2023-2024学年重庆市开州区云枫教育集团七年级(下)期中数学试卷(含解析)
展开这是一份2023-2024学年重庆市开州区云枫教育集团七年级(下)期中数学试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 3的相反数是( )
A. 3B. −3C. 3D. − 3
2.81的平方根是( )
A. −9B. 9C. ±9D. ±3
3.如图,已知a//b,小明把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠2=40°,则∠1的度数为( )
A. 40°B. 35°C. 50°D. 45°
4.估计 30−2的值( )
A. 在2到3之间B. 在3到4之间C. 在4到5之间D. 在5到6之间
5.关于x的一元一次不等式组的解集如图所示,则它的解集是( )
A. −1
A. (−3,4)B. (−7,0)C. (−3,0)D. (4,0)
7.已知方程组2x+y=7x+2y=8,则5x−5y+10的值是( )
A. 5B. −5C. 15D. 25
8.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸:屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺:将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是( )
A. y−x=−1B. y=x+4.5y=2x−1C. y=x−+1D. y=x−4.5y=2x−1
9.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点出发,沿着箭头所示方向,每次移动1个单位,依次得到点P1(1,0),P2(1,1),P3(0,1),P4(0,2),P5(1,2),…,根据这个规律,点P16的坐标为( )
A. (0,14)B. (1,7)C. (0,8)D. (1,8)
10.已知关于x,y的方程组x+2y=6−3ax−y=6a,给出下列说法:①当a=1时,方程组的解也是x+y=a+3的解;②若2x+y=3,则a=−1;③无论a取何值,x,y的值不可能互为相反数;以上说法中正确的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题:本题共8小题,每小题4分,共32分。
11.比较大小: 5 ______2.(填“<”或“>”)
12.不等式x+1<4+3x2的解集为______.
13.如图,点E在AD的延长线上,若∠1=∠4,则平行的是:______.
14.已知 123=11.09, 1230=35.07,那么 12.3= ______.
15.已知线段AB的长为3,且AB//y轴,点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为______.
16.二元一次方程3x+y=7的正整数解是______.
17.将一张矩纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1= ______.
18.对于一个四位自然数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同,它的千位数字与百位数字之和等于9,十位数字与个位数字之和也等于9,那么称这个数n为“永恒数”.对于一个“永恒数”,记为F(n)=n9.例如:n=1854,因为1+8=5+4=9,所以1854是一个“永恒数”,F(1854)=18549=206.则F(3618)= ______;若一个四位自然数m是“永恒数”,且F(m)7为整数,则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为______.
三、解答题:本题共8小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算或解方程:
(1) (−3)2+3−8−|π−2|;
(2)2(x−1)2=32.
20.(本小题10分)
解下列方程组:
(1)x+2y=63x−2y=10;
(2)x+3y2=355(x−2y)=−4.
21.(本小题10分)
阅读下列推理过程,完成下面的证明.
已知:如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D、F,∠2+∠3=180°.求证:∠GDC=∠B.
证明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90°(______)
∴EF//AD(______)
∴ ______+∠2=180°(______)
又∵∠2+∠3=180°(______)
∴∠1= ______(______)
∴AB// ______(______)
∴∠GDC=∠B(______).
22.(本小题10分)
如图,在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,5)(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)请画出△ABC先向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的△A1B1C1,并直接写出A1、B1、C1的坐标;
(2)在x轴上是否存在点D,使△BB1D的面积等于△ABC面积的25,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
23.(本小题10分)
今年春季,蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿,总投入是26万元,其中,种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元.请解答下列问题:
(1)求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩?
(2)假设茄子和西红柿每亩地的利润分别为2.6万元和1.5万元,那么种植场在这一季共获利多少万元?
24.(本小题10分)
如图,在△ABC中,若∠1=∠2,DE//BC.
(1)试说明FG//BE;
(2)若BE为∠ABC的角平分线,∠2=30°,∠C=50°,求∠A的度数.
