北师大版八年级数学下册专题06图形平移的三种考法全攻略(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册专题06图形平移的三种考法全攻略(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了几何图形中的平移问题，函数图像中的平移问题，动点或最值问题等内容，欢迎下载使用。
题型一、几何图形中的平移问题
例．原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练1】如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为9，阴影部分三角形的 为4．若，则等于_______．
【变式训练2】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．42B．48C．84D．96
【变式训练3】平移是一种常见的图形变换,如图1，经过平移后得到△，连接，若平分，平分，则称这样的平移为“平分平移”．
(1)如图1，经过“平分平移”后得到，请问有怎么样的位置关系： ．
(2)如图2,在中,经过“平分平移”后得到△，求的度数．
(3)如图3,在(2)的条件下，，平分,求的度数．
(4)如图4,△ABC经过“平分平移”后得到△，，平分，若 ．（用含的式子表示）
【变式训练4】已知：如图①，在矩形中，，垂足是E点F是点E关于的对称点，连接．
（1）求和的长；
（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将绕点B顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与边交于点P与直线交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时的长：若不存在，请说明理由．
【变式训练5】如图，等腰三角形中，，D为边上一点，E为射线上一点，连接．
(1)如图1，点F在线段上，连接、．若，为等边三角形，，，求的长；
(2)如图2，F为线段的垂直平分线上一点，连接、、，M为的中点，连接、．若，求证：；
(3)如图3，，D为中点，F为中点，与交于点G，将沿射线方向平移得，连接、．若，直接写出的最小值．
题型二、函数图像中的平移问题
例1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为（ ）
A．9B．3C．4D．5
例2．如图，平面直角坐标系中，，，，，．
(1)求的面积；
(2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值；
(3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标．
【变式训练1】在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．

(1)直接写出______，______；
(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接．
(1)求点的坐标及线段的长度；
(2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接．
当为直角三角形时，求的值；
当周长最小时，的值是 ；此时，最小周长等于 ．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点其中满足：．
（1）
（2）在坐标平面内，将△ABC平移，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，若平移后E、F两点都在坐标轴上，请直接写出点E的坐标；
（3）若在△ABC内部的轴上存在一点P，在（2）的平移下，点P的对应点为点Q，使得△APQ的面积为10，则点P的坐标为_________．
题型三、动点或最值问题
例1.如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为________．
例2.如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，2），B（b，4），且a，b满足关系式（a+5）2+＝0
（1）直接写出A，B两点的坐标：A（ ， ），B（ ， ）；
（2）线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，A，B的对应点分别为A1，B1；（友情提示：S△ABO表示三角形ABO的面积）
①如图2，若线段A1B1交y轴于点C，当时，求平移时间t的值；
②若直线A1B1交y轴于点C，当时，试求出平移时间t的值，并直接写出点C的坐标．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段向右平移，则在平移过程中，的最小值是__．
【变式训练2】如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
（1）请求出点和点的坐标；
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于8？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
专题06 图形平移的三种考法全攻略
题型一、几何图形中的平移问题
例．原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：①对应线段平行可得AC∥DF，正确；
②对应线段相等可得AB=DE=8，则HE=DE-DH=8-3=5，正确；③平移的距离CF=BE=4，正确；
④S四边形HDFC=S梯形ABEH错误故选：C
【变式训练1】如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为9，阴影部分三角形的 为4．若，则等于_______．
【答案】2
【详解】如图，设BC与交于点E，与交于点F，
∵，，且AD为BC边上的中线，∴，，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到，
∴，∴△∽△DAB，∴，
解得或（舍），
故答案为：2．
【变式训练2】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．42B．48C．84D．96
