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七年级数学下册专题03平行线中的拐点模型之牛角模型(原卷版+解析)
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这是一份七年级数学下册专题03平行线中的拐点模型之牛角模型(原卷版+解析)，共43页。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例1．（2023下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则 度．
例2．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是 ．
例3．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．
例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．
例5．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，．
(1)如图1，写出与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，，，与交于点，求的度数．
例6．（2023下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
例7．（2023·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．
（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．
课后专项训练
1．（2023下·四川内江·九年级统考阶段练习）如图，已知直线，，，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，，则的值为（ ）
A．65°B．40°C．20°D．15°
3．（2023下·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为 （ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在多边形中，，，，则的大小的为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·四川·八年级统考期末）已知直线，将以，为两腰的等腰的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图是螳螂的示意图，已知，则的度数为 ．
8．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知 ，，，则的度数是 ．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．
10．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则 ．
11．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、，，平分，平分，在的下方有一点，平分，平分，求的度数为 ．
12．（2023下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ．
13．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，直线分别交，于点，．，分别平分与，交于点，延长交于点，作，交于点，连接．是上一点，连接，，平分交于点，则 ．
14．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线，直线EF与，分别交于点E，F，与的角平分线交于点P，延长交于点G，过点G作交直线于点Q，连接，点M是延长线上的一点，且，若平分交于点N，则的度数为 ．
15．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）如图，，，，求的度数．
16．（2023下·河南信阳·七年级统考阶段练习）如图①，E是直线、内部一点，，连接，。(1)若，，则___________；
(2)猜想图①中、、的关系，并证明你的结论．
(3)如图②，射线与、分别交于点E、F，，a、b、c、d分别是被射线隔开的4个区域（不含边界），其中区域c、d位于直线下方，P是位于以上四个区域上的任意一点，猜想：、、的关系？（选择其中一种情况画出图形，并直接写出结论）
17．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）在综合与实践课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含的直角三角尺（，）．
(1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系．
18．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，求的度数．
（2）如图2，，点P在的上方，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，求的度数．
19．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，点E为直线、所确定的平面内一点．
(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，点在的延长线上，连接、，若，，，求的度数．(3)在（2）的条件下，如图3，过点F作交的延长线于点G，连接，作交于点H，使，当时，求的度数．
20．（2023·四川遂宁·七年级校考阶段练习）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，写出与之间的数量关系并说明原因；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求的值．
21．（2023下·广东惠州·七年级校联考期中）如图，直线，点C是之间（不在直线
上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，请直接写出与之间的数量关系；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求值．
22．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝ °；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）(3)如图③，平分平分，若，则＝ °．
23．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位置关系，反过来，直线的位置关系也决定着角的数量关系．根据你的学习经验解决下列问题．(1)如图1，，，，则______°；
(2)如图2，，，，求证：；
(3)用无刻度真尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①如图3，点为直线外一点，直线交于点，过点作直线，使．
②如图4，已知，点为直线外一点，过点作直线，使与所夹锐角为（作出一条符合条件的直线即可）．
24．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图①，，，，求的度数．（2）如图②，，，，求的度数；
（3）如图③，在的条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例1．（2023下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则 度．
【答案】125
【分析】直接延长交于点，利用平行线的性质得出，再利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：延长交于点，
直线，，
，．故答案为：125．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，解题的关键是正确掌握平行线的性质．
例2．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
，，，
又，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
例3．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．
【答案】当时，，证明见解析
【分析】当时，，证明过程为：过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行公理推论即可得．
【详解】解：当时，，证明如下：
如图，过点作，，
，，
，，．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．
【答案】
【分析】延长交于点，根据可求得度数，进而求得的度数．
【详解】解：延长交于点，如下图：
∵,∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和为是解题关键．
例5．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，．
