而此刻乙距终点应还有
80×（235060-18分）=14003（米）．
③乙速度为：
（10000-14003）÷235060=400（米）．
④乙跑完全程所用的时间是：
10000÷400＝25（分钟 ）．
答：乙跑完全程所用的时间是25分钟．
【点评】此题有一定难度，重点应求出乙速度．考查学生对复杂行程问题的分析能力．
51．一个环形跑道一共两个跑道，1号跑道一共400米，2号跑道一共440米，而且直线跑道都是100米．艾迪每分钟跑240米，薇儿每分钟跑200米．
（1）艾迪和薇儿从1号跑道同时出发逆时针跑，问：艾迪多久追上薇儿？
（2）艾迪和薇儿从2号跑道同时出发，相背而行，问：他们相遇5次用时多少分钟？
（3）艾迪和薇儿分别从1号和2号跑道的起点处，同时以同一速度顺时针跑步，问：艾迪第一次追上薇儿时（两人并排），艾迪已经跑了多少米？
【分析】根据“追及时间＝路程差÷速度差”来解，因为是在环形跑道上，所以追及的路程差就是跑道一圈的长度；速度差就好求了；据此来解答（1）（2）．对于（3）问，“两人并排”只能在“直线跑道”才出现，所以应考虑2种情况：第一段直线和第二段直线．无论那段直线上，都是艾迪比薇儿多跑了1圈，并且是最后并排时，只要经过1个弯道就说明薇儿比艾迪多跑了（440﹣400）÷2＝20米．据此列方程组并解出相应的未知数，即可得出所求答案．
【解答】解：（1）240﹣200＝40
400÷40＝10（分钟）
答：艾迪10分钟能追上薇儿．
（2）440÷（240+200）＝1
1×5＝5（分钟）
答：他们相遇5次时的时间是5分钟．
（3）分两种情况讨论：
①在顺时针的第一段直线跑道追上
设跑了t分钟追上，则艾迪跑了n+1圈多x米，薇儿跑了n圈多x米，据此可得方程组240t=400×(n+1)+x200t=440n+x
方程组的两式相减得：t＝10﹣n
将其再代入200t＝440n+x得：
640n+x＝200（x＜100）
当n＝3，x＝80时满足题意．
故：400×（n+1）+x＝400×（3+1）+80＝1680（米）
此时艾迪跑了400×（3+1）+80＝1680米．
②在顺时针的第二段直线跑道追上
设跑了t分钟追上，则艾迪跑了n+1圈多x米，多跑的x米中有一个弯道，薇儿跑了n圈多x+（440﹣400）÷2＝x+20米，可得方程组240t=400×(n+1)+x200t=440n+x+20这时解出的x不合题意．
综上，艾迪第一次在直线跑道上追上薇儿时，艾迪已经跑了1680米．
答：艾迪第一次追上薇儿时，艾迪已经跑了1680米．
【点评】解环形跑道上的追及问题，关键是理解“追及中的路程差是多少”．
52．艾迪和薇儿在公园里沿着周长为30米的圆形花坛边玩相遇与追及的游戏，艾迪的跑步速度为6米/秒，薇儿的跑步速度为4米/秒，两人约定，如果两人迎面相遇，那么艾迪就立即回头；如果艾迪从后面追上薇儿，那么薇儿就立即回头，两人从花坛周围的某一点A同时背向出发．所有转身的时间都忽略不计，且无论两人迎面相遇还是同向追及，都认为是一次“相遇”．
（1）第1次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（2）第2次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（3）如果两人持续地跑下去，第2014次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
【分析】（1）求出相遇时间，可得第1次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（2）之后艾迪回头进入追击过程，追击时间30÷（6﹣4）＝15秒，薇儿一直未改变方向，路程4×（15+3）＝72米，可得第2次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（3）确定每四次相遇过程一个周期，与出发点A的距离依次是12，12，0，0，2014＝4×503+2，第2014次相遇是一个周期中的第二次，可得结论．
【解答】解：（1）相遇时间：30÷（6+4）＝3秒，相遇点距离A点3×4＝12米；
（2）之后艾迪回头进入追击过程，追击时间30÷（6﹣4）＝15秒，薇儿一直未改变方向，路程4×（15+3）＝72米，72÷30＝2…12，故第2次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为12米；
（3）之后薇儿回头，两人进入相遇过程，两次相遇过程除了方向相反，其它都完全相同，所以第三次相遇点为出发点A，第四次相遇点仍然是出发点A，因此每四次相遇过程一个周期，与出发点A的距离依次是12，12，0，0，2014＝4×503+2，第2014次相遇是一个周期中的第二次，与出发点A的距离为12米．
【点评】本题考查环形跑道问题，考查路程、速度、时间的关系，考查周期的运用，属于中档题．
53．如图，点M、N分别是边长为4米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒．求：
（1）第1秒时△NPQ的面积；
（2）第15秒时△NPQ的面积；
（3）第2015秒时△NPQ的面积．
【分析】（1）第1秒时，点P与点M的距离是1米，正方形的边长是分4米，M为正方形边长的中点，点P运动到AM的中点，点Q运动到点D的位置，据此可求出三角形NPQ的底PQ，高是正方形边长，由此可求出此三角形的面积．
（2）第15秒时，点P与点M的距离是1×15＝15（米），运动到MD的中点，点Q与点M的距离是2×15＝30（米），运动到点A的位置，此可求出三角形NPQ的底PQ，高是正方形边长，由此可求出此三角形的面积．
（3）因为16÷1＝16，16÷2＝8，因此，第经过16秒，点P和点Q都回到出发点M，即16秒一个循环，用2015÷16，看有几个循环，又几秒，据此解答．
【解答】解：（1）第1秒时，如图，
△NPQ的面积：（1+2）×4÷2
＝3×4÷2
＝6（平方米）；
（2）第15秒时，如图，
△NPQ的面积：（2+1）×4÷2
＝3×4÷2
＝6（平方米）；
（3）因为16÷1＝16，16÷2＝8，
所以，第经过16秒，点P和点Q都回到出发点M，
2015÷16＝125…15（秒）
所以第2015秒时点P、点Q与第15秒时相同，
面积也是6平方米．
【点评】由题意比较容易看出点P、Q的位置，由已知条件即可求出三角形NPQ的底PQ，高就是正方形的边长，由此即可求出此三角形的面积；经过的时间较多时，先规律，再根据规律解答．
54．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？
【分析】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．因为时间一定，速度比等于圈数比（即路程比），因为v甲：v乙＝23：13，设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，（23x﹣13x）t＝2015n，10x×t＝2015n，即甲追上乙时所花时间t=403n2x，则甲追上乙时，所走路程为23x×403n2x=23×4032n；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑10圈）解答即可．
【解答】解：设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．
因为v甲：v乙＝23：13，
设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t，
则（23x﹣13x）t＝2015n
10x×t＝2015n
t=403n2x，
则甲追上乙时，所走路程为：
23x×403n2x=23×4032n，
要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，
所以n＝2，4，6，8，10（最多多跑23﹣13＝10圈）；
即甲追上乙则需比乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上，
综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次．
答：甲正好在旗子位置追上乙5次．
【点评】本题考查了行程问题中环形跑道问题，比较复杂，关键是把未知的量用未知数表示出来，然后根据追及距离、追及时间、和速度差以及数的奇偶性解决问题．
55．如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从A点出发，逆时针环行．已知，甲、乙、丙跑一圈的时间分别为6、10、16分钟．
（1）出发后多少分钟后，甲乙丙第一次同时经过A点？
（2）出发后多少分钟（分钟数为整数）后，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰好为正方形ABCD面积的一半？
【分析】（1）实际上是求6、10、16这三个数的最小公倍数．
（2）首先确定只有当其中2人位于相邻2个顶点，另一人位于对边时，以他们所在的位置为顶点所组成三角形的面积恰好为正方形ABCD面积的一半；根据甲、乙、丙跑一圈的时间分别为6、10、16分钟，得出速度比为40：24：15，然后分别以甲乙、乙丙、甲丙站在相邻顶点的时刻进行分类讨论．
【解答】解：
（1）[6，10，16]＝240分钟；
（2）因为“长方形的内接三角形面积不超过长方形面积的一半，等号成立的条件是三角形某两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，且第三个顶点在这两个顶点所在边的对边上”．下面分别以甲乙、乙丙、甲丙站在相邻顶点的时刻进行分类讨论：
①甲乙站在相邻顶点的时刻：由于甲乙的速度比为40：24＝5：3，故当甲跑5n个边长时，乙跑了3n个边长，两人之间相差2n个边长（n取正整数），由此可得甲乙两人在对顶点上或者在同一个顶点上，不符合要求．
②乙丙站在相邻顶点的时刻：由于乙丙的速度比为24：15＝8：5，故当乙跑8n个边长时，乙跑了5n个边长，两人之间相差3n个边长（n取正整数），由此可得当n取奇数时，乙丙两人在相邻顶点处，此时：
当n＝1时，乙跑了8个边长在A点，丙跑了5个边长在B点，甲跑了40/3个边长在BC上，不符合要求；
当n＝3时，乙跑了24个边长在A点，丙跑了15个边长在D点，甲跑了40个边长在A点，不符合要求；
当n＝5时，乙跑了40个边长在A点，丙跑了25个边长在B点，甲跑了200/3个边长在CD点，符合要求，用时10÷4×40＝100分钟．
③甲丙站在相邻顶点的时刻：由于甲丙的速度比为40：15＝8：3，故当甲跑8n个边长时，丙跑了3n个边长，两人之间相差5n个边长（n取正整数），由此可得当n取奇数时，甲丙两人在相邻顶点处，此时：
当n＝1时，甲跑了8个边长在A点，丙跑了3个边长在D点，乙跑了24/5个边长在AB上，不符合要求；
当n＝3时，甲跑了24个边长在A点，丙跑了9个边长在B点，乙跑了72/5个边长在CD上，符合要求，用时6÷4×24＝36分钟．
因为36＜100，故第一次符合条件的时刻在出发后36分钟．
答：出发后36分钟，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰好为正方形ABCD面积的一半．
【点评】此题属于环形跑道综合行程问题：了解“长方形的内接三角形面积不超过长方形面积的一半，等号成立的条件是三角形某两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，且第三个顶点在这两个顶点所在边的对边上”是解题关键，其次本题还考察了比例行程问题和分类讨论思想，本题较难．
56．小明绕操场跑一圈5分钟，妈妈绕操场跑一圈用3分钟．
（1）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，几分钟后两人再次同时到达起点？此时妈妈和小明各跑了几圈？
（2）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，几分钟后妈妈第一次追上小明？
（3）如果小明和妈妈从同一起点同时反向出发，几分钟后两人第四次相遇？
【分析】（1）由于操场跑一圈5分钟，妈妈绕操场跑一圈用3分钟，则他们再次同时到达起点的时间应是两人跑 一周所用时间的最小公倍数，即第3×5＝15分钟时，两人再次同时到达起点．由此即能求出妈妈和小明各跑了几圈．
（2）由于题意可知，小明每分钟跑一周的15，妈妈每分钟跑一周的13，妈妈每分钟比小明多跑一周的13-15，由于妈妈第一次追上小明时，比小明多跑了一周，则需要时间：1÷（13-15）．
（3）由于两人每次迎面相遇时，都共行一圈，则第四次相遇时，两人共行了4圈，又两人每分钟行全程的13+15，则第四相遇时两人共行了4÷（13+15）．．
【解答】解：（1）3×5＝15（分钟）；
15÷3＝5（圈）；
15÷5＝3（圈）．
答：15分钟后两人再次同时到达起点此时妈妈跑了5圈和小明跑了3圈．
（2）1÷（13-15）
＝1÷215，
＝7.5（分钟）．
答：7.5分钟后，妈妈第一次追上小明．
（3）4÷（13+15）．
＝4÷815，
＝7.5（分钟）．
答：7.5分钟后两人第四次相遇．
【点评】将一周的长度当作单位“1”，求出两人速度后，根据追及问题与相遇问题的相关公式解答是完成本题的关键．
57．在周长为400米的椭圆跑道上，甲、乙两人分别骑自行车从相距300米的两点同时出发沿着跑道相向而行，相遇后两人各自继续前进．已知甲的骑车速度是4米/秒，乙的骑车速度是6米/秒．那么相遇6次时，两人至少骑了 210 秒．
【分析】相距300米的两点如果反方向的话相距就是100米，由于他们每共跑一周就相遇一次，相遇6次时5周+100米，根据相遇问题的数量关系解答即可．
