2024年北师大版数学八（下）重点专项突破1 等腰三角形中的分类讨论

这是一份2024年北师大版数学八（下）重点专项突破1 等腰三角形中的分类讨论，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．以下列各组线段为边，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，6B．3，4，5C．2，7，9D．32 ，3， 32
2．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝ ，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED；正确的是（ ）.
A．②③B．③④C．①②④D．②③④
3．等腰三角形的一个外角为140º，那么它的底角等于（ ）
A．40º或70ºB．100ºC．70ºD．40º
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
5．如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于12BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．125°
7．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B=30°，DE=2，则BC的长为（ ）
A．23+2B．43C．4D．6
8．如图，在纸片 ΔABC 中， AB=AC=12，∠B=30° ，折叠纸片，使点 B 落在 AC 的中点 D 处，折痕为 EF ，则 ΔDEF 的面积为（ ）
A．4935B．103C．113D．5635
二、填空题
9．等腰三角形的两边长分别为6，13，则它的周长为 .
10．小明从A处出发，要到北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B处，再沿北偏东30°方向走恰能到达目的地C处.则B、C两地的距离为
11．已知a、b为等腰三角形的两边长，且满足(a−7)2+|b−4|=0，则等腰三角形的周长是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3AC，则sinB= .
13．如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为 。
14．如图，△ABC中，∠BAC=75°，BC=7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为 ．
15．如图，点E、F分别在矩形 ABCD 的边 BC、CD 上， DE 与 AF 相交于点N.已知 DF=6，AN=56 .若将矩形 ABCD 沿 AF 折叠后，点D恰好与点E重合，则 △ABE 的面积为 .
三、解答题
16．如图1，P为正方形ABCD内一点，PA:PB:PC=1:2:3，求∠APB的度数．
小明同学的想法是：不妨设PA=x，PB=2x，PC=3x，设法把PA，PB，PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决．
（1）求出图2中∠APB的度数；
（2）【请你参考小明同学的方法，解答下列问题】
如图3，P是等边三角形ABC内一点，PA:PB:PC=3:4:5，求∠APB的度数．
17．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现 当α＝0°时，线段BD，CE的数量关系是 ；
（2）拓展探究 当0°≤α＜360°时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决 设DE＝2，BC＝6，0°≤α＜360°，△ADE旋转至A，B，E三点共线时，直接写出线段BE的长．
18．阅读材料：已知点 P(x0，y0) 和直线 y=kx+b ，则点P到直线 y=kx+b 的距离d可用公式 d=|kx0−y0+b|1+k2 计算.
例如：求点 P(−2，1) 到直线 y=x+1 的距离．
解：因为直线 y=x+1 可变形为 x−y+1=0 ，其中 k=1，b=1 ，所以点 P(−2，1) 到直线 y=x+1 的距离为： d=|kx0−y0+b|1+k2=|1×(−2)−1+1|1+12=22=2 .根据以上材料，求：
（1）点 P(1，1) 到直线 y=3x−2 的距离，并说明点P与直线的位置关系；
（2）已知直线 y=−x+1 与 y=−x+3 平行，求这两条直线的距离．
19．在△ABC中，AD⊥BC于点D．
特例研究：
（1）如图1，若∠BAC的平分线AE能交BC于点E，∠B=35°，∠EAD=5°，求∠C的度数；
（2）操作发现：
如图2，点M，N分别在线段AB，AC，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，点G，F都在射线DA上
若∠B+∠C=60°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并说明理由
（3）将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为α（0°<α<360°）．记旋转中的△DMF为△DM1F1，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为M1，F1，直线M1F1，与直线BC交于点Q，与直线AB交于点P．若∠B=35°，∠PQB=90°，请直接写出旋转角α的度数．
20．阅读材料：
“三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆、外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。”（苏科版《数学》九上 2.3确定圆的条件）
问题初探：
（1）三角形的外心到三角形的 距离相等
（2）若点O是△ABC的外心，试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系。
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC。将线段BC绕点B逆时针旋转30°到BD，连接AD、CD。用直尺和圆规在图中作出△BCD的外心O，并求∠ADB的度数。（保留作图痕迹，不写作法。）
21．综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，真线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，
（1）直接写出OA= ，OB= ；
（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，则点E的坐标为 ；
（3）如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
（4）【拓展应用】
如图4，直线AB：y=2x+8分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y＝ 32x的图象交于点C（m，3）．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的函数关系式；
（2）△AOC的面积为 ；
（3）若点M在第二象限，△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)，连结AB．若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位每秒的速度向终点A运动，设运动时间为t秒.