(1)如图1，写出与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，，，与交于点，求的度数．
【答案】(1)∠BED＋∠D＝120°．见解析(2)100°
【分析】（1）如图①，延长交于点，根据平行线的性质即可得结论；
（2）设，，可得，，，，结合（1）可知，进而可得结论；
【详解】（1）解：（1）结论：，
证明：如图①，延长交于点，∵，，
，，；
（2）解：如图②，，，
即，设，，
，，，，
由（1）知：，，
，，
，答：的度数为；
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和与外角性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
例6．（2023下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：过点C作，如图1，∴，
∵，∴∴，
∵，∴；
（2）解：，理由：过点C作，如图，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，即；
（3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，∴，
∵，∴，∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，由（2）可得：，
∴，即．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
例7．（2023·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．
（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；[拓展变式]．
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得出结论；（2）理由如下：过点作，则，根据平行线的性质可得，，进而得出结论；（3）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而即可求解．
【详解】解：（1）．理由如下：
过点作，则．．
，．
（2）．
理由如下：过点作，则．，．
，．
【拓展变式】过点作，则．
，，
， 故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023下·四川内江·九年级统考阶段练习）如图，已知直线，，，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质求出即可．
【详解】解：如图，
，，，
是的外角，，
，．故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
2．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，，则的值为（ ）
A．65°B．40°C．20°D．15°
【答案】D
【分析】由，根据平行线的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵，∴，；
∴，∴．故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，此类题解答的关键是熟练应用平行线的性质．
3．（2023下·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先过点作，由直线，可得，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案的度数，又由是含有角的三角板，即可求得的度数，继而求得的度数．
【详解】解：过点作，
∵直线，∴，∴，
∵，∴，∴．故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题时注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
4．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在多边形中，，，，则的大小的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，由多边形内角和定理，得，可进一步证得，结合，得．
【详解】解：连接，则，
∵，∴．
又，∴
∴∴．
∵，∴．故选：B
【点睛】本题考查多边形内角和定理，平行线的性质；掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
5．（2023下·四川·八年级统考期末）已知直线，将以，为两腰的等腰的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线与交于点，如图所示，先利用等腰三角形的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求得的度数，再利用平行线的性质求得的度数，即可求得．
【详解】解：设直线与交于点，如图所示，
∵，，∴，
∴中，，
∵，，∴，
∴．故选：
【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线性质的正确运用是解题的关键．
6．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，由三角形内角和可求出，再根据平行得到内错角相等，即可求出答案．
【详解】解：过点作，，，
在中，，
，，，
，，故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图是螳螂的示意图，已知，则的度数为 ．
【答案】14°
【分析】延长交于D，交于点F，根据平行线的性质得，利用邻补角的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：延长交于D，交于点F，
∵，∴，
∵，∴
又∵∴
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知 ，，，则的度数是 ．
【答案】/92度
【分析】延长交于，由三角形的外角性质得，再由平行线的性质得出即可．
【详解】解：如图，延长交于，
，．
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．
【答案】12
【分析】延长交于点，令与相交于点，由平行线的性质和角平分线的定义，得出，，再利用三角形外角的性质，推出，进而得到，然后利用，即可求出的度数．
【详解】解：如图，延长交于点，令与相交于点，，，
平分，平分，，，，
是的外角，是的外角，，，
，，
，，，故答案为：12
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质等知识，找出角度之间的数量关系是解题关键．
10．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，延长交于点，由对顶角相等可得 ，从而可求得 ，再由平行线的性质可得 ，由邻补角的定义可得 ，利用三角形的外角性质即可求 的度数.解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等.
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：．
11．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、，，平分，平分，在的下方有一点，平分，平分，求的度数为 ．
【答案】/120度
【分析】过点Q作，设，根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，由（1）可知，，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点G，P作，，过点Q作，
∵，∴，
∴，，
∴，，
∵平分，平分，∴，
∴，∵，平分，平分，
∴，设，
∵，∴，
∴，，设，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
12．（2023下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ．
【答案】
【分析】分别过点M、E、N、F作线段，使得，根据平行线的性质，推出，，进而得到，即可求出的度数．
【详解】解：分别过点M、E、N、F作线段，使得，
，，，，
，，
，
，，
，，，
，，，，
，
，，，即，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，巧妙利用多条平行线找出角度之间的数量关系是解题关键．
13．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，直线分别交，于点，．，分别平分与，交于点，延长交于点，作，交于点，连接．是上一点，连接，，平分交于点，则 ．
【答案】/30度
【分析】利用，分别平分与，证明出，再证明出，求出，，再根据平分，求出，再与相减即可．
【详解】解：，，
，分别平分与，，
，，，
，，，
平分，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行的性质、角平分线的性质垂线的性质等知识点的应用，准确找到角之间的关系并计算是解题关键．