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中,O为原点,点A(a,b),并且a,b满足满足关于x,y的二元一次方程3xb−a−2y2a−b−2=1.(1)如图①,过点A作AB⊥y轴,垂足为B,求三角形AOB的面积;
(2)如图②,将线段OA向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到线段DC,写出D、C的坐标,并求四边形OACD的面积;
(3)如图③,点E为对角线OC上一动点,EF⊥x轴于点F,连接AE,直接写出AE+EF的最小值.
26.(本小题10分)
已知AB//CD,点M、N分别是AB、CD上的点,点G在AB、CD之间,连接MG、NG.
(1)如图1,若GM⊥GN,求∠AMG+∠CNG的度数.
(2)在(1)的条件下,已知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H,求∠MHN的度数.
(3)如图2,若点P是CD下方一点,MT平分∠BMP,NC平分∠TNP,已知∠BMT=40°,证明:∠MTN−∠P为定值.
答案和解析
1.【答案】D
解: 3的相反数是− 3,
故选:D.
根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.
本题考查了实数的性质,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平方根,熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.
利用平方根的定义计算即可得到结果.
【解答】
解:∵(±9)2=81,∴81的平方根是±9.
故选:C.
3.【答案】C
解:∵a//b,∠2=40°,
∴∠3=∠2=40°,
∵∠ACB=90°,
∴∠1=180°−∠3−∠ACB=50°.
故选:C.
首先根据同位角相等,两直线平行求出∠3=40°,根据∠ACB=90°求出∠1即可.
本题考查了平行线的性质,熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键.
4.【答案】B
解:∵25<30<36,
∴5< 30<6,
∴3< 30−2<4.
故选:B.
先估算出 30的取值范围,进而可得出结论.
本题考查的是估算无理数的大小,熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键.
5.【答案】B
解:根据数轴可知:不等式组的解集是−1≤x<2,
故选:B.
根据数轴得出不等式组的解集即可.
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,能根据数轴得出正确信息是解此题的关键.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了点的坐标的求解,利用x轴上的点纵坐标等于0列式求出a的值是解题的关键.
根据x轴上的点纵坐标为0,列式求出a的值,然后计算求出横坐标,从而点M的坐标可得.
【解答】
解:∵M(a−3,a+4)在x轴上,
∴a+4=0,
解得a=−4,
∴a−3=−4−3=−7,
∴M点的坐标为(−7,0).
故选B.
7.【答案】A
解:2x+y=7①x+2y=8②,
则①−②得:
x−y=−1,
故5x−5y+10
=5(x−y)+10
=−5+10
=5.
故选:A.
直接利用已知方程组变形进而得出x−y=−1,即可求出答案.
此题主要考查了二元一次方程组的解,正确将原方程组变形是解题关键.
8.【答案】A
解:设木头长为x尺,绳子长为y尺,
由题意可得y−x=−1,
故选:A.
设木头长为x尺,绳子长为y尺,根据“用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.
9.【答案】C
解:根据动点的运动方式可知,
点P1的坐标为(1,0);
点P2的坐标为(1,1);
点P3的坐标为(0,1);
点P4的坐标为(0,2);
点P5的坐标为(1,2);
点P6的坐标为(1,3);
点P7的坐标为(0,3);
点P8的坐标为(0,4);
点P9的坐标为(1,4);
点P10的坐标为(1,5);
点P11的坐标为(0,5);
点P12的坐标为(0,6);
…,
由此可见,点P2n(n为正整数)的纵坐标为n,且点的横坐标按1,1,0,0循环出现,
因为16÷4=4,16÷2=8,
所以点P16的坐标为(0,8).
故选:C.
根据所给动点的运动方式,依次求出P1,P2,P3,…,的坐标,发现规律即可解决问题.
本题考查点的坐标变化规律,能根据动点的运动方式,发现其对应点坐标的变化规律是解题的关键.
10.【答案】D
解:①当a=1时,x+2y=3①x−y=6②,
①−②,可得3y=−3,
解得y=−1,
把y=−1代入②,可得:x−(−1)=6,
解得x=5,
∴原方程组的解是x=5y=−1,
∵5+(−1)=4,1+3=4,
∴当a=1时,方程组的解也是x+y=a+3的解,
∴选项①符合题意.
