安徽省淮南市2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题

这是一份安徽省淮南市2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=3+cs2x，则y=f(x)在x=π12处的瞬时变化率为( )
A. 1B. 0C. −1D. −2
2.在(x+x−1)8的展开式中，x−2的系数为( )
A. 8B. 28C. 56D. 70
3.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续不断的，在开区间(a,b)上都有导数，则在区间(a,b)上至少存在一个实数t，使得f(b)−f(a)=f′(t)(b−a)，其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=12x2+x在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t=( )
A. 12B. 32C. 2D. 52
4.设事件A，B满足A⊆B，且P(A)=15，P(B)=12，则P(B|A−)=( )
A. 58B. 38C. 14D. 18
5.在2024年第22届上海国际茶博会中，某展区展出6种茗茶，分别是武夷山大红袍、西湖龙井、安溪铁观音、普洱茶、正山小种、福鼎白茶.将这6种茶排成一排，若武夷山大红袍和西湖龙井不能相邻，则不同的排序方法有( )
A. 240种B. 280种C. 340种D. 480种
6.若函数f(x)=mex−3x2在R上单调递增，则m的最小值是( )
A. −6cB. 6eC. 12e2D. 12e3
7.如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是( )
A. 43B. 2C. 73D. 52
8.已知函数f(x)=x−sinx，若关于x的不等式f(x+lna)≥f(lnx)恒成立，则实数a的最小值为( )
A. 13B. 1eC. 12D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论正确的是( )
A. Anm=m!n!
B. Cnm=AnnAmm(n−m)!
C. C21+C32+C43+⋯+Cmm−1=m(m+1)2(m≥2)
D. 2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+⋯+Cnn
10.已知函数f(x)=x3−6x(x≥0)|x+2|(x<0)，则( )
A. f(x)有3个不同的零点
B. f(x)在区间[−2,0)和[ 2,+∞)上单调递增
C. 不存在x0∈R，使得f(x0)<−5
D. 存在唯一的x0∈(0,+∞)，使得f(x0)=f(−x0)
11.围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛.比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束.假设每场比赛甲胜乙的概率都为13，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为X，则下列结论正确的是( )
A. X≤4且甲获得冠军的概率是127
B. 有连续三场比赛都是乙胜的概率是827
C. P(X=4)=1027
D. 若甲赢了第一场，则乙仍有超过50%的可能性获得冠军
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lnx+ax2x的图象在x=1处的切线与直线x+y−1=0平行，则实数a=______.
13.有一枚质地不均匀的游戏币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的4倍，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为______.
14.已知关于x的方程x2+x−1=kex有且只有两个实数根，则实数k的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x+1 x)n(n∈N*).
(Ⅰ)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求n的值，并求常数项；
(Ⅱ)若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+x−a，点A(1,0)在f(x)的图象上.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点A处的切线方程；
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)−10x，求g(x)在[−2,4]上的值域.
17.(本小题15分)
某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为6%，第2，3台生产的次品率均为5%，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的25%，30%，45%.
(Ⅰ)任取一个芯片，求它是正品的概率；
(Ⅱ)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率.
18.(本小题17分)
大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为23，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为13，试题不重复选择.已知甲答对A类试题的概率均为12，答对B类试题的概率均为23，且每道试题答对与否相互独立.
(Ⅰ)求甲两题均选择A类试题作答的概率；
(Ⅱ)若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为X，求X的分布列与期望.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xex.
(Ⅰ)当x>0时，证明：f(x)(Ⅱ)若当x≥0时，不等式−12x3+ax2+ex−1≥exf(x)恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：f(x)=3+cs2x，
则f′(x)=−2sin2x，
故f′(π12)=−2sinπ6=−1.
故选：C.
对函数求导，再将x=π12代入导函数，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据(x+x−1)8的展开式Tr+1=C8r⋅x8−2r(r=0,1,2,3,4,5,6,7,8)，
当r=5时，x−2的系数为C85=56.
故选：C.
直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为g(x)=12x2+x，
所以g′(x)=x+1，
则g′(t)=t+1=g(1)−g(0)1−0=32，
所以t=12.
故选：A.
由已知定义，结合函数的求导公式即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵A⊆B，∴P(BA−)=P(B)−P(A)=12−15=310，
∴P(B|A−)=P(BA−)P(A−)=3101−15=38.
故选：B.
利用条件概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：先将除武夷山大红袍和西湖龙井之外的4种茶排序，形成5个空，
再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5个空，则不同的排法有A44A52=480种．
故选：D.
不相邻问题插空法，先将其它4种茶排序，再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5个空即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题可知f′(x)=mex−6x，
因为函数f(x)=mex−3x2在R上单调递增，
所以f′(x)≥0在R上恒成立，即mex−6x≥0在R上恒成立，
所以m≥6xex在R上恒成立，
令g(x)=6xex，则g′(x)=6(1−x)ex，
令g′(x)>0，则x<1；令g′(x)<0，则x>1，
所以g(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以当x=1时，g(x)取得极大值，即最大值，
因为g(1)=6e，所以m≥6e，所以m的最小值为6e.