14．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线，直线EF与，分别交于点E，F，与的角平分线交于点P，延长交于点G，过点G作交直线于点Q，连接，点M是延长线上的一点，且，若平分交于点N，则的度数为 ．
【答案】/135度
【分析】根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，求出，求出，根据平行线的性质求出，再求出答案即可．
【详解】设，∵平分，∴，
设，∵与的角平分线交于点P，∴，，
∵，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
即，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
15．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）如图，，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出，由两直线平行，同旁内角互补求出，的度数即可求出．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
16．（2023下·河南信阳·七年级统考阶段练习）如图①，E是直线、内部一点，，连接，。(1)若，，则___________；
(2)猜想图①中、、的关系，并证明你的结论．
(3)如图②，射线与、分别交于点E、F，，a、b、c、d分别是被射线隔开的4个区域（不含边界），其中区域c、d位于直线下方，P是位于以上四个区域上的任意一点，猜想：、、的关系？（选择其中一种情况画出图形，并直接写出结论）
【答案】(1)(2)；见解析(3)见解析
【分析】（1）过点作，利用平行线性质即可求出．
（2）过点作，利用平行线性质即可得出结论．
（3）先将点设在其中一个区域，连接，，过点作，利用平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，，，，，
，故答案为：．
（2）证明：如图，过点作，
，，，
，，
（3）证明：如图，点在区域内，连接，，过点作，
，，，，，
，．
证明：如图，点在区域内，连接，，过点作，
，，，，，
，．
证明：如图，点在区域内，连接，，过点作，
，，，，，
，．
证明：如图，点在区域内，连接，，过点作，
，，，
，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，作出合适的辅助线和熟练运用平行线的性质是解题的关键．
17．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）在综合与实践课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含的直角三角尺（，）．
(1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【分析】（1）依据，可得，再根据，，即可得出，进而得到；（2）根据，可得，再根据，即可得到．
【详解】（1）解：，，
又，，，
又，，；
（2）解：，
理由：，，
即，
又，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键．
18．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，求的度数．
（2）如图2，，点P在的上方，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，求的度数．
【答案】（1）的度数为；（2），理由见解答；（3）的度数为
【分析】（1）延长交于点G，利用平行线的性质可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答；（2）设与交于点M，先利用三角形的外角可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，即可解答；（3）利用（2）的结论可得，再利用角平分线的性质可得，，然后利用（2）的结论可，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）延长交于 点G，
∵，∴，∵，∴，
∵是的一个外角，∴，∴的度数为；
（2），理由：如图：设与交于点M，
∵是的一个外角，∴，
∵，∴，∴；
（3）由（2）可得：，∴，
∵平分，平分，∴，，
由（2）得：，
∴，∴的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
19．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，点E为直线、所确定的平面内一点．
(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，点在的延长线上，连接、，若，，，求的度数．(3)在（2）的条件下，如图3，过点F作交的延长线于点G，连接，作交于点H，使，当时，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）首先延长，证明，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：；
（2）延长，交与，则可求出，然后由三角形内角和定理得出，即可得出；（3）根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，然后根据已知条件和三角形内角和定理即可求得．
【详解】（1）解：证明：延长，交与，如图
，，，，；
（2）延长，交与，如图
，，，，，
，，，
，即；
（3）如图3，，，，
，，，，
，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
20．（2023·四川遂宁·七年级校考阶段练习）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，写出与之间的数量关系并说明原因；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求的值．
【答案】(1)，理由见解析(2)(3)2
【分析】（1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出；
（2）根据（1）中的结论可得，，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得结论．
【详解】（1）解：，理由如下：如图所示，过C作，
∵，∴，∴，，
∴，∴；
（2）解：∵，，∴，
由（1）可知：，
又∵，∴，∴；
（3）解：设，则，
由（1）可得，，∴，
∴，∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，以及三角板中角度的计算，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
21．（2023下·广东惠州·七年级校联考期中）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，请直接写出与之间的数量关系；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求值．
【答案】(1)(2)(3)2
【分析】（1）过C作，根据平行线的性质证明即可；
（2）根据（1）的结论可得，再结合平行线性质即可求解；
（3）设，则，结合（1）中结论即可求出．
【详解】（1）解：；
理由：如图，过C作，
∵，∴，∴，
∴．
（2）解：∵，∴，∴ ，
∴由（1）可得，，
∴，∴；
（3）解：设，则，
由（1）可得，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
22．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝ °；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）(3)如图③，平分平分，若，则＝ °．
【答案】(1)65(2)，见解析(3)120
【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求解即可；（2）延长交于点H，根据三角形外角求解即可；（3）延长交于点H，过点G，作，根据角平分线的性质和平行线的性质求解即可
【详解】（1）解：过点P作，如图，
∵，∴，
又∵，∴，，
∴；
（2）解：延长交于点H，如图，∴是的一个外角，
∵，∴，∴在中，，
∴之间存在的数量关系为：；
（3）解：延长交于点H，过点G，作，如图，
∵，∴，∴，
∵平分平分，，
∴，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
23．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位置关系，反过来，直线的位置关系也决定着角的数量关系．根据你的学习经验解决下列问题．(1)如图1，，，，则______°；
(2)如图2，，，，求证：；
(3)用无刻度真尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①如图3，点为直线外一点，直线交于点，过点作直线，使．
