人教版七年级数学下册重难点专题提升专题11二元一次方程组解法重难点题型分类专训(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升专题11二元一次方程组解法重难点题型分类专训(原卷版+解析)，共79页。
题型一 “消元法”解二元一次方程组
题型二 二元一次方程组的特殊解法重难点题型
题型三 二元一次方程组的错解还原重难点题型
题型四 构造二元一次方程组求解重难点题型
题型五 已知二元一次方程组的解求参数
【知识梳理】
二元一次方程：
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
（3）二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
2.二元一次方程组的定义：
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
3.二元一次方程组的解法：
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
【经典题型一 “消元法”解二元一次方程组】
1．（2022秋·四川成都·八年级校考期末）用适当的方法解下列方程组．
(1)； (2)．
2．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）解方程组：
(1) (2)
3．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：
(1) (2) (3) (4)
4．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：
(1)． (2)． (3)． (4)
5．（2023春·七年级课时练习）解下列方程组：
(1)； (2)．
6．（2023春·七年级课时练习）解二元一次方程组．
(1) (2)
7．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）解方程组：
(1) (2) (3)
8．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：．
9．（2023春·七年级课时练习）解方程组
10．（2022秋·湖南怀化·七年级校考阶段练习）解方程组
(1) (2)
【经典题型二 二元一次方程组的特殊解法重难点题型】
11．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）已知实数满足．
（1）若，则______；
（2）若为一对连续的偶数，则______．
12．（2021春·浙江宁波·七年级校联考期中）若方程组的解是，求方程组的解．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下．
解：将方程②变形，得．
将①代入③，得．
解这个方程，得．
把代入①，得．所以原方程组的解为
嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题．
(1)解方程组
①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________；
②原方程组的解为____________________；
(2)解方程组
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
16．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
(2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设．
原方程组可化为．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
(1)若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案）
(2)已知方程组，求x，y的值．
18．（2023春·七年级课时练习）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①-②得即③，
③得④，
②-④得，
解得：
把代入③得：
解得：
∴方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法解方程组
(2)猜测关于x，y的方程组的解是什么，并通过解这个方程组加以验证．
19．（2022春·四川南充·七年级统考期末）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举
解：①-②，得，即．③
②-③×24，得．
把代入③，解得．故原方程组的解是．
(1)请利用上述方法解方程组．
(2)猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验．
20．（2023春·七年级课时练习）【阅读材料】解二元一次方程组：
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数，
可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y ③
把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5，
∴原方程组的解是. 这样运算显得比较简单.
解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8，
∴ x＝8－y ③，
把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119，
解得y＝3，
把y＝3代入③，得x＝5.
∴原方程组的解是.
【学以致用】
(1)填空：由二元一次方程组，可得x＋y＝__________；
(2)解方程组：
【拓展提升】
(3)当m≠－时，解关于x，y的方程组.
【经典题型三 二元一次方程组的错解还原重难点题型】
21．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得求原方程组的正确解．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到了方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求原方程组的解．
23．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．若按正确的a、b计算，求原方组的解．
24．（2022秋·八年级课时练习）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
25．（2023春·全国·七年级专题练习）学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程，去分母时-1项忘记乘以6，得该方程的解为，乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为，试求的值．
26．（2021春·山东淄博·七年级统考期中）已知方程组甲由于看错了方程（1）中的，得到方程组的解为是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的，得到方程组的解为是方程（1）的解．若按正确的计算，求的值．
27．（2022秋·全国·八年级专题练习）完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．
28．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
试计算：的值．
29．（2020春·山东德州·七年级统考期末）（1）解方程组 ；
（2）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，解得 ，乙看错了方程组中的b，解得，求出原方程组的正确解．
30．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组时，一学生把 c 看错而得到，而正确的解是，求a，b，c 的值．
【经典题型四 构造二元一次方程组求解重难点题型】
31．（2022春·重庆江津·七年级校联考阶段练习）对于x、y定义一种新运算☆，规定：x☆y=ax+by(其中a、b均为非零常数)，例如：1☆0=a×1+b×0=a.已知：－1☆1=－1，2☆2=6
(1)求a、b的值；
(2)在（1）的条件下，若关于x、y的方程组的解满足，求m的值．
32．（2022秋·河南新乡·八年级校考阶段练习）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．
（1）求正确的a、b的值；
（2）计算这道乘法题的正确结果．
33．（2022秋·山东泰安·八年级东平县实验中学校考阶段练习）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形（），图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）观察图1、图2，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，可以获得一个因式分解公式，则这个公式是_______；
（2）如果大正方形的边长比小正方形的边长多3，它们的面积相差57，试利用（1）中的公式，求，的值．
34．（2020·浙江杭州·模拟预测）将多顶式分解因式，说明多顶式有一个因式为，还可知：当时．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式有一个因式为，求的值；
（2）若，是多项式的两个因式，求、的值．
35．（2022春·湖南常德·七年级统考期末）阅读下列解答过程：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为
则，，
∴，∴
∴另一个因式为，m的值为-21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．
36．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知数轴上的点A、B对应的数分别是－5和1．
(1)若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；
(2)动点P从点A出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，试求P点与Q点的运动速度（长度单位/秒）
37．（2023春·江苏·七年级专题练习）如果多项式分解因式的结果为，则当时可得，此时可把代入中得出．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式有一个因式为，求的值；
(2)若，是多项式的两个因式，求、的值．
38．（2023·全国·七年级专题练习）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
(2)请自行写出一个除上述你方程外的“和解方程”：______
(3)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
39．（2022秋·山东淄博·九年级校考阶段练习）仔细阅读下面倒题．解答问题：
例题：已知二次三项式，分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值．
解：方法：设另一个因式为（x+n），
得＝（x+3）（x+n），
则．
∴，解得．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照以上方法解答：已知二次三项式分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值．
40．（2022春·内蒙古乌兰察布·七年级统考期末）阅读学习∶
已知实数m，n满足m＋n = 5且，求k的值．
行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路∶
甲同学∶直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值．
乙同学∶观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学∶组合法，先解方程组，再求k的值．
解决问题∶
(1)选择其中一名同学的思路，解答此题．
(2)已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值．
【经典题型五 已知二元一次方程组的解求参数】
41．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的正整数解___________．
(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．
(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
42．（2022春·江西赣州·七年级校考期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
43．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组(n是常数)．
(1)当n=1时，则方程组可化为
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗?
