2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足(1+i)z=3+5i(i是虚数单位)，则|z|=( )
A. 15B. 4C. 17D. 5
2.已知圆台O1O上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为( )
A. 8πB. 16πC. 26πD. 32π
3.向量a=(2,1)，b=(1,x)，若a⊥b，则( )
A. x=12B. x=−12C. x=2D. x=−2
4.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为( )
A. π3立方米B. 2π立方米C. 13π6立方米D. 5π2立方米
5.已知向量a=(2,1)，b=(k,3)，且a⋅b=5，则|a−2b|=( )
A. 5B. 65C. 10D. 5 2
6.已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
7.已知a，b∈R，若a2+b+(a−b)i>2(i为虚数单位)，则实数a的取值范围是( )
A. a>2或a<−1B. a>1或a<−2C. −18.已知向量a=(x,1)，b=(4,x)，则“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法错误的是( )
A. 过球心的截面是半径等于球的半径的圆面
B. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
C. 正四棱锥的侧面都是正三角形
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为4πR2B. 圆锥的侧面积为 5πR2
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
11.在△ABC中，AB= 3,B=60∘，若满足条件的三角形有两个，则AC边的取值可能是( )
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A，B，C三点在半径为5的球O的表面上，△ABC是边长为4 3的正三角形，则球心O到平面ABC的距离为______.
13.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为______.
14.在△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点．F为边AB上的点，且AB=3AF，若AD=xAF+yAE，x，y∈R，则x=______，y=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知z1=a+2i，z2=3−4i(其中i为虚数单位).
(1)若z1z2为纯虚数，求实数a的值；
(2)若|z1−z2−|<|z1|(其中z2−是复数z2的共轭复数)，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，PB=5，OB=3.
(1)求圆锥的表面积；
(2)经过圆锥的高PO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积.
17.(本小题15分)
已知平行四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠DAB=60∘，点E是线段BC的中点．
(1)求AB⋅AD的值；
(2)若AF=AE+λAD，且BD⊥AF，求λ的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx−2cs2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2，f(C)=1且C≠π2，求△ABC周长的范围.
19.(本小题17分)
已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求角A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为(1+i)z=3+5i，所以z=3+5i1+i=(3+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=4+i，
所以|z|= 42+12= 17.
故选：C.
利用复数的除法运算求出复数z，再利用模长公式计算即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：圆台O1O上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，
所以圆台的侧面积为S侧=π(r+r′)l=π(1+3)×4=16π.
故选：B.
根据圆台的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆台的侧面积计算问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由于向量a=(2,1)，b=(1,x)，且a⊥b，则2+x=0，解得x=−2.
故选：D.
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题知底面圆的半径r=1，圆柱高h1=2，圆锥高h2=12，
圆柱体积V1=πr2h1=2π，
圆锥的体积V2=13πr2h2=π6，
∴该组合体体积为V=V1+V2=13π6(立方米).
故选：C.
由题知底面圆的半径为r=1，圆柱高h1=2，圆锥高h2=12，代入圆柱、圆锥体积公式，能求出结果．
本题考查圆柱、圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：已知向量a=(2,1)，b=(k,3)，且a⋅b=5，
则2k+3=5，
即k=1，
即b=(1,3)，
则|a|= 5，|b|= 10，
则|a−2b|= a2−4a⋅b+4b2= 5−20+40=5，
故选：A.
先由向量数量积的坐标运算求出k，然后结合向量模的运算求解即可．
本题考查了向量数量积的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则有2πr=π2l，解得l=16.
故选：C.
根据题意，设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数的理解和应用，解题的关键是掌握虚数不能比较大小这个知识点，属于基础题．
利用虚数不能比较大小，得到a2+b+(a−b)i为实数，列式求解即可．
【解答】
解：因为a2+b+(a−b)i>2，
根据虚数不能比较大小，可得a2+b+(a−b)i为实数，
所以a−b=0且a2+b>2，即a2+a−2>0，解得a<−2或a>1.
故选：B.
8.【答案】C
【解析】解：由题意，若a//b，则有x2=4，解得x=±2，
若向量a与b的夹角为锐角，则有a⋅b>0且cs≠1，
所以4x+x>0且x≠2，解得x∈(0,2)∪(2,+∞)，
故“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：C.
将向量夹角为锐角转化为两向量数量积大于0求解，再将两向量同向的情况排除即可判定结论．
本题考查平面向量的夹角与数量积的性质，考查向量的坐标运算及充要条件的判定，属基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，过球心的截面是半径等于球的半径的圆面，故A正确；
对于B，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体，侧棱不一定平行，故B错误；
对于C，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，故C错误；
对于D，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体，还需满足棱延长后交于一点，故D错误．
故选：BCD.
根据已知条件，结合球、棱锥、棱柱、棱台的结构特征，即可求解．
本题主要考查球、棱锥、棱柱、棱台的结构特征，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：依题意球的表面积为4πR2，
圆柱的侧面积为2π×R×2R=4πR2，所以AC选项正确．
圆锥的侧面积为π×R× R2+(2R)2= 5πR2，所以B选项正确．
圆锥的表面积为πR2+ 5πR2=(1+ 5)πR2<4πR2，
圆柱的表面积为4πR2+2πR2=6πR2，所以D选项不正确．
故选：ABC.
根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算即可．
本题主要考查柱体侧面积的计算，锥体侧面积的计算，球的表面积的计算等知识，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：根据题意可得：满足条件的△ABC有两个，可得AB×sinB故选：BC.
