安徽省合肥市第八中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题（含答案）

这是一份安徽省合肥市第八中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了AC10等内容，欢迎下载使用。

数学试题卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）
1．甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是，，那么只有一人解答对的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．若的展开式中常数项为15，则（ ）
A．2B．1C．D．
3．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．50B．63C．72D．135
4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
5．将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球。若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（ ）
A．2B．24C．36D．18
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．随机变量X的取值为1，2，3，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．设O为坐标原点，直线l过抛物线C：（）的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），，l为C的准线，，垂足为M，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为2
C．若，则D．x轴上存在一点N，使为定值
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，两个选项部分选对得3分；三个选项选对一个得2分，选对两个得4分，选错得0分。请把正确答案涂在答题卡上）
9．已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
10．已知，.若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A．B．C．3D．
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为
B．的单调递减区间为
C．若有三个不同的解，则
D．对任意两个不相等正实数，，若，则
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡的相应位置。）
12．已知数列的首项为1，前n项和为，，则 .
13．设，则 .
14.已知双曲线（，）的右焦点为F，经过点F作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M，直线l与双曲线的另一条渐近线相交于点N，若，则双曲线的离心率 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
15．（13分）
已知递增的等比数列的前n项和为，且，。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和。
16．（15分）
某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：
①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品。
②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响。
（1）学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为，，，求学生甲答对所选试题的概率；
（2）学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为，，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率。
17．（15分）
已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，动直线l与椭圆交于P，Q两点；当直线l过焦点且与x轴垂直时，。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过点，椭圆的左顶点为B，当△BPQ面积为时，求直线l的斜率K。
18．（17分）
已知函数，（）。
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围。
19．（17分）
英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处n（）阶导数都存在时，。注：表示的2阶导数，即为的导数，（）表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式。
（1）写出泰勒展开式（只需写出前4项）；
（2）根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位；
（3）证明：当时，。
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合肥八中2023-2024学年第二学期高二年级期中检测
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1-5BCADC6-8DBD
二、多选题（每小题6分，共18分）
9.AC10.ABC11.AD
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.
13．
14.
四、解答题：（本题共5小题，共77分）
15.（13分）
【答案】
（1）解：设等差数列公差为d，首项为，
由题意，有，
解得，
所以；
（2）解：，
所以①，
②
①－②：
16．（15分）
【答案】解：
（1）设学生甲选1道“历史类”试题为事件A，选1道“数学类”试题为事件B，选1道“生活类”试题为事件C，答对试题为事件D，
则，，，
，，，
所以
（2）解：每一轮中学生乙得1分的概率为，
在3轮比赛后，学生乙得1分的概率为.
17．（15分）
【答案】
（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以，又，解得：，
所以椭圆方程为；
（2）由（1）可得椭圆方程为
设，，直线l：，与椭圆方程联立得
解得，易知直线的斜率为.
18．（17分）
【答案】
（1）当，
，
当，令，易知为减函数，
因为
所以当，，单调递增，，，单调递减
（2）根据条件有两个零点等价于有两解
不妨令
则（）
当时，在定义域内恒成立，
因此在递减，最多一个零点，不符。
当时，由，解得；，解得
所以，时，的单调减区间为，增区间为；
若有两个零点，则必有
即，解得
又因，
即，
当时，恒成立，即在单调递减，
可得，
也即得在恒成立，
从而可得在，区间上各有一个零点，
（注：若用极限表达可酌情给分）
综上所述，若有两个零点实数a的范围为
19．（17分）
【答案】
（1）
（2）由该公式可得，
故
（3）法一：由泰勒展开
易知当，，
所以
令
则，所以在上单调递增
故，
即证得
法二：
令
易知当，，均为增函数，
所以单增，
所以
所以当，单调递增，
所以
当，
令，则，则单调递增
则
综上，原不等式得证.