(3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
44．（2022秋·八年级课时练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为______；
(2)如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于，的方程组与有相同的解，求，的值．
45．（2022秋·八年级课时练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论t取什么实数，的值始终不变；
④若，则z的最小值为．
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
46．（2022·全国·七年级假期作业）已知关于x，y的二元一次方程（a为实数）
（1）若方程组的解始终满足，求a的值；
（2）已知方程组的解也是方程的解
①探究实数a，b满足的关系式；②若a，b都是整数，求满足①中所有整数a、b的值．
47．（2020春·江苏泰州·七年级统考期末）已知二元一次方程（、均为常数，且）
（1）当时，用的代数式表示；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与的取值无关，请求出这个解．
48．（2020春·江苏苏州·七年级校考期末）(本题满分9分) 已知关于、的二元一次方程组 (为常数) ．
(1)求这个二元一次方程组的解(用含的代数式表示)；
(2)若方程组的解、满足，求的取值范围；
(3)若，直接写出的值；
(4)若，设且是负整数，求的值．
49．（2022秋·全国·七年级专题练习）规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b-a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5-3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”．
(1)若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值；
(2)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值；
(3)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和-2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式的值．
50．（2022·全国·七年级假期作业）阅读下列材料：我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，由2，3互质，可知：为3的倍数，将，代入得．所以的一组正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程的一组正整数解_______；
（2）若为自然数，则满足条件的正整数的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．
专题11 二元一次方程组解法重难点题型分类专训
【题型目录】
题型一 “消元法”解二元一次方程组
题型二 二元一次方程组的特殊解法重难点题型
题型三 二元一次方程组的错解还原重难点题型
题型四 构造二元一次方程组求解重难点题型
题型五 已知二元一次方程组的解求参数
【知识梳理】
二元一次方程：
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
（3）二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
2.二元一次方程组的定义：
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
3.二元一次方程组的解法：
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
【经典题型一 “消元法”解二元一次方程组】
1．（2022秋·四川成都·八年级校考期末）用适当的方法解下列方程组．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）①式代入②求出，再把代入①得，从而可得出方程组的解；
（2）求出，再把代入①得，从而可得出方程组的解
【详解】（1）
将①代入②，，
解得，，
把代入①得，，
∴原方程组的解为．
（2），
，得，，
解得，．
将代入①：
解得，，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，基本思想是“消元”，基本方法是“代入消元法”和“加减消元法”
2．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据代入消元法直接解二元一次方程组即可得到答案；
（2）先将方程系数化为整数，再根据加减消元法解二元一次方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：，
由①得，
将③代入②得，即，解得，
，
原方程组的解为；
（2）解：，
整理得，
由①②得，解得，
，解得，
原方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的特征恰当选择消元法解方程组是解决问题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用加减消元法直接计算即可得到答案；
（2）利用加减消元法直接计算即可得到答案；
（3）利用代入消元法直接计算即可得到答案；
（4）利用加减消元法直接计算即可得到答案．
【详解】（1）解：①+②得：，
∴，
将代入②得：，
∴，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，①＋②得，
∴，
把代入②，得，
∴原方程组的解是；
（3）解：，
把①代入②得：
，
∴；
将代入①得，
∴方程组的解为；
（4）解：，
将①化简得： ③，
②+③，得，
将代入②，得，
∴．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是根据方程组选择合适的方法求解，在加减及代入过程中注意符合选择．
4．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（3）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（4）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
【详解】（1）解：
①+②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为：．
（2）解：
，得．
把代入①，得．
∴原方程组的解为．
（3）解：整理方程组得，
①×2﹣②得，解得：，
把代入①得，解得：，
∴方程组的解为．
（4）解：整理方程组得：，
由①得：③，
将③代入②得：，解得：，
将代入③得：，
则方程组得解为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可；
（2）先化简方程组，根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
【详解】（1）解：
得，③，
得，，
解得，
把代入①得，
解得，
所以方程组的解为；
（2）原方程组可以化为：
，
得，
把代入①得，
解得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答，第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法，解题的关键是根据方程的特点选用合适的方法．