②如图4，已知，点为直线外一点，过点作直线，使与所夹锐角为（作出一条符合条件的直线即可）．
【答案】(1)70(2)见解析(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）如图1中，过点E作．证明∠BED=∠B+∠D，可得结论；
（2）过点E作．证明，可得结论；（3）①根据同位角相等，两直线平行，作出图形；
②在的上方作，作直线，再作，即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，过点E作．∵，，∴，
∴，∴．故答案为：；
（2）过点E作．∵，，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∵，∴；
（3）①如图中，直线即为所求；
②如图中，直线即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造平行线解决问题．
24．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图①，，，，求的度数．（2）如图②，，，，求的度数；
（3）如图③，在的条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
【答案】（1）90°；（2）70°；（3）35°
【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数；
（3）在（2）的条件下，根据的平分线和的平分线交于点，可得的度数．
【详解】解；（1）如图，过点作，
两直线平行，内错角相等，已知，
平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
已知，，
，即；
（2）如图，过点作，
两直线平行，内错角相等，
(已知)，平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
；
（3）如图，过点作，
是的平分线，是的平分线，
，，
两直线平行，内错角相等
已知，平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例1．（2023下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则 度．
例2．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是 ．
例3．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．
例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．
例5．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，．
(1)如图1，写出与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，，，与交于点，求的度数．
例6．（2023下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
例7．（2023·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．
（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．
课后专项训练
1．（2023下·四川内江·九年级统考阶段练习）如图，已知直线，，，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，，则的值为（ ）
A．65°B．40°C．20°D．15°
3．（2023下·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为 （ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在多边形中，，，，则的大小的为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·四川·八年级统考期末）已知直线，将以，为两腰的等腰的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图是螳螂的示意图，已知，则的度数为 ．
8．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知 ，，，则的度数是 ．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．
10．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则 ．
11．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、，，平分，平分，在的下方有一点，平分，平分，求的度数为 ．
12．（2023下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ．
13．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，直线分别交，于点，．，分别平分与，交于点，延长交于点，作，交于点，连接．是上一点，连接，，平分交于点，则 ．
14．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线，直线EF与，分别交于点E，F，与的角平分线交于点P，延长交于点G，过点G作交直线于点Q，连接，点M是延长线上的一点，且，若平分交于点N，则的度数为 ．
15．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）如图，，，，求的度数．
16．（2023下·河南信阳·七年级统考阶段练习）如图①，E是直线、内部一点，，连接，。(1)若，，则___________；
(2)猜想图①中、、的关系，并证明你的结论．
(3)如图②，射线与、分别交于点E、F，，a、b、c、d分别是被射线隔开的4个区域（不含边界），其中区域c、d位于直线下方，P是位于以上四个区域上的任意一点，猜想：、、的关系？（选择其中一种情况画出图形，并直接写出结论）
17．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）在综合与实践课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含的直角三角尺（，）．
(1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系．
18．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，求的度数．
（2）如图2，，点P在的上方，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，求的度数．
19．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，点E为直线、所确定的平面内一点．
(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，点在的延长线上，连接、，若，，，求的度数．(3)在（2）的条件下，如图3，过点F作交的延长线于点G，连接，作交于点H，使，当时，求的度数．
20．（2023·四川遂宁·七年级校考阶段练习）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，写出与之间的数量关系并说明原因；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求的值．
21．（2023下·广东惠州·七年级校联考期中）如图，直线，点C是之间（不在直线
上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，请直接写出与之间的数量关系；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求值．
22．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝ °；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）(3)如图③，平分平分，若，则＝ °．
23．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位置关系，反过来，直线的位置关系也决定着角的数量关系．根据你的学习经验解决下列问题．(1)如图1，，，，则______°；
(2)如图2，，，，求证：；
(3)用无刻度真尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①如图3，点为直线外一点，直线交于点，过点作直线，使．
②如图4，已知，点为直线外一点，过点作直线，使与所夹锐角为（作出一条符合条件的直线即可）．
24．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图①，，，，求的度数．（2）如图②，，，，求的度数；