【答案】B
【详解】解：∵平移距离为6，
∴BE=6，
∵平移，
∴AB=DE，阴影部分的面积等于直角梯形OEBA的面积
∵AB＝10，DO＝4，
∴OE=10-4=6，
∴直角梯形OEBA的面积为：（6+10）×6÷2=48．
故选B．
【变式训练3】平移是一种常见的图形变换,如图1，经过平移后得到△，连接，若平分，平分，则称这样的平移为“平分平移”．
(1)如图1，经过“平分平移”后得到，请问有怎么样的位置关系： ．
(2)如图2,在中,经过“平分平移”后得到△，求的度数．
(3)如图3,在(2)的条件下，，平分,求的度数．
(4)如图4,△ABC经过“平分平移”后得到△，，平分，若 ．（用含的式子表示）
【答案】(1)平行；
(2)；
(3)；
(4)．
【详解】（1）解：∵经过“平分平移”后得到
∴．
故答案为：平行．
（2）解：∵,平分,
∴,
∵经过“平分平移”后得到
∴
∵平分
∴,
∵经过“平分平移”后得到
∴,
∴
∵ ,
∴ ．
（3）解：如图：连接,与延长DO至E,
∵平分,平分,
∴
∵
∴
即
∵,
∴ ．
（4）解：,
∵, ∴ ,
∵, ∴
∴
∵平分 ,平分,
∴
∴ ．
故答案为：．
【变式训练4】已知：如图①，在矩形中，，垂足是E点F是点E关于的对称点，连接．
（1）求和的长；
（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将绕点B顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与边交于点P与直线交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时的长：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AE=4，BE=3；（2）3或；（3）或或或
【详解】解：（1）在中，，，
由勾股定理得：．
，．
在中，，，由勾股定理得：．
（2）设平移中的三角形为△，如答图2所示：
由对称点性质可知，．
由平移性质可知，，，．
①当点落在上时，，，，，即；
②当点落在上时，，，
，，，又易知，△为等腰三角形，
，，即．
（3）存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰依次有以下4种情形：
①如答图所示，点落在延长线上，且，易知，
，，，，．
在△中，由勾股定理得：．；
②如答图所示，点落在上，且，易知，
，，，则此时点落在边上．
，，，．
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：，；
③如答图所示，点落在上，且，易知．
，，．
，．，
，，，．
在△中，由勾股定理得：，；
④如答图所示，点落在上，且，易知．
，，，，
，．
综上所述，存在4组符合条件的点、点，使为等腰三角形；
的长度分别为或或或．
【变式训练5】如图，等腰三角形中，，D为边上一点，E为射线上一点，连接．
(1)如图1，点F在线段上，连接、．若，为等边三角形，，，求的长；
(2)如图2，F为线段的垂直平分线上一点，连接、、，M为的中点，连接、．若，求证：；
(3)如图3，，D为中点，F为中点，与交于点G，将沿射线方向平移得，连接、．若，直接写出的最小值．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【详解】（1）∵，，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（2）如图，延长到点N，使得，连接，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F为线段的垂直平分线上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点C作，∵，，D为中点，
∴为等边三角形，直线是线段的垂直平分线，
∴，∴；
∵点B平移到点，
∴过点B作，交直线于点，根据平移性质，得到四边形是平行四边形，
∴，，根据平移性质，得到，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∴；作出点B关于直线的对称点M，连接交于点Q，连接交于点N，当点与点N重合时，取得最小值，
过点M作，交的延长线于点P，
∵，，，为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴的最小值为．
题型二、函数图像中的平移问题
例1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为（ ）
A．9B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】解：如图，连接AA′、BB′．
∵点A的坐标为（0，3），
△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是3．
又∵点A的对应点在直线y=x上一点，∴3=x，解得x=3，
∴点A′的坐标是（3，3），
∴AA′=3，
∴根据平移的性质知BB′=AA′=3．
故答案为B．
例2．如图，平面直角坐标系中，，，，，．
(1)求的面积；
(2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，、、在同一直线上，求的值；
(3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1），，，
，，，，，
，，，，，；
（2）由题意知：，，
，，．
（3）连接，，
设，
，，
点向右平移个单位长度得到点，，
，
，，
，
【变式训练1】在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．

(1)直接写出______，______；
(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
【答案】(1)-3，4
(2)-3，4
(3)-4≤x≤-2且x≠-3
【详解】（1）解：，
又∵，，
，
解得：，
故答案为：-3，4．
（2）过点作轴于，
设，
三角形的面积四边形的面积三角形的面积，
，
即，
解得：，
点的坐标为，
过点作轴于，
三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
