2023-2024学年甘肃省酒泉市四校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省酒泉市四校联考高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z(1−i)=2(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.已知向量a=(1, 3)，则下列选项中与a共线的单位向量是( )
A. ( 32,12)B. (−12,− 32)C. (−12, 32)D. (12,− 32)
3.在三角形ABC中，若AB=4，AC=2 7，∠B=60°，则BC=( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
4.某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为( )
A. 20B. 30C. 50D. 80
5.已知sinα+csα=15，0<α<π，则cs2α=( )
A. 1625B. 725C. −725D. −1625
6.某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组(各9人)给参赛选手打分.根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是( )
A. B组打分的极差小于A组打分的极差B. B组打分的中位数为75
C. A组的意见相对一致D. A组打分的众数为50
7.已知2i−3是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=( )
A. −38B. −14C. 14D. 38
8.已知f(x)是定义在R上的单调减函数，则能使f(sinx)A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2)D. (3π2,2π)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如表是某校高三(1)班三名同学在高三学年度的六次数学测试中的分数及班级平均分表.下列叙述中正确的是( )
A. 甲同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平
B. 乙同学的数学学习成绩不稳定，总在班级平均水平上下波动
C. 丙同学的数学学习成绩始终低于班级平均水平
D. 通过与班级平均分的对比，可发现丙同学的数学成绩在稳步提高
10.若函数f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π2B. 函数f(x)在区间[−π12,5π12]上单调递增
C. 函数f(x)图象关于x=−π12对称D. 函数f(x)的图象关于点(2π3,0)对称
11.下列说法中错误的有( )
A. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
B. 已知向量e1=(3,−2)，e2=(1,−23)，则{e1,e2}不能作为平面向量的一个基底
C. 已知a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则实数m的值为1
D. O是△ABC所在平面内一点，且满足OA⋅(AB|AB|+CA|CA|)=OB⋅(BA|BA|+CB|CB|)=OC⋅(CA|CA|+BC|BC|)=0，则O是△ABC的内心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=2c，csC= 407，则sinA= ______．
13.若sin(α+π6)=−13，α∈(0,π)，则cs(2α−2π3)=______．
14.已知向量a，b满足|a+b|=1，|a−5b|=2，则|a−2b|最大值为______，最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
当实数m取什么值时，复数z=(m2−3 2m+4)+(m2− 2m)i分别满足下列条件？
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)z在复平面内表示的点位于第四象限．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2 3sin(x−π)sin(3π2−x)+2cs2(π+x)−1．
(1)将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，φ∈(0,π2)，并求f(x)的值域；
(2)若f(α)=65，α∈(π4,π2)，求sin2α的值．
17.(本小题15分)
上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计(若该校全体学生的成绩均在[60,140)分，按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)的分组作出频率分布直方图如图(a)所示，若用分层抽样从分数在[70,90)内抽取8人，则抽得分数在[70,80)的人数为3人．

(1)求频率分布直方图中的x，y的值；并估计本次考试成绩的平均数(以每一组的中间值为估算值)；
(2)该高三数学组准备选取数学成绩在前5%的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，且AB=2，AC=6 2，AM=5．
(1)求∠BAC的大小；
(2)求∠MPN的余弦值．
19.(本小题17分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bcsC+ 3bsinC−a−c=0．
(1)求证：2B=A+C；
(2)若△ABC为锐角三角形，且a2+c2=b2+2b，求△ABC面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为z(1−i)=2，
所以z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，
所以复数z的虚部为1．
故选：A．
根据复数的运算和复数的概念求解即可．