6．（2023春·七年级课时练习）解二元一次方程组．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先整理方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
整理得：，
得，
解得：，
把代入解得：，
所以方程组的解为；
（2）解：
由①得③
把③代入②得：，
解得：
把代入①解得：，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，利用消元思想，消元的方法为：代入消元法和加减消元法．
7．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用加减消元法解方程组即可
（2）用加减消元法解方程组即可
（3）用代入法和加减消元法解方程组即可
【详解】（1）∵，
∴得：，
解得：，
将代入①可得：，
故原方程组的解是
（2）∵，
∴①可化为：，
得：，
解得：，
将代入②得：，
故原方程组的解是
（3）∵，
∴将③分别代入①和②可得：
，
得：，
解得：，
将代入③得：，
将，代入①可得：，
故原方程组的解是
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入法是解题的关键
8．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法求解．
【详解】解：，
，得，
即，
，得，
即，
联立，
解得．
【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据所给方程特点，选择合适的消元方法是解题的关键．
9．（2023春·七年级课时练习）解方程组
【答案】
【分析】先用加减消元法消去z，变为关于x、y的二元一次方程组，解三元一次方程组即可．
【详解】解：，
②①，得：，
③②，得：，
解方程组，
得：，
将代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用消元法把三元化为二元，再解二元一次方程组．
10．（2022秋·湖南怀化·七年级校考阶段练习）解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据代入消元法计算即可；
（2）根据加减消元法和代入消元法计算即可．
【详解】（1）解：，
由可得：，
把代入，可得：，
解得：，
把代入，可得：，
∴这个方程组的解集为：；
（2）解：，
由，可得：，
把代入，可得：，
把代入，可得：，
∴这个方程组的解集为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解本题的关键．
【经典题型二 二元一次方程组的特殊解法重难点题型】
11．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）已知实数满足．
（1）若，则______；
（2）若为一对连续的偶数，则______．
【答案】
【分析】（1）联立和，即可求解；（2）由题意可得：，联立即可求解．
【详解】解：（1）由可得：，
由，可得：
即，
∴；
（2）由题意可得：，则，
由，可得，
解得，
∴
故答案为：，
【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，代数式求值，解题的关键是根据题意，正确得到相应代数式的值，利用整体代入的思想求解．
12．（2021春·浙江宁波·七年级校联考期中）若方程组的解是，求方程组的解．
【答案】方程组的解为
【分析】将第二个方程组变形为第一个方程组的形式，从而得到，求出的值即可得到答案．
【详解】解：将方程组的两个方程的两边同时除以4，得
，
方程组的解是，
，
解得：，
方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能根据题意得出关于的方程组是解题的关键．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【答案】我最欣赏乙同学的解法，，理由见解析
【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出的值，分析简便的原因．
【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，
，
得：，
整理得：，
代入得：，
解得：，
这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．（2023春·浙江·七年级专题练习）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下．
解：将方程②变形，得．
将①代入③，得．
解这个方程，得．
把代入①，得．所以原方程组的解为
嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题．
(1)解方程组
①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________；
②原方程组的解为____________________；
(2)解方程组
【答案】(1)①；②
(2)原方程组的解为
【分析】（1）结合已知条件，可知把方程①代入方程②，则方程②变为，进行求解即可；
（2）利用条件中给出的“整体换元法”，先将①进行变形为，再进行整体换元解方程即可．
【详解】（1）解：把方程①代入方程②，则方程②变为，
解得：，
将代入①，得，
∴原方程组的解为；
（2）由题意可知：①×2得：，
将③代入②，得，
解得：，
将代入①，得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程解法中的特殊方法：整体换元法，重点在于找出“整体”进行消元，部分题型需要先进行转化，再进行整体换元．
15．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
（2）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组可化为，
解得：，
∴，
两式相加得，将代入中，求得，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：，，
原方程组可化为
，
依题意，得
，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
16．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
(2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
（2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；
（3）根据两个方程组有相同的解求出的值，继而求出的值即可得．
【详解】（1）解：，
由①②得：，
解得，
由②①得：，
解得，
则方程组的解为，
故答案为：．
（2）解：由（1）得：，
解得，
即原方程组的解为，
故答案为：．
（3）解：关于的方程组与有相同的解，
，
解得，
将代入方程得：，解得，
将代入方程得：，解得，
则，
解得．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设．
原方程组可化为．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
(1)若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案）
(2)已知方程组，求x，y的值．
【答案】(1)；
(2)x=4，y=3．
【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题．
（2）根据题意，利用换元法解决此题．
【详解】（1）解：由题意知，a+b=1，a-b=2．
得．
