第一章 三角形 三角形的常见模型 课件苏科版数学八年级上册期末复习

这是一份第一章 三角形 三角形的常见模型 课件苏科版数学八年级上册期末复习，共60页。PPT课件主要包含了探索新知，三角形的定义，三角形的边，三角形的内角，三角形的分类，三角形按边分类，三角形按角分类，试一试，两点之间线段最短，三角形的三边定理等内容，欢迎下载使用。
由3条不在同一直线上的线段,首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
如图，线段AB、BC、AC是三角形的边.
边也可以用a、b、c来表示。顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。
∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
点A、B、C是三角形的顶点.
底边和腰不等的等腰三角形
锐角三角形直角三角形钝角三角形
这些三角形中,有等腰三角形吗?
任意两边之和大于第三边。
任意两边之差小于第三边。
第三边大于两边之差,小于两边之和.
(1)5cm,8cm,2cm (2)3㎝,3㎝,4㎝
(3)5cm,8cm,13cm (4)3.5㎝,7.5㎝,4.5㎝
例1. 下面分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?
3. 已知a、b、c是三角形的三边，且a–1||+(b－2)2=0,那么c的取值范围是多少?
2.一个等腰三角形的两边分别为4和9，这个三角形的周长是多少?
1. 若等腰△ABC周长为26，AB=6,求它的腰长.
在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.
在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中线.
例1. 请画出以下各三角形的角平分线，中线，高线。
如图,∠ACB=90°,AD=BD,DE⊥BC,CF⊥AB,则在△ABC中, 是AB边上的高, 是BC边上的高, 是△ABC的中线 ; 在△BCD中, 是BC边上的高, 是BD边上的高。
例2. 如图,已知直角三角形ABC中∠ACB=90° CD是AB边上的高,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm, 求(1)△ABC的面积; (2)CD的长
三角形的八字模型分为角的八字模型和边的八字模型
如图所示，AC,BD相交于点O,连接AD、BC，证明：∠A+∠D=∠B+∠C.
如图所示，AC,BD相交于点O,连接AD、BC，结论：∠A+∠D=∠B+∠C.
证法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A+∠D=∠AOB∵∠AOB是△BOC的外角∴∠B+∠C=∠AOB∴∠A+∠D=∠B+∠C.
证法二：∵∠A+∠D+∠AOD=180°∴∠A+∠D=180°-∠AOD∵∠B+∠C+∠BOC=180°∴∠B+∠C=180°-∠BOC又∵∠AOD=∠BOC∴∠A+∠D=∠B+∠C.
观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
解析：解法一：（1）利用角的8字模型，如图③，连接CD，∵∠BOC是△BOE的外角，∴∠B+∠E=∠BOC∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1+∠2=∠BOC∴∠B+∠E=∠1+∠2（角的8字模型）∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=∠A+∠ACD+∠ADC=180°
解法二：如图④，利用三角形外角和定理，∵∠1是△FCE的外角∴∠1=∠C+∠E∵∠2是△GBD的外角，∴∠2=∠B+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°
（1）解法一：利用角的8字模型，如图⑤∵∠AOP是△AOB的外角∴∠A+∠B=∠AOP∵∠AOP是△OPQ的外角∴∠1+∠3=∠AOP∴∠A+∠B=∠1+∠3同理可得：∠C+∠D=∠1+∠2∠E+∠F=∠2+∠3.
解法二：利用角的8字模型如图⑥，连接DE,∵∠AOE是△AOB的外角∴∠A+∠B=∠AOE∵∠AOE是△OED的外角∴∠1+∠2=∠AOE∴∠A+∠B=∠1+∠2（角的8字模型）∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F=360°
如图所示，AC,BD相交于点O连接AD,BC。证明：AC+BD＞AD+BC
模型分析：∵OA+OD＞ADOB+OC＞BC以上两式进行相加即可得到OA+OD+OB+OC＞BC+AD即AC+BD＞AD+BC
如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O求证：（1）AB+BC+CD+AD＞AC+BD（2）AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD.
