2023-2024学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与角−2024∘4′终边相同的角是( )
A. −404∘4′B. −224∘4′C. 315∘56′D. 675∘56′
2.已知A(1,2)，B(4,3)，C(x,6)，若AB//AC，则x=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
3.在扇形AOB中，∠AOB=2，且弦AB=2，则扇形AOB的面积为( )
A. 2sin2B. 1sin21C. 12sin22D. 2sin1
4.在梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90∘，AD=5，则AD⋅BC=( )
A. 25B. 15C. 10D. 5
5.在△ABC与△A1B1C1中，已知AB=A1B1=x，BC=B1C1= 3，C=C1=π3，若△ABC≌△A1B1C1，则( )
A. x∈(0,32]B. x∈(0, 3)
C. x∈[ 3,+∞)D. x∈[ 3,+∞)∪{32}
6.小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G，两人手臂上的拉力分别为F1，F2，且|F1|=|F2|，F1与F2的夹角为θ，下列结论中正确的是( )
A. θ越小越费力，θ越大越省力
B. 始终有|F1|=|F2|=|G|2
C. 当θ=2π3时，|F1|=|G|
D. 当θ=π2时，|F1|=|G|
7.若α,β,θ∈(0,π2)，且csα=tanα，csβ=β，csθ=sinθ，则α，β，θ的大小是( )
A. α<θ<βB. α<β<θC. β<α<θD. β<θ<α
8.已知f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，0<φ<π.其部分图象如图，则f(π6)=( )
A. −1
B. − 32
C. −12
D. − 22
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列等式恒成立的是( )
A. sin(π+α)=sinαB. cs(α−π2)=sinα
C. sin(−3π2+α)=csαD. tan(π+α)=−tanα
10.已知向量a=(1,2)，|b|=2，|a+b|= 7，则( )
A. a在b上的投影数量是−12
B. b在a上的投影向量是(− 55,−2 55)
C. a与b夹角的正弦值是2 55
D. (4a+b)⊥b
11.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，−π<φ<0).若f(x)在[π6,π2]上上具有单调性，且f(π2)=f(5π6)=−f(π6)= 2，则( )
A. A=2
B. ω=23
C. φ=−π2
D. 当x∈[−π6,3π4]时，f(x)∈[−2, 2]
12.在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，则( )
A. △ABC的周长是5+ 7B. BC边上的中线长 72
C. BC边上的角平分线长6 35D. BC边上的高长3 217
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x∈[0,2π]，满足条件sinx+csx>0的x的集合是______.
14.将函数y=12sin2x的图象上各点向左平移π3个单位长度，再把横坐标缩短为原来的13，得到的图象的函数解析式是______.
15.已知sin(α−5π3)= 33，则cs(19π6−α)=______.
16.在△ABC中，D为BC边上的任一点，若csB=13，AB2=AD2+BD⋅DC，则sinC=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<π2<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为(x, 55)，(1)求2sinβ+5csβ3sinβ−2csβ的值；
(2)若OP⊥OQ，求P的坐标.
18.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，点M为AB中点，点N在BD上，3BN=BD.
(1)设AD=a，AB=b，用a，b表示向量NC；
(2)求证：M，N，C三点共线.
19.(本小题12分)
(1)已知A(−1,0)，B(0,2)，求满足AB⋅AD=5，|AD|2=10的点D的坐标；
(2)设a，b为单位向量，且a⋅b=−12，向量c与a+b共线，求|b+c|的最小值.
20.(本小题12分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccsB=2a−b.
(1)求C；
(2)若b=5,c= 19，求△ABC的面积.
21.(本小题12分)
已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在(π6,5π12)上是单调函数，函数f(x)的图象关于点(π6,0)中心对称，且对任意的x∈R，都有f(x)≤f(5π12).
(1)求f(x)解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)−m(m∈R)在x∈[0,π2]上有两个零点x1，x2，求f(x1+x2)值.
22.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，G为△ABC的重心，AD为BC边上的
中线.