（1）求线段AB的长.
（2）连接OP，当△OBP为等腰三角形时，求t的值
（3）连接OP，点B关于直线OP的对称点记为B'(如图2)，在整个运动过程中，若B'点恰好落在△AOB内部(不含边界)，请直接写出t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解: A、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、3+4=7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
C、2+7=9，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、 32 + 32 =3，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】构成三角形的三边关系是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，根据此原则判断即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝ ，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1，∴△OAB，△OCD为正三角形，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，∴BF＝BO即②正确；∵AF平分∠DAB，∴∠FAD＝45°，∴∠CAH＝45°－30°＝15°，∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH即③正确；由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED即④正确；若AF＝FH，那么点F为等腰三角形CAH的中点，那么CB垂直于AH，显然不成立，①所以不正确．故选D．
【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．
3．【答案】A
【解析】【分析】首先要讨论140°的角是顶角的外角还是底角的外角，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角．
【解答】当等腰三角形的顶角的外角为140°，则顶角等于40°，所以底角等于70°；
当等腰三角形的底角的外角为140°，则底角等于40°．
所以D错，B错，C错，A对．故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决问题．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．
4．【答案】C
【解析】【解答】∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC
∴AD=12
∵EF垂直平分AB
∴点A，B关于直线EF对称
∴AD=(PB+PD)min
∴(PB+PD)min=12 ，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD的长度，再由最短路径的问题可知PB＋PD的最小即为AD的长．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：设AE与BF的交点为点O，
由作图可得AB=AF，∠FAE=∠BAE.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF.
∵AF∥BE，AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴OA=OE，OB=OF=3，
∴OA=AB2−OB2=4，
∴AE=2OA=8.
故答案为：C.
【分析】设AE与BF的交点为点O，由作图可得AB=AF，∠FAE=∠BAE，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，进而推出AB=BE=AF，得到四边形ABEF为菱形，则OA=OE，OB=OF=3，利用勾股定理可得OA的值，进而可得AE.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵三角形ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠EAD=60°，∴∠BAE=150°，AB=AE，∴∠AEB=15°.
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出AE=AD，∠EAD=60°，故∠BAE=150°，AB=AE，根据等边对等角及三角形的内角和即可求出∠AEB的度数。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，
∴EC=ED=2，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE=90°，
在△BDE中，∠BDE=90°，∠B=30°，
∴BE=2DE=4，
∴BC=BE+EC=4+2=6，
故答案为：D.