解析：（1）∵AB+BC＞ACCD+AD＞ACAB+AD＞BDBC+CD＞BD以上式子相加即可得到AB+BC+CD+AD＞AC+BD（2）∵AD＜OA+ODBC＜OB+OC两式相加即可得到AD+BC＜OA+OD+OB+OC∴AD+BC＜AC+BD(边的8字模型)同理可证：AB+CD＜AC+BD∴AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD
如图所示，证明∠D=∠A+∠B+∠C
三角形的飞镖模型分为角的飞镖模型和边的飞镖模型
解法一，如图①，作射线AD∵∠3是△ABD的外角∴∠3=∠B+∠1∵∠4是△ACD的外角∴∠4=∠C+∠2∴∠BDC=∠3+∠4∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
解法二：如图②，连接BC∵∠2+∠4+∠D=180°∴∠D=180°-（∠2+∠4）∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°∴∠A+∠1+∠3=180°-（∠2+∠4）∴∠D=∠A+∠1+∠3
如图，在四边形ABCD中，AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M,探究∠AMC与∠B∠D之间的数量关系.
利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长，∵∠3是△AMD的外角，∴∠3=∠1+∠ADM∵∠4是△CMD的外角∴∠4=∠2+∠CDM∵∠AMC=∠3+∠4∴∠AMC=∠1+∠ADM+∠CDM+∠2∴∠AMC=∠1+∠2+∠ADC(角的飞镖模型)|利用四边形的内角和，以及AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB就可以得出2∠AMC+∠B-∠ADC=360°.
如图所示，证明AB+AC＞BD+CD
解析：如图，延长BD交AC于点E∵AB+AC=AB+AE+ECAB+AE＞BE∴AB+AC＞BE+EC∵BE+EC=BD+DE+ECDE+EC＞CD∴BE+EC＞BD+CD综上：AB+AC＞BD+CD
3、如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥CA,并且交AB于E,DF∥BA,交AC于F,∠1与∠2是否相等?为什么?
4、如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）
A．AD B．BE C．BF D．CG
5、已知小敏家距学校5km，小飞家距小敏家3km．若小飞家距学校距离为xkm，则x满足（　　）A．x＝2 B．2≤x≤8 C．2≤x≤5D．2＜x＜8
6、如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图1，求：∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=如图2，求：∠CAD+∠B+∠AC+∠D+∠E=
解析：如图，连接DE∠C+∠CAD=∠1+∠2∠CAD+∠B+∠C+∠ADB+∠BEC=∠B+∠BEC+∠BDA+∠1+∠2=180°如图，连接DE∠ACE+∠CAD=∠1+∠2∠CAD+∠B+∠ACE+∠ADB+∠BEC=∠B+∠BEC+∠BDA+∠1+∠2=180°
1、如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
解析：如图，连接GH,CD∠E+∠B=∠1+∠2∠A+∠F=∠3+∠4∠A+∠B+∠FCH+∠ADG+∠E+∠F+∠DGB+∠EHC=∠1+∠2+∠3+∠4+∠GDA+∠FCH+∠DGB+∠EHC=360°
如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
解析：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115°∠A+∠B+∠F=∠BOF=115°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115°+115°=230°
如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=
解析：如图所示，连接BD∠AED=∠A+∠3+∠1∠BFC=∠2+∠4+∠C∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220°
如图，点O为△ABC内部一点求证：（1）2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;（2）AB+BC+AC＞AO+BO+CO
解析：（1）∵OA+OB＞AB ①OB+OC＞BC ②OC+OA＞AC ③由①+②+③可得2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;（2）如图，延长BO交AC于点E∵AB+AC=AB+AE+ECAB+AE＞BE∴AB+AC＞BE+EC ①∵BE+EC=BO+OE+ECOE+EC＞CO∴BE+EC＞BO+CO ②由①②可得AB+AC＞BO+CO ③(边的飞镖模型)同理可得AB+BCD＞OA+OC④BC+AC＞OA+OB⑤由③+④+⑤得AB+BC+AC＞AO+BO+CO
如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE,求证：AB+AC＞AD+AE
解析：如图，将AC平移至BF,AD延长线于BF相交于点G,连接DF由平移可得AC=BF∵AC∥BF∴∠ACE=∠FBD∵BD=CE∴△AEC≌△FDB∴DF=AE如图，延长AD交BF于点G∵AB+BF=AB+BG+GF∵AB+BG＞AG∴AB+BF＞AG+GF ①∵AG+GF=AD+DG+GF∵DG+GF＞DF∴AG+GF＞AD+DF ②由①②可得AB+AC=AB+BF＞AD+DF=AD+AE∴AB+AC＞AD+AE.