(1)若△ABC的面积为3 32，且∠CGD=60∘，CG=1，求AB的长；
(2)若GB⊥GC，求cs∠BAC的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2024∘4′=−5×360∘−224∘4′，
∴与角−2024∘4′终边相同的角是−224∘4′.
故选：B.
直接由终边相同角的定义求解．
本题考查终边相同角的表示方法，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：A(1,2)，B(4,3)，C(x,6)，
则AB=(3,1)，AC=(x−1,4)，
AB//AC，
则1⋅(x−1)=3×4，解得x=13.
故选：D.
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设扇形的圆心角大小为α(rad)，半径为r，扇形的面积为SAOB=12r2α.
∵∠AOB=2，且弦AB=2，
∴可得：α=2，r=1sin1，
∴扇形的面积为SAOB=12r2α=12×(1sin1)2×2=1sin21.
故选：B.
由已知可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵AD⋅BC=AD⋅(BA+AD+DC)=AD⋅BA+AD2+AD⋅DC，
又∠BAD=∠CDA=90∘，AD=5，
∴AD⋅BA=0，AD⋅DC=0，AD2=25，
则AD⋅DC=25.
故选：A.
由题意得到AD⋅BC=AD⋅(BA+AD+DC)=AD⋅BA+AD2+AD⋅DC，根据向量垂直和模长公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由已知得△ABC有唯一解，AB=A1B1=x，BC=B1C1= 3，C=C1=π3，
因为△ABC≌△A1B1C1，
由正弦定理可知ABsinC=BCsinA，即sinA= 3sinπ3x，
即sinA=32x，A∈(0,2π3)有唯一解，
在同一坐标系内分别作出曲线y=sinA，A∈(0,2π3)和水平直线y=32x，
它们必须有唯一的交点，所以0<32x≤ 32或32x=1，
解得x≥ 3或x=32.
故选：D.
由正弦定理可得sinA的表达式，再由角A的范围，由y=sinA与y=32x的图象可得x的范围．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，由于F1+F2=G，又由|F1|=|F2|，则四边形为菱形，
则有|F1|=|F2|=|G|2csθ2，
对于A，由于|G|不变，则θ越小越省力，θ越大越费力，A错误；
对于B，由于|F1|=|F2|=12|G|csθ2，B错误；
对于C，当θ=2π3时，|F1|=|F2|=|G|2csπ3=|G|，C正确；
对于D，当θ=2π3时，|F1|=|F2|=|G|2csπ4= 2|G|，D错误．
故选：C.
根据题意，由向量的平行四边形法则可得|F1|=|F2|=|G|2csθ2，由此分析选项，即可得答案．
本题考查向量的加法，涉及向量的模，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为若α,β,θ∈(0,π2)，且csα=tanα，csβ=β，csθ=sinθ，
若π4<α<π2，则tanα>1，csα< 22，显然不符合题意，
若π4<β<π2时，0所以0<α<π4，0<β<π4，θ=π4，
由题意可得，α，β可看成y=csx与y=tanx，y=x的交点的横坐标，
结合函数的图象可知，α<β<π4=θ.
故选：B.
由题意可知，0<α<π4，0<β<π4，θ=π4，α，β可看成y=csx与y=tanx，y=x的交点的横坐标，结合函数图象即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，函数图象关于x=0+2π32=π3对称，
故T=4(π3−π12)=π，ω=2，f(x)=sin(2x+φ)，
又2×π3+φ=3π2+2kπ，k∈Z，且0<φ<π，
所以φ=5π6，
所以f(π6)=sin(π3+5π6)=−12.
故选：C.
由已知先求出函数的一条对称轴，结合对称性求出周期，进而可求ω，结合特殊点可求φ，从而可求f(x)，把x=π6代入即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求解y=Asin(ωx+φ)的图象，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：sin(π+α)=−sinα，故A错误；
cs(α−π2)=cs(π2−α)=sinα，故B正确；
sin(−3π2+α)=csα，故C正确；
tan(π+α)=tanα，故D错误．
故选：BC.