【分析】利用垂直平分线和角平分线的性质可得EC=ED=2，再结合含30°角的直角三角形的性质可得BE=2DE=4，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，
∵∠BAC=120°，
∴∠GAC=60°，
∴DG=ADsin∠GAC= 12AC·sin∠GAC= 12 ×12× 32 = 33 ，
AG=ADcs∠GAC= 12AC·cs∠GAC= 12 ×12× 12 =3，
设AE=x，则BE=12-x=DE，
在Rt△DGE中， DE2=GE2+GD2 ，
即 (12−x)2=(x+3)2+27 ，
解得：x= 185 ，
∴S△ADE= 12DE×AE= 12×185×33 = 2753 ，
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∴AN= 12AB=6，BN= 122−62=63 ，
∴BC= 123 ，
设DF=y，
则CF=BC-DE= 2×AB⋅cs∠B−y = 123−y ，
DH=CD·sin∠C= b×12=3 ，CH=CD·cs∠C= 6×32=33 ，
则有 DH2+FH2=DF2 ，即 32+(123−y−33)2=y2 ，
解得： y=1433 ，
则S△DFC= 12DH⋅CF=12×3×(123−1433)=113 ，
∴S△DEF= 12 ×（S△ABC-S△DEA-S△DFC）
= 12×(12⋅BC⋅AN−S△DEA−S△DFC)
= 12×(12×123×6−2753−113)
= 4953
故选A．
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF= 12 ×（S△ABC-S△DEA-S△DFC）可得结果．
9．【答案】32
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别为6，13
∴该三角形的三边可能为：6，6，13或6，13，13
根据三角形三边关系三边只能为：
则周长为：6+13+13=32
故答案为：32
【分析】根据等腰三角形性质结合三角形三边关系即可求解。
10．【答案】200米
【解析】【解答】解：根据题意得，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，
所以∠C＝30°，
所以∠BAC＝∠C，
所以BC＝AB＝200.
故答案为：200米。
【分析】在三角形ABC中，根据题意，可求得∠A=30°，∠ABC=120°，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠C=30°，所以三角形ABC为等腰三角形，AB=BC=200。
11．【答案】18或15
【解析】【解答】解∶∵（a-7）2+|b-4|=0，
∴a-7=0，b-4=0，
解得：a=7，b=4，
∵等腰三角形的两边长分别为a，b，
∴当a为腰长时，
∴等腰三角形的周长为：7+7+4=18，
当b为腰长时，
等腰三角形的周长为：7+4+4=15，
故此等腰三角形的周长为18或15．
故答案为：18或15．
【分析】根据题意先求出a=7，b=4，再利用等腰三角形的性质求解即可。
12．【答案】1010
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=3AC，
∴设AC=x，则：BC=3x，
∴AB=AC2+BC2=10x，
∴sinB=ACAB=x10x=1010．
故答案为：1010
【分析】先根据题意设AC=x，则：BC=3x，进而运用勾股定理即可表示出AB，从而运用锐角三角函数的定义即可求解。
13．【答案】31.5°
【解析】【解答】解：如图，
∵∠CAD=180°-360°÷8=135°，∠BAD=180°-360°÷5=108°，
∴∠CAB=360°-∠CAD-∠CAB=360°-135°-108°=117°.
∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°-117°）÷2=31.5°.
故答案为：31.5°.
【分析】先根据多边形的外角和和邻补角的性质分别求出两个多边形的每个内角的大小，再由周角的性质可求∠CAB的大小，结合等腰三角形的特点，利用三角形内角和定理即可求出∠ABC的大小.
14．【答案】4
【解析】【解答】根据折叠的性质可知： AD=AE=AF，
∠EAB=∠DAB，∠DAC=∠FAC，
∴∠EAF=2∠BAC=150∘.
当 AD 最小时， △AEF 的面积取得最小值，
即当 AD⊥BC 时， △AEF 的面积取得最小值，
S△ABC=12×BC×AD=14，
解得： AD=4. AD=AE=AF=4，
过点 F 作 FH⊥EA 交 EA 的延长线于点 H.
HF=12AF=2.
S△AEF=12×AE×HF=12×4×2=4.
故答案为： 4.
【分析】先根据翻折性质可以判断三角形AEF为等腰三角形且顶角为150º，从而可知当AD最小时，△AEF的面积取得最小值，而AD为三角形ABC的高线时AD最小，即可求得三角形AEF的面积.
