2024年福建省厦门市第九中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. 2021B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是2021，
故选A．
2. 下列二次根式中能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【详解】A.，不能与合并，故该选项不符合题意；
B.，不能与合并，故该选项不符合题意；
C.，不能与合并，故该选项不符合题意；
D. ，能与合并，故该选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体是
A. 直三棱柱B. 长方体C. 圆锥D. 立方体
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．
【详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．
故选A．
本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．
4. 一个n边形的内角和为360°，则n等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．
【详解】根据n边形的内角和公式，得：
，
解得n=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的意义可知＜0，可知其在第四象限.
【详解】解：∵
∴点（2，）在第四象限，
故选D.
【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的点的特点，解题关键是明确各象限的点的特点，然后可判断.第一象限的点的特点为（+，+），第二象限的点的特点为（-，+），第三象限的点的特点为（-，-），第四象限的点的特点为（+，-）.
6. 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
【详解】∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=50°，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
7. 如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是（ ）
A. 30，28B. 26，26C. 31，30D. 26，22
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数和加权平均数的定义求解即可.
【详解】解：由图可知，把7个数据从小到大排列为22，22，23，26，28，30，31，中位数是第4位数，第4位是26，所以中位数是26．
平均数是（22×2+23+26+28+30+31）÷7=26，所以平均数是26．
故选B．
【点睛】本题考查中位数和加权平均数的定义及求解，熟练掌握运算方法是解题的关键．
8. 如图，⊙O的直径，若，则劣弧的长为（ ）
A. 2πB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，求出半径的长度和所对的圆心角度数，再利用弧长公式运算求解即可．
【详解】连接，则
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的性质，弧长的运算，熟悉掌握弧长的运算公式是解题的关键．
9. 港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，找出等量关系式：通车前所用时间-通车后所用时间=3，进而得出结论．
【详解】解：由题意，得
．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的实际问题，读懂题意，找到等量关系是解决问题的关键．
10. 已知点，，均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证得点M(m，y3 )是该抛物线的顶点，根据点，，均在抛物线上，可知该抛物线开口向下对称轴是直线x =m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决
【详解】抛物线的对称轴为：，
又，
，
在对称轴上，
当时，是最小值，这与相矛盾，
此情况不存在，
当时，
，
对称轴在，点之间且靠近点，则．
即．
故选B．
【点睛】本题考查抛物线的图像性质，对称轴，熟练掌握抛物线的性质是关键．
二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 2021年厦门中考生大约39700人，这个数字可用科学记数法表示为__________
【答案】3.97×104
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：39700＝3.97×104．
故答案为：3.97×104．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 计算：__________
【答案】0
【解析】
【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数求解即可.
【详解】解：
，
故答案为：0.
【点睛】本题主要考查了零指数幂和特殊角的三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
13. 如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，，交AB于点F，如果，那么菱形ABCD的周长为__________
【答案】8．
【解析】
【分析】由三角形中位线定理可求BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．
【详解】解：∵E是AC中点，且EF//BC，交AB于点F，
∴，
∴AF=BF，且AE=CE，
∴点F是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
∵，
∴BC=2，
∴菱形ABCD的周长=2×4=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较简单．
14. 在一个不透明袋子中装有2个白球，3个黑球和若干个红球，他们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球是白球的概率为，则摸出一个球是黑球的概率为_____
【答案】
【解析】
【分析】设红球的个数为x，根据白球的概率为 求得红球的个数，再根据概率公式即可求得黑球的概率．
【详解】解：设红球的个数为x，
根据题意，得：，
解得：x=5，
经检验x=5是原分式方程的解，
∴摸出一个球是黑球的概率为，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是__________
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则或；
③若点在双曲线的图像上，则关于x的方程是倍根方程
【答案】①②③
【解析】
【分析】①根据倍根方程定义即可得到方程x2+3x+2=0是倍根方程；②根据倍根方程定义得到x1，x2，化简可得结论；③根据已知条件得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得到方程的根；
【详解】解：①x2-3x+2=0，
（x-1）（x-2）=0，
x1=1，x2=2，
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程；
故①正确；
②解方程（x-2）（mx-n）=0，
得：x1=2，x2=，
∵（x-2）（mx-n）=0是倍根方程，
∴2=或4=，
即m=n或n=4m，
故②正确；
③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，
∴pq=2，
解方程px2+3x+q=0得：x1= ，x2= ，
∴x2=2x1，
故③正确；
故答案为①②③．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
16. 如图，菱形ABCD中，，顶点A，C在双曲线上，顶点B，D在双曲线上，且BD经过点O．若，则菱形ABCD面积的最小值是___________．
【答案】4
【解析】
【分析】先构造出COM∽△OBN，得出，再判断出△BCD是等边三角形，得出OC=OB，进而得出OM=BN，CM=ON，设点B的坐标为（m，），求出C（，m），进而得出k1=-3k2，进而求出k1=3，k2=-1，进而求出OB，OC，最后得出S菱形ABCD=2(m-)2+4，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，连接OC，
∴∠OMC=∠BNO=90°，
∴∠COM+∠OCM=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠COM+∠BON=90°，
∴∠OCM=∠OBN，
∴△COM∽△OBN，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵OC⊥BD，
∴OC=OB，
∴，
∴OM=BN，CM=ON，
设点B的坐标为（m，），
∴BN=m，ON=，
∴OM=m，CM=×(-)=，
∴C（，m），
∵点C在反比例函数y=图象上，
∴×m=k1，
∴k1=k2，
∵k1+k2=2，
∴k1=3，k2=-1，
∴，，
∴，
∴S菱形ABCD=2×BD•OC=2OB•OC
.