故选：B.
根据题意将问题转化为m≥6xex在R上恒成立，构造函数g(x)=6xex，利用导数求出最大值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以P(X=1)=14，P(X=2)=11C31CA42=14，P(X=3)=12C31CC11A43=14，P(X=4)=1112C31CC11CA44=14，
所以E(X)=1×14+2×14+3×14+4×14=52.
故选：D.
设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=x−sinx，
所以f′(x)=1−csx≥0，即f(x)单调递增，
故不等式f(x+lna)≥f(lnx)恒成立，
即x+lna≥lnx，
即lna≥lnx−x恒成立，
令g(x)=lnx−x，则g′(x)=1x−1=1−xx，
故当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当00，g(x)单调递增，
所以g(x)=lnx−x有最大值g(1)=ln1−1=−1，
可得lna≥−1，解得a≥e−1=1e.
故选：B.
先求导，研究f(x)的单调性，把问题转化为lna≥lnx−x恒成立，构造函数g(x)=lnx−x，研究其最值，即可求解结论．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，Anm=n!(n−m)!，故A错误；
对于B，Cnm=n!m!(n−m)!=AnnAmm(n−m)!，故B正确；
对于C，因为C21+C32+C43+…+Cmm−1=C11+C21+C31+C41+…+Cm1−1=1=2+3+4+…+m−1=m(1+m)2−1，故C错误；
对于D，Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=(1+1)n=2n，故D正确．
故选：BD.
利用排列数公式可判断A，根据组合数公式可判断BC，根据二项式定理可判断D.
本题主要考查了排列数公式和组合数公式，考查了二项式定理的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为当x≥0时，f(x)=x3−6x，
f′(x)=3x2−6=3(x− 2)(x+ 2)，
所以当x∈[0, 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈[ 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(−∞,−2]时，f(x)=−x−2，单调递减；
当x∈(−2,0)时，f(x)=x+2，单调递增；
作出函数y=f(x)的图象，如图所示：
令f(x)=0，可得x1=−2，x2=0，x3= 6，
所以函数y=f(x)有3个零点，故A正确；
函数在[−2,0)和[ 2,+∞)上单调递增，故B正确；
因为当x≥0时，f(x)极小值=f( 2)=2 2−6 2=−4 2<−5，
所以存在x0∈R，使得f(x0)<−5，故C错误；
当x0>0时，−x0<0，
所以f(x0)=x03−6x0，f(−x0)=|2−x0|，
作出y=x3−6x与y=|2−x|的图象，如图所示：
由此可得两函数的图象只有一个交点，
所以存在唯一的x0∈(0,+∞)，使得f(x0)=f(−x0)，故D正确．
故选：ABD.
利用导数确函数函数在(0,+∞)上的单调性、极值，作出函数的图象，结合图象可判断A，B，C；
对于D，由题意可得f(x0)=x03−6x0，f(−x0)=|2−x0|，将问题转化化函数y=x3−6x与y=|2−x|的图象的交点问题，作出图象，结合图象即可判断．
本题考查了转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，作出图象是关键，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A，X≤4且甲获得冠军有两种情况：X=3且甲获得冠军，X=4且甲获得冠军，
X=3且甲获得冠军表示甲连胜三场，X=4且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜，
所以X≤4且甲获得冠军的概率为P=(13)3+C32×(13)2×23×13=19，故A错误；
对于B，有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都是乙获胜，第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，
所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为P=(23)3+13×(23)3+(13)2×(23)3=104243，故B错误；
对于C，X=4包含两种情况：比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙获得冠军，
所以P(X=4)=C32×(13)2×23×13+C32×(23)2×13×23=1027，故C正确；
对于D，甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况：第二至第四场都是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜，
所以甲赢了第一场，乙获得冠军的概率为P=(23)3+C32×(23)2×13×23=1627，
因为为1627>12，所以若甲赢了第一场，则乙仍有超过50%的可能性获得冠军，故D正确．
故选：CD.
利用独立事件的概率乘法公式逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
12.【答案】−2
【解析】解：f(x)=lnx+ax2x，
则f′(x)=1+ax2−lnxx2(x>0)，
故f′(1)=1+a，
直线x+y−1=0的斜率为−1，
则1+a=−1，解得a=−2.
故答案为：−2.
对函数求导，利用导数的几何意义，以及直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】49
【解析】解：有一枚质地不均匀的游戏币，
随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的4倍，
设一枚质地不均匀的游戏币随机抛掷一次，得到正面的概率为p，
则p2=4(1−p)2，
由0≤p≤1，得p=23，
∴随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为：
P=C21×23×(1−23)=49.
故答案为：49.