【解答】解：（100+400×5）÷（4+6），
＝2100÷10，
＝210（秒）；
答：那么相遇6次时，两人至少骑了210秒．
故答案为：210．
【点评】本题主要考查相遇问题的数量关系，相遇时间＝路程÷（速度和），解题关键是相距300米的两点也就是相距100米．
58．有一个圆形跑道，甲用40秒跑完一圈，乙跑的方向与甲相反，每15秒遇到甲一次．乙跑完一圈需要几秒？
【分析】乙跑的方向与甲相反，则两人相遇时正好共跑一圈，又甲用40秒跑完一圈，则15秒相遇时，甲跑了全程的1540，乙跑了全程的1-1540，根据分数除法的意义，乙跑一圈程需要：15÷（1-1540）秒．
【解答】解：15÷（1-1540）
＝15÷58
＝24（秒）
答：乙跑完一圈需要24秒．
【点评】本题首先根据分数的意义求出相遇时甲跑的占全程的分率是完成本题的关键．
59．如图，一张方桌周围有16把椅子，依次编号1至16，现在小泉从1号椅子出发先逆时针前进54个，再顺时针前进45个，又逆时针方向前进54个，这时小泉在几号椅子上？
【分析】做时可以将题目分开，即顺时针前进了45个；而逆时针前进了54×2＝108个；再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，也就是说逆时针前进了108﹣45＝63个；那么总共有16个椅子，即16为一个循环，由此求出几个循环余数是几，再结合但它是逆时针前进的进行解答．
【解答】解：因为顺时针前进了45个；而逆时针前进了54×2＝108个；也就是说逆时针前进了108﹣45＝63个；
所以（108﹣45）÷16
＝63÷16
＝3…15；
所以这时小泉在2号椅子上；
答：所以这时小泉在2号椅子上．
【点评】此题应结合题意，先算出顺时针和逆时针分别前进了多少个，进而再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，然后结合图进行分析计算即可得出结论．
60．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的14圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？
【分析】①如果第一次小李速度172出划定区域用时为18÷172=9，小张速度180出划定区域用时18÷180=10，10大于9，所以为9秒；
②第二次：小华入划定区域用时（1-14÷2）÷172=63（秒），出区域时间（1+14÷2）÷172=81（秒）；
小张入区域用时（1-14÷2）÷180=70（秒），出区域用时（1+14÷2）÷180=90（秒），
他们在划定区域时间范围70～81延续时间为11秒；
③第三次：小华135～153，小张150～170范围150～153时间为3秒；
④小华入划定区域用时（1-14÷2）÷172=63（秒），
出区域时间（1+14÷2）÷172=81（秒）；
81﹣63＝18（秒）；
其他类似情况可的同样结果．
【解答】解：①小华出划定区域用时为（14÷2）÷172=9，
小张出划定区域用时（14÷2）÷180=10，
10＞9，所以为9秒；
②80×（1-14÷2），
＝80×78，
＝70（秒）；
72×（1+14÷2），
＝72×98，
＝81（秒）；
81﹣70＝11（秒）；
③第三次：小华135～153，小张150～170范围150～153时间为3秒；
④小华入划定区域用时（1-14÷2）÷172=63（秒），
出区域时间（1+14÷2）÷172=81（秒）；
81﹣63＝18（秒）；
综上：答案为：3，9，11，18．
答：两人同时在规定的区间内所持续的时间为3，9，11，18秒．
【点评】此题解答的关键：注意两人同时在划定区域的持续时间，不是共同行走14圆弧所用的时间．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/15 13:32:07；用户：宁溪小学；邮箱：nxxx@qq.com；学号：47186301
环形跑道问题（提高卷）
小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
一．选择题（共9小题）
1．Ⅰ型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，Ⅰ型每5分钟跑一圈，Ⅱ型每3分钟跑一圈．某一时刻，Ⅰ型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则Ⅰ型比Ⅱ型提前（ ）分钟开始跑动．
A．32 B．36 C．38 D．54
2．如图：AB是圆的直径，甲在A点，乙在B点，同时出发，甲逆时针方向走，乙顺时针方向走，他们第一次相遇在C点，C点离A点160米，在D点第二次相遇，D点离B点120米，那么这个圆周的周长是（ ）米．
A．1440 B．960 C．720 D．480
3．两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人A用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人B用直线赛道，其长度为5千米． 骑车人A用10分钟完成3圈，而骑车人B用5分钟行进了2个来回．那么骑车人A与骑车人B的速度比是（ ）
A．1：1.6π B．π：10 C．3：4 D．3π：40
4．兔子和乌龟在100米的环形跑道上赛跑．它们从同一地点同时出发，乌龟每爬行5米，兔子超过它一圈．当乌龟爬完一圈时，兔子跑了（ ）圈．
A．18 B．20 C．21 D．22
5．如图，长方形ABCD中AB：BC＝5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．
A．AB B．BC C．CD D．DA
6．池塘周围有一条道路，A、B、C三人从同一地点同时出发，A和B往逆时针方向走，C往顺时针方向走．A以每分钟80米、B以每分钟65米的速度行走，C在出发后的20分钟遇到A，再过2分钟遇到B，池塘的周长是（ ）米．
A．2800 B．3000 C．3200 D．3300
7．甲、乙两人同时同地沿400米环形跑道反向而行，经1分20秒相遇，如果两人同时同地同向而行，甲跑3圈就追上乙．甲每秒跑（ ）米．
A．2 B．3 C．2.4 D．1.6
8．小泉和小美在一条400米的环形跑道上同一起点开始跑步，都跑了三圈，小美比小泉早6分钟出发，反而比小泉晚到2分钟，小泉在跑了（ ）米后追上小美．
A．900 B．800 C．720 D．300
9．如图，赛车场的2400米跑道中套着1800米小跑道，大跑道与小跑道有1200米路程相重，甲车以每秒40米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒20米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，那么他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了（ ）米．
A．4400 B．3600 C．2800 D．1500
二．填空题（共35小题）
10．边长为50cm的正方形ABCD的顶点A，C各有一只小虫，它们同时出发沿正方形的边顺时针爬行，小虫甲每秒爬4cm，小虫乙每秒爬5cm，它们在顶点处转弯时都需要耗时2秒。经过 秒其中一只小虫将首次追上另一只小虫。
11．一条圆形跑道，长400米，甲乙在同一地点同时刻反向而行，甲的速度是90米/分钟，乙的速度是60米/分钟，运动20分钟的时候，两人相遇了 次。
12．甲、乙二人在400米环形跑道上进行10000米赛跑，两人从起点同时、同向出发，开始时甲每秒跑8米，乙每秒跑6米，当甲每次追上乙后，甲每秒减少2米，乙每秒减少0.5米，如此往复，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人每秒都增速0.5米，这样一直到终点。那么，领先者到达终点时，另一人距终点 米。
13．小明和小红在200米的环形跑道上跑步，他们从同一地点同向出发。如果小红先跑了50米后小明再出发，则小明跑了100米后追上小红。如果小明跑了100米小红再出发，那么小红跑了 米后被小明追上。
14．甲、乙两运动员在周长是400米的环形跑道上向同一方向竞走，已知乙的速度是平均每分80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙的前面100米．问甲第二次追上乙时一共用了 分．
15．如图所示，在一条400米的环形跑道上，A、B两点相距100米．甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米都要停10秒钟，那么甲追上乙需要 秒．
16．甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了250米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前80米处又第二次相遇。此圆形场地的周长为 米。
17．甲、乙、丙三人绕操场步行一周，甲走要3分钟，乙走要4分钟，丙走要6分钟．如果三人同时同地同向出发绕操场行走，当他们三人第一次重新相遇在出发点时，三人共走了 周．
18．一只老鼠从A点沿着长方形路线逃跑，一只花猫同时从A点朝长方形路线的另一方向捕捉，结果在距离中点6米的C处，花猫捉住了老鼠。已知老鼠的速度是花猫的1114，则长方形的周长 米。
19．小姚、小勇两人在200米的环形跑道上相距100米背向出发，小姚每秒种跑2.3米，到他们第三次相遇时总共用了100秒，此时小勇再跑 米就会回到自己的出发地．
20．在一个长400厘米的圆形的轨道上有A，B，C，D四个等距离的小球，开始时B，D两个小球不动，小球A，C分别以每秒1厘米和每秒29厘米的速度沿着圆形道向小球B运动，接下去的运动规则如下：当某两个小球相遇时，其速度及方向就传递给对方，那么当第一次有三个小球相遇时，小球D运动了 厘米．（例如：当小球C第一次遇到小球B后，小球C的速度就变为0，而小球B的速度就变为每秒29厘米，并沿着小球C原来的方向运动，小球半径忽略不计．）
21．在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发后反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇，那么乙环行一周需要 分钟．
22．甲、乙、丙三人在一条周长为360米环形跑道上的同一出发点：甲先出发，逆时针方向跑步；在甲还未完成一圈时，乙、丙同时出发，顺时针方向跑步；当甲、乙第一次相遇时，丙刚好距他们半圈；一段时间后，当甲、丙第一次相遇时，乙刚好也距他们半圈．如果乙的速度是甲的4倍，那么，当乙、丙出发时，甲已经跑了 米．
23．A、B两人同时从同一地点绕操场跑道跑步．如果是沿着同一方向跑，3小时后A追上B；如果沿着相反方向跑，2小时后能相遇．A、B两人跑步速度比的比值是 ．
24．甲、乙两名运动员在环形跑道上从同一点同时背向而行，在出发30分钟后两人第一次相遇．已知甲运动员跑一圈要80分钟，那么乙运动员跑一圈要 分钟．
25．如图，是一个边长为90米的正方形，甲从A出发，乙同时从B出发，甲每分钟行进63米，乙每分钟行进72米，当乙第一次追上甲时，乙在 点上．
26．小明和小红在600米的环形跑道上跑步，两人从同一起点同时出发，朝相反方向跑，第一次和第二次相遇时间间隔50秒，已知小红的速度比小明慢2米/秒，则小明的速度为 米/秒．
27．甲乙两人从300米环形跑道的同一点出发，背向而行，甲每秒跑2米，乙每秒跑4米．当两人迎面相遇时，甲转身往回跑；当甲乙再相遇时，乙转身往回跑．若依此类推，出发后 秒两人第一次在出发点相遇．
28．如图，A、B为圆形轨道一条直径的两个端点，甲、乙、丙三个微型机器人在圆形轨道上同时出发，作匀速圆周运动，甲、乙从A出发，丙从B出发；乙顺时针运动，甲、丙逆时针运动，出发后12秒钟甲到达B，再过9秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇；那么当丙第一次到达A后，再过 秒钟，乙才第一次到达B．
29．小明在240米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑3米，那么小明后一半路程用了 秒．
30．如图，在一个周长是300米的环形跑道上，甲、乙、丙三人同时从A地出发，甲、乙沿顺时针方向行走，速度分别是每分钟40米和每分钟50米；丙沿逆时针方向行走，速度是每分钟60米．乙每跑100米，就要休息1分钟；甲、丙每次相遇，两人都会同时休息半分钟，那么，当甲第三次超越乙时，丙一共走了 米．
31．甲、乙、丙3人在一个周长是300米的环形跑道上同时出发，出发地和行走方向如图所示．已知，出发15秒后乙和丙第一次相遇，又过了10秒，甲和乙第一次相遇．那么，再经过 秒，甲第一次追上丙．
32．如图，甲、乙两人从A地同时背向出发，在环形路线上行走，第一次相遇时甲比乙多走了200米，当甲回到A地后速度提高一倍，继续行走，结果距A地250米与乙第二次相遇，那么这个环形跑道长为 。
33．环形跑道周长是500米，甲、乙两人按顺时针沿环形跑道同时、同地起跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑50米，甲、乙两人每跑200米均要停下休息1分钟．那么甲首次追上乙需 分钟．
34．甲、乙、丙3人在周长是300米的环形跑道上同时同地同向出发．甲第一次追上乙时，甲、乙恰好都回到出发点，此时丙距离出发点100米；过了一会，甲第一次追上丙时，乙跑了7圈多一些，那么，丙第一次追上乙时，甲总共跑了 米．