本题主要考查复数的运算和复数的概念，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：向量a=(1, 3)，
则|a|= 1+3=2，
故与a共线的单位向量是±a|a|=±(12, 32)，
结合选项可知，B正确．
故选：B．
根据已知条件，结合向量共线的性质，以及单位向量的定义，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，以及单位向量的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：AB=4，AC=2 7，∠B=60°，
则AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB，即28=16+BC2−4BC，解得BC=6(负值舍去)．
故选：D．
根据已知条件，结合余弦定理的公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为2：3：5，则A被抽的抽样比为22+3+5=15，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为100×15=20．
故选：A．
根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵sinα+csα=15①，
∴1+2sinαcsα=125，解得2sinαcsα=−2425，
∵0<α<π，
∴sinα>0，csα<0，则α∈(π2,π)，
则sinα−csα= (sinα−csα)2= 1−2sinαcsβ=75，即sinα−csα=75②，
联立①②得sinα=45,csα=−35，则cs2α=cs2α−sin2α=−725，
故选：C．
通过平方求出sin2α，可得α范围，求出sinα−csα，联立方程求出sinα，csα，结合二倍角公式，即可得出答案．
本题考查同角的三角函数的关系和二倍角公式，考查方程思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误；
对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误．
故选：C．
对于A，根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B，将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C，根据方差的性质分析判断；对于D，根据题中数据结合众数的定义分析判断．
本题考查折线图、极差、中位数、方差、众数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：2i−3是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
则−3−2i也是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
故−3+2i+(−3)−2i=−p2(−3+2i)(−3−2i)=q2，解得p=12，q=26，
故p+q=38．
故选：D．
根据已知条件，推得−3−2i也是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，再结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的单调减函数，
则不等式f(sinx)csx，
所以sinx−csx= 2sin(x−π4)>0，
令0+2kπ所以不等式的解集为(π4+2kπ,5π4+2kπ)，k∈Z，
因为(π2,π)⊆(π4,5π4)，故x∈(π2,π)时满足f(sinx)故选：B．
根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再利用辅助角公式及正弦函数的性质求出不等式的解集，最后根据集合的包含关系判断即可．
本题主要考查了函数单调性的应用，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：甲同学每次成绩都高于平均分，故A正确；
乙同学3次成绩高于平均分，3次成绩低于平均分，故B正确；
丙同学第6次成绩高于平均分，故C正确；
丙同学成绩逐渐提升，且第6次成绩高于平均分，故D正确．
故选：ABD．
将每位同学的成绩与班级平均分比较，判断正误．
本题考查统计相关知识，属于基础题，．
10.【答案】BCD
【解析】解：f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32=12sin2x− 3⋅1+cs2x2− 32
=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
A中，f(x)最小正周期为T=2π2=π，所以A错误；
B中，当x∈[−π12,5π12]，则2x−π3∈[−π2,π2]，故f(x)在[−π12,5π12]上递增，所以B正确；
C中，由f(−π12)=sin(−π6−π3)=−1，故x=−π12是f(x)的一条对称轴，所以C正确；
D中，由f(2π3)=sin(4π3−π3)=0，故(2π3,0)是f(x)的一个对称点，所以D正确．
故选：BCD．
化简f(x)的解析式，然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查辅助角公式的应用及三角函数的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，若b=0，则a//b，b/​/c，但不一定有a/​/c，故A项错误；
对于B，由e1=3e2，可知e1/​/e2，所以{e1,e2}不能作为平面内的一组基底，故B项正确；
对于C，a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则a⋅b=m+2=0，解得m=−2，故C项错误；
对于D，若OA⋅(AB|AB|+CA|CA|)=OB⋅(BA|BA|+CB|CB|)=OC⋅(CA|CA|+BC|BC|)=0，
由OA⋅(AB|AB|+CA|CA|)=0，可知OA垂直于∠BAC的外角平分线，所以点O在∠BAC的平分线上，
同理点O在∠ABC的平分线上，点O在∠ACB的平分线上，所以点O是△ABC的内心．故D选项正确．
综上所述，A、C两项不正确，B、D两项正确．
故选：AC．
