北师大版八年级数学下册专题07图形旋转之费马点最值模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册专题07图形旋转之费马点最值模型全攻略(原卷版+解析)，共11页。
如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
类型一、基本费马点模型
例题1.如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.
【变式训练1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．

【变式训练2】如图，ABCD为矩形，AB＝，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．
【变式训练3】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
【变式训练4】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（ ）
A．+B．+C．4D．3
类型二、加权费马点模型
例：如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；（2）的最小值
（3）的最小值；（4）的最小值
专题07 图形旋转之费马点最值模型全攻略
如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
类型一、基本费马点模型
例题1.如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.
解：将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.
从而，（两点之间线段最短），从而.
过作的平行线分别交于点，易知.
因为在和中，
①， ②。
又，所以③.
①+②+③可得，
即.综上，的取值范围为.
【变式训练1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．

【解析】 如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，
可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．
∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．
∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．
设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO=．∴ BG=BO+GO =+．
∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴ +=，解得=2．
【变式训练2】如图，ABCD为矩形，AB＝，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．
【详解】解：如图所示，将绕点A逆时针旋转60°于，将绕点B顺时针旋转60°于，连接，，作交BA的延长线于点G，作交AB的延长线于点H，
∴，，
∴，，，，
又∵旋转角等于60°，∴，，
∴和都是等边三角形，∴，，
∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE，
∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值为的长度．
∵，，∴，，
又∵，，
∴，，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，
又∵，∴四边形是矩形，∴，
∴，，
∴．∴．
∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值为．
【变式训练3】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF，∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
【变式训练4】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（ ）
A．+B．+C．4D．3
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，
当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．
理由：∵AP＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等边三角形，
∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，
∴当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，
作EM⊥DA交DA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形，
在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，
∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1，
∴EC＝＝＝＝＝＝+．∴PA+PB+PC的最小值为+．故选：B．
类型二、加权费马点模型
例：如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；（2）的最小值
（3）的最小值；（4）的最小值
【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，∴为等边三角形，∴，
∴，
∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为
同理可证为等边三角形，∴，，∴，
∴；∴的最小值为；
（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴
∴，，∴，
∴的最小值为；
（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
过点C作于E，∴，，∴，
∴，∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴，∴，
∴
∴，
∴的最小值为；