②x+2y=6−3a①x−y=6a②,
①+②,可得2x+y=6+3a,
∵2x+y=3,
∴6+3a=3,
解得a=−1,
∴若2x+y=3,则a=−1,
∴选项②符合题意.
③假设x,y的值互为相反数,则x+y=0,
x+2y=6−3a①x−y=6a②,
①−②,可得3y=6−9a,
解得y=2−3a,
把y=2−3a代入②,可得:x−(2−3a)=6a,
解得x=2+3a,
∴原方程组的解是x=2+3ay=2−3a,
∵x+y=2+3a+2−3a=4≠0,
∴无论a取何值,x,y的值不可能互为相反数,
∴选项③符合题意.
综上,可得正确的说法的个数为3个:①、②、③.
故选:D.
①当a=1时,x+2y=3①x−y=6②,应用加减消元法,求出方程组的解,再判断出x、y的值是否是x+y=a+3的解即可;
②把关于x,y的方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②的两个方程左右两边分别相加,可得2x+y=6+3a,再根据2x+y=3,求出a的值即可;
③首先应用加减消元法,求出关于x,y的方程组x+2y=6−3a①x−y=6a②的解,然后把求出的x、y的值相加,判断出x,y的值能不能互为相反数即可.
此题主要考查了二元一次方程组的解,以及解二元一次方程组的方法,注意代入消元法和加减消元法的应用是关键.
11.【答案】>
解:∵2= 4,
又∵ 5> 4,
∴ 5>2,
故答案为:>.
先把2写成 4,然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果.
本题考查了实数的大小比较,是一道基础题.
12.【答案】x>−2
解:去分母得:2x+2<4+3x,
移项得:2x−3x<4−2,
合并同类项得:−x<2,
系数化为1得:x>−2.
故答案为x>−2.
本题是关于x的不等式,应先只把x看成未知数,按照解一元一次不等式的步骤求得x的解集.
本题主要考查了解一元一次不等式的方法,需要注意在不等式两边都除以同一个负数时,应改变不等号的方向.
13.【答案】AB//CD
解:∵∠1=∠4,
∴AB//CD(内错角相等,两直线平行),
故答案为:AB//CD.
根据“内错角相等,两直线平行”求解即可.
此题考查了平行线的判定,熟记平行线的判定定理是解题的关键.
14.【答案】3.507
解:∵ 1230=35.07,
∴ 12.3= 1230100= 123010=35.0710=3.507,
故答案为:3.507.
根据算术平方根的性质求解即可.
本题考查了算术平方根的性质,掌握算术平方根的性质是解题的关键.
15.【答案】(3,5)或(3,−1)
解:因为AB//y轴,
所以A,B两点的横坐标相等,
则xB=3.
又因为AB=3,
所以2+3=5,2−3=−1,
所以点B的坐标为(3,5)或(3,−1).
故答案为:(3,5)或(3,−1).
根据AB//y轴,可得出A,B两点的横坐标相等,再根据AB长为3,可求出点B的坐标.
本题考查坐标与图形性质,熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键.
16.【答案】x=1y=4和x=2y=1
解:∵当x=1时,3+y=7,则y=4;当x=2式,6+y=7,则y=1,
∴方程3x+y=7的正整数解x=1y=4和x=2y=1.
故答案为:x=1y=4和x=2y=1.
采用列举法求得方程的所有正整数解即可.
本题主要考查的是二元一次方程的解,应用列举法求解是解题的关键.
17.【答案】52°
解:∵∠GEF=∠FEC=64°,
∴∠BEG=180°−64°×2=52°,
∵AD//BC,
∴∠1=∠BEG=52°.
故答案为:52°.
根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数,从而求出∠GEB的度数,再根据平行线的性质求出∠1的度数.
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质,熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.