直接利用三角函数的诱导公式分析四个选项得答案．
本题考查三角函数的诱导公式，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为a=(1,2)，|b|=2，|a+b|= 7，
所以|a|= 1+4= 5，a2+2a⋅b+b2=7，
即5+4+2a⋅b=7，所以a⋅b=−1，
对于A，a在b上的投影数量是a⋅b|b|=−12，故A正确；
对于B，b在a上的投影向量是a⋅b|a|⋅a|a|=−15a=(−15,−25)，故B错误；
对于C，cs=a⋅b|a||b|=−12 5=− 510，所以sin= 1−(− 510)2= 9510，故C错误；
对于D，因为(4a+b)⋅b=4a⋅b+b2=−4+4=0，所以(4a+b)⊥b，故D正确．
故选：AD.
由平面向量的数量积运算计算可得a⋅b=−1，由投影向量计算可判断A，B；由夹角求法可判断C；由数量积运算计算可判断D.
本题考查平面向量的数量积与夹角，涉及投影向量，向量垂直等，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为f(x)在[π6,π2]上上具有单调性，
所以π2−π6≤πω，
所以0<ω≤3，
因为f(π2)=f(5π6)=−f(π6)= 2，
所以f(x)的图象关于x=5π6+π22=2π3对称，且关于(π3,0)对称，
所以2π3−π3=(k+14)T=(k+14)⋅2πω，k∈Z，
所以ω=6k+32，
故k=0时，ω=32，B错误；
f(x)=Asin(32x+φ)，
因为f(π3)=Asin(π2+φ)=0，即π2+φ=nπ，n∈Z，−π<φ<0，
所以φ=−π2，C正确；
所以f(x)=−Acs32x，
所以f(π2)=−Acs3π4= 22A= 2，
所以A=2，A正确；
所以f(x)=−2cs32x，
当−π6≤x≤3π4时，−π4≤32x≤9π8，−2≤f(x)≤2，D错误．
故选：AC.
由已知结合正弦及余弦函数的单调性，对称性及周期性分别求出ω，φ，再由特殊点的三角函数值可求A，进而可求f(x)，再由余弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了余弦函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：因为在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，
所以由余弦定理可得BC= AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC= 22+32−2×2×3×12= 7，
所以△ABC的周长是2+3+ 7=5+ 7，故A正确；
设BC边上的中线为AD，则2AD=AB+AC，
两边平方，可得4AD2=AB2+AC2+2AB⋅AC=22+32+2×2×3×12，解得|AD|= 192，故B错误；
设BC边上的角平分线为AE，∠BAE=30∘，
则ABAC=BEEC=23，又BE+EC= 7，
所以BE=2 75，在△ABE中，由余弦定理BE2=AB2+AE2−2AB⋅AE⋅cs30∘，可得(2 75)2=22+AE2−2×2×AE× 32，
可得25AE2−50 3AE+72=0，解得AE=6 35或4 35，故C错误；
设BC边上的高为AH，
因为AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，BC= 7，
所以S△ABC=12×2×3× 32=12× 7×AH，解得AH=3 217，故D正确．
故选：AD.
由题意利用余弦定理可得BC的值，即可判断A；
设BC边上的中线为AD，则2AD=AB+AC，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求|AD|= 192，即可判断B；
设BC边上的角平分线为AE，利用角平分线的性质可求BE=2 75，在△ABE中，由余弦定理可得AE的值，即可判断C；
设BC边上的高为AH，利用三角形的面积公式即可判断D.
本题考查了余弦定理，平面向量数量积的运算，角平分线的性质以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13.【答案】{x|0≤x<3π4或7π4【解析】解：sinx+csx= 2sin(x+π4)>0，
则2kπ又x∈[0,2π]，则满足条件sinx+csx>0的x的集合是[0,3π4)∪(7π4,2π].