故答案为：
（2）设．
原方程组可化为．
解得．
即．
解得，x=4，y=3．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，理解阅读材料，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
18．（2023春·七年级课时练习）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①-②得即③，
③得④，
②-④得，
解得：
把代入③得：
解得：
∴方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法解方程组
(2)猜测关于x，y的方程组的解是什么，并通过解这个方程组加以验证．
【答案】(1)见解析
(2)，过程见解析
【分析】（1）仿照题干解法，①﹣②得x-y＝1③，②﹣③×2020，得2x＝1，解出x的值，代入③求出y值；
（2）由题干及（1）的答案猜测方程组的解为，①﹣②得（m﹣n）x-（m﹣n）y＝m﹣n，即x-y＝1③，②﹣③×（n﹣1），得2x＝1，解出x的值，代入③求出y值．
【详解】（1）解：
①﹣②，得x-y＝1③，
②﹣③×2020，得2x＝1，
解得：x＝0.5，
把x＝0.5代入③，得0.5-y＝1，
解得：y＝- 0.5，
∴原方程组的解是；
（2）解：方程组 的解是．
证明如下：
，
①-②，得（m﹣n）x-（m﹣n）y＝m﹣n，
∵m≠n
∴m﹣n≠0
∴x-y＝1③，
②﹣③×（n﹣1），得2x＝1，
解得：x＝0.5，
把x＝0.5代入③，得0.5-y＝1，
解得：y＝- 0.5，
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，分析所给方程组的特点，仿照题干中的解法是解题的关键．
19．（2022春·四川南充·七年级统考期末）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举
解：①-②，得，即．③
②-③×24，得．
把代入③，解得．故原方程组的解是．
(1)请利用上述方法解方程组．
(2)猜想并写出关于x，y的方程组的解，并加以检验．
【答案】(1)
(2)，检验见解析
【分析】（1）分析题干中的信息，应用计算即可；
（2）应用题干信息猜想答案，检验是否是方程组的解，将解代入两个方程分别计算，若两个方程的左边=右边，即说明是方程组的解．
（1）解：①-②，得，即③②-③×11，得．把代入③，解得．故这个方程组的解是．
（2）猜想方程组解是．检验：把方程①的左边，左边，右边，∴左边=右边，∴方程①的解．把代入方程②的左边，左边，右边，∴左边=右边，∴是方程②的解．∴，是方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的新解法，整体换元思想和理解应用是本题的关键．
20．（2023春·七年级课时练习）【阅读材料】解二元一次方程组：
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数，
可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y ③
把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5，
∴原方程组的解是. 这样运算显得比较简单.
解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8，
∴ x＝8－y ③，
把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119，
解得y＝3，
把y＝3代入③，得x＝5.
∴原方程组的解是.
【学以致用】
(1)填空：由二元一次方程组，可得x＋y＝__________；
(2)解方程组：
【拓展提升】
(3)当m≠－时，解关于x，y的方程组.
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料中介绍的方法，解二元一次方程组，通过①+②得：．
（2）观察原方程组，发现两式相加不能简化，所以将两式相减．解二元一次方程组，通过①-②，化简可得：，所以．将③代入①中，即可解出，则．所以原方程组的解为
（3）观察原方程组，选择两式相减．解二元一次方程组，通过①-②，化简可得：，所以．将③代入①中，整理可得：．当时，即可解出，则．所以原方程组的解为
【详解】（1）解：
由①+②得：，即
故答案为：2．
（2）解：
由①-②得：
把③代入①得：
解得：
把代入③得：
原方程组的解为
（3）解：
由①-②得：，即：
把③代入①中得：
即
当时，可解得
把代入③得：
原方程组的解为
【点睛】本题主要考查知识点为：二元一次方程组的解法，分为代入消元法和加减消元法．同时，本题的关键要仔细阅读材料，理解材料中的做题思路和方法．只有在理解材料中的方法之后，才能更有效快捷的做出后面的问题．所以掌握二元一次方程组的解法、认真审题，认真思考材料中的方法，是解决此类题的关键．
【经典题型三 二元一次方程组的错解还原重难点题型】
21．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得求原方程组的正确解．
【答案】
【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可．
【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得
∴，
解得，
∵乙看错了方程②中的b，解得
∴，
解得，
∴原方程组为，
由①得③，
把③代入②得，解得，
将代入③得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到了方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意将x＝2，y＝代入方程②可得b的值，将x＝2，y＝﹣1代入方程①可得a的值，进而可得结果；
（2）结合（1）将a和b的值代入原方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：
将x＝2，y＝代入方程②，得
，
解得b＝4，
将x＝2，y＝﹣1代入方程①，得
2a﹣3＝1，
解得a＝2，
∴；
（2）由（1）知方程组为：
，
①×2-②，得
y＝，
把y＝代入②得，x＝，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，掌握加减消元法是解题的关键．
23．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．若按正确的a、b计算，求原方组的解．
【答案】
【分析】将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，得到关于的方程组，解这个方程组求出的值从而确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到正确的解．
【详解】解：根据题意，可知满足方程②，满足方程①，
则，
解得，
原方程组为，
解得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
24．（2022秋·八年级课时练习）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
25．（2023春·全国·七年级专题练习）学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程，去分母时-1项忘记乘以6，得该方程的解为，乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为，试求的值．
【答案】．
【分析】甲同学在解方程，去分母时-1项忘记乘以6，则所得方程是：3(x+3)-1=x+a，把x=-3代入即可求得a的值；把乙的结果代入方程3x+2by=3求出b的值，即可求解．