35．爷爷和孙子两人同时从同一地点反向绕一条环形跑道跑步，在第一次相遇后，爷爷又跑了8分钟回到原地，已知孙子跑一圈需要6分钟，爷爷跑一圈的时间是偶数，爷爷跑一圈的时间是 分钟．
36．如图是一个边长100米的正方形．甲、乙两人同时从A点出发，沿正方形的边走．甲逆时针每分钟行75米，乙顺时针每分钟行45米，两人第一次在CD边（不包括C、D两点）上相遇，是出发以后第 次相遇．
37．甲、乙两人在一环形跑道上，甲跑步，乙步行．如果他们同时从同一点出发，背向而行，1分钟后二人相遇；如果他们同时从同一点同向而行，则3分钟后甲从背后追上乙．依这样的速度，甲沿着环形跑道跑一圈所花的时间是 分 秒．
38．在一个环形跑道上有相距100米的甲、乙两个电动玩具车，两车同时出发同向而行，甲车在前，乙车在后，5分钟后乙车第一次追上甲车，又过了20分钟，乙车第二次追上甲车，此时甲车正好驶完一圈．那么乙车的速度为每分钟 米．
39．如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为1、2、3、4的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾车匀速行驶，且从1、2、3、4号车站出发的车的速度分别为1、2、3、4，以后速度再不变化．行驶完毕后，他们有如下的话：
甲说：“我第一次追上乙时恰在车站①”．
乙说：“我第一次追上丙时恰在车站②”．
丙说：“我第一次追上丁时恰在车站③”．
丁说：“我第一次追上甲时恰在车站④”．
已知其中有两人的话正确，两人说的话错误．那么四位数ABCD= ．
40．甲、乙、丙三人同时从A点出发，按逆时针方向沿着构成正方形ABCD的4条街道跑步．已知三个人的速度分别为每秒5米、4米和3米．在甲第一次看到乙、丙与他在同一条街后，又过了7分钟，三个人第一次到达同一点．那么四条街道的总长是 米．
41．甲、乙、丙三人在长2790米的环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙在距离乙180米处遇见甲．丙每分钟走 米．
42．可可、乐乐两人绕周长240米的湖边跑步．他们从一棵大树下同时出发背向而行，可可每秒跑4米、乐乐每秒跑5米．他们第3次相遇时．可可离大树 米．
43．甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，已知甲跑完一圈用40秒．如果他们同时从同一地点出发，背向而行，每隔24秒相遇一次；如果他们同向而行，每隔 秒钟相遇一次．
44．甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变，如果两人同时从两地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需 分钟．
三．解答题（共16小题）
45．在周长为400米的圆形场地的一条直径的两端，甲、乙二人分别以每秒12米、每秒10米的速度同时同向骑车出发，沿圆周行驶．问：14分钟内甲追上乙多少次？
46．如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米．甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米．甲、乙二人同时由A点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑．问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？（路程按甲跑的计算）
47．有甲、乙、丙三个人同时同向从同地出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟360米，乙每分钟300米，丙每分钟210米，问他们至少各绕了多少圈后才能再次相遇？
48．甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？
49．在一个周长500米的环形跑道上，艾迪和薇儿同时同地出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇，相遇后两人继续前行．已知艾迪比薇儿每秒多跑2米，请回答下列问题：
（1）薇儿的速度是多少？
（2）6分钟内两人共相遇多少次？
（3）第3次相遇后，艾迪至少还需要再跑多少米才能回到出发点？
50．某校运动会在400米环形跑道上进行一万米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
51．一个环形跑道一共两个跑道，1号跑道一共400米，2号跑道一共440米，而且直线跑道都是100米．艾迪每分钟跑240米，薇儿每分钟跑200米．
（1）艾迪和薇儿从1号跑道同时出发逆时针跑，问：艾迪多久追上薇儿？
（2）艾迪和薇儿从2号跑道同时出发，相背而行，问：他们相遇5次用时多少分钟？
（3）艾迪和薇儿分别从1号和2号跑道的起点处，同时以同一速度顺时针跑步，问：艾迪第一次追上薇儿时（两人并排），艾迪已经跑了多少米？
52．艾迪和薇儿在公园里沿着周长为30米的圆形花坛边玩相遇与追及的游戏，艾迪的跑步速度为6米/秒，薇儿的跑步速度为4米/秒，两人约定，如果两人迎面相遇，那么艾迪就立即回头；如果艾迪从后面追上薇儿，那么薇儿就立即回头，两人从花坛周围的某一点A同时背向出发．所有转身的时间都忽略不计，且无论两人迎面相遇还是同向追及，都认为是一次“相遇”．
（1）第1次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（2）第2次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（3）如果两人持续地跑下去，第2014次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
53．如图，点M、N分别是边长为4米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒．求：
（1）第1秒时△NPQ的面积；
（2）第15秒时△NPQ的面积；
（3）第2015秒时△NPQ的面积．
54．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？
55．如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从A点出发，逆时针环行．已知，甲、乙、丙跑一圈的时间分别为6、10、16分钟．
（1）出发后多少分钟后，甲乙丙第一次同时经过A点？
（2）出发后多少分钟（分钟数为整数）后，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰好为正方形ABCD面积的一半？
56．小明绕操场跑一圈5分钟，妈妈绕操场跑一圈用3分钟．
（1）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，几分钟后两人再次同时到达起点？此时妈妈和小明各跑了几圈？
（2）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，几分钟后妈妈第一次追上小明？
（3）如果小明和妈妈从同一起点同时反向出发，几分钟后两人第四次相遇？
57．在周长为400米的椭圆跑道上，甲、乙两人分别骑自行车从相距300米的两点同时出发沿着跑道相向而行，相遇后两人各自继续前进．已知甲的骑车速度是4米/秒，乙的骑车速度是6米/秒．那么相遇6次时，两人至少骑了 秒．
58．有一个圆形跑道，甲用40秒跑完一圈，乙跑的方向与甲相反，每15秒遇到甲一次．乙跑完一圈需要几秒？
59．如图，一张方桌周围有16把椅子，依次编号1至16，现在小泉从1号椅子出发先逆时针前进54个，再顺时针前进45个，又逆时针方向前进54个，这时小泉在几号椅子上？
60．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的14圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？
环形跑道问题（提高卷）小学数学思维拓展高频考点培优卷（通用版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．Ⅰ型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，Ⅰ型每5分钟跑一圈，Ⅱ型每3分钟跑一圈．某一时刻，Ⅰ型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则Ⅰ型比Ⅱ型提前（ ）分钟开始跑动．
A．32 B．36 C．38 D．54
【分析】由题意知：两类型的玩具车都刚跑完了18圈，我们又知道I型车比II型车每圈多用5﹣3＝2分钟，那可求18圈多用的时间是18×2＝36分钟，这里多用的时间就是I型比II型提前的时间，即36分钟．
【解答】解：5﹣3＝2（分钟）
18×2＝36（分钟）
故选：B。
【点评】做此题，主要是要明白I型比II型跑相同圈数多用时间就是应该提前的时间．
2．如图：AB是圆的直径，甲在A点，乙在B点，同时出发，甲逆时针方向走，乙顺时针方向走，他们第一次相遇在C点，C点离A点160米，在D点第二次相遇，D点离B点120米，那么这个圆周的周长是（ ）米．
A．1440 B．960 C．720 D．480
【分析】第一次相遇的时候两人行驶的路程之和是圆周长的一半，第二次相遇的时候两人行的路程之和是圆周长的一倍半．由此知道甲一共行了3个160，这样就可以求出圆周长的一半是多少．
【解答】解：
第二次相遇甲行的路程160×3＝480（米）
圆周长的一半480﹣120＝360（米）
圆周长360×2＝720（米）
故选：C。
【点评】此题重点在分析第一次相遇和第二次相遇之间存在的关系，由此推算出第二次相遇甲行的路程．
3．两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人A用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人B用直线赛道，其长度为5千米． 骑车人A用10分钟完成3圈，而骑车人B用5分钟行进了2个来回．那么骑车人A与骑车人B的速度比是（ ）
A．1：1.6π B．π：10 C．3：4 D．3π：40
【分析】通过分析可知；A的速度为：πD×3÷10＝π×1000×3÷10＝300π（米/分）
B的速度为：5000×2×2÷5＝4000（米/分）
其速度比为：A：B＝π×1000×3÷10：5000×2×2÷5，据此解答即可．
【解答】解：由题目中的数据，求得A的速度为：πD×3÷10＝π×1000×3÷10＝300π（米/分）
B的速度为：5000×2×2÷5＝4000（米/分）
其速度比为：A：B＝300π：4000
＝3π：40
故选：D。
【点评】求出各自的速度，进行比较即可．
4．兔子和乌龟在100米的环形跑道上赛跑．它们从同一地点同时出发，乌龟每爬行5米，兔子超过它一圈．当乌龟爬完一圈时，兔子跑了（ ）圈．
A．18 B．20 C．21 D．22
【分析】题意可知：因为乌龟爬5米，兔子就超过它一圈，所以乌龟爬5米，兔子就跑了100+5＝105米，乌龟爬一圈，兔子就超过它100÷5＝20圈，则20×105＝2100米，2100÷100＝21圈，从而问题得解．
【解答】解：100+5＝105（米）
100÷5×（100+5）÷100
＝20×105÷100
＝21（圈）
答：当乌龟爬完1圈时，兔子跑了21圈．
故选：C。
【点评】解答此题的关键是明白：乌龟爬5米，兔子就跑了105米，乌龟爬一圈，兔子就超过它100÷5＝20圈，从而问题逐步得解．
5．如图，长方形ABCD中AB：BC＝5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上．
A．AB B．BC C．CD D．DA
【分析】由题干，第一次相遇在B点，可知第一只蚂蚁与第二只蚂蚁的速度比也是5：4，那么相遇后再相遇，它们的路程比仍是5：4，令这个长方形的长和宽分别为5和4，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意可得蚂蚁的速度之比是5：4，
所以从B点出发再次相遇时它们爬行的路程比仍是5：4
令这个长方形的长和宽分别为5和4，
（5+4）×2＝9×2＝18，
5+4＝9，
18×59=10，
所以第一只蚂蚁从B点爬了10，
因为BC+CD＝4+5＝9，
所以此时第一只蚂蚁已经经过C点D点，
所以它们是在DA边上相遇．
故选：D。
【点评】此题的关键是抓住由路程比的关系得出速度比，根据长度比设出确切数据计算出结果从而判断二者相遇地点．
6．池塘周围有一条道路，A、B、C三人从同一地点同时出发，A和B往逆时针方向走，C往顺时针方向走．A以每分钟80米、B以每分钟65米的速度行走，C在出发后的20分钟遇到A，再过2分钟遇到B，池塘的周长是（ ）米．
A．2800 B．3000 C．3200 D．3300
【分析】由于A每分钟比B多行80﹣65米，所以20分钟后AC相遇时A比B多行了（80﹣65）×20＝300米，即此时AC与B相距300米，又C在遇到A后又过了两分钟遇到了B，所以BC的速度和是300÷2＝150米，则C的速度是每分钟150﹣65＝85米，则AC的速度和是每分钟85+80米，然后用两人的速度和乘两人的相遇时间，即得池塘周长是多少米．
【解答】解：（80﹣65）×20÷2﹣65
＝15×20÷2﹣65
＝150﹣65
＝85（米）
（80+85）×20
＝165×20
＝3300（米）
答：池塘周长是3300米．
故选：D。
【点评】首先根据速度差×共行时间＝路程差求出AC相遇时，BC相距多少米是完成本题的关键．
