2024年北师大版数学八（下）重点专项突破6 因式分解的特殊解法

这是一份2024年北师大版数学八（下）重点专项突破6 因式分解的特殊解法，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（ ）
①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．
A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③
2．以下列长度为边的三根木棒能首尾相接构成一个三角形的是（ ）
A．2cm、3cm、6cmB．2cm、3cm、5cm
C．2cm、3cm、4cmD．8cm、3cm、4cm
3．把代数式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（x2﹣4）B．2（x﹣2）2
C．2（x+4）（x﹣4）D．2（x+2）（x﹣2）
4．将多项式x2-2x-15因式分解得结果是（ ）
A．（x+1）（x-15）B．（x-3）（x+5）
C．（x+3）（x-5）D．（x-1）2-16
5．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2−2x+1=x(x−2)+1B．x+2y=(x+y)+y
C．(x+2)2=x2+4x+4D．x2−1=(x+1)(x−1)
6．下列因式分解中，正确的有（ ）
①4a﹣a3b2=a（4﹣a2b2）；
②x2y﹣2xy+xy=xy（x﹣2）；
③﹣a2+ab﹣ac=﹣a（a﹣b﹣c）；
④9abc﹣6a2b=3abc（3﹣2a）；
⑤23x2y+23xy2=23xy（x+y）
A．0个B．1个C．2个D．5个
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，3），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为
A．4B．5C．6D．8
8．分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（ ）
A．（x+m+2n）（x﹣m+2n）B．（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）
C．（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n）D．（x+m+2n）（x+m﹣2n）
9．已知 a−b=3，b+c=−5 ，则代数式 ac−bc+a2− ab的值为（ ）
A．-15B．-2C．-6D．6
10．下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
二、填空题
11．多项式a(a−b−c)+b(c−a+b)+c(b+c−a) 提出公因式 a−b−c 后，另外一个因式为 .
12．分解因式： x2+6x−7 = ．
13．x2﹣ +40=（x﹣5）（x﹣8）
14．因式分解：3x2-12= 。
15．因式分解：b2－ab＋a－b＝ ．
16．已知（x2+y2）（x2+3+y2）﹣54=0，试求x2+y2的值．
三、计算题
17．因式分解： x2+7x−30
18．因式分解：
（1）2x3y+4x2y2+2xy3
（2）4a2(a−b)+(b−a)
四、解答题
19．分解因式：
（1）x2﹣6x﹣7
（2）x2+6x﹣7
（3）x2﹣8x+7
（4）x2+8x+7
（5）x2﹣5x+6
（6）x2﹣5x﹣6
（7）x2+5x﹣6
（8）x2+5x+6．
20．将下列各式分解因式：
⑴x2+4x+3．
解：
⑵2x2-5x-3．
解：
∴2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)．
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）x2+3x +2．
（2）x2-7x +6．
五、实践探究题
21．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如， a(b+c+d)=ab+ac+ad 是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到 ab+ac+ad=a(b+c+d) ，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如 (a±b)2=a2±2ab+b2 、 (a+b)(a−b)=a2−b2 是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到 a2±2ab+b2=(a±b)2 、 a2−b2=(a+b)(a−b) ，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲： x2−xy+4x−4y
=(x2−xy)+(4x−4y) （分成两组）
=x(x−y)+4(x−y) （分别提公因式）
=(x−y)(x+4)
乙： a2−b2−c2+2bc
=a2−(b2+c2−2bc) （分成两组）
=a2−(b−c)2 （运用公式）
=(a+b−c)(a−b+c)
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）m3−2m2−4m+8 ；
（2）x2−2xy+y2−9 ．
（3）问题二：探究
对 x 、 y 定义一种新运算 F ，规定： F(x，y)=(mx+ny)(3x−y) （其中 m ， n 均为非零常数）．当 x2≠y2 时， F(x，y)=F(y，x) 对任意有理数 x 、 y 都成立，试探究 m ， n 的数量关系．
22．已知a-b=3，求a(a-2b)+b2的值
23．教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：x2+2x−3．
解：原式=x2+2x+1−1−3=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
再如：求代数式2x2+4x−6的最小值．
解：2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x2+2x+1+1−3)=2[(x+1)2−4]=2(x+1)2−8；
∵(x+1)2≥0，
∴原式≥−8，
即当x=−1时，原式有最小值−8．
学以致用：
（1）用配方法分解因式：x2−4x−5；(其他方法不得分)
（2）用配方法求多项式−2x2−8x+5的最大值？并求出此时x的值．
24．阅读材料：
分解因式 a+b2+2a+b+1.