（3）如图③，在的条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例1．（2023下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则 度．
【答案】125
【分析】直接延长交于点，利用平行线的性质得出，再利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：延长交于点，
直线，，
，．故答案为：125．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，解题的关键是正确掌握平行线的性质．
例2．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
，，，
又，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
例3．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．
【答案】当时，，证明见解析
【分析】当时，，证明过程为：过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行公理推论即可得．
【详解】解：当时，，证明如下：
如图，过点作，，
，，
，，．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．
【答案】
【分析】延长交于点，根据可求得度数，进而求得的度数．
【详解】解：延长交于点，如下图：
∵,∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和为是解题关键．
例5．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，．
(1)如图1，写出与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，，，与交于点，求的度数．
【答案】(1)∠BED＋∠D＝120°．见解析(2)100°
【分析】（1）如图①，延长交于点，根据平行线的性质即可得结论；
（2）设，，可得，，，，结合（1）可知，进而可得结论；
【详解】（1）解：（1）结论：，
证明：如图①，延长交于点，∵，，
，，；
（2）解：如图②，，，
即，设，，
，，，，
由（1）知：，，
，，
，答：的度数为；
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和与外角性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
例6．（2023下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：过点C作，如图1，∴，
∵，∴∴，
∵，∴；
（2）解：，理由：过点C作，如图，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，即；
（3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，∴，
∵，∴，∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，由（2）可得：，
∴，即．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
例7．（2023·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．
（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；[拓展变式]．
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得出结论；（2）理由如下：过点作，则，根据平行线的性质可得，，进而得出结论；（3）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而即可求解．
【详解】解：（1）．理由如下：
过点作，则．．
，．
（2）．
理由如下：过点作，则．，．
，．
【拓展变式】过点作，则．
，，
， 故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023下·四川内江·九年级统考阶段练习）如图，已知直线，，，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质求出即可．
【详解】解：如图，
，，，
是的外角，，
，．故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
2．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，，则的值为（ ）
A．65°B．40°C．20°D．15°
【答案】D
【分析】由，根据平行线的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵，∴，；
∴，∴．故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，此类题解答的关键是熟练应用平行线的性质．
3．（2023下·辽宁营口·七年级校联考期中）如图，把含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，其中，直角边和斜边分别与直线相交，如果，且，则的度数为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先过点作，由直线，可得，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案的度数，又由是含有角的三角板，即可求得的度数，继而求得的度数．
【详解】解：过点作，
∵直线，∴，∴，
∵，∴，∴．故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题时注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
4．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在多边形中，，，，则的大小的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，由多边形内角和定理，得，可进一步证得，结合，得．
【详解】解：连接，则，
∵，∴．
又，∴
∴∴．
∵，∴．故选：B
【点睛】本题考查多边形内角和定理，平行线的性质；掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
5．（2023下·四川·八年级统考期末）已知直线，将以，为两腰的等腰的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线与交于点，如图所示，先利用等腰三角形的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求得的度数，再利用平行线的性质求得的度数，即可求得．
【详解】解：设直线与交于点，如图所示，
∵，，∴，
∴中，，
∵，，∴，
∴．故选：
【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线性质的正确运用是解题的关键．
6．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，由三角形内角和可求出，再根据平行得到内错角相等，即可求出答案．
【详解】解：过点作，，，
在中，，
，，，
，，故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
7．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图是螳螂的示意图，已知，则的度数为 ．
【答案】14°
【分析】延长交于D，交于点F，根据平行线的性质得，利用邻补角的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：延长交于D，交于点F，
∵，∴，
∵，∴
又∵∴
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知 ，，，则的度数是 ．
【答案】/92度
【分析】延长交于，由三角形的外角性质得，再由平行线的性质得出即可．
【详解】解：如图，延长交于，
，．
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．
【答案】12
【分析】延长交于点，令与相交于点，由平行线的性质和角平分线的定义，得出，，再利用三角形外角的性质，推出，进而得到，然后利用，即可求出的度数．
【详解】解：如图，延长交于点，令与相交于点，，，
平分，平分，，，，
是的外角，是的外角，，，
，，
，，，故答案为：12
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质等知识，找出角度之间的数量关系是解题关键．
10．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，延长交于点，由对顶角相等可得 ，从而可求得 ，再由平行线的性质可得 ，由邻补角的定义可得 ，利用三角形的外角性质即可求 的度数.解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等.