【详解】解：甲同学在解方程，去分母时-1项忘记乘以6，
则所得方程是：3(x+3)-1=x+a，
把x=-3代入3(x+3)-1=x+a，得：a=2；
乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为，
把代入3x+2by=3得：6+6b=3，
解得：，
则．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及一元一次方程的解．注意：方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
26．（2021春·山东淄博·七年级统考期中）已知方程组甲由于看错了方程（1）中的，得到方程组的解为是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的，得到方程组的解为是方程（1）的解．若按正确的计算，求的值．
【答案】16
【分析】根据题意，将，代入（2），通过求解一元一次方程，得；同理，计算得；再求解二元一次方程组，结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】将，代入（2）得：，
∴；
将，代入（1）得：，
∴，
∴原方程组为
①×10+②得：，
∴
把代入①得：
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的性质，从而完成求解．
27．（2022秋·全国·八年级专题练习）完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．
【答案】（1）m=9；（2）a=3，b=-2
【分析】（1）根据x、y的值相等得到x=y，结合3x+2y=1求出x和y的值，再代入中求出m值；
（2）甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的b写成了相反数，把他解得答案代入方程，求a、b的值．
【详解】解：（1）∵的解x、y的值相等，
∴x=y，代入3x+2y=1中，
∴，代入中，
则，
解得：m=9；
（2）由题意得：
把代入3x+by=5，
得：9+2b=5，
解得：b=-2，
因为乙将一个方程中的b写成了相反数，
所以把b=2代入方程组得：ax+2y=1，
把代入方程ax+2y=1得：a=3．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．
28．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
试计算：的值．
【答案】0
【分析】将代入方程组的第二个方程，将代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，代入即可求出所求式子的值．
【详解】解：将代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2，即b=10；
将代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=-1，
则=1-1=0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
29．（2020春·山东德州·七年级统考期末）（1）解方程组 ；
（2）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，解得 ，乙看错了方程组中的b，解得，求出原方程组的正确解．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先化简原方程组中的两个方程，再根据加减消元法求解即可；
（2）将 代入方程4x－by=－2可求出正确的b，将代入方程ax+5y=15可求出正确的a，然后把a，b的值代入原方程组中求解即可
【详解】解：（1）整理 得： ，
①+②得：9a＝18，
解得：a＝2③，
把③代入①得：3×2+2b＝7，
解得：b＝，
∴方程组的解为 ．
（2）解：将 代入方程4x－by=－2，得﹣12+b=﹣2，解得：b=10，
将 代入方程ax+5y=15，得5a+20=15，解得：a=﹣1，
把a=﹣1，b=10代入原方程组中，得 ，
解得：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，第（1）小题属于基础题型，第（2）小题解题的关键是正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法．
30．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组时，一学生把 c 看错而得到，而正确的解是，求a，b，c 的值．
【答案】a=4，b=5，c=﹣2
【分析】虽然看错c，但两个解都适合方程组的第一个方程，由此可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a，b，把正解代入第二个方程即可求出c．
【详解】解：据题意得，
解这个方程组，得：，
把代入cx－7y=8，
得3c+14=8，解得：c=﹣2．
∴a=4，b=5，c=﹣2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的看错解问题，解题的关键是正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法．
【经典题型四 构造二元一次方程组求解重难点题型】
31．（2022春·重庆江津·七年级校联考阶段练习）对于x、y定义一种新运算☆，规定：x☆y=ax+by(其中a、b均为非零常数)，例如：1☆0=a×1+b×0=a.已知：－1☆1=－1，2☆2=6
(1)求a、b的值；
(2)在（1）的条件下，若关于x、y的方程组的解满足，求m的值．
【答案】(1)a、b的值分别为2，1
(2)
【分析】（1）根据新定义，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
（2）将的值代入方程组，解得的值，进而代入得到关于的方程，解方程即可求解．
（1）
解：由题意得∶
解得；
即a,b的值分别为2，1
（2）
由题意得
解得
因为
所以
解得
【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．
32．（2022秋·河南新乡·八年级校考阶段练习）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．
（1）求正确的a、b的值；
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）按甲乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】解：（1）按照甲的的做法：
，
可得①
按照乙的做法：
，
可得②，
联立①和②组成方程组，
解得；
（2）
=
=．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
33．（2022秋·山东泰安·八年级东平县实验中学校考阶段练习）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形（），图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）观察图1、图2，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，可以获得一个因式分解公式，则这个公式是_______；
（2）如果大正方形的边长比小正方形的边长多3，它们的面积相差57，试利用（1）中的公式，求，的值．
【答案】（1）；（2）a=11，b=8
【分析】（1）根据两个图形的面积即可列出等式；
（2）根据题意得到，由面积相差57得到，解a与b组成的方程组求解即可.