即，
，
点的坐标为或．
（3）点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点平移后的对应点恰好是点，
连接，过点作轴，如图所示：
，
三角形的面积三角形的面积，
当三角形的面积三角形的面积时，，
当点在第三象限时，
，
解得：，
当点在第二象限时，
，
解得：，
当三角形的面积不超过三角形面积的时，
点的横坐标的取值范围是，且．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接．
(1)求点的坐标及线段的长度；
(2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接．
当为直角三角形时，求的值；
当周长最小时，的值是 ；此时，最小周长等于 ．
【答案】(1)，
(2)1或；，
【详解】（1）解：令，则，
，
点坐标为，
；
（2）解：令，则，
，
线段沿轴向下平移个单位至，
，
，
当时，，
解得，
当时，，
此时不存在实数根，
当时，，
解得，
综上所述：的值为1或；
作点关于直线的对称点，连接，
，
，
当三点共线时，的值最小，此时周长最小，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
将点代入，，
，
，
周长最小值为，
故答案为：，．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点其中满足：．
（1）
（2）在坐标平面内，将△ABC平移，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，若平移后E、F两点都在坐标轴上，请直接写出点E的坐标；
（3）若在△ABC内部的轴上存在一点P，在（2）的平移下，点P的对应点为点Q，使得△APQ的面积为10，则点P的坐标为_________．
【答案】（1）b=－3，c=1；（2）E（－4，0）或E（0，5）；（3）P的坐标为（0，3）或（0，）．
【详解】（1）由题意得：，解得：，∴b=－3，c=1．
（2）∵b=－3，c=1，∴B（－3，6），C（1，1）．分两种情况讨论：
①若E在x轴上，F在y轴上，设B（－3，6）平移后为E（a，0），C（1，1）平移后为F（0，b），则平移方式为左1下6，∴E（－4，0）；
②若E在y轴上，F在x轴上，设B（－3，6）平移后为E（0，a），C（1，1）平移后为F（b，0），则平移方式为右3下1，∴E（0，5）．
综上所述：E（－4，0）或E（0，5）．
（3）设P（0，y），其中（1＜y＜7）．分两种情况讨论：
①若平移方式为左1下6，则Q（－1，y-6），如图1．
∵，∴=10，解得：y=3，∴P（0，3）；
②若平移方式为右3下1，则Q（3，y-1），如图2．
∵，阿∴=10，解得：y=，∴P（0，）．
综上所述：P的坐标为（0，3）或（0，）．
题型三、动点或最值问题
例1.如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为________．
【答案】1
【详解】解：
如图：连接AA1，∵将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，∴＝4，
∵M是AB的中点，∴AM＝AB＝3，∴4-3≤MA1≤4+3，即1≤MA1≤7，∴MA1的最小值为1,
故答案为：1．
例2.如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，2），B（b，4），且a，b满足关系式（a+5）2+＝0
（1）直接写出A，B两点的坐标：A（ ， ），B（ ， ）；
（2）线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，A，B的对应点分别为A1，B1；（友情提示：S△ABO表示三角形ABO的面积）
①如图2，若线段A1B1交y轴于点C，当时，求平移时间t的值；
②若直线A1B1交y轴于点C，当时，试求出平移时间t的值，并直接写出点C的坐标．
【答案】（1），；（2）①；②，
【详解】解：（1），
，，，，，，
故答案为：，；
（2）线段以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，
平移秒后，，，
①如图2，作轴于，轴于，
，，
即，
整理得：，解得；
②，即，解得，此时，，，，
，
即，，解得，
点的坐标为．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段向右平移，则在平移过程中，的最小值是__．
【答案】
【详解】
如图：过点C作直线，作B点关于的对称点E，连接AE，将直线AE向右平移至过C点得到直线DF，连接，过点 做 轴交轴于
∵平移后A点对应点为D点，B点对应点为G点，根据对称性：
∴，∴的最小值为DF的长度
∵点，，，根据对称性知
∴ ，∴ ，∴的最小值为．
【变式训练2】如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
（1）请求出点和点的坐标；
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于8？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【答案】（1）（-1,0）、（3,0）；（2）存在，t=；（3）不变，理由见解析．
【详解】解：（1）∵，∴3a+b=0，b-3=0，即a=-1，b=3
∴点和点的坐标分别为（-1,0）和（3,0）
（2）存在；过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H.
由题意得点C和点D的坐标分别为（0,2）和（4,2），∴CD=4,DH=2,OB=3
设D点坐标为（0，t），连接MD、OD，∴OM=t
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=8，∴,即，解得t= ；
（3）不变，理由如下：如图：当运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H,连接OM，OD
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD
∴= S△OND+S△OMD===3-2t+2t=3
∴的值不会变化