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：．
11．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、，，平分，平分，在的下方有一点，平分，平分，求的度数为 ．
【答案】/120度
【分析】过点Q作，设，根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，由（1）可知，，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点G，P作，，过点Q作，
∵，∴，
∴，，
∴，，
∵平分，平分，∴，
∴，∵，平分，平分，
∴，设，
∵，∴，
∴，，设，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
12．（2023下·浙江温州·七年级期中）如图，，作如图所示的折线，，，反向延长CG交BF于点F，已知，，则 ．
【答案】
【分析】分别过点M、E、N、F作线段，使得，根据平行线的性质，推出，，进而得到，即可求出的度数．
【详解】解：分别过点M、E、N、F作线段，使得，
，，，，
，，
，
，，
，，，
，，，，
，
，，，即，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，巧妙利用多条平行线找出角度之间的数量关系是解题关键．
13．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，直线分别交，于点，．，分别平分与，交于点，延长交于点，作，交于点，连接．是上一点，连接，，平分交于点，则 ．
【答案】/30度
【分析】利用，分别平分与，证明出，再证明出，求出，，再根据平分，求出，再与相减即可．
【详解】解：，，
，分别平分与，，
，，，
，，，
平分，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行的性质、角平分线的性质垂线的性质等知识点的应用，准确找到角之间的关系并计算是解题关键．
14．（2023下·湖北·七年级黄石市有色中学校联考期末）如图，直线，直线EF与，分别交于点E，F，与的角平分线交于点P，延长交于点G，过点G作交直线于点Q，连接，点M是延长线上的一点，且，若平分交于点N，则的度数为 ．
【答案】/135度
【分析】根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，求出，求出，根据平行线的性质求出，再求出答案即可．
【详解】设，∵平分，∴，
设，∵与的角平分线交于点P，∴，，
∵，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
即，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
15．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）如图，，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出，由两直线平行，同旁内角互补求出，的度数即可求出．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
16．（2023下·河南信阳·七年级统考阶段练习）如图①，E是直线、内部一点，，连接，。(1)若，，则___________；
(2)猜想图①中、、的关系，并证明你的结论．
(3)如图②，射线与、分别交于点E、F，，a、b、c、d分别是被射线隔开的4个区域（不含边界），其中区域c、d位于直线下方，P是位于以上四个区域上的任意一点，猜想：、、的关系？（选择其中一种情况画出图形，并直接写出结论）
【答案】(1)(2)；见解析(3)见解析
【分析】（1）过点作，利用平行线性质即可求出．
（2）过点作，利用平行线性质即可得出结论．
（3）先将点设在其中一个区域，连接，，过点作，利用平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，，，，，
，故答案为：．
（2）证明：如图，过点作，
，，，
，，
（3）证明：如图，点在区域内，连接，，过点作，
，，，，，
，．
证明：如图，点在区域内，连接，，过点作，
，，，，，
，．
证明：如图，点在区域内，连接，，过点作，
，，，，，
，．
证明：如图，点在区域内，连接，，过点作，
，，，
，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，作出合适的辅助线和熟练运用平行线的性质是解题的关键．
17．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）在综合与实践课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含的直角三角尺（，）．
(1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【分析】（1）依据，可得，再根据，，即可得出，进而得到；（2）根据，可得，再根据，即可得到．
【详解】（1）解：，，
又，，，
又，，；
（2）解：，
理由：，，
即，
又，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键．
18．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，求的度数．
（2）如图2，，点P在的上方，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，求的度数．
【答案】（1）的度数为；（2），理由见解答；（3）的度数为
【分析】（1）延长交于点G，利用平行线的性质可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答；（2）设与交于点M，先利用三角形的外角可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，即可解答；（3）利用（2）的结论可得，再利用角平分线的性质可得，，然后利用（2）的结论可，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）延长交于 点G，
∵，∴，∵，∴，
∵是的一个外角，∴，∴的度数为；
（2），理由：如图：设与交于点M，
∵是的一个外角，∴，
∵，∴，∴；
（3）由（2）可得：，∴，
∵平分，平分，∴，，
由（2）得：，
∴，∴的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
19．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知，点E为直线、所确定的平面内一点．