18.【答案】402 7245
解:由题意可知:F(3618)=36189=402;
根据“永恒数”的定义,
设m=1000x+100(9−x)+10y+9−y=900x+9y+909,
其中1≤x≤9,0≤y≤9,x,y都为整数,x≠y,
∴F(m)=900x+9y+9099=100x+y+101
∵F(m)7为整数,
∴100x+y+1017是整数,
由于各个数位上的数字互不相同,
∴当m取最大值时,x=9,y=7最大,
当m取最小值时,x=1,y=2时最小,
∴m最大为m=9000+100×(9−9)+10×7+9−7=9072,
m最小为m=1000+100×(9−1)+10×2+9−2=1827,
∴9072−1827=7245,
故答案为:402,7245.
根据F(n)=n9直接进行求解即可;根据“永恒数”的定义,设m=1000x+100(9−x)+10y+9−y=900x+9y+909,求出F(m)的值,根据F(m)7为整数,分情况求出m的最大值与最小值即可得出结果.
本题考查了新定义的实数运算,整式运算,理解新定义并将其转化为整数的运算是解题的关键.
19.【答案】解:(1)原式=3−2−(π−2)
=3−2−π+2
=3−π;
(2)由原方程可得(x−1)2=16,
则x−1=±4,
解得:x=5 或−3.
【解析】(1)利用二次根式的性质,算术平方根的定义及绝对值的性质计算即可;
(2)利用平方根的定义解方程即可.
本题考查实数的运算及平方根,熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键.
20.【答案】解:(1)x+2y=6①3x−2y=10②,
①+②得:4x=16,
解得:x=4,
将x=4代入①得:4+2y=6,
解得:y=1,
故原方程组的解为x=4y=1;
(2)原方程组整理得5x+15y=6①5x−10y=−4②,
①−②得:25y=10,
解得:y=25,
将y=25代入②得:5x−4=−4,
解得:x=0,
故原方程组的解为x=0y=25.
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可;
(2)将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可.
本题考查解二元一次方程组,熟练掌握解方程组的方法是解题的关键.
21.【答案】垂直的定义 同位角相等,两直线平行 ∠1 两直线平行,同旁内角互补 已知 ∠3 同角的补角相等 DG 内错角相等,两直线平行 两直线平行,同位角相等
解:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知),
∴∠ADB=∠EFB=90°(垂直的定义),
∴EF//AD(同位角相等,两直线平行),
∴∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补),
又∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠1=∠3(同角的补角相等),
∴AB//DG(内错角相等,两直线平行),
∴∠GDC=∠B.(两直线平行,同位角相等),
故答案为:①垂直的定义;②同位角相等,两直线平行;③∠1;④两直线平行,同旁内角互补;⑤已知;⑥∠3;⑦同角的补角相等;⑧DG;⑨内错角相等,两直线平行;⑩两直线平行,同位角相等.
根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义,同角的补角相等进行证明即可.
本题主要考查了垂直的定义,平行线的性质与判定,同角的补角相等等等,熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键.
22.【答案】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
A1的坐标为(−1,−1),B1的坐标为(1,0),C1的坐标为(0,3).
(2)△ABC的面积为12×(1+3)×4−12×1×3−12×3×1=5,
∵△BB1D的面积等于△ABC面积的25,
∴△BB1D的面积为5×25=2,
设点D的坐标为(x,0),
∴12|x−1|×2=2,
解得x=3或−1,
∴点D的坐标为(3,0)或(−1,0).
【解析】(1)根据平移的性质作图,即可得出答案.
(2)由题意可得,△BB1D的面积为5×25=2,设点D的坐标为(x,0),则可列方程为12|x−1|×2=2,解方程即可得出答案.
本题考查作图−平移变换、三角形的面积,熟练掌握平移的性质是解答本题的关键.
23.【答案】解:(1)设茄子和西红柿的种植面积各为x亩,y亩,
由题意得,2x+y=26x+y=15,
解得x=11y=4,
答:茄子和西红柿的种植面积各为11亩,4亩;
(2)11×2.6+4×1.5=34.6(万元),
答:种植场在这一季共获利34.6万元.
【解析】(1)设茄子和西红柿的种植面积分别为x亩,y亩,根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿,总投入是26万元,其中,种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程组求解即可;
(2)根据(1)所求,列式计算即可.
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,关键是根据题意找到等量关系式.