【详解】解：（1）图1阴影面积=，图2的阴影面积=（a+b）（a-b），
∴，
故答案为：；
（2）由题意可得：．
∵．
∴．
∴解得
∴，的值分别是11，8．
【点睛】此题考查完全平方公式与几何图形的关系，二元一次方程组的实际应用.
34．（2020·浙江杭州·模拟预测）将多顶式分解因式，说明多顶式有一个因式为，还可知：当时．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式有一个因式为，求的值；
（2）若，是多项式的两个因式，求、的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】把代入得到，即可求得的取值；
（2）分别将，代入，即可到关于、的方程组，解之即可得解．
【详解】解：（1）∵令，即当时
∴
∴；
（2）∵当，时，
∴
∴．
故答案是：（1）；（2）
【点睛】本题考查了代入消元法的应用、解一元一次方程以及解二元一次方程组，熟练掌握各相关知识点是解决问题的关键．
35．（2022春·湖南常德·七年级统考期末）阅读下列解答过程：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为
则，，
∴，∴
∴另一个因式为，m的值为-21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．
【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．
【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，利用多项式相等，对应项或对应项的系数相等进而得出方程组，可得答案．
【详解】解：设另一个因式为（x+m），由题意，得：
x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），
则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，
∴，
解得，
∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．
36．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知数轴上的点A、B对应的数分别是－5和1．
(1)若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；
(2)动点P从点A出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，试求P点与Q点的运动速度（长度单位/秒）
【答案】(1)；
(2)存在；2或6；
(3)2单位长度/秒；1单位长度/秒
【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出BP与PA，根据BP=PA求出x的值，即可确定出点P对应的数；
（2）表示出点P对应的数，进而表示出PA与PB，根据PA=2PB求出t的值即可；
（3）设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】（1）点A、B对应的数分别是-5和1，
设点P对应的数为x，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴点P对应的数为-2；
（2）P对应的数为，
∴，，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
答：当或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
（3）设P点的运动速度m单位长度/秒，Q点的运动速度n单位长度/秒，根据题意得，
，
解得：，
答：P点的运动速度2单位长度/秒，Q点的运动速度1单位长度/秒．
【点睛】本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．
37．（2023春·江苏·七年级专题练习）如果多项式分解因式的结果为，则当时可得，此时可把代入中得出．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式有一个因式为，求的值；
(2)若，是多项式的两个因式，求、的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）把代入得到，求得的值即可；
（2）分别将和代入得到有关、的方程组求得、的值即可．
【详解】（1）解：令，即当时，得：
，
解得：．
∴的值为．
（2）令，即当时，得：
①，
令，即当时，得：
②，
由①，②得：，．
∴的值为，的值为．
【点睛】本题考查因式分解的意义，一元一次方程，二元一次方程组．解题的关键是熟悉因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式．
38．（2023·全国·七年级专题练习）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
(2)请自行写出一个除上述你方程外的“和解方程”：______
(3)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义写出关于x的一元一次方程，即可；
（3）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
【详解】（1）解：3x＝m，
解得：，
∵方程3x＝m是“和解方程”，
∴，
解得：；
（2）解：方程是“和解方程”，理由：
方程，
解得：，
∵，
∴方程是“和解方程”；
故答案为：（答案不唯一）
（3）解：关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴，且，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组．
39．（2022秋·山东淄博·九年级校考阶段练习）仔细阅读下面倒题．解答问题：
例题：已知二次三项式，分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值．
解：方法：设另一个因式为（x+n），
得＝（x+3）（x+n），
则．
∴，解得．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照以上方法解答：已知二次三项式分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值．
【答案】4x﹣1，a＝﹣3
【分析】根据题意设另一个因式为（4x+b），关键多项式乘以多项式展开，合并同类项后得出，再得出方程组，最后求出方程组的解即可．
【详解】解：∵二次项系数为8，一个因式2x﹣3的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2＝4，则可设另一个因式为（4x+b），
得，
∴，
解得：，
即，
则另一个因式为4x﹣1，a＝﹣3．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
40．（2022春·内蒙古乌兰察布·七年级统考期末）阅读学习∶
已知实数m，n满足m＋n = 5且，求k的值．
行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路∶
甲同学∶直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值．
乙同学∶观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学∶组合法，先解方程组，再求k的值．
解决问题∶
(1)选择其中一名同学的思路，解答此题．
(2)已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值．
【答案】(1)k=8
(2)k=-1
【分析】（1）选乙同学的方法进行整体代入计算即可，选丙同学则组建新的方程组求出m和n的值，再代入求k值即可；
（2）结合第（1）问的方法进行整体代入求解即可．
（1）
解：选择乙同学的解法：
，
①+②，得
17m+17n=11k-3，
∵m＋n = 5，
∴17m+17n=85，
即11k-3=85，
解得k=8．
选择丙同学：
由题意，得
，
解得，
将代入，得
9×35+8×（-30）=11k-13，
解得k=8．
（2）
解：，
①+②，得
3x+3y=6k+6，
∵关于x、y的方程组的解互为相反数，
∴x+y=0，