15．【答案】205
【解析】【解答】解：∵△AEF 由 △ADF 翻折而来，
∴AD=AE，∠DAF=∠EAN，AN=NA ，
即 △DAN≅△EAN(SAS) ，
∴∠DNA=∠ANE=90° ，即 DE⊥AF ，
设 AD=x ，则
AF=AD2+DF2=x2+36 ，
等面积法可知：
S△ADF=12×6x=12·36+x2·DN ，
则 DN=6x36+x2 ，
在 △DNA 中， DN2+AN2=AD2 ，
即 36x236+x2+150=x2 ，
可得 x=65 (舍负)，
则 AD=AE=65，AD=BC，
则 BC=65 ，
设 CF=a ，则 CE=36−a2 ，
在 △FCE 和 △EBA 中，
由于 ∠FEC+∠AEB=90° ，
∠EAB+∠AEB=90° ，
∴∠FEC=∠EAB ，
同理可得 ∠CFE=∠BEA ，
∴△FCE∼△EBA ，
∴FEAE=FCEB ，
即 665=a65−36−a2 ，
解得： a1=4，a2=6 (舍去)，
故 AB=10，EB=45 ，
则 S△ABE=12×10×45=205 .
故答案为：205.
【分析】由折叠的性质可得AE=AD，∠DAF=∠EAN，AN=NA，证明△DAN≌△EAN，得到DE⊥AF，设AD=x，则AF=x2+36，根据三角形的面积公式可得DN=6x36+x2，在△DNA中，应用勾股定理可得x，进而得到BC，设CF=a，则CE=36−a2，根据同角的余角相等可得∠FEC=∠EAB，∠CFE=∠BEA，证明△FCE∽△EBA，由相似三角形的性质可得a，进而得到AB、EB，接下来根据三角形的面积公式进行计算即可.
16．【答案】（1）解：根据旋转的性质可知，BE=PB=2x，AE=PC=3x，且∠PBE=90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴PE=PB2+BE2=22x，
在△APE中，∵AP2+PE2=x2+(22x)2=(3x)2=AE2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，
∴∠APB的度数是135°；
（2）解：如图，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ABM，连接PM．
根据旋转的性质知∠PBM=60°，△BCP≌△BAM，
∴PB=MB，
∴△PBM是等边三角形，
∴∠BPM=∠PBM=60°，
∵PA:PB:PC=3:4:5，
∴设PA=3k，PB=4k，PC=5k，
∴AM=CP=5k，BM=PB=PM=4k，PA=3k，
∴PA2+PM2=(3k)2+(4k)2=(5k)2=AM2，
∴△APM为直角三角形，且∠APM=90°，
∴∠APB=∠APM+∠BPM=90°+60°=150°，
即∠APB的度数是150°．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质，可得PE的值；根据勾股定理的逆定理，可得△APB为直角三角形；根据角的计算，列代数式直接计算即可；
（2）根据旋转的性质，可得∠PBM=60°，△BCP≌△BAM；根据全等三角形的性质，可得PB=MB；根据等边三角形的判定和性质，可得∠BPM=∠PBM=60°；根据角的计算，列代数式直接计算即可.
17．【答案】（1）BD＝EC
（2）解：如图2中，结论不变．
理由：∵AB＝AC， AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC．
（3）42或22
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵AB＝AC，∠A＝90°
∴∠B＝∠C＝45°
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∴AB−AD＝AC−AE，即BD＝EC．
故答案为：BD＝EC．
（3）如图3中，∵BC＝6，DE＝2，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝32，AD＝AE＝2，
当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=42．
如图4中，当点E在线段AB上时，BE=AB−AE=22．
综上所述，BE的长为42或22．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B＝∠C＝45°，根据平行线的性质可得∠ADE＝∠AED＝45°，AD＝AE，则AB−AD＝AC−AE，即BD＝EC；
（2）证明 △BAD≌△CAE可得结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC＝32，AD＝AE＝2，分为两种情况：当点E在BA的延长线上时，BE=AB+AE=42；当点E在线段AB上时，BE=AB−AE=22。
18．【答案】（1）求：（1）直线 y=3x−2 可变为 3x−y−2=0 ， d=|3−1−2|12+32=0
说明点P在直线 y=3x−2 上；
（2）在直线 y=−x+1 上取一点（0，1），直线 y=−x+3 可变为 x+y−3=0
则 d=|0+1−3|12+12=2 ，
∴这两条平行线的距离为 2 ．
【解析】【分析】利用点到直线的距离公式进行作答即可.
