苏科版七年级数学下册专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)，共38页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16709" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16709 \h 1
\l "_Tc5711" 【考点一 平行线中一个拐点问题】 PAGEREF _Tc5711 \h 1
\l "_Tc21104" 【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】 PAGEREF _Tc21104 \h 3
\l "_Tc961" 【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc961 \h 6
\l "_Tc14438" 【过关检测】 PAGEREF _Tc14438 \h 9
【典型例题】
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
2．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（ ）
A．110°B．90°C．80°D．70°
2．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022·贵州安顺·七年级期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（ ）
A．130°B．140°C．145°D．150°
二、填空题
4．（2022·上海· 七年级期中）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度．
5．（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使，则∠BCD的度数为_____度．
6．（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________．
三、解答题
7．（2022·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
8．（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；
(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．
9．（2022·广东·龙岭初级中学七年级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现，
(1)在图②所示的图形中，若，，则___________
(2)在图⑧中，若，，则_________
(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由．
10．（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
11．（2022·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．


(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：
(2)请选择其中一个图形进行说明理由．
12．（2020·四川乐山·七年级期末）问题情境：如图 1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
问题迁移：
(1)如图 3，，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、 间的数量关系．
图形
∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）

图（5）
图（6）
专题03 平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16709" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16709 \h 1
\l "_Tc5711" 【考点一 平行线中一个拐点问题】 PAGEREF _Tc5711 \h 1
\l "_Tc21104" 【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】 PAGEREF _Tc21104 \h 3
\l "_Tc961" 【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc961 \h 6
\l "_Tc14438" 【过关检测】 PAGEREF _Tc14438 \h 9
【典型例题】
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．
【详解】如下图所示，过点C作，
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，，
∴，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∴，
∴在原图中，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【答案】##20度
【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．
【详解】解：如图，过点作，则，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【答案】
【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°
【答案】90度##90°
【分析】根据CD与AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根据，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，则有∠DCB=90°，问题得解．
【详解】如图，设置点M、N，
根据题意有：，
∵CD与AB的方向一致，
∴，
∴∠DCB=∠CBA，
∵，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°，
∴∠ABC=90°，
∴∠DCB=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、方位角的应用，明确题意，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（ ）
A．110°B．90°C．80°D．70°
【答案】D
【分析】如图，过点P作PMAB，利用平行线的性质得到∠EPF=∠1+∠2即可．
【详解】解：如图，过点P作PMAB，
∴∠3=∠1=30°，
又∵，
∴，
∴∠4=∠2=40°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°，
即∠EPF=70°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定定理以及平行线的性质．注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用．
2．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
3．（2022·贵州安顺·七年级期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（ ）
A．130°B．140°C．145°D．150°
【答案】D
【分析】过点B作BEAD，利用平行线的性质可得∠ABE＝110°，从而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行线的性质，即可解答．
【详解】解：过点B作BEAD，
∴∠A＝∠ABE＝110°，
∵∠ABC＝140°，
∴∠EBC＝∠ABC−∠ABE＝30°，
∵ADCF，
∴BECF，
∴∠C＝180°−∠EBC＝150°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题
4．（2022·上海· 七年级期中）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度．
【答案】100
【分析】过点作的平行线，由平行线的判定与性质即可求解．
【详解】解：过点作，则，
，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是过拐点准确作出的平行线．
5．（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使，则∠BCD的度数为_____度．
【答案】110
【分析】根据方向角和平行线的性质：内错角相等即可求出．
【详解】解：B点在A点的北偏东50°，C点在B点北偏西20°，
∴，
∵
∴，
故答案为：110．
【点睛】本题考查平行线的性质：内错角相等，利用方位角进行角度的转化计算是解题的关键．
6．（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________．
【答案】82
【分析】过点作，得，得，；根据，是，的角平分线，；；根据四边形内角和为，，即可求出的角度．
【详解】如图：过点作，
∵，
∴，
∴；，
∵，是，的角平分线，
∴；，
∴；，
∴在四边形中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，四边形内角和，角平分线；设角等于，；角的等量代换是解题的关键．
三、解答题
7．（2022·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因为、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）
备用图：
(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；
（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．
（1）
解：过点F作，如图，
∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；
（2）
解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F
过点D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
（3）
解：
如图（4）所示，过点C作，过D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．
8．（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；
(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论；
过作，依据，可得，进而得到，，再根据，即可得出．
（1）
证明：如图，过点作，
，
，
，．
又，
；
（2）
解：．
理由如下：如图，过作，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
9．（2022·广东·龙岭初级中学七年级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现，
(1)在图②所示的图形中，若，，则___________
(2)在图⑧中，若，，则_________
(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到由此即可得到答案；
（2）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到，在求出的度数即可得到答案；
（3）如图所示，过点P作，由平行线的性质得到，再由即可得到结论．
（1）
解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：；
（3）
解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；
(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．
（1）
解：如图①，过点E作EMAB，
∵ABCD，
∴ABCDEM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，
即∠1＋∠3＝∠2；
（2）
如图②，过点F作NFAB，
∵ABCD，
∴ABCDFN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，
∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，
即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
（3）
如图③，过点G作GMAB，
∵ABCD，
∴ABCDGM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，
∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，
即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
11．（2022·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．


(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：
(2)请选择其中一个图形进行说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行线的性质即可求解．
（2）过点C作CGAB，利用平行线的判定和性质即可求解．
（1）
解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表：
（2）
解：图（1） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，
∴∠B+∠F=∠BCF；
图（2） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
图（3） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．

理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
图（4） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．

理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG+∠B=180°，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF+∠F=180°，
∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°；
图（5） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．

理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
图（6） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．
理由：过点C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
12．（2020·四川乐山·七年级期末）问题情境：如图 1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
问题迁移：
(1)如图 3，，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、 间的数量关系．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）过点作 ，则可得出，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，则利用角的和差关系，即可求出结果；
（2）分两种情况讨论：过点P作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把 和 表示出来，则利用角的和差关系，即可求出结果．
【详解】（1）解：
证明：如图，过点P作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：当P在线段的延长线上时，
证明：如图，过点P作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴
∴；
如图，当P在线段的延长线上时，如图，过点P作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解题的关键是辅助线构造内错角及同旁内角相等．
图形
∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）

图（5）
图（6）
图形
∠B、∠F、∠C满足的数量关系
图（1）
∠B+∠F=∠C
图（2）
∠F-∠B=∠C
图（3）
∠B-∠F=∠C
图（4）
∠B+∠F+∠C=360°
图（5）
∠B-∠F=∠C
图（6）
∠F-∠B=∠C