故答案为：{x|0≤x<3π4或7π4利用正弦函数的图象求解即可．
本题考查三角函数的应用，属于中档题．
14.【答案】y=12cs(6x+π6)
【解析】解：函数y=12sin2x的图象上各点向左平移π3个单位长度，得到函数y=12sin(2x+2π3)的图象，再把横坐标缩短为原来的13，得到函数y=12sin(6x+2π3)=12cs(6x+π6)的图象．
故答案为：y=12cs(6x+π6).
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
本题考查的知识点：函数图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】− 33
【解析】解：由sin(α−5π3)= 33，得sin(α−5π3+2π)= 33，
即sin(α+π3)= 33，
∴cs(19π6−α)=cs(3π+π6−α)=−cs(π6−α)=−sin(α+π3)=− 33.
故答案为：− 33.
由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
16.【答案】2 23
【解析】解：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
因为AB2=AD2+BD⋅DC，
所以AD2=AB2−BD⋅DC，
又由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅csB=AB2+BD2−23AB⋅BD，
所以AB2−BD⋅DC=AB2+BD2−23AB⋅BD，可得−BD⋅DC=BD2−23AB⋅BD，
可得23AB−DC=BD，即2AB=3(BD+CD)=3BC，即c=32a，
所以由余弦定理b2=a2+c2−2accsB=a2+(32a)2−2×a×3a2×13，
可得b=32a=c，
所以sinC=sinB= 1−cs2B= 1−(13)2=2 23.
故答案为：2 23.
化简已知等式可得AD2=AB2−BD⋅DC，结合余弦定理可得c=32a，可求b=32a=c，从而利用同角三角函数基本关系式即可求解sinC的值．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)点Q的坐标为(x, 55)，可得sinβ= 55，csβ=2 55，
所以2sinβ+5csβ3sinβ−2csβ=2 55+10 553 55−4 55=−12.
(2)α=π2+β，csα=cs(π2+β)=−sinβ=− 55，
sinα=sin(π2+β)=csβ=2 55.
P的坐标(− 55,2 55).
【解析】(1)利用三角函数的定义，求解sinβ，csβ，求解2sinβ+5csβ3sinβ−2csβ的值．
(2)通过OP⊥OQ，利用诱导公式求解P的坐标．
本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基础题．
18.【答案】解：(1)由3BN=BD，可得BN=13BD，
则NC=BN−BC=13BD−BC=13(AD−AB)−AD
=−23AD−13AB=−23a−13b；
(2)证明：由题意，
MN=AN−AM=AB+BN−AM=AB+13BD−12AB
=12AB+13(AD−AB)=13AD+16AB=13a+16b，
则NC=−2MN，所以NC//MN，且NC与MN有公共点N，
所以M，N，C三点共线．
【解析】(1)结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解；
(2)根据平面向量的线性运算可得NC=−2MN，即可证明三点共线．
本题考查平面向量的线性运算，考查三点共线的证明，属基础题．
19.【答案】解：(1)设D点坐标为(x,y)，则AB=(1,2),AD=(x+1,y)，
∴x+1+2y=5(x+1)2+y2=10，解得x=2y=1或x=−2y=3，
即点D的坐标为(2,1)或(−2,3)；
(2)由向量c与a+b共线，令c=t(a+b),t∈R，
则b+c=ta+(1+t)b，
而向量a,b为单位向量，且a⋅b=−12，
于是得|b+c|= (ta+(1+t)b)2= (ta)2+2t(1+t)a⋅b+(1+t)2b2= t2+t+1= (t+12)2+34≥ 32(当且仅当t=−12时取“=”)，
所以|b+c|的最小值为 32.
【解析】(1)设D点坐标为(x,y)，则AB=(1,2),AD=(x+1,y)，利用平面向量数量积和模长公式即可求解；
(2)令c=t(a+b),t∈R，则b+c=ta+(1+t)b，利用向量的模长公式和二次函数的性质即可求解．
本题考查了平面向量数量积和模长的计算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵2ccsB=2a−b，
∴2c⋅a2+c2−b22ac=2a−b，即a2+b2−c2=ab，
∴csC=a2+b2−c22ab=12，
∵0∴C=π3；
(2)∵b=5,c= 19，C=π3，
∴由正弦定理bsinB=csinC，可得5sinB= 19 32，可得sinB=5 5738，
∵B为锐角，csB= 1−sin2B= 1938，
∴sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=5 5738×12+ 1938× 32=3 5738，
∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×5× 19×3 5738=15 34.
