2021-2022学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）复数，则复数的虚部是　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知向量，，则　　

A． B．2 C． D．

3．（5分）的值为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知复数，则在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（5分）设为所在平面内一点，，则　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，则的值为　　

A． B． C．3 D．

8．（5分）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为　　

A．16 B．12 C．8 D．4

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．（5分）已知为坐标原点，，，则　　

A． 

B．若，则 

C．若，则点的坐标为， 

D．与方向相同的单位向量，

10．（5分）设，为复数，下列命题中正确的是　　

A． 

B．若，则与中至少有一个是0 

C．若，则 

D．

11．（5分）下列各式中，值为的是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）的内角、、的对边分别为、、则下列说法正确的是　　

A．若，，，则有两解 

B．若，则为直角三角形 

C．若，则 

D．若，，则面积的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知向量，，．若，则　　．

14．（5分）若，，化简　 　．

15．（5分）在中，是的中点，若，，则的边长为 　　．

16．（5分）在锐角中，角，，所对边的分别为，，，已知边长，，则　　；周长的取值范围为 　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知复数．

（1）若复数满足，求；

（2）若，，，求的值．

18．（12分）（1）利用三角公式化简：；

（2）已知，求．

19．（12分）已知向量、、在同一平面上，且，．

（1）若与垂直，求的值；

（2）若（其中，当取最小值时，求向量与的夹角大小．

20．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）已知，，，，求的值．

21．（12分）浙江杭州即将举办2022年亚运会，举办方为给运动员创造温馨舒适的居住环境，进行精心设计．如图，是一个以为直径的半圆形湖，（单位：百米），现在设计一个以为边的四边形，，在半圆上，设为圆心）．

（1）在四边形内种植荷花，且，当为何值时，荷花种植面积最大？

（2）为了显示美感，景观要错落有致的，要沿，和建造观景栈桥，且，当为何值时，观景栈桥总长最长？并求的最大值．

22．（12分）在中，设，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求的大小；

（2）若，求边长的取值范围；

（3）设的外接圆圆心为，是的中点，若三角形外接圆半径为．且满足，求的值．

2021-2022学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）复数，则复数的虚部是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

根据虚部的定义可得，复数的虚部是．

故选：．

2．（5分）已知向量，，则　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：根据题意，向量，，则，

则，

故选：．

3．（5分）的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：

．

故选：．

4．（5分）已知复数，则在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

，

，

在复平面内对应的点位于第二象限．

故选：．

5．（5分）设为所在平面内一点，，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意可知．

故选：．

6．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，

则

．

故选：．

7．（5分）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，则的值为　　

A． B． C．3 D．

【解答】解：由，利用正弦定理可得：，即，

平分，，

设，，，，

在与中分别利用余弦定理可得：，，

化为，

由，可得，可得，

，解得，

，

解得，

故选：．

8．（5分）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为　　

A．16 B．12 C．8 D．4

【解答】解：由得，结合、、三点共线可得，

所以，当且仅当且，即且时等号成立，所以的最小值为12．

故选．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．（5分）已知为坐标原点，，，则　　

A． 

B．若，则 

C．若，则点的坐标为， 

D．与方向相同的单位向量，

【解答】解：对于，，，，

，故正确，

对于，，，

，

，故正确，

设，

，

，，，解得，，故正确，

，

与方向相同的单位向量，故正确．

故选：．

10．（5分）设，为复数，下列命题中正确的是　　

A． 

B．若，则与中至少有一个是0 

C．若，则 

D．

【解答】解：设，，，，，

对于选项，，故选项正确，

对于选项，

，则或，

与中至少有一个是0，故选项正确，

对于选项：取，，则满足，故选项错误，

对于选项：由复数模的运算性质可知，故选项正确，

故选：．

11．（5分）下列各式中，值为的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

12．（5分）的内角、、的对边分别为、、则下列说法正确的是　　

A．若，，，则有两解 

B．若，则为直角三角形 

C．若，则 

D．若，，则面积的最大值为

【解答】解：．，，，，则有两解，正确；

．由，则，则，化为：，，或，解得，或，因此不正确；

．由，结合正弦定理，可得，因此正确；

．由余弦定理可得：，当且仅当时取等号，面积的最大值，因此正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知向量，，．若，则　5　．

【解答】解：向量，，，，

若，则，

，

故答案为：5．

14．（5分）若，，化简　　．

【解答】解：，，，

．

故答案为：．

15．（5分）在中，是的中点，若，，则的边长为 　8　．

【解答】解：，

，

两式相减可得：，

又，

，

所以．

故答案为：8．

16．（5分）在锐角中，角，，所对边的分别为，，，已知边长，，则　　；周长的取值范围为 　　．

【解答】解：（1）因为，

所以，

所以，

所以，可化为，

所以，

因为为锐角三角形，所以，

所以，可得，

因为，

所以，

因为为锐角三角形，所以，解得：，

由正弦定理得：，所以，，

所以周长，

因为，

所以，

所以，

所以，所以．

即周长的范围为，．

故容案为：，，．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知复数．

（1）若复数满足，求；

（2）若，，，求的值．

【解答】解：（1）设，

因为，，

所以，

所以，

由，解得，

所以；

（2）设复数，，在复平面内对应点分别为，，，

由，以为邻边的平行四边形是菱形，

在中，，

所以，，

所以，，

所以，，

因此，为正三角形，

故．

18．（12分）（1）利用三角公式化简：；

（2）已知，求．

【解答】解：（1）；

（2），

整理得；

故；

；

所以；

19．（12分）已知向量、、在同一平面上，且，．

（1）若与垂直，求的值；

（2）若（其中，当取最小值时，求向量与的夹角大小．

【解答】解：（1），，

，，

与垂直，

，解得．

（2）（其中，，，

，

，

当时，取得最小值，此时，

，

，即，

故向量与的夹角大小为．

20．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）已知，，，，求的值．

【解答】解：（1）由，得，，

则

；

（2）由，可得或，

，，

则，

，，，

则，．

21．（12分）浙江杭州即将举办2022年亚运会，举办方为给运动员创造温馨舒适的居住环境，进行精心设计．如图，是一个以为直径的半圆形湖，（单位：百米），现在设计一个以为边的四边形，，在半圆上，设为圆心）．

（1）在四边形内种植荷花，且，当为何值时，荷花种植面积最大？

（2）为了显示美感，景观要错落有致的，要沿，和建造观景栈桥，且，当为何值时，观景栈桥总长最长？并求的最大值．

【解答】解：（1）因为，所以，，

因为，所以，

所以，当，即时，荷花种植面积最大；

（2）因为，所以，且，

由余弦定理得，

．

所以，，

令，

因为，所以，

，

所以，当时，即时，取最大值12，即

当时，观景栈桥总长取最长，最大值为12百米．

22．（12分）在中，设，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求的大小；

（2）若，求边长的取值范围；

（3）设的外接圆圆心为，是的中点，若三角形外接圆半径为．且满足，求的值．

【解答】解：（1）由正弦定理整理可得，

即，

所以，

即，

因为，所以，则，

因为，所以；

（2）因为，即，

由余弦定理可得：，即，

由基本不等式可得，所以，即，

所以，则，

所以的取值范围为，；

（3）由正弦定理得，即，

如图所示，因为角形外接圆半径为．所以，

因为，所以，

即，所以，

因为为中点，由向量的中线公式可得，

所以，即，

因为外接圆的圆心为，，则，

所以，所以，

则，解得，

在中，由余弦定理可得，

即，解得，

在中，由余弦定理可得，

即，解得．

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