解：设 a+b=x，则原式=x2+2x+1=x+12= a+b+12.
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式.
“换元法”是一种重要的数学方法，不少问题能用“换元法”解决.
请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
（1）m+n2-18m+n+81.
（2）x2-4x+2x2-4x+6+4，
25．将下列各式分解因式：
（1）3x﹣12x3
（2）﹣ma2+2mab﹣mb2
（3）20a2bx﹣45bxy2
（4）3x3+6x2y+3xy2．
26．我们知道， 对于一个图形， 常常可以用两种不同的方法计算它的面积， 从面可以得到一个等式，如图 1， 可以得到 (a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2. 请解答下列问题：
（1）写出图 2 中所表示的数学等式
（2）利用（1）中的结论， 解决下面的问题： 已知 a+b+c=9，ab+bc+ac=26， 求 a2+b2+c2 的值：
（3）小明同学用 2 张边长为 a 的正方形、3 张边长为 b 的正方形、5 张边长为 a、b 的长方形纸片拼出了 一个长方形，那么该长方形的两边长分别为 和 ；
（4）小明同学又用 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张边长分别为 a、b 的长方形纸片 拼出了一个长为 5a＋3b，宽为 2a＋5b 的长方形，求x+2y−z 的平方根.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1），提公因式法；
②x2+6x+9＝（x+3）2，公式法；
③4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），公式法；
④3a﹣9ab＝3a（1﹣3b），提公因式法；
故上列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是：①和④，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】∵2+3＜6，
∴以2cm、3cm、6cm为边的三根木棒不能首尾相接构成一个三角形，
∵2+3=5，
∴以2cm、3cm、5cm为边的三根木棒不能首尾相接构成一个三角形，
∵2+3＞4，
∴以2cm、3cm、4cm为边的三根木棒能首尾相接构成一个三角形，
∵3+4＜8，
∴以8cm、3cm、4cm为边的三根木棒不能首尾相接构成一个三角形，
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边长的关系，逐一判断选项，即可得到答案．
3．【答案】D
【解析】【解答】2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2），
故答案为：D．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
4．【答案】C
【解析】【解答】解： x2-2x-15=（x-5）（x+3） .
故答案为：C.
【分析】利用代数式的特点，可以利用二次三项式进行分解因式。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、x2-2x+1=（x-1）2，故A不符合题意；
B、x+2y=（x+y）+y，不是因式分解，故B不符合题意；
C、（x+2）2=x2+4x+4，不是因式分解，故C不符合题意；
D、x2-1=（x+!）（x-1），是因式分解，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式，再对各选项逐一判断.
6．【答案】B
【解析】【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】在①中，还能继续运用平方差公式，最后结果为：a（2+ab)（2﹣ab)；
在②中，显然漏了一项，最后结果应为xy（x﹣1)；
在③中，注意各项符号的变化，最后结果应为：﹣a（1﹣b+c)；
在④中，显然两项的公因式应为：3ab；
在⑤中，正确运用了提公因式法．故正确的有一个．
故选B．
【点评】注意在运用提公因式法的时候，不要出现类似②、③、④的错误，特别注意符号的变化和不要漏项．
7．【答案】C
【解析】【分析】如图，作出图形，分三种情况讨论：
若OA=OM，有4点M1，M2，M3，M4；
若OA=AM，有2点M5，M1；
若OM=AM，有1点M6。
∴满足条件的点M的个数为6。
故选C。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：x2﹣m2+4mn﹣4n2
=x2﹣（m2﹣4mn+4n2）
=x2﹣（m﹣2n）2
=（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）．
故选：B．
【分析】首先将后三项利用完全平方公式分解因式，进而结合平方差公式分解因式．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵a-b=3，b+c=-5，
∴a-b＋b＋c=3-5，
即a+c=-2，
∴ac−bc+a2−ab=c(a−b)+a(a−b)
=(a−b)(a+c)=3×(−2)=−6.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质把两式相加，得出a+c=-2，再把原式进行因式分解得出原式=（a-b）（a+c），然后再代入进行计算，即可得出答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；
B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；
C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式=a（a2﹣3a+2）=a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；
D、可先分组，再运用公式法，原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．
故选：B．
【分析】根据多项式特点判断后利用排除法求解．
11．【答案】a-b-c
【解析】【解答】解：a（a-b-c）+b（c-a+b）+c（b+c-a），
=a（a-b-c）-b（a-b-c）-c（a-b-c），
=（a-b-c）2.