∴6k+6=0，
解得k=-1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的含参问题，解决问题的关键是消元，正确地计算能力是解决问题的关键．
【经典题型五 已知二元一次方程组的解求参数】
41．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的正整数解___________．
(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．
(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
【答案】(1)
(2)8或5或4或3
(3)-4或0或2
【分析】（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；
（2）根据为自然数，x为正整数，可得x-2取6或3或2或1，即可求解；
（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得4-k=8或4或2或1，从而得到k取-4或0或2或3，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得： ，
∵、为正整数，
∴是3的倍数，且，
∴0＜y＜4，
∴y=1，
∴方程的正整数解为；
故答案为：
（2）解：∵为自然数，x为正整数，
∴x-2取6或3或2或1，
∴x取8或5或4或3；
（3）解：解方程组得：，
∵方程组的解是正整数，
∴8是的倍数，
∴4-k=8或4或2或1，
∴k取-4或0或2或3，
当k=-4时，，符合题意；
当k=0时，，符合题意；
当k=2时，，符合题意；
当k=3时，，不符合题意；
综上所述，整数的值为-4或0或2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能得出方程组的解是解（3）的关键．
42．（2022春·江西赣州·七年级校考期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)或
【分析】（1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”；
（2）利用原方程组中的第一个方程减第二个方程得：，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可．
（1）
解：，
由②得：，即满足．
∴方程组的解，具有“邻好关系”；
（2）
解：方程组，
①－②得：，即．
∵方程组的解，具有“邻好关系”，
∴，即，
∴或．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键．
43．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组(n是常数)．
(1)当n=1时，则方程组可化为
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗?
(3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)①或者；②-4
(2)
(3)-2或0
【分析】（1）根据题意直接写出①的解；②加减消元法求出方程组的解，再代入，求出m的值．
（2）当m每取一个值时，这些方程有一个公共解，就是与m的取值无关，可得，x=0，代入求出y，即可求出公共解．
（3）当n=3时方程组，结合方程组有整数解且m为整数，求出满足条件的m的值，再求出对应的方程组的解．
【详解】（1）①或
②由题意得
由①－②得:y=1
把y=1代入①得:x=1
方程组的解是
把代入中得：1-2+ m=-5
∴m= -4
∴m的值为 -4．
（2）∵x−2y＋mx＝−5
∴(m+1)x−2y＝−5
∵当m每取一个值时，这些方程有一个公共解
∴x=0
∴−2y＝−5
∴
是这些方程有公共解
（3）当n=3时方程组为
∴
∵方程组有整数解且m为整数
∴5+2m=±1或5+2m=±5
当5+2m=1时，即 m= -2，方程组的解为
当5+2m=-1时，即 m= -3，方程组的解为
当5+2m=5时，即 m= 0，方程组的解为
当5+2m= -5时，即 m= -5，方程组的解为
综上所述整数m的值为-2或0．
【点睛】此题考查了如何解二元一次组，解题的关键是根据条件确定m的取值．
44．（2022秋·八年级课时练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为______；
(2)如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于，的方程组与有相同的解，求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）由（1）可得，求解即可；
（3）由题意可得和有相同的解，先求出am＝6，bn＝7，再求a、b的值即可．
（1）
，
，得，
解得，
将代入得，，
方程组的解为，
故答案为：；
（2）
由可得，
，
故答案为：；
（3）
由题意可得和有相同的解，
，
，得，
将代入可得，，
，
解得，
，
解得，
，，
解得，．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并用整体思想解题是关键．
45．（2022秋·八年级课时练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论t取什么实数，的值始终不变；
④若，则z的最小值为．
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
【答案】②③④
【分析】利用二元一次方程组的解，以及二元一次方程解的定义判断即可．
【详解】解：①当时，方程组的解也是方程的解，错误；
理由：把代入方程组得：，
解得：，
把代入得：左边右边，不符合题意；
②当时，，正确；
理由：由，得到，
解得：，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，正确；
理由：，
①②得：，即，
①②得：，即，
，符合题意；
④若，则的最小值为，正确；
理由：，最小值为，符合题意．
∴正确的结论为：②③④．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
46．（2022·全国·七年级假期作业）已知关于x，y的二元一次方程（a为实数）
（1）若方程组的解始终满足，求a的值；
（2）已知方程组的解也是方程的解
①探究实数a，b满足的关系式；②若a，b都是整数，求满足①中所有整数a、b的值．
【答案】（1）2；（2）①ab+6a=3；②a=3，b=-5或a=-3，b=-7或a=1，b=-3或a=-1，b=-9
【分析】（1）方程组消去x表示出y，代入y=2a-1中计算即可求出a的值；
（2）①求出方程组的解，代入中计算即可求出a与b的关系式；
②由a与b的关系式表示出a，根据a，b为整数确定出a和b的值即可．
【详解】解：（1），
②-①得：3y=6a-3，即y=2a-1，
把y=2a-1代入y=a+1中得：2a-1=a+1，
解得：a=2；
（2）①把y=2a-1代入方程组第一个方程得：x=a+2，
方程组的解为，
代入得：ab+6a-3=0，即ab+6a=3；
②由ab+6a=3可得：a=，
∵a，b都是整数，
∴b+6=1或-1或3或-3，
当b+6=1，即b=-5时，a=3，
当b+6=-1，即b=-7时，a=-3，
当b+6=3，即b=-3时，a=1，
当b+6=-3，即b=-9时，a=-1．
【点睛】此题考查了解二元一次方程（组），熟练掌握运算法则是解本题的关键．
47．（2020春·江苏泰州·七年级统考期末）已知二元一次方程（、均为常数，且）
（1）当时，用的代数式表示；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与的取值无关，请求出这个解．
【答案】（1）；（2）①与关系是a+b=0，理由见解析；②．
【分析】（1）直接将代入二元一次方程中解关于y的方程即可；
（2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得；
②把代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题．
【详解】解：（1）当时，原方程为：，
；
（2）①关系是a+b=0，理由：
把代入二元一次方程得
，
，
,
；
②由①知道,
,
∴原方程可化为：，
∴
∵该方程组的解与与的取值无关，.