19．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
又∵∠B=35°，
∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=55°．
∵∠EAD=5°，
∴∠BAE=55°+5°=60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=60°，
∴∠C=180°−90°−60°−5°=25°
（2）解：结论：∠AMF+∠ANG=60°．理由：
由折叠可知：∠B=∠AFM，∠C=∠G，
∵∠B+∠C=60°，
∴∠BAC=120°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠AMF+∠AFM+∠ANG+∠G，
∴∠BAC=∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，
即120°=∠AMF+∠ANG+60°，
∴∠AMF+∠ANG=60°． …
（3）解：旋转角的度数为35°或215°
【解析】【解答】解：（3）旋转角的度数为35°或215°．
①当0°<α≤90°时，
∵∠PQB=90°，
∴∠F1QD=180°−90°=90°，
∵将△ABC折叠，点B落在点F处，折痕为DM，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α，
∴∠DF1M1=∠DFM=∠B=35°，
∴∠F1DQ=180°−∠F1QD−∠DF1M1=180°−90°−35°=55°，
∴∠FDF1=∠ADB−∠F1DQ=90°−55°=35°，
∴α=35°；
②当90°<α≤360°时，
∵∠PQB=90°，
∴∠F1QD=180°−90°=90°，
∵将△ABC折叠，点B落在点F处，折痕为DM，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α，
∴∠DF1M1=∠DFM=∠B=35°，
∴∠F1DQ=180°−∠F1QD−∠DF1M1=180°−90°−35°=55°，
∴∠FDF1=∠ADC+∠F1DQ=90°+55°=145°，
∴α=360°−145°=215°；
∴∠DF1M1=∠DFM=∠B=35°，
∴∠PQB=∠BPQ−∠B=90°−35°=55°，
∵∠PQB=∠DF1M1+∠F1DB，
∴∠F1DB=∠PQB−∠DF1M1=55°−35°=20°，
∴∠FDF1=∠ADB−∠F1DB=90°−20°=70°，
∴α=70°．
综上所述，旋转角a的度数为35°或215°．
【分析】（1）先利用三角形的内角和求出∠BAD=180°−∠B−∠ADB=55°，再求出∠BAE=55°+5°=60°，根据角平分线的定义可得∠BAE=∠CAE=60°，再利用角的运算求出∠C=180°−90°−60°−5°=25°即可；
（2）根据∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠AMF+∠AFM+∠ANG+∠G，可得∠BAC=∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，再将数据代入求出∠AMF+∠ANG=60°即可；
（3）分类讨论：①当0°<α≤90°时，②当90°<α≤360°时，再分别画出图象并利用角的运算求解即可.
20．【答案】（1）三个顶点
（2）解：①当∠BAC为锐角时，如图1，作直径AD，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，则∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，
∵∠BAC=∠BAO+∠CAO，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO
=2（∠BAO+∠CAO）=2∠BAC；
②当∠BAC为直角时，如图2，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴OA=OB=OC，
∴点O是斜边BC的中点，此时∠BOC=180°，∠BAC=90°，
∴∠BOC=2∠BAC；
③当∠BAC为钝角时，如图3，作直径AD，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
则∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，
∵∠BAC=∠BAO+∠CAO，
∴∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD
=360°-（∠BOD+∠COD）=360°-（2∠BAO+2∠CAO）
=360°-2（∠BAO+∠CAO）=360°-2∠BAC，
即∠BOC=360°-2∠BAC；
综上可知，∠BOC==2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC
（3）解：如图4，点O为△BCD的外心，
由“将线段BC绕点B逆时针方向旋转30°到BD”可得：∠CBD=30°，CB=DB，
∴∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠BOC=2∠BDC=150°.