7．甲、乙两人同时同地沿400米环形跑道反向而行，经1分20秒相遇，如果两人同时同地同向而行，甲跑3圈就追上乙．甲每秒跑（ ）米．
A．2 B．3 C．2.4 D．1.6
【分析】如果反向而行1分20秒即80秒相遇，则相遇时甲和乙正好行一周，则他们的速度和是每秒400÷80＝5米，如果同向而行甲跑3圈就追上乙，因为甲追上乙，就要比乙多跑1圈就，那么乙跑了3﹣1＝2圈；所以甲、乙的速度比是3：2，那么甲的速度就占5米的33+2，然后用乘法解答即可．
【解答】解：1分20秒＝80秒
400÷80＝5（米/秒）
3：（3﹣1）＝3：2
5×33+2=3（米/秒）
故选：B。
【点评】本题考查了环形跑道上的追及和相遇问题，关键是求出甲、乙两人的速度和与速度比．
8．小泉和小美在一条400米的环形跑道上同一起点开始跑步，都跑了三圈，小美比小泉早6分钟出发，反而比小泉晚到2分钟，小泉在跑了（ ）米后追上小美．
A．900 B．800 C．720 D．300
【分析】绕一条400米的跑道跑三圈的路程是400×3＝1200（米），可理解为小泉跑1200米时，用6分钟时间赶上小美，再用2分钟时间甩开小美，每分钟比小美多跑1200÷（6+2）米，根据“路程＝速度×时间”，即可求出小泉跑多少米追上小美．
【解答】解：1200÷（6+2）×6
＝1200÷8×6
＝150×6
＝900（米）
答：小泉在跑了900米后追上小美．
故选：A。
【点评】也可理解为小美每分钟比小泉少跑1200÷（6+2）米，她早跑6分钟，用1200÷（6+2）米乘6就是小美先跑的路程，小泉要想追上小美，他跑的路程应等于小美先跑的路程．
9．如图，赛车场的2400米跑道中套着1800米小跑道，大跑道与小跑道有1200米路程相重，甲车以每秒40米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒20米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，那么他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了（ ）米．
A．4400 B．3600 C．2800 D．1500
【分析】根据题意，甲乙第一次相遇的时间是2400÷（40+20）＝40秒，第一次相遇甲跑的路程是40×40＝1600（米），第一次相遇乙跑的路程是40×20＝800（米），然后再求出乙跑完（1800﹣800）米的路程用的时间，即（1800﹣800）÷20＝50秒，即乙回到出发点A的时间，这时甲跑的路程是40×50＝2000米，这时甲所处的地点在A点左2000+1600﹣2400＝1200米处，即与乙错开，再相遇还需要的时间是（2400﹣1200）÷（40+20）＝20秒，所以从第一次相遇到第二次相遇时间是50+20秒，第一次相遇用40秒，所以在第二次相遇时，他们一共跑了40+50+20＝110秒，再用甲的速度乘以跑的时间，即可求出甲共跑的路程是多少．
【解答】解：第一次相遇的时间是：
2400÷（40+20）
＝2400÷60
＝40（秒）
第一次相遇甲行驶的路程是：
40×40＝1600（米）
第一次相遇乙行驶的路程是：
40×20＝800（米），
乙回到出发点A的时间：
（1800﹣800）÷20
＝1000÷20
＝50（秒）
甲行驶的路程是：
40×50＝2000（米）
甲处的位置在A点左：
2000+1600﹣2400＝1200（米）
再相遇还需要的时间是：
（2400﹣1200）÷（40+20）
＝1200÷60
＝20（秒）
甲一共跑的路程是：
40×（40+50+20）
＝40×110
＝4400（米）
答：甲共跑了4400米．
故选：A。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出甲第一次相遇后到他们第二次在跑道上相遇时，甲又行驶的时间是多少．
二．填空题（共35小题）
10．边长为50cm的正方形ABCD的顶点A，C各有一只小虫，它们同时出发沿正方形的边顺时针爬行，小虫甲每秒爬4cm，小虫乙每秒爬5cm，它们在顶点处转弯时都需要耗时2秒。经过 128 秒其中一只小虫将首次追上另一只小虫。
【分析】甲虫爬一圈用时（200÷4+2×4＝58）秒，乙虫爬一圈用时（200÷5+2×4＝48）秒，甲虫比乙虫多用10秒，10秒乙虫爬50cm，就到了D；当甲虫再爬一圈时，甲虫爬了400cm，到了A，乙虫转弯D时用2秒，它就爬了（250+250+5×8＝540）cm，它距离甲虫10cm，那么再过12秒钟，乙虫追上甲虫。答案即可求。
【解答】解：甲虫爬一圈用时（200÷4+2×4＝58）秒，乙虫爬一圈用时（200÷5+2×4＝48）秒，甲虫比乙虫多用10秒，10秒乙虫爬50cm，就到了D；当甲虫再爬一圈时，甲虫爬了400cm，到了A，乙虫转弯D时用2秒，它就爬了（250+250+5×8＝540）cm，它距离甲虫10cm，那么再过12秒钟，乙虫追上甲虫。
58+58+12
＝116+12
＝128（秒）
故答案为：128。
【点评】明确追击问题中数量间的关系是解决本题的关键。
11．一条圆形跑道，长400米，甲乙在同一地点同时刻反向而行，甲的速度是90米/分钟，乙的速度是60米/分钟，运动20分钟的时候，两人相遇了 7 次。
【分析】由于是背向而行，所以每相遇一次，就行400米，所以先求出20分钟内行驶的总路程，然后看总路程里面有几个400米，就相遇几次。
【解答】解：90+60＝150（米/分）
150×20＝3000（米）
3000÷400≈7（次）
答：两人相遇了7次．
故答案为：7。
【点评】本题考查的是环形行程问题中相遇问题，本题题关键是理解，每相遇一次行驶的路程等于圆形跑道的周长。
12．甲、乙二人在400米环形跑道上进行10000米赛跑，两人从起点同时、同向出发，开始时甲每秒跑8米，乙每秒跑6米，当甲每次追上乙后，甲每秒减少2米，乙每秒减少0.5米，如此往复，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人每秒都增速0.5米，这样一直到终点。那么，领先者到达终点时，另一人距终点 36411 米。
【分析】我们知道“只有快者比慢者多跑一圈才能追上慢者”。结合题意可这样一步步求解：①甲追乙1圈时，甲跑了8×[400÷（8﹣6）]＝1600米，此时甲、乙的速度分别变为6米/秒和5.5米/秒；②甲追上乙2圈时，甲跑了1600+6×[400÷（6﹣5.5）]＝6400米，此时甲、乙的速度分别变为4米/秒和5米/秒；③乙第一次追上甲时，甲跑了6400+4×[400÷（5﹣4）]＝8000（米），乙跑了8000﹣400＝7600米，此时，甲、乙的速度分别变为4.5米/秒和5.5米/秒（之后都是此速度）；④乙跑到终点还需（10000﹣7600）÷5.5=436411秒（与甲到达终点需要时间比较下），则知乙到达终点时，甲距终点（10000﹣8000）﹣4.5×436411=2000-1963711=36411（米）。
【解答】解：8×[400÷（8﹣6）]＝1600（米）
1600+6×[400÷（6﹣5.5）]＝6400（米）
6400+4×[400÷（5﹣4）]＝8000（米）
8000﹣400＝7600（米）
（10000﹣7600）÷5.5=436411（秒）
（10000﹣8000）﹣4.5×436411=2000-1963711=36411（米）
答：领先者到达终点时，另一人距终点36411米。
故答案为：36411.
【点评】此题主要考查环形跑道的追及问题，关键是弄明白随着速度的变化，快到终点时乙的速度要快一些．
13．小明和小红在200米的环形跑道上跑步，他们从同一地点同向出发。如果小红先跑了50米后小明再出发，则小明跑了100米后追上小红。如果小明跑了100米小红再出发，那么小红跑了 100 米后被小明追上。
【分析】据题意，我们知道小明跑100米的时间于小红跑100﹣50＝50米的时间相等，则他们速度比为100：50＝2：1；因为跑道是环形的，故把“如果小明跑了100米小红再出发”看作是“小红在小明前面200﹣100＝100米，两人同时出发”或者是看成“他们从同一地点同向出发，小红先跑了100米后小明再出发”，之后结合他们是速度比即可求出答案。
【解答】解：100﹣50＝50（米）
100：50＝2：1
（200﹣100）÷（2﹣1）×1＝100（米）
答：小红跑了100米后被小明追上。
故答案为：100。
【点评】解此题的关键是先求出他们的速度比，再用变换角度看问题，如：故把“如果小明跑了100米小红再出发”看作是“小红在小明前面200﹣100＝100米，两人同时出发”或者是看成“他们从同一地点同向出发，小红先跑了100米后小明再出发”，即可轻松作答。
14．甲、乙两运动员在周长是400米的环形跑道上向同一方向竞走，已知乙的速度是平均每分80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙的前面100米．问甲第二次追上乙时一共用了 35 分．
【分析】甲在乙的前面100米，则第一次甲追上乙需要追及400﹣100米，则第二次追上乙还需要再追及一周即400米，即甲第二次追上乙需要追及700米，又甲的速度是每分80×1.25米，则用追及距离除以两人的速度差，即得第二次追上乙时一共用了多少分．
【解答】解：（400﹣100+400）÷（80×1.25﹣80）
＝（300+400）÷（100﹣80）
＝700÷20
＝35（分）．
答：甲第二次追上乙时一共用了35分．
【点评】本题体现了追及问题的基本关系式：追及距离÷速度差＝追及时间．
15．如图所示，在一条400米的环形跑道上，A、B两点相距100米．甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米都要停10秒钟，那么甲追上乙需要 140 秒．
【分析】根据题意和“追及问题”公式，可求得甲、乙在行程中都没停的情况下，甲追上乙的用时为100÷（5﹣4）＝100秒；在这段时间内甲停留了100×5÷100﹣1＝4次，即4×10＝40秒，乙停留了100×4÷100﹣1＝3次，即3×10＝30秒；由此可知：甲跑到100×5＝500米追上乙时，乙正好跑了100×4＝400米并在此休息了10秒正准备跑，至此即可得出答案．
【解答】解：100÷（5﹣4）＝100（秒）
100×5÷100﹣1＝4（次）
100+4×10＝140（秒）
故答案为：140．
【点评】解此题的关键是要明白“甲跑到100×5＝500米追上乙时，乙正好跑了100×4＝400米并在此休息了10秒正准备跑”，方可得出正确答案．
16．甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了250米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前80米处又第二次相遇。此圆形场地的周长为 1340 米。
【分析】根据题意，我们知道“他们第一次相遇共走了此圆形场地的一半，即圆周的一半；第二次相遇共走了一个圆周”，因第一次相遇乙走了250米，则第二次相遇乙走了第一次的2倍，即250×2＝500米，乙共走了250+250＝750米；再结合“在甲走完一周前80米处又第二次相遇”得知“乙走了半周多80米”，那么此圆形场地的半周长为750﹣80＝670米，之后便可求出问题答案。
【解答】解：250×2+250＝750（米）
750﹣80＝670（米）
670×2＝1340（米）
答：此圆形场地的周长为1340米。
【点评】解此题，可画出草图帮助学生理解题意，找到解题的思路。
17．甲、乙、丙三人绕操场步行一周，甲走要3分钟，乙走要4分钟，丙走要6分钟．如果三人同时同地同向出发绕操场行走，当他们三人第一次重新相遇在出发点时，三人共走了 9 周．
【分析】甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要3分钟，乙要4分钟，丙要6分钟，则三人第一次相遇的时间是3、4、6的最小公倍数，3、4、6最小公倍数是12，即12分钟后在第一次相遇，由此即能求出相遇时各行了多少周，再相加即可．
【解答】解：3、4、6的最小公倍数是12，
甲：12÷3＝4（周）
乙：12÷4＝3 （周）
丙：12÷6＝2（周）
4+3+2＝9（周）．
即三人共走了9周．
故答案为：9．
【点评】本题关键是明确三人第一次相遇的时间是3、4、6的最小公倍数是完成本题的关键．
18．一只老鼠从A点沿着长方形路线逃跑，一只花猫同时从A点朝长方形路线的另一方向捕捉，结果在距离中点6米的C处，花猫捉住了老鼠。已知老鼠的速度是花猫的1114，则长方形的周长 100 米。
【分析】根据“老鼠的速度是花猫的1114”，我们不妨这样认为“在相同的时间内（它们从A点到C点所用时间），老鼠跑11份的路程，则花猫就跑14份的路程”；据“在距离中点6米的C处，花猫捉住了老鼠”可知“此时花猫比老鼠多跑了6×2＝12米”；综上得知：“花猫多跑的14﹣11＝3份为12米”，则每份为12÷3＝4米。那么，长方形的周长为11+14＝25份，也就是25×4＝100米。
【解答】解：6×2＝12（米）
12÷（14﹣11）＝4（米）
4×（14+11）＝100（米）
答：长方形的周长100米。
【点评】解此题的关键是“弄清它们从A点到C点，花猫比老鼠多跑了2个6米”和“这些数量之间存在的关系”。
19．小姚、小勇两人在200米的环形跑道上相距100米背向出发，小姚每秒种跑2.3米，到他们第三次相遇时总共用了100秒，此时小勇再跑 130 米就会回到自己的出发地．
【分析】先求出老人的速度之和进而求出小勇的速度，即可求出小勇100秒跑得路程，即可得出结论．
【解答】解：两人共跑100+200×2＝500（米），
速度和为500÷100＝5（米/秒），