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，“有根必代”是解题的关键．
48．（2020春·江苏苏州·七年级校考期末）(本题满分9分) 已知关于、的二元一次方程组 (为常数) ．
(1)求这个二元一次方程组的解(用含的代数式表示)；
(2)若方程组的解、满足，求的取值范围；
(3)若，直接写出的值；
(4)若，设且是负整数，求的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）-1或-3或0；（4）-1
【详解】【考点】代数综合题．
【分析】第(1)问将看成是常数，用加减消元法解关于、的二元一次方程组；第(2)问需要将第(1)问求出的方程组的解直接代入不等式，从而转化为求关于的一元一次不等式的解；第(3)问先将第(1)问求出的方程组的解代入得到，，从而转化为 ．由于1的任何次方都等于1，所以当时，；由于-1的偶数次方都等于1，所以当时，，经检验符合；由于不等于0的数的任何次方都等于1，所以当时，，经检验符合，综上，或或；第(4)问先将第(1)问求出的方程组的解代入得到，由于的范围已知，因此用来表示，因为，所以，解得，由于是负整数，所以的值是 ．
【解答】解：(1)； …………2分
(2)，
； …………3分
(3)的值是：或或； …………6分
(4)
∴ …………7分
∴ …………8分
∵是负整数，∴的值是． …………9分
49．（2022秋·全国·七年级专题练习）规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b-a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5-3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”．
(1)若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值；
(2)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值；
(3)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和-2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式的值．
【答案】(1)m的值为4；
(2)m的值为2、n的值为1；
(3)-8.
【分析】（1）根据“郡园方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可；
（2）根据“郡园方程”的定义即可得出关于m、n的方程组，解之即可；
（3）根据“郡园方程”的定义即可得出mn+m＝4，mn+n，二者做差即可得出m-n的值，将三个数代入代数式（mn+m）2-9（mn+n）2-3（m-n）中计算即可．
【详解】（1）解：（1）∵方程2x＝m是“郡园方程”，
∴，
解得：m＝4．
∴关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，则m的值为4．
（2）解：∵方程是“郡园方程”，它的解为m，
∴，解得：．
∴关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为m，则m的值为2、n的值为1．
（3）（3）∵方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”，
∴，
∴mn+m＝4，mn+n，
∴m﹣n＝4﹣（），
∴（mn+m）2﹣9（mn+n）2﹣3（m﹣n）＝42﹣9×（）2-38．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值、解二元一次方程组等知识点，解题的关键是：（1）根据“郡园方程”的定义列出关于m的一元一次方程；（2）根据规定解方程的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答也是解题关键．
50．（2022·全国·七年级假期作业）阅读下列材料：我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，由2，3互质，可知：为3的倍数，将，代入得．所以的一组正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程的一组正整数解_______；
（2）若为自然数，则满足条件的正整数的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．
【答案】（1）（答案不唯一）；；（2）B；（3）；、购买有4种方案：①买蓝球10个，不买排球；②买蓝球7个，排球4个；③买蓝球4个，排球8个；④买蓝球1个，12个排球.
【分析】（1）由3x-y=6，得：y=3x-6，当x=3时（可为其他值），可求出y的一个整数解；
（2）由题意可知x-3是12的因数，即可确定x的可能值；
（3）设购买篮球x个，排球y个，根据总价=单价×数量的等量关系，列出关于x，y的二元一次方程，然后讨论x、y的值即可解答．
【详解】解：（1）由3x-y=6，得：y=3x-6，
当x=3时，可得y=3；
故答案为：（答案不唯一）；
（2）由题意可知x-3是12的因数，
则x-3=1,x-3=2,x-3=3,x-3=4,x-3=6,x-3=12;
则x的的取值有6种可能性
故答案为B；
（3）设购买蓝球个，排球个，依题意
，即x=10- 、均为非负整数.
∴，，，
∴、购买有4种方案
①买蓝球10个，不买排球；
②买蓝球7个，排球4个；
③买蓝球4个，排球8个；
④买蓝球1个，12个排球.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、列出二元一次方程并掌握讨论解的方法是解答本题的关键．