故答案为：a-b-c.
【分析】利用提公因式法进行因式分解，即可得出答案.
12．【答案】(x-1)(x+7)
【解析】【解答】由题意得，b＝6，利用十字相乘法可拆分为-7＋1，
符合a＝1，c＝-7，
即可求出x2＋6x－7＝（x－1）（x＋7）.
故答案为（x－1）（x＋7）.
【分析】此题考查了十字相乘法分解因式，把常数项分成两数的积，使这两数的和恰好等于一次项系数，是十字相乘法分解因式的关键.
13．【答案】13x
【解析】【解答】解：∵﹣5﹣8=﹣13，
∴横线上应该是13．
故答案是：13x．
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：横线上填上的整数应该是﹣5﹣8=﹣13．
14．【答案】3（x+2）（x﹣2）
【解析】【解答】解：原式=3（x2-4）
=3（x+2）（x-2）
【分析】根据题意，利用提公因式以及公式法因式分解得到答案即可。
15．【答案】(b－a)(b－1)
【解析】【解答】b2－ab＋a－b＝b2－b－ab＋a=b(b-1)-a(b-1)=(b-1)(b-a).
故答案是：(b－a)(b－1).
【分析】根据因式分解的原则：一提、二套、三检查分解即可。即原式=b2－b－ab＋a=b(b-1)-a(b-1)=(b-1)(b-a).
16．【答案】解：设t=x2+y2．则由原方程，得
t（3+t）﹣54=0，即（t+9）（t﹣6）=0，
所以t+9=0或t﹣6=0，
解得t=﹣9（舍去）或t=6．
即x2+y2的值是6．
【解析】【分析】把（x2+y2）看做一个整体，通过解方程可以求得它的值．
17．【答案】解： x2+7x−30 ，
= x2+(−3+10)x+(−3)×10
= (x+10)(x−3) .
【解析】【分析】因为-30可分解为-3×10，7=-3+10，所以利用十字相乘法分解因式即可得解.
18．【答案】（1）解：原式 =2xy(x2+2xy+y2)
=2xy(x+y)2
（2）解：原式 =4a2(a−b)−(a−b)
=(a−b)(4a2−1)
=(a−b)(2a+1)(2a−1)
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点：含有公因式2xy，因此先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式.
（2）观察次多项式的特点：含有公因式（a-b），因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
19．【答案】（1）解： x2﹣6x﹣7=（x﹣7）（x+1）
（2）x2+6x﹣7=（x+7）（x11）；
（3）x2﹣8x+7=（x﹣7）（x﹣1）
（4）x2+8x+7=（x+7）（x+1）
（5）x2﹣5x+6=（x﹣3）（x﹣2）
（6）x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）
（7）x2+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）
（8）x2+5x+6=（x+2）（x+3）
【解析】【分析】（1）x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解，这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；（2）利用十字相乘法直接分解因式即可；（3）利用十字相乘法直接分解因式即可；（4）利用十字相乘法直接分解因式即可；（5）利用十字相乘法直接分解因式即可；（6）利用十字相乘法直接分解因式即可；（7）利用十字相乘法直接分解因式即可；（8）利用十字相乘法直接分解因式即可．
20．【答案】（1）解：
∴ x2+3x +2 =（x+1）（x+2）
（2）解：
∴ x2-7x +6 =（x-1）（x-6）
【解析】【分析】(1)将常数项分解成1和2，与x交叉相乘得到3x；
(1)将常数项分解成-1和-6，与x交叉相乘得到-7x.
