2023年初中数学8年级下册同步压轴题 专题04 勾股定理与几何图形的三种考法全攻略（学生版+解析版）

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类型一、折叠问题
例1．如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，是折痕，若，，则的长是( )
A．2B．4C．D．
【答案】D
【详解】解：∵将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，
∴，，，
∵，，∴，∴，
∴，
故选：D．
例2.如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为____________．
【答案】
【详解】解：∵四边形为矩形，，是边的垂直平分线，
∴，，，
∴四边形为矩形，，
根据折叠的性质，可知，，
∴在中，，
∴，
设，则，
∴在中，可有，
即，解得，
∴的长为．
故答案为：．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为____________．
【答案】或或
【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作．
设，
由题意可得，，，
∵与关于直线对称，
∴，，
在Rt中，，
∴．
在Rt中，，
∴，
即，
解得，
∴点D的坐标是．
②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，
，这时，，
可求出D点坐标为；
③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，
，在Rt中，
，
则，
Rt中，设，
利用勾股定理
得到，
解得
D点坐标为
故：D的坐标为或或．
【变式训练2】如图，在中，，点、是边上的点，点在边上，连接、，将分别沿直线和折叠，使点、的对称点重合在边上的点处．若，，则的长是______．
【答案】
【详解】解：，
.
由翻折可知：

，
设，则，
在中，根据勾股定理得：

解得，
故答案为：．
【变式训练3】如图，将长方形沿着折叠，使得点D恰好落在边上的处，若，，则的面积为_____．
【答案】45
【详解】解：过点E作，
设，则， ，
根据勾股定理可得，，
解得：，
∴，
设，则
，
根据勾股定理可得：
解得，
，
∴
-故答案为：45．
【变式训练4】如图，纸片中，，，，，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是______．
【答案】或
【详解】解：∵纸片中，，，
∴，
∵以为折痕，折叠得到，
∴，，．
当时，如图1所示，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图2所示， C与点E重合，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【变式训练5】如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______．
【答案】或
【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点
点的对应点落在的角平分线上，
，
设，则，
，
又折叠图形可得，
，解得或，
即或．
在中，设，
当时，，，，
，
解得，即，
当时，，，，
，
解得，即．
故答案为：或．
类型二、勾股弦图
例.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是( )
A．3B．3.5C．4D．7
【答案】B
【详解】∵正方形的面积为，
∴，
设，
∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
则的值是；
故选：B．
【变式训练1】阅读材料：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式给予解释．图乙中的是一个直角三角形，，人们很早就发现直角三角形的三边，b，c满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”(如图丙)就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．
请回答：下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______(直接填写图序号)．
【答案】③④
【详解】解：①长方形的面积：，
②，
③，整理，得，
④，整理，得，
故答案为：③④．
【变式训练2】我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽(约公元年公元年)将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为______．
【答案】
【详解】解：设小正方形的边长为x，
∵，
∴，
在中，，
即，
整理得，，即，
而长方形面积为，
即该长方形的面积为，
故答案为：．
【变式训练3】如图，、、、为四个全等的直角三角形，与、、分别交于点、、，且满足，则两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为___________．
【答案】
【详解】解：∵、、、为四个全等的直角三角形，
∴，，四边形是正方形，，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
设，，
则，
∴，
在中，，
∴，∴，∴，
∴，即，
∴或(不符合题意，舍去)，
∴，
，
∴两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为．
故答案为：．
【变式训练4】如图，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设，，，取，．
(1)填空：正方形的面积为____________，四个直角三角形的面积和为_____________．
(2)求的值．
【答案】(1)16；384
(2)28
【详解】(1)解：设，，，取，．
正方形面积为：，
正方形面积为：，
根据图形可知：四个直角三角形的面积和等于正方形与正方形面积之差，
即：，
故答案为：16；384；
(2)解：在(1)中，有：四个直角三角形的面积和
又∵，，，
∴，
整理，可得：，
由(1)可知四个直角三角形的面积和为384，
∴，解得，
∵，
∴．
∴(负值舍去)，
即值为28．
类型三、网格问题
例．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，
又∵，
∴边长的高为：，故B正确．
故选：B．
【变式训练1】如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接、，
，
，
设C点到的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【变式训练2】如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图：
由勾股定理得：，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点在如图所示的网格中求作一点C，使得且的面积等于，则此时的长为______．
【答案】
【详解】∵，
∴
∵的面积等于，
∴点C所在的位置如图所示，
∴，故答案为：
【变式训练4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，M，F均在格点上，且与交于点E．
(1)与全等吗？________(填“全等”或“不全等”)；理由是________；
(2)与是否垂直？________(填“是”或“否”)；
(3)求的长．
【答案】(1)全等，；(2)是
(3)
【详解】(1)全等，理由如下：
根据网格图可知：，，，∴；
故答案为：全等；；
(2)是，理由如下：∵在(1)中已证明，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴；
故答案为：是；
(3)∵在(2)已证明，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴在中，．