小勇的速度为5﹣2.3＝2.7（秒），
小勇跑了2.7×100＝270（米），
恰好是跑了一圈多70米，则还需要跑200﹣70＝130（米）可以回到出发地，
答：小勇还需要跑130米就会跑到自己的出发地，
故答案为：130．
【点评】此题主要考查了环形跑道问题，解本题的关键是求出两人的速度之和，是一道基础题．
20．在一个长400厘米的圆形的轨道上有A，B，C，D四个等距离的小球，开始时B，D两个小球不动，小球A，C分别以每秒1厘米和每秒29厘米的速度沿着圆形道向小球B运动，接下去的运动规则如下：当某两个小球相遇时，其速度及方向就传递给对方，那么当第一次有三个小球相遇时，小球D运动了 65313 厘米．（例如：当小球C第一次遇到小球B后，小球C的速度就变为0，而小球B的速度就变为每秒29厘米，并沿着小球C原来的方向运动，小球半径忽略不计．）
【分析】根据题意可知：运动小球的速度比为1：29．我们可将全程分为60份，标上刻度0到59，把开始时A的位置标0，B的位置标15，C的位置为30．D的位置为45．那么第一次相时，用时30÷（1+29）＝1，即逆时针向前1×1＝1格，在刻度1处相遇；以后每次相遇，用时60÷（1+29）＝2，即逆时针向前1×2＝2格，分别在刻度3、5、7…处相遇；开始时，B、D没动，所以每当走到B、D开始时的位置，即刻度为15、45的位置时，总会留下一个球，另一个球继续前进，所以15、45的位置总有球在，所以当在刻度15处相遇时，第一次三个球相遇，这是运动球第8次相遇；开始时，圈上四个球按逆时针顺序为ABCD，这个顺序永远不会改变．据此易知，第一次是AB相遇，第二次是BC相遇，第三次是CD相遇，第四次是DA相遇，…
故可得下面列表
从表中我们可以发现D走了30+10+2+22+30+2+2＝98个刻度，每个刻度长度为400÷60=203，所以共走了98×203=65313．
【解答】解：将全程分为60份，标上刻度0到59，把开始时A的位置标0，B的位置标15，C的位置为30．D的位置为45，则得
30÷（1+29）＝1
60÷（1+29）＝2
依此类推得下表
30+10+2+22+30+2+2＝98
400÷60=203
98×203=65313
故答案为：65313．
【点评】解此题的关键就是给圆形跑道标上刻度，根据相遇公式，推算出运动小球每次相遇时的位置刻度，方可轻松解答．
21．在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发后反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇，那么乙环行一周需要 30 分钟．
【分析】第一次相遇6分钟，第二次相遇甲乙加起来走了一圈共用8+4＝12分钟，甲走一圈的时间是8+12＝20分钟，那么乙走一圈就要20÷4×6＝30分钟．
【解答】解：甲乙合行一圈需要8+4＝12分钟．
乙行6分钟的路程，甲只需4分钟．
所以乙行的12分钟，甲需要12÷6×4＝8分钟，所以甲行一圈需要8+12＝20分钟．
乙行一圈需要20÷4×6＝30分钟．
答：甲行一圈需要20分钟．乙行一圈需要30分钟．
故答案为：30．
【点评】此题属于在环形跑道上多次相遇问题，理清他们之间所用时间的关系是解题的关键．
22．甲、乙、丙三人在一条周长为360米环形跑道上的同一出发点：甲先出发，逆时针方向跑步；在甲还未完成一圈时，乙、丙同时出发，顺时针方向跑步；当甲、乙第一次相遇时，丙刚好距他们半圈；一段时间后，当甲、丙第一次相遇时，乙刚好也距他们半圈．如果乙的速度是甲的4倍，那么，当乙、丙出发时，甲已经跑了 90 米．
【分析】先确定出丙的速度与乙的速度关系，即可确定出结论．
【解答】解：由于甲、乙第一次相遇时，丙刚好距他们半圈；一段时间后，当甲、丙第一次相遇时，乙刚好也距他们半圈．
所以，甲、乙第一次相遇之后，甲乙继续跑一圈半，乙丙相差半圈，
即：甲乙跑：360+12×360＝540米，甲丙一共跑：12×360＝180（米），
所以，甲跑了540×15=108（米），乙跑了540﹣108＝432（米），丙跑了180﹣108＝72（米），
所以，乙的速度是丙速度的43272=6倍，
即：丙的速度是甲的23，
180÷（4-23）＝54（米），
360﹣5×54＝90（米）
答：乙、丙出发时，甲已经跑了90米，
故答案为：90
【点评】此题是环形跑道问题，主要考查了路程，速度，时间的关系，确定出乙丙的速度关系是解本题的关键．
23．A、B两人同时从同一地点绕操场跑道跑步．如果是沿着同一方向跑，3小时后A追上B；如果沿着相反方向跑，2小时后能相遇．A、B两人跑步速度比的比值是 5 ．
【分析】首先根据题意，如果是沿着同一方向跑，3小时后A追上B，把跑道的长度看作单位“1”，那么速度差是13；如果沿着相反方向跑，2小时后能相遇，那么速度和是12，然后根据和差公式求出A、B两人跑步速度，再求出两人跑步速度比的比值即可．
【解答】解：（12+13）÷2=56
（12-13）÷2=16
56：16=5
故答案为：5．
【点评】本题考查了环形跑道问题中的追及和相遇问题，关键是明确行驶的方向不同．
24．甲、乙两名运动员在环形跑道上从同一点同时背向而行，在出发30分钟后两人第一次相遇．已知甲运动员跑一圈要80分钟，那么乙运动员跑一圈要 48 分钟．
【分析】在环形跑道上从同一点同时背向而行，在出发30分钟后两人第一次相遇，把环形跑道的长度看作单位“1”，那么速度和是130，然后减去甲运动员的速度180，再除1就是乙运动员跑一圈的时间．
【解答】解：1÷（130-180）＝48（分钟）
故答案为：48．
【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是求出乙运动员的速度．
25．如图，是一个边长为90米的正方形，甲从A出发，乙同时从B出发，甲每分钟行进63米，乙每分钟行进72米，当乙第一次追上甲时，乙在 B 点上．
【分析】根据题意，当乙第一次追上甲时，乙比甲多走了3条边的长度，即追及距离是90×3＝270米，由追及路程÷它们的速度差＝追及时间，用270÷（72﹣63）可以求出追及时间，进而求出乙走的路程，再用乙所走的路程，除以90，也就是经过了几条边，然后再进一步解答即可．
【解答】解：根据题意可得：
追及时间是：90×3÷（72﹣63）
＝270÷9
＝30（分）；
乙走的路程是：72×30＝2160（米）；
2160÷90＝24（条）
也就是乙从B点出发，经过了24个90米，也就是走了24÷4＝6（圈）；
因此，当乙第一次追上甲时，正好在起点B．
答：当乙第一次追上甲时，乙在B点上．
故答案为：B．
【点评】本题的关键是根据题意，先求出追及路程和追及时间，进而求出乙走的路程，然后再进一步解答即可．
26．小明和小红在600米的环形跑道上跑步，两人从同一起点同时出发，朝相反方向跑，第一次和第二次相遇时间间隔50秒，已知小红的速度比小明慢2米/秒，则小明的速度为 7 米/秒．
【分析】每相遇一次，两人的路程和就是跑道的全长，先用全长除以时间间隔，求出跑一圈两人的速度和，再根据和差公式：（两数和+两数差）÷2＝较大数求解．
【解答】解：600÷50＝12（米/秒）
（12+2）÷2
＝14÷2
＝7（米/秒）
答：小明的速度为 7米/秒．
故答案为：7．
【点评】本题也可以用方程求解：设小红的速度为x米/秒，小明的速度为x+2米/秒，50（x+x+2）＝600，解答x＝5，则小明的速度为 5+2＝7 米/秒．
27．甲乙两人从300米环形跑道的同一点出发，背向而行，甲每秒跑2米，乙每秒跑4米．当两人迎面相遇时，甲转身往回跑；当甲乙再相遇时，乙转身往回跑．若依此类推，出发后 250 秒两人第一次在出发点相遇．
【分析】第一次从起点出发，此时是一个相遇问题，经过时间是300÷（2+4）＝50（秒），第二次因为甲转身，变成了一个追击问题，300÷（4﹣2）＝150（秒），乙比甲多跑了一周，所以甲走了一圈，乙走了两圈，又在第一次相遇的地方第二次相遇；第三次出发，乙转身，又变成一个相遇问题，经过时间是300÷（2+4）＝50（秒），此时正好在最初的起点相遇．
【解答】解：
300÷（2+4）＝50（秒）
300÷（4﹣2）＝150（秒）
300÷（2+4）＝50（秒）
50+150+50＝250（秒）
故填250
【点评】这题要抓住乙的速度是甲速度的2倍，根据跑步的方向，来分析每次相遇的地点．
28．如图，A、B为圆形轨道一条直径的两个端点，甲、乙、丙三个微型机器人在圆形轨道上同时出发，作匀速圆周运动，甲、乙从A出发，丙从B出发；乙顺时针运动，甲、丙逆时针运动，出发后12秒钟甲到达B，再过9秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇；那么当丙第一次到达A后，再过 56 秒钟，乙才第一次到达B．
【分析】甲经过12秒钟到从A到达B，则再过9秒钟后甲到达C点，且BC的长度等于AB长度的34，则AC的长度等于AB长度的14，即21秒钟的时间内，甲的路程为AB+BC=74AB，乙的路程为AC=14AB，丙的路程为BC=34AB，据此可以算出甲乙丙的速度比，进而求解．
【解答】解：甲经过12秒钟到从A到达B，则再过9秒钟后甲到达C点，
且BC的长度等于AB长度的34，
则AC的长度等于AB长度的14，
即21秒钟的时间内，甲的路程为AB+BC=74AB段，
乙的路程为AC=14AB，丙的路程为BC=34AB，
则速度比甲：乙：丙＝7：1：3，
丙从C到达A所用时间＝21×13=7（秒），
此时乙从C点到达D点，所用时间也为7秒，
因为CA=13BC，则CD=13AC，则CB＝8CD，
丙到达A后乙到达B的所需时间：8×7＝56（秒）
故答案为：56
【点评】本题关键是能根据甲乙丙相同时间内的路程计算出速度比．
29．小明在240米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑3米，那么小明后一半路程用了 36 秒．
【分析】时间相同，所以行驶的平均速度是（5+3）÷2＝4（米/秒），行驶的总时间是240÷4＝60（秒），前一半路程的速度是5米/秒，共用（240÷2）÷5＝24（秒），然后再与60作差即可．
【解答】解：（5+3）÷2＝4（米/秒）
240÷4＝60（秒）
（240÷2）÷5＝24（秒）
60﹣24＝36（秒）
故答案为：36．
【点评】解答本题关键是求出行驶的总时间，难点是理解前一半路程的速度是5米/秒．
30．如图，在一个周长是300米的环形跑道上，甲、乙、丙三人同时从A地出发，甲、乙沿顺时针方向行走，速度分别是每分钟40米和每分钟50米；丙沿逆时针方向行走，速度是每分钟60米．乙每跑100米，就要休息1分钟；甲、丙每次相遇，两人都会同时休息半分钟，那么，当甲第三次超越乙时，丙一共走了 450 米．
【分析】甲、丙相遇时间300÷（40+60）＝3分钟，两人都会同时休息半分钟，列出表格，甲分别在乙前三次停时进行了三次超越，当甲第三次超越乙时，甲一共跑了300÷40＝7.5分钟，即可求出丙的路程．
【解答】解：甲、丙相遇时间300÷（40+60）＝3分钟，两人都会同时休息半分钟，100÷50＝2，列表
0～3
3.5～6.5
7～10
10.5～13.5
甲
0～120
120～240
240～360
360～480
0～2
3～5
6～8
9～11
乙
0～100
100～200
200～300
300～400
第一次相遇
第二次相遇
第三次相遇
则甲分别在乙前三次停时进行了三次超越，当甲第三次超越乙时，甲一共跑了300÷40＝7.5分钟（甲停丙也停），所以丙一共走了7.5×60＝450米．
【点评】本题主要考查了学生对行程问题中追及问题和相遇问题解答方法的掌握，难点是求甲第三次超越乙时，甲一共跑了300÷40＝7.5分钟．
31．甲、乙、丙3人在一个周长是300米的环形跑道上同时出发，出发地和行走方向如图所示．已知，出发15秒后乙和丙第一次相遇，又过了10秒，甲和乙第一次相遇．那么，再经过 50 秒，甲第一次追上丙．
【分析】当乙丙相遇时，和走了全程的一半，可以得到他们的速度和就是300÷2÷15＝10米/秒；
甲乙相遇时，和走了整个一圈全程，可以得到他们的速度和就是300÷（15+10）＝12米/秒；
由上面两个结论可以算出甲丙的速度差是12﹣10＝2米/秒．
用路程除以速度差就可以求出甲第一次遇到丙结果的时间．
【解答】解：
300÷2÷15＝10（米/秒） 乙丙速度之和
300÷（15+10）＝12（米/秒） 甲乙速度之和
12﹣10＝2（米/秒） 甲丙速度之差
300÷2÷2＝75（秒） 甲第一次追上丙所用时间
75﹣15﹣10＝50（秒） 从甲遇到乙后到甲遇到丙经过的时间
故此题填50
【点评】这题的难点就是怎样通过乙丙速度之和及甲乙速度之和求到甲丙速度之差．
32．如图，甲、乙两人从A地同时背向出发，在环形路线上行走，第一次相遇时甲比乙多走了200米，当甲回到A地后速度提高一倍，继续行走，结果距A地250米与乙第二次相遇，那么这个环形跑道长为 1000米 。
【分析】因为是环形跑道，所以他们每共同跑完一圈就相遇一次；第一次相遇时，甲跑了半圈多200÷2＝100米，乙跑了半圈少100米；第二次相遇时，假设甲速度没变，甲跑了2圈多250÷2＝125米（因甲跑的250米时提速一倍），乙跑了2圈少250米；设环形跑道长为2x，至此可根据他们是速度比得出：（2x+125）：（2x﹣250）＝（x+100）：（x﹣100）并解之，之后便可得到答案。
【解答】解：设环形跑道长为2x，则得
（2x+125）：（2x﹣250）＝（x+100）：（x﹣100）
（2x+125）（x﹣100）＝（x+100）（2x﹣250）
2x2﹣200x+125x﹣12500＝2x2﹣250x+200x﹣25000
25x＝12500
x＝500
2x＝2×500＝1000（米）
答：这个环形跑道的长为1000米。
故答案为：1000.