根据AB×sinB本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
12.【答案】3
【解析】解：∵A，B，C三点在半径为5的球O的表面上，△ABC是边长为4 3的正三角形，
∴△ABC所在截面圆的半径r=23 (4 3)2−(2 3)2=4，
∴球心O到平面ABC的距离：
d= R2−r2= 25−16=3.
故答案为：3.
△ABC所在截面圆的半径r=23 (4 3)2−(2 3)2=4，由此能求出球心O到平面ABC的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
13.【答案】54π
【解析】解：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，
由题意知：R=r=3，圆柱的高为2R=6，
所以圆柱的体积为πr2×2R=π×9×6=54π.
故答案为：54π.
由题意知球的半径与圆柱底面圆半径相同，写出球的半径，得出圆柱的高，代入体积公式求解即可．
本题考查了旋转体的结构特征与体积公式应用问题，是基础题．
14.【答案】32；1
【解析】解：如图，
根据条件，AD=12(AB+AC)=12(3AF+2AE)=32AF+AE；
又AD=xAF+yAE；
∴x=32,y=1.
故答案为：32,1.
AD为△ABC的中线，从而有AD=12(AB+AC)，带入AB=3AF,AC=2AE便可得到AD=32AF+AE，从而根据平面向量基本定理得到x=32,y=1.
考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及平面向量基本定理．
15.【答案】解：(1)由z1=a+2i，z2=3−4i，
得Z1Z2=a+2i3−4i=(a+2i)(3+4i)25=3a−825+4a+625i.
又因为Z1Z2为纯虚数，所以3a−825=0,4a+625≠0，
所以，a=83.
(2)Z1−Z2−=(a+2i)−(3+4i)=(a−3)−2i，
又因为|Z1−Z2−|<|Z1|，所以|Z1−Z2−|2<|z1|2，
即，(a−3)2+4解得，a>32.
【解析】(1)利用复数运算化简z1z2，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．
(2)化简Z1−Z2−，由|Z1−Z2−|<|Z1|可得(a−3)2+4本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．
16.【答案】解：(1)由题意可知，该圆锥的底面半径r=3，母线l=5，
所以该圆锥的表面积为S=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π；
(2)在Rt△POB中，PO= PB2−OB2= 52−32=4，
因为O′是PO的中点，
所以PO′=2，
则小圆锥的高h′=2，小圆锥的底面半径r′=32，
故截得的圆台的体积V台=V大−V小=13×π×32×4−13×π×(32)2×2=212π.
【解析】(1)利用圆锥的表面积公式求解即可；
(2)先计算出PO的长，从而得到PO′的长，然后利用圆台的体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，由锥体的体积公式求解即可．
本题考查了圆锥的表面积公式的应用，圆台体积的求解，解题的关键是将圆台体积转化为大圆锥与小圆锥的体积进行求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
17.【答案】解法1：
(1)以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0),C(4,2 3),E(3, 3),B(2,0),D(2,2 3)，
AD=(2,2 3),AB=(2,0)，
∴AB⋅AD=4；
(2)AF=AE+λAD,AF=(3+2λ, 3+2 3λ),BD=(0,2 3)，
∵BD⊥AF，∴BD⋅AF=2 3( 3+2 3λ)=0，
∴λ=−12.
法2：
(1)AB⋅AD=|AB|⋅|AD|cs60∘=2×4×12=4；
(2)AF=AE+λAD⇒EF=λAD，所以EF//AD，
因为AB=2，BC=4，∠DAB=60∘，所以AB⊥BD，
而BD⊥AF，
所以F与B重合，
所以λ=−12.
【解析】本题考查向量的数量积、实数值的求法，考查向量数量积公式、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
法一：(1)以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法能求出结果．
(2)AF=AE+λAD,AF=(3+2λ, 3+2 3λ),BD=(0,2 3)，由BD⊥AF，能求出结果．
法2：(1)利用向量数量积公式直接求解；
(2)AF=AE+λAD⇒EF=λAD，从而EF//AD，而BD⊥AF，BD⊥AB，F与B重合，由此能求出结果．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+ 3sinxcsx−2cs2x= 32sin2x−32cs2x−12= 3sin(2x−π3)−12，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为{x|kπ−π12≤x≤kπ+512,k∈Z}；
(2)因为f(C)=1，由(1)得， 3sin(2x−π3)−12=1，解得sin(2C−π3)= 32，
又因为0由正弦定理得，asinA=bsinB=csinC=2 32=4 33，
所以a=4 33sinA，b=4 33sinB，
所以△ABC的周长为a+b+c=4 33sinA+4 33sinB+2
=4 33sinA+4 33sin(2π3−A)+2
=4 33sinA+4 33( 32csA+12sinA)+2
=2 3sinA+2csA+2
=4sin(A+π6)+2，
因为0所以12即△ABC周长的取值范围是(4,6].
【解析】(1)化简f(x)，根据三角函数的图象与性质求出f(x)的单调递增区间；
(2)由f(C)=1，求出C的值，根据正弦定理求出a、b，再求△ABC的周长取值范围．
本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．
19.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理及2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得：a2−b2−bc=c2，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=−12，
又0(2)AD是△ABC的角平分线，∠BAD=∠DAC=π3，
由S△ABC=S△ABD+S△CAD可得12bcsin2π3=12c×AD×sinπ3+12b×AD×sinπ3，
因为b=3，AD=2，即有3c=2c+6，c=6，
故S△ABC=12bcsinA=12×3×6× 32=9 32.
【解析】(1)由已知，根据正弦定理化简已知等式可得a2=b2+c2+bc，由余弦定理可求csA=−12，由A∈(0,π)，可得A的值．
(2)AD是△ABC的角平分线，∠BAD=∠DAC=π3，进而由S△ABC=S△ABD+S△CAD可求b，可求面积．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．