(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，点在的延长线上，连接、，若，，，求的度数．(3)在（2）的条件下，如图3，过点F作交的延长线于点G，连接，作交于点H，使，当时，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）首先延长，证明，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：；
（2）延长，交与，则可求出，然后由三角形内角和定理得出，即可得出；（3）根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，然后根据已知条件和三角形内角和定理即可求得．
【详解】（1）解：证明：延长，交与，如图
，，，，；
（2）延长，交与，如图
，，，，，
，，，
，即；
（3）如图3，，，，
，，，，
，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
20．（2023·四川遂宁·七年级校考阶段练习）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，写出与之间的数量关系并说明原因；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求的值．
【答案】(1)，理由见解析(2)(3)2
【分析】（1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出；
（2）根据（1）中的结论可得，，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得结论．
【详解】（1）解：，理由如下：如图所示，过C作，
∵，∴，∴，，
∴，∴；
（2）解：∵，，∴，
由（1）可知：，
又∵，∴，∴；
（3）解：设，则，
由（1）可得，，∴，
∴，∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，以及三角板中角度的计算，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
21．（2023下·广东惠州·七年级校联考期中）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．(1)若与都是锐角，如图甲，请直接写出与之间的数量关系；
(2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数；(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求值．
【答案】(1)(2)(3)2
【分析】（1）过C作，根据平行线的性质证明即可；
（2）根据（1）的结论可得，再结合平行线性质即可求解；
（3）设，则，结合（1）中结论即可求出．
【详解】（1）解：；
理由：如图，过C作，
∵，∴，∴，
∴．
（2）解：∵，∴，∴ ，
∴由（1）可得，，
∴，∴；
（3）解：设，则，
由（1）可得，，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
22．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝ °；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）(3)如图③，平分平分，若，则＝ °．
【答案】(1)65(2)，见解析(3)120
【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求解即可；（2）延长交于点H，根据三角形外角求解即可；（3）延长交于点H，过点G，作，根据角平分线的性质和平行线的性质求解即可
【详解】（1）解：过点P作，如图，
∵，∴，
又∵，∴，，
∴；
（2）解：延长交于点H，如图，∴是的一个外角，
∵，∴，∴在中，，
∴之间存在的数量关系为：；
（3）解：延长交于点H，过点G，作，如图，
∵，∴，∴，
∵平分平分，，
∴，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
23．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）我们知道两直线的位置关系与角的数量关系存在联系．由角的数量关系可以判定直线的位置关系，反过来，直线的位置关系也决定着角的数量关系．根据你的学习经验解决下列问题．(1)如图1，，，，则______°；
(2)如图2，，，，求证：；
(3)用无刻度真尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①如图3，点为直线外一点，直线交于点，过点作直线，使．
②如图4，已知，点为直线外一点，过点作直线，使与所夹锐角为（作出一条符合条件的直线即可）．
【答案】(1)70(2)见解析(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）如图1中，过点E作．证明∠BED=∠B+∠D，可得结论；
（2）过点E作．证明，可得结论；（3）①根据同位角相等，两直线平行，作出图形；
②在的上方作，作直线，再作，即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，过点E作．∵，，∴，
∴，∴．故答案为：；
（2）过点E作．∵，，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∵，∴；
（3）①如图中，直线即为所求；
②如图中，直线即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造平行线解决问题．
24．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图①，，，，求的度数．（2）如图②，，，，求的度数；
（3）如图③，在的条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
【答案】（1）90°；（2）70°；（3）35°
【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数；
（3）在（2）的条件下，根据的平分线和的平分线交于点，可得的度数．
【详解】解；（1）如图，过点作，
两直线平行，内错角相等，已知，
平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
已知，，
，即；
（2）如图，过点作，
两直线平行，内错角相等，
(已知)，平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
；
（3）如图，过点作，
是的平分线，是的平分线，
，，
两直线平行，内错角相等
已知，平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
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