【点评】此题只要明白“他们每共同跑完一圈就相遇一次”并理解题意，分析出他们相遇时的行程情况，便可找到入手点，即可列式解答。
33．环形跑道周长是500米，甲、乙两人按顺时针沿环形跑道同时、同地起跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑50米，甲、乙两人每跑200米均要停下休息1分钟．那么甲首次追上乙需 77 分钟．
【分析】假设两人都不休息则需要500÷（60﹣50）＝50（分），此时甲走了50×60＝3000（米），则休息了3000÷200＝15（分）．在第65分钟甲跑了3000米，乙跑了65÷（200÷50+1）＝13个，即跑了13个200米，为2600米，此时二人相距100米，而追赶这100米需要时间100÷（60﹣50）＝10（分钟）．在10分钟内乙跑了10÷（5÷4）×50＝400（米），甲跑了420米，相距20米．20÷（60﹣50）＝2（分）．因此甲首次追上乙需要65+10+2＝77（分）．
【解答】解：假设两人都不休息则需要：500÷（60﹣50）＝50（分），
此时甲走了50×60＝3000（米），则休息了3000÷200＝15（分）．
在第65分钟甲跑了3000米，乙跑了65÷（200÷50+1）＝13个，
即跑了13个200米，为2600米，此时二人相距100米，而追赶这100米需要时间100÷（60﹣50）＝10（分钟）．
在10分钟内乙跑了10÷（5÷4）×50＝400（米），甲跑了420米，相距20米．
20÷（60﹣50）＝2（分）．
因此甲首次追上乙需要65+10+2＝77（分）．
答：甲首次追上乙需要77分钟．
故答案为：77．
【点评】本题为较为复杂的环形跑道问题，完成是要根据所给条件，认真分析，得出结论．
34．甲、乙、丙3人在周长是300米的环形跑道上同时同地同向出发．甲第一次追上乙时，甲、乙恰好都回到出发点，此时丙距离出发点100米；过了一会，甲第一次追上丙时，乙跑了7圈多一些，那么，丙第一次追上乙时，甲总共跑了 5400 米．
【分析】甲要比丙多跑一圈，才能第一次追上丙，“丙距离出发点100米“说明甲追了丙100米或200米．
若甲追丙100米，则甲需要跑目前圈数的两倍才能追上丙，此时乙跑的圈数也应该是目前乙圈数的两倍，即乙应该跑整数圈，与题意矛盾，故甲第一次追上乙的时候，甲比丙多跑200米．
这种情况下，则甲需要跑目前圈数的一半才能追上丙，此时乙跑的圈数也应该是目前乙圈数的一半，所以题目中的“七圈多一点“即为7.5圈．
【解答】解：根据题意，甲第一次追上乙时，也比丙多跑了200米；甲追上丙时，乙共跑了7.5圈
甲第一次追上乙：乙跑了5圈1500米，甲跑了6圈1800米，丙跑了1800﹣200＝1600（米）
甲乙丙的速度比为：1800：1500：1600＝18：15：16；
丙追上乙时，丙应该跑了16圈，乙跑了15圈，此时甲跑了18圈，为18×300＝5400（米）
故答案为5400．
【点评】本题的突破口为：“丙距离出发点100米“和“乙跑了7圈多一点“．
35．爷爷和孙子两人同时从同一地点反向绕一条环形跑道跑步，在第一次相遇后，爷爷又跑了8分钟回到原地，已知孙子跑一圈需要6分钟，爷爷跑一圈的时间是偶数，爷爷跑一圈的时间是 12 分钟．
【分析】爷爷跑一圈时间为偶数，爷爷又跑了8分钟回到原地，所以第一次相遇的时间也是偶数，那么孙子跑一圈需要6分钟，所以第一次相遇的时间小于6分钟，可能是2分钟、4分钟，然后分类讨论即可．
【解答】解：爷爷跑一圈时间为偶数，那么爷孙第一次相遇时，孙子用时应该是2分钟或4分钟．
假如是2分钟，则孙子跑了一圈的2÷6=13，爷爷应该跑了1-13=23，而爷爷后面又花8分钟回到原地，因此假设不成立．
第一次相遇时间应为4分钟后，则爷爷跑一圈应该为8+4＝12分钟．
验证：孙子跑4分钟跑完4÷6=23，爷爷同样用时跑完1-23=13．余下的23爷爷应该用时8分钟，与条件相符．
故答案为：12．
【点评】解答本题关键是明确第一次相遇的时间只能是2分钟、4分钟．
36．如图是一个边长100米的正方形．甲、乙两人同时从A点出发，沿正方形的边走．甲逆时针每分钟行75米，乙顺时针每分钟行45米，两人第一次在CD边（不包括C、D两点）上相遇，是出发以后第 七 次相遇．
【分析】先求出正方形的周长，除以两人的速度和可求出相遇时间，从而求出相遇时乙走了多少米，以后每次相遇时都再走这个米数，根据走的米数和正方形的周长来判断哪次相遇在CD边即可．
【解答】解：100×4＝400（米），
400÷（75+45），
＝400÷120，
=103（分）
45×103=150（米）
150×2＝300（米），
150×3＝450（米）…
第一次相遇在BC边，第二次相遇在D点，第三次相遇在AB边，第四次相遇在C点，第五次相遇在AD边，第六次相遇在B点，第七次相遇在CD边．
答：第七次相遇在CD边上．
【点评】此题主要考查了相遇问题，注意根据相遇问题数量关系解答，并注意根据每次相遇所行驶的路程判断行驶物所处的位置．
37．甲、乙两人在一环形跑道上，甲跑步，乙步行．如果他们同时从同一点出发，背向而行，1分钟后二人相遇；如果他们同时从同一点同向而行，则3分钟后甲从背后追上乙．依这样的速度，甲沿着环形跑道跑一圈所花的时间是 1 分 30 秒．
【分析】根据题意，甲乙同时从同一点出发，背向而行，1分钟后二人相遇，可得1分钟两人可以跑一圈；如果他们同时从同一点同向而行则3分钟后甲从背后追上乙，可得，甲与乙3分钟共跑了3圈，甲追上乙，则甲比乙堆跑了1圈，也就是3分钟甲跑了3﹣1＝2圈，然后再进一步解答即可．
【解答】解：根据题意可得：
3÷（3﹣1）＝1.5（分钟）；
1.5分钟＝1分30秒．
答：甲沿着环形跑道跑一圈所花的时间是1分30秒．
故答案为：1，30．
【点评】本题的关键是两人和跑一圈的时间，再根据追及时间，可以求得两人共跑的圈数，又因为追上要多跑1圈，可以求出甲追上乙跑的圈数，然后再进一步解答即可．
38．在一个环形跑道上有相距100米的甲、乙两个电动玩具车，两车同时出发同向而行，甲车在前，乙车在后，5分钟后乙车第一次追上甲车，又过了20分钟，乙车第二次追上甲车，此时甲车正好驶完一圈．那么乙车的速度为每分钟 36 米．
【分析】原来相距甲乙相距100米，5分钟后乙车第一次追上甲车，则甲乙两车的速度差为100÷5＝20米/分钟．又过了20分钟，乙车第二次追上甲车，从乙车第一次追上第二次追上甲车，乙车应正好比甲车多行一圈．追及距离为20×20＝400米，即此环形跑道的周长应为400米，此时此时甲车正好驶完一圈，则甲车的速度为400÷（20+5）＝16米/分钟．所以乙车的速度为20+16＝36米/分钟．
【解答】解：跑道周长为：
100÷5×20＝400（米）；
乙车速度为：
400÷（20+5）+100÷20
＝400÷25÷+20，
＝16+20，
＝36（米/分钟）．
答：乙车的速度为每分钟36米．
【点评】根据路程差÷追及时间＝速度差求出两车的速度差是完成本题的关键．
39．如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为1、2、3、4的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾车匀速行驶，且从1、2、3、4号车站出发的车的速度分别为1、2、3、4，以后速度再不变化．行驶完毕后，他们有如下的话：
甲说：“我第一次追上乙时恰在车站①”．
乙说：“我第一次追上丙时恰在车站②”．
丙说：“我第一次追上丁时恰在车站③”．
丁说：“我第一次追上甲时恰在车站④”．
已知其中有两人的话正确，两人说的话错误．那么四位数ABCD= 2314 ．
【分析】先从④号车站出发的车追上①、②、③号车站出发的车的时间，进而判断出④追上②在车站④，追上③在车站④，依次判断③号车站出发的车追上①、②的位置，即可得出结论．
【解答】解：4个人共有6次追及，设正方形边长为a．
④第一次追上①时间a÷（4﹣1）=a3，
所以应在①、②中间．
④第一次追上②时间2a÷（4﹣2）＝a，
所以走了2a，在车站④．
同理④第一次追上③在车站④．
③第一次追上①在车站②．
③第一次追上②在车站④．
②第一次追上①在车站④，
所以甲、丙的话不可能正确．
乙第一次追上丙在车站②，
所以B＝3，C＝1．
丁第一次追上甲在车站④，
所以A＝2，D＝4．
所以四位数ABCD=2314，
故答案为2314．
【点评】此题主要考查的是追及问题，解本题的关键是抓住从④号车站出发的车追上①、②、③号出发的车的位置．
40．甲、乙、丙三人同时从A点出发，按逆时针方向沿着构成正方形ABCD的4条街道跑步．已知三个人的速度分别为每秒5米、4米和3米．在甲第一次看到乙、丙与他在同一条街后，又过了7分钟，三个人第一次到达同一点．那么四条街道的总长是 8400或4200 米．
【分析】甲、乙、丙的速度比为5：4：3，所以路程比也是5：4：3，当他们第一次相遇时，刚好是甲跑5圈、乙跑4圈、丙跑3圈后回到起点A的位置．由于甲是第一次看到乙、丙在自己同一边的前方，所以甲那时正好是跑到第五圈D点的位置．而甲从D点跑到A点与乙丙相遇需经过7分钟＝420秒，所以DA长为5×420＝2100（米），由此可知：甲与丙相距（5﹣3）×420＝840（米）．即2100米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于840米．据此解答．
【解答】解：甲跑5圈时间，乙跑4圈，丙跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点．倒退7分钟＝420秒，
甲的位置距A点5×420＝2100（米），甲与丙相距（5﹣3）×420＝840（米）．
因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上，
所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即2100米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于840米．
2100÷1＝2100＞840，2100÷2＝1050＞840，2100÷3＝700＜840．
所以正方形的边长是2100米或1050米，
周长为：2100×4＝8400（米）或1050×4＝4200（米）．
答：正方形的周长是8400米或4200米．
故答案为：8400或4200．
【点评】解答此题明确：在相同时间内速度的比等于路程的比，关键是求出正方形边长可能是多少米，进而根据正方形的周长公式解答．
41．甲、乙、丙三人在长2790米的环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙在距离乙180米处遇见甲．丙每分钟走 75 米．
【分析】丙在距离乙180米处遇见甲，即此时甲比乙多走了180米，由于甲每分钟比乙多走80﹣70＝10米，则丙遇见甲时，他们所走的时间为180÷10＝18分钟；由于丙与甲、乙背向而走，则两人相遇时，两人共行了一周即2790米，由此可知，两人的速度和为2790÷18＝155米/分钟，则丙每分钟走155﹣80＝75米．
【解答】解：甲丙相遇，他们共行了：
180÷（80﹣70）
＝180÷10，
＝18（分钟）．
则丙每分钟行：
2790÷18﹣80
＝155﹣80，
＝75（米）．
答：两每分钟行75米．
故答案为：75．
【点评】根据路程÷速度差＝追及时间求出甲丙相遇时用时间是完成本题的关键．
42．可可、乐乐两人绕周长240米的湖边跑步．他们从一棵大树下同时出发背向而行，可可每秒跑4米、乐乐每秒跑5米．他们第3次相遇时．可可离大树 80 米．
【分析】由于两人相背而行，则每次相遇两人都共行1个周长，则第三次相遇时，两人共行了三个周长，即240×3米，由于两人的速度和是每秒4+5＝9米，则两人相遇时共行了240×3÷9＝80秒，此时可可共行了4×80＝320米，320÷240＝1…80米，即此时可可行了一周又80米，距离大树有80米．
【解答】解：240×3÷（4+5）
＝720÷9，
＝80（秒）；
80×4÷240＝1（周）…80米，
答：可可离大树80米．
故答案为：80．
【点评】明确两人每相遇一次共行一周，并由此求出两人的相遇时间是完成本题的关键．
43．甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，已知甲跑完一圈用40秒．如果他们同时从同一地点出发，背向而行，每隔24秒相遇一次；如果他们同向而行，每隔 120 秒钟相遇一次．
【分析】已知甲跑完一圈用40秒，那么甲的速度表示为140，背向而行，每隔24秒相遇一次，那么速度和是124，所以乙的速度是124-140=160；然后根据路程÷速度差＝追及时间可知，每隔1÷（140-160）＝120秒，两人就相遇一次．
【解答】解：124-140=160
1÷（140-160）＝120（秒）
故答案为：120．
【点评】本题考查了环形跑道中的追及问题和相遇问题，关键是求出乙的速度．
44．甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变，如果两人同时从两地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需 12 分钟．