21．【答案】（1）解： m3−2m2−4m+8 ；
= m2(m−2)−4(m−2) ，
= (m−2)(m2−4) ，
= (m−2)(m−2)(m+2) ，
= (m−2)2(m+2)
（2）解： x2−2xy+y2−9 ．
= (x2−2xy+y2)−9 ，
= (x−y)2−9 ，
= [(x−y)−3][(x−y)+3] ，
= (x−y−3)(x−y+3)
（3）解： F(x，y)=(mx+ny)(3x−y)=3mx2+(3n−m)xy−ny2 ，
F(y，x)=(my+nx)(3y−x)=3my2+(3n−m)xy−nx2 ，
∵F(x，y)=F(y，x) ，
∴3mx2+(3n−m)xy−ny2=3my2+(3n−m)xy−nx2 ，
∴3mx2−3my2+nx2−ny2=0 ，
∴(3m+n)x2=(3m+n)y2 ，
∵x2≠y2 ，对任意有理数 x 、 y 都成立，
∴3m+n=0 ，
∴m ， n 的数量关系 3m+n=0 ．
【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可；
（3）先求出 (3m+n)x2=(3m+n)y2 ， 再求出 3m+n=0 ， 最后求解即可。
22．【答案】解：原式=a2-2ab+b2=(a-b)2，
当a-b=3时，原式=32=9.
【解析】【分析】先将原式去括号，再利运用完全平方公式分解因数，最后将已知等式的值代入求值即可
23．【答案】（1）解：由题意，x2−4x−5
=x2−4x+4−9
=(x−2)2−32
=(x−2+3)(x−2−3)
=(x+1)(x−5)．
（2）解：由题意，∵−2x2−8x+5=−2(x2+4x+4)+13
=−2(x+2)2+13，
∴当x=−2时，多项式−2x2−8x+5有最大值13．
【解析】【分析】本题考查配方法的应用因式分解和求最小值。
（1）配方时，注意二次项系数，如果不是1，则先提取系数，再配方，加上一次项系数一半的平方。若系数是1，直接配方即可；
（2）求多项式的最大值或最小值时，通过配方的方法，利用平方的非负性，求出最值即可。
24．【答案】（1）解：原式=（m+n）2-18（m+n）+92
=（m+n-9）2.
（2）解：原式=（x2-4x）2+8（x2-4x）+12+4
=（x2-4x）2+8（x2-4x）+16
=（x2-4x）2+8（x2-4x）+42
=（x2-4x+4）2
=（x-2）4.
【解析】【分析】（1）把m+n 看作是一个整体，可以看出该式符合完全平方公式，然后用完全平方公式分解因式即可得.
（2）先把x2-4x看作一个整体，先展开，得到（x2-4x）2+8（x2-4x）+12+4，进而合并同类项得到（x2-4x）2+8（x2-4x）+16，16=42，（x2-4x）看做整体 符合完全平方公式即可得到：（x2-4x+4）2，再观察括号里面的x2-4x+4也符合完全平方公式为（x-2）2，综合起来最终为：（x-2）4.
25．【答案】（1）解：3x﹣12x3
=3x（1﹣4x2）
=3x（1+2x）（1﹣2x）
（2）解：﹣ma2+2mab﹣mb2
=﹣m（a2+2ab﹣b2）
=﹣m（a﹣b）2
（3）解：20a2bx﹣45bxy2
=5bx（4a2﹣9y2）
=5bx（2a+3y）（2a﹣3y）
（4）解：3x3+6x2y+3xy2
=3x（x2+2xy+y2）
=3x（x+y）2
【解析】【分析】（1）先提取公因式3x，然后套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．（2）先提取公因式﹣m，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解．（3）先提取公因式5bx，然后对多项式进行变形，再套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．（4）先提取公因式3x，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解．
26．【答案】（1）解：由图可得，正方形的面积为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）解：∵ a+b+c=9，ab+bc+ac=26，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）=92-2×26=29；
（3）2a+3b；a+b
（4）长方形的面积为xa2+yb2+zab=（5a+3b）（2a+5b）=10a2+31ab+15b2，
∴x=10，y=15，z=31，
∴ x+2y−z=10+2×15−31=9=3，
∴3的平方根为±3.
【解析】【解答】解：（3）由题意，可得长方形的面积=2a2+5ab+3b2=（2a+3b）（a+b），
∴长方形的两边长分别为（2a+3b）和（a+b）；
故答案为：2a+3b，a-b.
【分析】（1）直接利用长方形的面积公式，结合正方形的面积=各个矩形的面积之和即可求解；
（2）将 a+b+c=9，ab+bc+ac=26整体代入（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即可求解；
（3）先用代数式表示出长方形的面积，再分解代数式，即可得到矩形的两边长；
（4）利用长方形面积=xa2+yb2+zab=（5a+3b）（2a+5b）=10a2+31ab+15b2，求得x，y，z的值，代入 x+2y−z 求值，从而求解.