又点O为△BCD的外心，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=15°，
又∠ACD=∠ACB-∠BCD=15°，
∴∠ACD=∠BCO，∠OCD=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD=CO.
在△DCA和△OCB中，
∵CD=CO∠ACD=∠BCOAC=BC ，
∴△DCA≌△OCB（SAS），
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADB=360°-∠ADC-∠BDC=135°
【解析】【解答】解：（1）∵三角形的三顶点都在圆上，
∴圆心到三角形的三顶点的距离相等；
【分析】（1）根据圆上各点到圆心的距离相等得出： 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；
（2） ①当∠BAC为锐角时，如图1，作直径AD， 根据等边对等角得出 ∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，根据三角形外角定理得出∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO， 从而根据角的和差，由∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2（∠BAO+∠CAO）=2∠BAC，
即可得出结论； ②当∠BAC为直角时，如图2， 根据同圆的半径相等得出 OA=OB=OC， 故 点O是斜边BC的中点，此时∠BOC=180° ，根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠BAC=90°， 故 ∠BOC=2∠BAC； ③当∠BAC为钝角时，如图3，作直径AD， 根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形外角定理得出 ∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO， 进而即可由∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD=360°-（∠BOD+∠COD）=360°-（2∠BAO+2∠CAO）=360°-2（∠BAO+∠CAO）=360°-2∠BAC，即∠BOC=360°-2∠BAC，综上所述就可得出答案；
（3）分别作出CD，BC的垂直平分线，两线的交点就是 O为△BCD的外心， 根据旋转的性质得出 ∠CBD=30°，CB=DB， 根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠BCD=∠BDC=75°， 再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ∠BOC=2∠BDC=150°，然后判断出 △OCD为等边三角形， 根据等边三角形的性质得出CD=CO，进而利用SAS判断出 △DCA≌△OCB ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠ADC=∠BOC=150°， 最后根据周角的定义即可算出∠ADB的度数. ∠ADB的度数.
21．【答案】（1）4；2
（2）(−4，6)
（3）y=13x+4
（4）解：存在，D1(−12，4)D2(−8，12)D3(2，2)
【解析】【解答】解：（1）令y=2x+4中的x=0，得y=4；令y=0，得x=-2，
∴A（0，4），B（-2，0），
∴OA=4，OB=2.
故答案为：4，2.
（2）过点E作ED⊥y轴于点D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=AE，∠EAB=90°，
∴∠AED+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°，
∴∠AED=∠BAO.
∵∠AED=∠BAO，∠EDA=∠AOB=90°，AE=AB，
∴△AOB≌△EDA（AAS），
∴AD=OB=2，AO=ED=4，
∴OD=OA+AD=4+2=6，
∴E（-4，6）.
故答案为：（-4，6）.
（3）过B作BC⊥AB于点C，过C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CAB=45°，
∴BC=AB.
由模型可得△BCD≌△ABO，
∴CD=BO=2，BD=AO=4，
∴C（-6，2）.
设直线l2的解析式为y=kx+b，将A（0，4）、C（-6，2）代入可得−6k+b=2b=4
解得k=13b=4，
∴y=13x+4.
【分析】（1）分别令y=2x+4中的x=0、y=0，求出y、x的值，得到点A、B的坐标，进而可得OA、OB的值；
（2）过点E作ED⊥y轴于点D，由等腰直角三角形的性质可得AB=AE，∠EAB=90°，根据同角的余角相等可得∠AED=∠BAO，利用AAS证明△AOB≌△EDA，得到AD=OB=2，AO=ED=4，则OD=OA+AD=6，据此可得点E的坐标；
（3）过B作BC⊥AB于点C，过C作CD⊥x轴于点D，易得BC=AB，由模型可得△BCD≌△ABO，则CD=BO=2，BD=AO=4，C（-6，2），然后利用待定系数法求解即可.