【分析】由题意，甲的速度是16周/分，4分钟后两人第一次相遇，乙的速度是14-16=112周/分，即可得出结论．
【解答】解：由题意，甲的速度是16周/分，4分钟后两人第一次相遇，乙的速度是14-16=112周/分，
所以乙跑一周需12分钟．
故答案为12．
【点评】本题考查环形跑道问题，考查相遇问题的求解方法，比较基础．
三．解答题（共16小题）
45．在周长为400米的圆形场地的一条直径的两端，甲、乙二人分别以每秒12米、每秒10米的速度同时同向骑车出发，沿圆周行驶．问：14分钟内甲追上乙多少次？
【分析】根据“追及时间＝路程差÷速度差”，如图，第一次甲追上乙是在400÷2÷（12﹣10）＝100秒后，14分＝60×14＝840秒，后来又行了14×60﹣100＝740（秒），后来甲行了740×12÷400＝22.2（圈），乙行了740×10÷400＝18.5（圈）；超过1圈追上1次，所以共追上3+1＝4次．
【解答】解：第一次甲追上乙需：400÷2÷（12﹣10）
＝200÷2
＝100（秒），
（60×14﹣100）×12÷400﹣（60×14﹣100）×10÷400
＝740×12÷400﹣740×10÷400
＝22.2﹣18.5
＝3.7（圈）；
超过1圈追上1次，所以共追上3+1＝4次；
答：问14分钟内甲追上乙4次．
【点评】此题属于复杂的环形跑道追及问题，解答此题的关键是根据路程差、速度差和追及时间三者之间的关系，进行分析解答即可．
46．如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米．甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米．甲、乙二人同时由A点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑．问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？（路程按甲跑的计算）
【分析】根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆环跑一周需要100秒，乙绕小圆环跑一周也需要100秒．所以两人的第一次相遇肯定是在A点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到A点，如果甲也在A点，则两人在A点相遇；如果甲不在A点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇．设乙第m次回到A点的时间为t秒，则t＝100m，此时甲跑了6×100m＝600m米．而甲一个周期为600+400＝1000米，因此，t时刻甲跑了600m÷1000个周期．而600m÷1000=3m5=[3m5]+{3m5}，其中整数部分表示甲回到A点，小数部分表示甲又从A点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是{3m5}×1000米．由此，我们可以算出甲的位置．
【解答】解：
按照上面的分析可以列出下表
3m＝
5k
5k+1
5k+2
5k+3
5k+4
小数部分表示的路程
0
200
400
600
800
甲、乙相距的路程
0
800
600
400
200
甲、乙相遇还需的时间
0
80
60
40
20
甲、乙相遇的位置
0
80
160
240
320
以其中的第三列5k+1为例进行说明：这一列表示3m＝5k+1，于是{3m5}×1000＝200，这表明甲回到A点后又跑了200米，此时乙在A点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距1000﹣200＝800米，所以需要的时间为800÷（4+6）＝80秒，在80秒内乙跑了4×90＝320米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为400﹣320＝80米，这就是此时相遇点与A点的距离．其它情况同理可得．
答：甲、乙可能相遇的位置在距离A点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米．
【点评】此题的情况比较复杂，在分析的时候可以借助表格．
47．有甲、乙、丙三个人同时同向从同地出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟360米，乙每分钟300米，丙每分钟210米，问他们至少各绕了多少圈后才能再次相遇？
【分析】他们其中的两人每相遇一次，速度快的就要比慢的多跑一圈．所以，甲比乙每多跑一圈900与乙相遇一次需要900÷（360﹣300）＝15分钟，甲比丙每多跑一圈900米与丙相遇一次，甲每次与丙相遇需要900÷（360﹣210）＝6分钟，乙比丙每多跑一圈900米与丙相遇一次，乙每次与丙相遇需要900÷（300﹣210）＝10分钟；15、10、6的公倍数为30．即出发30分钟后三人第一次同时相遇，所以甲跑的圈数为 360×30÷900＝12圈，乙跑的圈数 300×30÷900＝10圈，甲跑的圈数 210×30÷900＝7圈．
【解答】解：甲乙第一次相遇需要：900÷（360﹣300）＝15（分钟）；
甲丙第一次相遇需要：900÷（360﹣210）＝6（分钟）；
乙丙第一次相遇需要：900÷（300﹣210）＝10（分钟）；
15、10、6的公倍数为30，
即出发30分钟后三人第一次同时相遇，
所以甲跑的圈数为：360×30÷900＝12（圈），
乙跑的圈数：300×30÷900＝10（圈），
丙跑的圈数：210×30÷900＝7（圈）．
答：甲绕了12圈后，乙绕了10圈后，丙绕了7圈后，三人第一次相遇．
【点评】本题是通过求他相遇时间的公倍数来进行解答的，比设未知数要简单一些．
48．甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？
【分析】每相遇一次，两人就跑一个跑道的全长，先把两人是反向跑步，所以先求出两人的速度的和，再乘跑步的时间30分钟，即可求出24圈的长度，再除以24即可求出跑道的长度．
【解答】解：（180+240）×30÷24
＝420×30÷24
＝12600÷24
＝525（米）
答：跑道的长度最多是525米．
【点评】解决本题关键是理解每相遇一次，两人就跑了一个跑道的全长，根据路程＝速度和×时间，求出一共跑了多少米，再除以圈数即可．
49．在一个周长500米的环形跑道上，艾迪和薇儿同时同地出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇，相遇后两人继续前行．已知艾迪比薇儿每秒多跑2米，请回答下列问题：
（1）薇儿的速度是多少？
（2）6分钟内两人共相遇多少次？
（3）第3次相遇后，艾迪至少还需要再跑多少米才能回到出发点？
【分析】（1）求出两人的速度和为500÷50＝10m/s，根据艾迪比薇儿每秒多跑2米，求出薇儿的速度；
（2）6×60＝360s，一次相遇的时间是50s，可得6分钟内两人共相遇多少次；
（3）第3次相遇后，艾迪走的路程150×6＝900m，900＝500×1+400，即可求出艾迪至少还需要再跑多少米才能回到出发点．
【解答】解：（1）两人的速度和为500÷50＝10m/s，由于艾迪比薇儿每秒多跑2米，所以薇儿的速度是（10﹣2）÷2＝4m/s；
（2）6×60＝360s，一次相遇的时间是50s，360＝50×7+10，故6分钟内两人共相遇7次；
（3）从开始到第三次相遇一共用时：3×50＝150s，艾迪的速度是（10+2）÷2＝6m/s，艾迪走的路程150×6＝900m，900＝500×1+400．
那么艾迪至少还需要再跑500﹣400＝100米才能回到出发点．
【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和＝路程÷相遇时间．
50．某校运动会在400米环形跑道上进行一万米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
【分析】在整个过程中，乙为匀速运动；在前15分钟甲慢，在第15分钟时甲加快速度直到终点．在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙．可知甲加快速度后在23﹣18＝5分钟内，比乙多行一圈，即400米，所以甲每分钟比乙多行400÷5＝80米．在第23分50秒时，甲到达终点，而此刻乙距终点应还有80×（23分50秒﹣18分）=14003米，所以乙速度为（10000-14003）米÷（23分50秒）＝400米/分，所以乙跑完全程所用的时间是10000÷400＝25分钟．
【解答】解：①甲每分钟比乙多行400÷（23﹣18）＝80（米）．
②在第23分50秒时，甲到达终点，而此刻乙距终点应还有
80×（235060-18分）=14003（米）．
③乙速度为：
（10000-14003）÷235060=400（米）．
④乙跑完全程所用的时间是：
10000÷400＝25（分钟 ）．
答：乙跑完全程所用的时间是25分钟．
【点评】此题有一定难度，重点应求出乙速度．考查学生对复杂行程问题的分析能力．
51．一个环形跑道一共两个跑道，1号跑道一共400米，2号跑道一共440米，而且直线跑道都是100米．艾迪每分钟跑240米，薇儿每分钟跑200米．
（1）艾迪和薇儿从1号跑道同时出发逆时针跑，问：艾迪多久追上薇儿？
（2）艾迪和薇儿从2号跑道同时出发，相背而行，问：他们相遇5次用时多少分钟？
（3）艾迪和薇儿分别从1号和2号跑道的起点处，同时以同一速度顺时针跑步，问：艾迪第一次追上薇儿时（两人并排），艾迪已经跑了多少米？
【分析】根据“追及时间＝路程差÷速度差”来解，因为是在环形跑道上，所以追及的路程差就是跑道一圈的长度；速度差就好求了；据此来解答（1）（2）．对于（3）问，“两人并排”只能在“直线跑道”才出现，所以应考虑2种情况：第一段直线和第二段直线．无论那段直线上，都是艾迪比薇儿多跑了1圈，并且是最后并排时，只要经过1个弯道就说明薇儿比艾迪多跑了（440﹣400）÷2＝20米．据此列方程组并解出相应的未知数，即可得出所求答案．
【解答】解：（1）240﹣200＝40
400÷40＝10（分钟）
答：艾迪10分钟能追上薇儿．
（2）440÷（240+200）＝1
1×5＝5（分钟）
答：他们相遇5次时的时间是5分钟．
（3）分两种情况讨论：
①在顺时针的第一段直线跑道追上
设跑了t分钟追上，则艾迪跑了n+1圈多x米，薇儿跑了n圈多x米，据此可得方程组240t=400×(n+1)+x200t=440n+x
方程组的两式相减得：t＝10﹣n
将其再代入200t＝440n+x得：
640n+x＝200（x＜100）
当n＝3，x＝80时满足题意．
故：400×（n+1）+x＝400×（3+1）+80＝1680（米）
此时艾迪跑了400×（3+1）+80＝1680米．
②在顺时针的第二段直线跑道追上
设跑了t分钟追上，则艾迪跑了n+1圈多x米，多跑的x米中有一个弯道，薇儿跑了n圈多x+（440﹣400）÷2＝x+20米，可得方程组240t=400×(n+1)+x200t=440n+x+20这时解出的x不合题意．
综上，艾迪第一次在直线跑道上追上薇儿时，艾迪已经跑了1680米．
答：艾迪第一次追上薇儿时，艾迪已经跑了1680米．
【点评】解环形跑道上的追及问题，关键是理解“追及中的路程差是多少”．
52．艾迪和薇儿在公园里沿着周长为30米的圆形花坛边玩相遇与追及的游戏，艾迪的跑步速度为6米/秒，薇儿的跑步速度为4米/秒，两人约定，如果两人迎面相遇，那么艾迪就立即回头；如果艾迪从后面追上薇儿，那么薇儿就立即回头，两人从花坛周围的某一点A同时背向出发．所有转身的时间都忽略不计，且无论两人迎面相遇还是同向追及，都认为是一次“相遇”．
（1）第1次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（2）第2次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（3）如果两人持续地跑下去，第2014次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
【分析】（1）求出相遇时间，可得第1次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（2）之后艾迪回头进入追击过程，追击时间30÷（6﹣4）＝15秒，薇儿一直未改变方向，路程4×（15+3）＝72米，可得第2次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为多少米？
（3）确定每四次相遇过程一个周期，与出发点A的距离依次是12，12，0，0，2014＝4×503+2，第2014次相遇是一个周期中的第二次，可得结论．
【解答】解：（1）相遇时间：30÷（6+4）＝3秒，相遇点距离A点3×4＝12米；
（2）之后艾迪回头进入追击过程，追击时间30÷（6﹣4）＝15秒，薇儿一直未改变方向，路程4×（15+3）＝72米，72÷30＝2…12，故第2次“相遇”点距离出发点A的花坛代表的圆上最短的距离为12米；