，
∴当m=时，S菱形ABCD最小=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，构造出相似三角形是解本题的关键．
三．计算题：本大题共1小题，共10分．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
【答案】（1）45°；（2）12.5.
【解析】
【分析】（1）由旋转性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．
【详解】（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB=10，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5，
由平移的性质得，CG=AE=12.5．
【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键．
四、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可．
【详解】
由①得
解得：
由②得
∴不等式组的解集为
【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19. 已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，AE=CF．求证： EB∥DF
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，可得AB∥CD，AB=CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FCD=∠EAB，由已知AE=CF，可证得△FCD≌△EAB（SAS），所以EB=DF．
【详解】证明：连接BD,交AC于点O
∵
∴AO=CO,BO=DO
∵AE=CF
∴EO=FO
∴四边形EBFD是平行四边形
∴EB∥DF
20. 先化简，再求值：
，其中
【答案】，
【解析】
【分析】先把括号里分式通分，后变除法为乘法，因式分解后进行约分即可，将a的值代入.
【详解】原式=
=
，
当时，原式.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，按照运算顺序，通分，因式分解，约分是解题的关键.
21. 孔雀鱼凭借其华丽的外观，皮实易养的特性，得到了鱼友们的广泛好评．同时，孔雀鱼是卵胎生鱼，号称“百万鱼”，又说明了其容易繁殖且繁殖率高．但初生的孔雀鱼小鱼苗，体质差，抵抗力差，对水温、水质的变化极为敏感，因此，极易因水环境动荡生病，或是受到外界寄生虫、病菌的侵扰而患病．从孔雀鱼的出生到成年，需要三个月左右，成年后即可出售．下表记录的是在相同的条件下初生的小鱼苗的数量与饲养三个月后存活的可出售的成年鱼数量：
若饲养9000尾该品种初生的孔雀鱼小鱼苗，请估计三个月后存活的可出售的成年鱼数量．
【答案】三个月后存活的可出售的成年鱼数量约为4050尾
【解析】
【分析】先计算出三个月存活的可出售的成年鱼的存活率，然后计算三个月后存活的可出售的成年鱼数量即可.
【详解】解：由题意可得：三个月三后存活的可出售的成年鱼的存活率，
∴饲养9000尾该品种初生的孔雀鱼小鱼苗，三个月后存活的可出售的成年鱼数量尾，
答：三个月后存活的可出售的成年鱼数量约为4050尾.
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，大量重复试验下频率的稳定值即概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22. 如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点．若，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】相交，理由见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质即圆的性质，证明，从而得，根据已知条件直线BC与⊙O相交，即可判断与⊙O的位置关系
【详解】相交，理由如下：
如图，连接，
，
，，
，
，
，
，，
（SAS），
，
直线BC与⊙O相交，
，
．
直线与⊙O相交．
线CD与⊙O的位置关系是：相交．
【点睛】本题考查了圆的性质，三角形全等的性质与判定，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
23. 如图，四边形ABCD是矩形
（1）尺规作图：在图8中，求作AB的中点E（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CE，DE,若, 求证：CE平分∠BED

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）作AB的垂直平分线即可得到AB的中点E，E点即为所求;(2)先利用勾股定理求出DE=2，再利用平行线的性质可得出结果.
【详解】如图，四边形ABCD是矩形
了
（1）正确作出AB的垂直平分线
下结论：点E为所求
（2）∵E是AB的中点
∴AE=
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°
AB=CD=2
∴
∴DE=DC
∴∠DEC=∠DCE
∵AB∥CD
∴∠CEB=∠DCE
∴∠CEB=∠DEC
∴CE平分∠BED
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
24. 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第（天）的利润为（元），求与（）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．
【答案】（1）10%；（2）当时，；当时，；第10天时销售利润最大
【解析】
【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比．
【详解】（1）设该种水果每次降价的百分率是，依题意，得：
解得或（不符合题意，舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当时，第1次降价后的价格：元，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值，（元），
当时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，（元）
∵380＞334.3
∴第10天时销售利润最大；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．
25. 已知二次函数（m是常数），如果二次函数的图像经过原点
（1）求m的值；
（2）若，二次函数图像与x轴的另外一个交点为A，抛物线上是否存在点B，使得，如果存在，请求出点B坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若，点是一次函数的图像上的一点，点在二次函数图像上，当时，求线段PQ的最大值
【答案】（1）；（2）存在，或者；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意令，解关于的一元二次方程即可求得；
（2）设，由勾股定理列出方程，求得，进而求得点的坐标；
（3）根据题意分类讨论，先求得的纵坐标，当时，点在点的上方，当时，点在点的下方，进而根据关于的二次函数求得最大值即可．
【详解】（1）二次函数的图像经过原点，
，令，得：
，
，
解得；
（2）存在，理由如下：
，
，
二次函数解析式为，
二次函数图像与x轴的另外一个交点为A，
令，解得，
，
若抛物线上存在点B，使得，
则，
设，
则，，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
解得，
当时，，
当时，，
或者，
（3），
，
二次函数解析式为，
点是一次函数的图像上的一点，点在二次函数图像上，
则，
如图，设一次函数与二次函数交于点，
，
解得，
当或者时，两点重合，
当时，点在点的上方，
，
当时，的最大值为，
当时，点在点的下方，
，
当时，取得最大值为4，
当时，线段PQ的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，根据二次函数的性质求最值是解题的关键．初生的小鱼苗的数量（尾）
100
1000
10000
100000
三个月后存活的可出售的成年鱼数量（尾）
46
445
4506
45002
时间（天）
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
储存和损耗费用（元）