【解析】(1)由题意利用余弦定理可求csC的值，结合0(2)由题意利用正弦定理可得sinB，利用同角三角函数基本关系式可求csB的值，利用两角和的正弦公式可求sinA的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为函数f(x)的图象关于点(π6,0)中心对称，
所以πω6+φ=kπ，k∈Z，①
因为对任意的x∈R，都有f(x)≤f(5π12)且在(π6,5π12)上是单调函数，
故5πω12+φ=π2+2nπ，n∈Z，②
①-②得，ω=4(2n−k)+2，
又5π12−π6≤12×2πω，
所以0<ω≤4，
所以ω=2，
因为|φ|<π2，
所以φ=−π3，f(x)=sin(2x−π3)；
(2)若函数g(x)=f(x)−m(m∈R)在x∈[0,π2]上有两个零点x1，x2，
则x1与x2关于x=5π12对称，即x1+x2=5π6，
故f(x1+x2)=f(5π6)=sin4π3=− 32.
【解析】(1)由已知结合正弦函数的对称性及单调性即可求解ω，φ，进而可求函数解析式；
(2)结合正弦函数的对称性可求x1+x2，代入即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求解y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了正弦函数对称性的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为点G是△ABC的重心，AD是中线，所以DG=13AD，
由S△ABC=3 32，可得S△GBC=13S△ABC= 32，结合D为BC中点，得S△GDC=12S△GBC= 34.
因为∠CGD=60∘，CG=1，
所以S△GDC=12CG⋅DGsin60∘= 34，即12×1×DG× 32= 34，解得DG=1，
因此△GDC中，CG=DG=CD=1，∠GDC=60∘，
可得∠ADB=180∘−∠GDC=120∘，
因为△ABD中，AD=3DG=3，BD=CD=1，
所以AB2=AD2+BD2−2⋅AD⋅BDcs120∘=9+1−2×3×1×(−12)=13，
可得AB= 13(舍负).
(2)若GB⊥GC，则△GBC是以BC为斜边的直角三角形，可得DB=DC=DG，
设DG=x，则AD=3x，BC=2x，
由AB+AC=2AD，可得(AB+AC)2=4|AD|2，即|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC=4|AD|2…①，
由AC−AB=BC，得(AC−AB)2=|BC|2，即|AB|2+|AC|2−2AB⋅AC=|BC|2…②．
①②相加，得2(|AB|2+|AC|2)=4|AD|2+|BC|2=36x2+4x2=40x2，
所以|AB|2+|AC|2=20x2，即AB2+AC2=20x2，
由余弦定理，得cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=20x2−4x22AB⋅AC=8x2AB⋅AC，
因为AB⋅AC≤12(AB2+AC2)=10x2，所以cs∠BAC≥8x210x2=45，当且仅当AB=AC时，等号成立．
因此，当△ABC中，AB=AC时，cs∠BAC有最小值45.
【解析】(1)根据三角形重心的性质与中线的性质，算出S△GDC= 34，利用面积公式列式算出DG=1，从而得出△GDC是边长为1的等边三角形，由此得到△ABD中，∠ADB=120∘，AD=3且BD=1，进而利用余弦定理算出AB边的长；
(2)由直角三角形的性质，得到DB=DC=DG，设DG=x，则AD=3x，BC=2x，利用向量数量积的运算性质，推导出AB2+AC2=|AB|2+|AC|2=20x2，然后利用余弦定理算出cs∠BAC=8x2AB⋅AC，最后根据基本不等式求出cs∠BAC的最小值．
本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形、三角形的重心的性质、向量数量积的运算性质、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．