（3）之后薇儿回头，两人进入相遇过程，两次相遇过程除了方向相反，其它都完全相同，所以第三次相遇点为出发点A，第四次相遇点仍然是出发点A，因此每四次相遇过程一个周期，与出发点A的距离依次是12，12，0，0，2014＝4×503+2，第2014次相遇是一个周期中的第二次，与出发点A的距离为12米．
【点评】本题考查环形跑道问题，考查路程、速度、时间的关系，考查周期的运用，属于中档题．
53．如图，点M、N分别是边长为4米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒．求：
（1）第1秒时△NPQ的面积；
（2）第15秒时△NPQ的面积；
（3）第2015秒时△NPQ的面积．
【分析】（1）第1秒时，点P与点M的距离是1米，正方形的边长是分4米，M为正方形边长的中点，点P运动到AM的中点，点Q运动到点D的位置，据此可求出三角形NPQ的底PQ，高是正方形边长，由此可求出此三角形的面积．
（2）第15秒时，点P与点M的距离是1×15＝15（米），运动到MD的中点，点Q与点M的距离是2×15＝30（米），运动到点A的位置，此可求出三角形NPQ的底PQ，高是正方形边长，由此可求出此三角形的面积．
（3）因为16÷1＝16，16÷2＝8，因此，第经过16秒，点P和点Q都回到出发点M，即16秒一个循环，用2015÷16，看有几个循环，又几秒，据此解答．
【解答】解：（1）第1秒时，如图，
△NPQ的面积：（1+2）×4÷2
＝3×4÷2
＝6（平方米）；
（2）第15秒时，如图，
△NPQ的面积：（2+1）×4÷2
＝3×4÷2
＝6（平方米）；
（3）因为16÷1＝16，16÷2＝8，
所以，第经过16秒，点P和点Q都回到出发点M，
2015÷16＝125…15（秒）
所以第2015秒时点P、点Q与第15秒时相同，
面积也是6平方米．
【点评】由题意比较容易看出点P、Q的位置，由已知条件即可求出三角形NPQ的底PQ，高就是正方形的边长，由此即可求出此三角形的面积；经过的时间较多时，先规律，再根据规律解答．
54．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？
【分析】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．因为时间一定，速度比等于圈数比（即路程比），因为v甲：v乙＝23：13，设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，（23x﹣13x）t＝2015n，10x×t＝2015n，即甲追上乙时所花时间t=403n2x，则甲追上乙时，所走路程为23x×403n2x=23×4032n；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑10圈）解答即可．
【解答】解：设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015．
因为v甲：v乙＝23：13，
设v甲＝23x，v乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t，
则（23x﹣13x）t＝2015n
10x×t＝2015n
t=403n2x，
则甲追上乙时，所走路程为：
23x×403n2x=23×4032n，
要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，
所以n＝2，4，6，8，10（最多多跑23﹣13＝10圈）；
即甲追上乙则需比乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上，
综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次．
答：甲正好在旗子位置追上乙5次．
【点评】本题考查了行程问题中环形跑道问题，比较复杂，关键是把未知的量用未知数表示出来，然后根据追及距离、追及时间、和速度差以及数的奇偶性解决问题．
55．如图，在一个正方形环形跑道上，甲乙丙三人同时从A点出发，逆时针环行．已知，甲、乙、丙跑一圈的时间分别为6、10、16分钟．
（1）出发后多少分钟后，甲乙丙第一次同时经过A点？
（2）出发后多少分钟（分钟数为整数）后，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰好为正方形ABCD面积的一半？
【分析】（1）实际上是求6、10、16这三个数的最小公倍数．
（2）首先确定只有当其中2人位于相邻2个顶点，另一人位于对边时，以他们所在的位置为顶点所组成三角形的面积恰好为正方形ABCD面积的一半；根据甲、乙、丙跑一圈的时间分别为6、10、16分钟，得出速度比为40：24：15，然后分别以甲乙、乙丙、甲丙站在相邻顶点的时刻进行分类讨论．
【解答】解：
（1）[6，10，16]＝240分钟；
（2）因为“长方形的内接三角形面积不超过长方形面积的一半，等号成立的条件是三角形某两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，且第三个顶点在这两个顶点所在边的对边上”．下面分别以甲乙、乙丙、甲丙站在相邻顶点的时刻进行分类讨论：
①甲乙站在相邻顶点的时刻：由于甲乙的速度比为40：24＝5：3，故当甲跑5n个边长时，乙跑了3n个边长，两人之间相差2n个边长（n取正整数），由此可得甲乙两人在对顶点上或者在同一个顶点上，不符合要求．
②乙丙站在相邻顶点的时刻：由于乙丙的速度比为24：15＝8：5，故当乙跑8n个边长时，乙跑了5n个边长，两人之间相差3n个边长（n取正整数），由此可得当n取奇数时，乙丙两人在相邻顶点处，此时：
当n＝1时，乙跑了8个边长在A点，丙跑了5个边长在B点，甲跑了40/3个边长在BC上，不符合要求；
当n＝3时，乙跑了24个边长在A点，丙跑了15个边长在D点，甲跑了40个边长在A点，不符合要求；
当n＝5时，乙跑了40个边长在A点，丙跑了25个边长在B点，甲跑了200/3个边长在CD点，符合要求，用时10÷4×40＝100分钟．
③甲丙站在相邻顶点的时刻：由于甲丙的速度比为40：15＝8：3，故当甲跑8n个边长时，丙跑了3n个边长，两人之间相差5n个边长（n取正整数），由此可得当n取奇数时，甲丙两人在相邻顶点处，此时：
当n＝1时，甲跑了8个边长在A点，丙跑了3个边长在D点，乙跑了24/5个边长在AB上，不符合要求；
当n＝3时，甲跑了24个边长在A点，丙跑了9个边长在B点，乙跑了72/5个边长在CD上，符合要求，用时6÷4×24＝36分钟．
因为36＜100，故第一次符合条件的时刻在出发后36分钟．
答：出发后36分钟，以甲乙丙所在的位置为顶点所组成三角形的面积第一次恰好为正方形ABCD面积的一半．
【点评】此题属于环形跑道综合行程问题：了解“长方形的内接三角形面积不超过长方形面积的一半，等号成立的条件是三角形某两个顶点恰在长方形的两个相邻顶点处，且第三个顶点在这两个顶点所在边的对边上”是解题关键，其次本题还考察了比例行程问题和分类讨论思想，本题较难．
56．小明绕操场跑一圈5分钟，妈妈绕操场跑一圈用3分钟．
（1）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，几分钟后两人再次同时到达起点？此时妈妈和小明各跑了几圈？
（2）如果小明和妈妈从同一起点同时同向出发，几分钟后妈妈第一次追上小明？
（3）如果小明和妈妈从同一起点同时反向出发，几分钟后两人第四次相遇？
【分析】（1）由于操场跑一圈5分钟，妈妈绕操场跑一圈用3分钟，则他们再次同时到达起点的时间应是两人跑 一周所用时间的最小公倍数，即第3×5＝15分钟时，两人再次同时到达起点．由此即能求出妈妈和小明各跑了几圈．
（2）由于题意可知，小明每分钟跑一周的15，妈妈每分钟跑一周的13，妈妈每分钟比小明多跑一周的13-15，由于妈妈第一次追上小明时，比小明多跑了一周，则需要时间：1÷（13-15）．
（3）由于两人每次迎面相遇时，都共行一圈，则第四次相遇时，两人共行了4圈，又两人每分钟行全程的13+15，则第四相遇时两人共行了4÷（13+15）．．
【解答】解：（1）3×5＝15（分钟）；
15÷3＝5（圈）；
15÷5＝3（圈）．
答：15分钟后两人再次同时到达起点此时妈妈跑了5圈和小明跑了3圈．
（2）1÷（13-15）
＝1÷215，
＝7.5（分钟）．
答：7.5分钟后，妈妈第一次追上小明．
（3）4÷（13+15）．
＝4÷815，
＝7.5（分钟）．
答：7.5分钟后两人第四次相遇．
【点评】将一周的长度当作单位“1”，求出两人速度后，根据追及问题与相遇问题的相关公式解答是完成本题的关键．
57．在周长为400米的椭圆跑道上，甲、乙两人分别骑自行车从相距300米的两点同时出发沿着跑道相向而行，相遇后两人各自继续前进．已知甲的骑车速度是4米/秒，乙的骑车速度是6米/秒．那么相遇6次时，两人至少骑了 210 秒．
【分析】相距300米的两点如果反方向的话相距就是100米，由于他们每共跑一周就相遇一次，相遇6次时5周+100米，根据相遇问题的数量关系解答即可．
【解答】解：（100+400×5）÷（4+6），
＝2100÷10，
＝210（秒）；
答：那么相遇6次时，两人至少骑了210秒．
故答案为：210．
【点评】本题主要考查相遇问题的数量关系，相遇时间＝路程÷（速度和），解题关键是相距300米的两点也就是相距100米．
58．有一个圆形跑道，甲用40秒跑完一圈，乙跑的方向与甲相反，每15秒遇到甲一次．乙跑完一圈需要几秒？
【分析】乙跑的方向与甲相反，则两人相遇时正好共跑一圈，又甲用40秒跑完一圈，则15秒相遇时，甲跑了全程的1540，乙跑了全程的1-1540，根据分数除法的意义，乙跑一圈程需要：15÷（1-1540）秒．
【解答】解：15÷（1-1540）
＝15÷58
＝24（秒）
答：乙跑完一圈需要24秒．
【点评】本题首先根据分数的意义求出相遇时甲跑的占全程的分率是完成本题的关键．
59．如图，一张方桌周围有16把椅子，依次编号1至16，现在小泉从1号椅子出发先逆时针前进54个，再顺时针前进45个，又逆时针方向前进54个，这时小泉在几号椅子上？
【分析】做时可以将题目分开，即顺时针前进了45个；而逆时针前进了54×2＝108个；再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，也就是说逆时针前进了108﹣45＝63个；那么总共有16个椅子，即16为一个循环，由此求出几个循环余数是几，再结合但它是逆时针前进的进行解答．
【解答】解：因为顺时针前进了45个；而逆时针前进了54×2＝108个；也就是说逆时针前进了108﹣45＝63个；
所以（108﹣45）÷16
＝63÷16
＝3…15；
所以这时小泉在2号椅子上；
答：所以这时小泉在2号椅子上．
【点评】此题应结合题意，先算出顺时针和逆时针分别前进了多少个，进而再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，然后结合图进行分析计算即可得出结论．
60．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的14圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？
【分析】①如果第一次小李速度172出划定区域用时为18÷172=9，小张速度180出划定区域用时18÷180=10，10大于9，所以为9秒；
②第二次：小华入划定区域用时（1-14÷2）÷172=63（秒），出区域时间（1+14÷2）÷172=81（秒）；
小张入区域用时（1-14÷2）÷180=70（秒），出区域用时（1+14÷2）÷180=90（秒），
他们在划定区域时间范围70～81延续时间为11秒；
③第三次：小华135～153，小张150～170范围150～153时间为3秒；
④小华入划定区域用时（1-14÷2）÷172=63（秒），
出区域时间（1+14÷2）÷172=81（秒）；
81﹣63＝18（秒）；
其他类似情况可的同样结果．
【解答】解：①小华出划定区域用时为（14÷2）÷172=9，
小张出划定区域用时（14÷2）÷180=10，
10＞9，所以为9秒；
②80×（1-14÷2），
＝80×78，
＝70（秒）；
72×（1+14÷2），
＝72×98，
＝81（秒）；
81﹣70＝11（秒）；
③第三次：小华135～153，小张150～170范围150～153时间为3秒；
④小华入划定区域用时（1-14÷2）÷172=63（秒），
出区域时间（1+14÷2）÷172=81（秒）；
81﹣63＝18（秒）；
综上：答案为：3，9，11，18．
答：两人同时在规定的区间内所持续的时间为3，9，11，18秒．
【点评】此题解答的关键：注意两人同时在划定区域的持续时间，不是共同行走14圆弧所用的时间．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/15 13:32:07；用户：宁溪小学；邮箱：nxxx@qq.com；学号：47186301
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