24.【答案】解:(1)∵DE//BC,
∴∠2=∠EBC.
又∵∠1=∠2,
∴∠EBC=∠1.
∴FG//BE.
(2)由(1)得,∠EBC=∠2=30°.
∵BE为∠ABC的角平分线,
∴∠ABC=2∠EBC=60°.
∴∠A=180°−∠ABC−∠C=70°.
【解析】(1)根据平行线的性质,由DE//BC,得∠2=∠EBC,进而推断出∠EBC=∠1.根据平行线的判定,得FG//BE.
(2)根据角平分线的定义,得∠ABC=2∠EBC=60°.再根据三角形内角和定理求得∠A=180°−∠ABC−∠C=70°.
本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理,熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理是解决本题的关键.
25.【答案】解:(1)∵3xb−a−2y2a−b−2=1是关于x,y的二元一次方程,
∴b−a=12a−b−2=1,
解得a=4b=5,
又∵A(a,b),
∴A(4,5),
又∵AB⊥y轴,
∴B(0,5),
∴OB=5,AB=4,
∴S三角形ABO=5×42=10;
(2)∵A(4,5),O(0,0),
且线段OA向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到线段DC,
∴C(6,4),D(2,−1),
过点C作AB的垂线交BA的延长线于点M,过点D作DE⊥y轴于点E,且交MC的延长线于点N,如图,
S四边形OACD=6×6−10−2×12−2×12−4×52=14;
(3)显然AE+EF的最小值为点A的纵坐标,
∴AE+EF的最小值为5.
【解析】(1)根据二元一次方程定义求出a,b,得到点A的坐标,以及点B的坐标,从而确定OB,AB的值,根据三角形面积公式求出三角形AOB的面积;
(2)根据平面直角坐标系中点的平移的规定得到点C,点D的坐标;再利用割补法即可求出四边形OACD的面积;
(3)根据垂线段最短即可直接写出AE+EF的最小值.
本题考查二元一次方程的定义,坐标系中图形面积计算,平移,垂线段最短,掌握相关概念,以及割补法求图形的面积的方法是解题的关键.
26.【答案】(1)解:如图所示,过点G作GE//AB,
∵AB//CD,
∴AB//GE//CD,
∴∠AMG=∠1,∠CNG=∠2,
∵GM⊥GN,
∴∠MGN=90°,
∴∠AMG+∠CNG=∠1+∠2=∠MGN=90°.
(2)如图所示,过点H作HF//AB,
∵∠AMG+∠CNG=90°,∠AMG+∠BMG=180°,∠CNG+∠GND=180°,
∴∠BMG+∠GND=360°−90°=270°
∵MH平分∠BMG,NH平分∠GND,
∴∠3+∠6=12(∠BMG+∠GND)=135°
∵AB//CD,
∴AB//HF//CD,
∴∠3=∠4,∠5=∠6,
∴∠MHN=∠4+∠5=∠3+∠6=135°;
(3)如图所示,将MP与CD的交点记作K,
∵MT平分∠BMP,且∠BMT=40°,
∴∠1=∠2=40°,∠BMP=80°,
∵NC平分∠TNP,
∴∠3=∠4,
设∠3=∠4=x°,
∴∠TND=180°−x°,
由(1)同理可得,∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°−x°=220°−x°,
∵AB//CD,
∴∠NKP=80°,
∴在△KPN中,∠P=180°−80°−x°=100°−x°,
∴∠MTN−∠P=120°,即∠MTN−∠P为定值.
【解析】(1)过点G作GE//AB,利用平行线的性质求解;
(2)分别过点G和H作GE//AB,FH//AB,利用平行的性质得到对应的角度关系,进而求取∠MHN的值;
(3)根据角平分线的定义求出∠1=∠2=40°,∠BMP=80°,∠3=∠4,设∠3=∠4=x°,求出∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°−x°=220°−x°,∠P=100°−x°,相减即可证明.
本题主要考查平行的常见模型,对于平行的辅助线添加,可过转折点处作已知直线的平行线,再利用平行的性质求解.关于度数的定值问题,可以借助代数式求证.
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