22．【答案】（1）解：∵点C（m，3）在正比例函数图象y＝ 32 x上，
∴ m＝2，
∴点C的坐标是（2，3）
∵点B（0，2）、C（2，3）在一次函数y＝kx＋b图象上，
∴代入一次函数解析式可得：b＝2，2k＋b＝3 ，
解得k＝ 12 ，b＝2，
∴一次函数的解析式为 y=12x+2
（2）S△AOC=6
（3）解：如图，
∵点M在第二象限，△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴①当AB=BM1时，过点M1作M1E⊥y轴于点E，
∵∠M1BE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠M1B E，
∵在△BED1和△AOB中，
∠M1EB=∠BOA∠M1BE=∠BAOM1B=BA
∴△BEM1≌△AOB（AAS），
∴BE=AO=4，M1E=BO=2，
即可得出点M的坐标为（-2，6）；
②当AB=AM2时，过点M2作M2F⊥x轴于点F，
同理可得出：△AFM2≌△AOB，
∴FA=BO=2，M2F=AO=4，
∴点M的坐标为（-6，4）．
综上可知点M的坐标为（-2，6）或（-6，4）．
【解析】【解答】（2）∵点A在函数 y=12x+2 上，并且点A在x轴上，
∴当y=0时， 12x+2=0 ，解得 x=−4 ，
∴点A的坐标是（-4，0）， 根据点C的坐标是（2，3）
∴S△AOC=12×4×3=6 ；
【分析】(1)将点C（m，3）代入正比例函数y＝ 32 x求出C点的坐标，然后将点B、C的坐标代入y＝kx＋b，即可求出一次函数解析式；(2) 由解析式求得A的坐标，即可求出△AOC的面积；(3)由题意可分两种情况，即A为直角顶点和B为直角顶点，分别设对应的M点为M2和M1，过点M1作M1E⊥y轴于点E，过点M2作M2F⊥x轴于点F，可证明△BEM1≌△AOB（AAS），可求得M1的坐标，同理可求得M2的坐标，可得出M点的坐标．
23．【答案】（1）解：由点A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)
可得OA=8，OB=6
故AB=OA2+OB2=82+62=10
（2）解：分以下三种情况进行讨论：
①当BP=BO时，BP=6，t=65
②当BP=OP时，作PC⊥BO于C，则BC=OC=3，
∵ΔBPC∽ΔBAC
∴BCBO=BPBA，即36=BP10
∴BP=5，t=1
③当OB=OP时，作OD⊥BP于D，则BD=DP=12AB
∵ΔOBD∽ΔABO
∴BDBO=BOBA，即BD6=610
∴BD=185，BP=365
∴t=3625
故t的值为：65 ，1， 3625
（3）解：如图，OB=OB'，故点B'在以O为圆心，OB长为半径的圆周上，
符合条件的点B'临界点在B1、B2处，
B'在B1处时，ΔBOB'为等腰三角形，由（2）可知BB'=365，BP=12BB'=185，t=1825；
B'在B2处时，ΔBOB'为等腰直角三角形，作∠BOB'的平分线交AB于点E，则点P在点E处，
作EF⊥OB于点F，则ΔBFE∽ΔBOA，BF=35BE，EF=OF=45BE，
∴OB=75BE=6，BE=307
∴t=67
若B'点恰好落在△AOB内部(不含边界)，则1825＜t＜67
【解析】【分析】(1)由坐标得出OA、OB的长，再由勾股定理求出AB的长；
（2）由于等腰三角形要的不确定性，需要分三种情况进行讨论，通过画底边上的高线，利用“三线合一”及产生的直角三角形相似求得相关线段的长度；
（3）对称问题中，对应线段长相等，可以看作圆中的半径长不变，利用圆来分析问题，对称轴就是对应线段夹角的平分线，此题再借助相似三角形来解决线段长的问题.