利用相互独立事件概率公式求解．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】(−e,0]∪[5e2)
【解析】解：原方程可变形为k=x2+x−1ex，
令函数f(x)=x2+x−1ex，则f′(x)=−(x+1)(x−2)ex，
令f(x)=0，得x=−1或x=2，当x>2或x<−1时，f′(x)<0，当−10，
所以f(x)在(2,+∞)，(−∞,−1)上单调递减，在(−1,2)上单调递增，
所以当x=2时，f(x)取得极大值，且极大值为f(x)=5e2，
当x=−1时，f(x)取得极小值，且极小值为f(−1)=−e，
又当x趋向于+∞时，f(x)趋向于0，当x趋向于−∞时，f(x)趋向于+∞，
所以f(x)的大致图象如图，
所以实数k的取值范围是(−c,0]∪[5e2).
故答案为：(−e,0]∪[5e2).
原方程可变形为k=x2+x−1ex，对该函数求导，并利用导数求得单调区间与极值，再画出函数图象，即可求得k的取值范围．
本题主要考查了由方程根的个数求解参数范围，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)二项式(2x+1 x)n的第3项和第5项的二项式系数相等，
故Cn2=Cn4，解得n=6；
根据(2x+1 x)6的展开式Tr+1=C6r⋅26−r⋅x6−32r(r=0,1,2,3,4,5,6)，
当r=4时，常数项为C64⋅=60.
(Ⅱ)由于展开式中所有项的系数之和为81，令x=1得：3n=81，解得n=4，展开式为Tk+1=C4k⋅24−k⋅x4−32k(k=0,1,2,3,4)，
二项式系数的最大项为第三项，T3=C42⋅22x1=24x.
【解析】(Ⅰ)首先利用第3项和第5项的二项式系数相等，求出n的值，进一步求常数项；
(Ⅱ)利用赋值法求出n的值，进一步利用二项式的展开式求出二项式系数的最大项．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(I)由题知f(1)=0，即1+1−a=0，得a=2，
所以f(x)=x3+x−2，f′(x)=3x2+1，
则f′(1)=3×12+1=4.，
故曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y−0=4(x−1)，即4x−y−4=0；
(Ⅱ)由题可知g(x)=x3−9x−2，则g′(x)=3x2−9，
令g′(x)=0，可得x=±5，
当x∈(−2,− 3)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(− 3, 3)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈( 3,4)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=− 3时，g(x)取得极大值g(− 3)=(− 3)3+9 3−2=6 3−2，
当x= 3时，g(x)取得极小值g( 3)=( 3)3−9 3−2=−6 3−2，
又g(−2)=8，g(4)=26，
所以g(x)在[−2,4]上的值域为[−6 3−2,26].
【解析】(I)对f(x)求导，求出f(1)，f′(1)，由导数的几何意义求解即可；
(Ⅱ)对g(x)求导，得到g(x)的单调性，比较g(x)的极值点和端点值的大小，即可得出答案．
本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)任取一个芯片是次品的概率为：0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525，
则它是正品的概率为：1−0.0525=0.9475；
(Ⅱ)次品是第一台机器生产的概率为：0.06×；
次品是第二台机器生产的概率为：0.05×，
次品是第三台机器生产的概率为：1−27−27=37.
【解析】(Ⅰ)结合全概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解；
(Ⅱ)结合贝叶斯公式，即可求解．
本题主要考查全概率公式，贝叶斯公式，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)若甲第1题选择A类试题作答并且答错，则第2题选择A类试题作答的概率P1=12×12×13=112，
若甲第1题选择A类试题作答并且答对，则第2题选择A类试题作答的概率P2=12×12×23=16，
故甲2题均选择A类试题作答的概率P=112+16=14；
(Ⅱ)由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=13×13×13+13×23×12=427，P(X=1)=23×23×13+23×13×12+13×13×23+13×23×12=49，P(X=2)=23×23×23+23×13×12=1127，
故X的分布列为：
则E(X)=0×427+1×49+2×1127=3427.
【解析】(Ⅰ)利用独立事件的概率乘法公式求解；
(Ⅱ)由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，得到X的分布列，再结合期望公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：当x>0时，要证f(x)x+1.
设g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1，当x>0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，即ex−x−1>0，即ex>x+1，
故当x>0时，f(x)(Ⅱ)由题可得不等式−12x3+ax2+ex−1≥x恒成立，其中x≥0.
①当x=0时，不等式为0≥0，显然成立，符合题意．
②当x>0时，有a≥−ex−12x3−x−1x2，
记m(x)=−ex−12x3−x−1x2，
则m′(x)=−(x−2)(ex−12x2−x−1)x3.
令h(x)=ex−12x2−x−1(x≥0)，则h′(x)=ex−x−1，
由(Ⅰ)可得h′(x)≥0，
故h(x)在[0,+∞)上单调递增，则h(x)≥h(0)=0，
故当x∈(0,2)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，
当x∈(2,+∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
故[m(x)]max=m(2)=7−e24.
综上可得，实数a的取值范围是[7−e24,+∞).
【解析】(Ⅰ)对所证不等式等价变形为ex>x+1，构造函数，利用导数求解函数最值，即可证明；
(Ⅱ)把恒成立化简为不等式−12x3+ax2+ex−1≥x恒成立，根据x=0和x>0分类讨论，当x>0时，参变分离，构造函数，利用导数研究函数的最值即可求解参数范围．
本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，属于难题．X
0
1
2
P
427
49
1127