通过举出反例加以说明，判断出A项不正确；由e1=3e2得到e1/​/e2，则{e1,e2}不能作为平面内的一组基底，可知B选项正确；由两个向量垂直条件，列式m=−2，可知C项不正确；由题意利用单位向量的性质与向量的线性运算法则，证出O是△ABC的内心，可知D选项正确，进而判断出本题的答案．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量平行与垂直的条件、三角形的内心的判定等知识，属于中档题．
12.【答案】67
【解析】解：因为csC= 407，在三角形中，可得sinC= 1−( 407)2=37，
因为a=2c，由正弦定理得：sinA=2sinC，
所以sinA=2sinC=67．
故答案为：67．
由csC的值，可得sinC的值，再由正弦定理可得sinA的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
13.【答案】−79
【解析】解：因为cs(α−π3)=cs(α+π6−π2)=sin(α+π6)=−13，
所以cs(2α−2π3)=2cs2(α−π3)−1=2×(−13)2−1=−79．
故答案为：−79．
首先已知可得化简cs(α−π3)=sin(α+π6)=−13，然后借助二倍角的余弦公式求解．
本题考查三角函数诱导公式及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14.【答案】32 12
【解析】解：根据题意，|a+b|=1，|a−5b|=2，
设a+b和a−5b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
又a−2b=12[(a+b)+(a−5b)]，
故|a−2b|2=14[(a+b)2+(a−5b)2+2(a+b)(a−5b)]=5+4csθ4，
又由θ∈[0,π]，则−1≤cs≤≤1，
则当csθ=1时，|a−2b|2取得最大值94，则|a−2b|取最大值32；
当csθ=−1时，|a−2b|2取得最大值14，则|a−2b|取最小值12．
故答案为：32；12．
根据题意，设a+b和a−5b的夹角为θ，分析可得a−2b=12[(a+b)+(a−5b)]，由数量积的计算公式可得|a−2b|2=5+4csθ4，由三角函数的值域分析可得答案．
本题考查向量数量积的应用，涉及向量模的计算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)若z为实数，则m2− 2m=0，解得m=0或m= 2．
(2)若z为纯虚数，则m2− 2m≠0m2−3 2m+4=0，解得m=2 2．
(3)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
则m2−3 2m+4>0m2− 2m<0，解得0故m的取值范围为(0, 2).
【解析】(1)若z为实数，可知虚部为0，列式求解即可；
(2)若z为纯虚数，可知虚部不为0，实部为0，列式求解即可；
(3)由题意可知虚部小于0，实部大于0，列式求解即可．
本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2 3sin(x−π)sin(3π2−x)+2cs2(π+x)−1=−2 3sinx(−csx)+2cs2x−1
= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
故函数f(x)的值域为[−2,2]．
(2)∵f(α)=2sin(2α+π6)=65，α∈(π4,π2)，∴sin(2α+π6)=35，2α+π6∈(2π3,7π6).
∴cs(2α+π6)=− 1−sin2(2α+π6)=−45，
∴sin2α=sin[(2α+π6)−π6]=sin(2α+π6)csπ6−cs(2α+π6)sinπ6=35× 32−(−45)× 32=7 310．
【解析】(1)由题意，利用诱导公式、二倍角公式，正弦函数的值域，得出结论．
(2)由题意，利用同角三角基本关系求得cs(2α+π6)的值，再利用两角差的正弦公式，计算求得结果．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式、同角三角基本关系，正弦函数的值域，两角和差的三角公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)用分层抽样从分数在[70,90)内抽取8人，抽得分数在[70,80)的人数为3人，则38=+x，解得x=0.01；
(0.004+0.006+0.01+0.02+0.03+y+0.01+0.006)×10=1，解得y=0.014；
本次考试成绩的平均数为x−=65×0.004×10+75×0.006×10+85×0.01×10+95×0.02×10+105×0.03×10+115×0.014×10+125×0.01×10+135×0.006×10=102.8．
(2)(140−132)×0.006=0.048<5%，估计能被选中．
【解析】(1)根据分层抽样求出x的值，利用所有分组的概率之和为1求出y，由频率分布直方图的平均数公式求得平均数；
(2)由频率分布直方图计算132所在的百分位数，再得结论．
本题考查由频率分布直方图求频率和平均值，考查了分层抽样和样本百分位数，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为M为BC的中点，所以AM=12(AB+AC)，
可得AM2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14(|AB|2+|AC|2+2|AB|⋅|AC|⋅cs∠BAC)．
由AB=2，AC=6 2，AM=5，可得25=14×(4+72+2×2×6 2×cs∠BAC)，解得cs∠BAC= 22．
而∠BAC∈(0,π)，所以∠BAC=π4．
(2)因为N为AC的中点，所以BN=AN−AB=12AC−AB，
可得|BN|= (12AC−AB)2= 12AC2−AC⋅AB+AB2= 18−12+4= 10，
由AM=12(AB+AC)，
得AM⋅BN=12(AB+AC)⋅(12AC−AB)=12(12AC2−12AC⋅AB−AB2)
=12(12×72−12×12−4)=13，
所以cs=AM⋅BN|AM|⋅|BN|=135× 10=13 1050，
结合∠MPN与向量AM，BN的夹角相等，可得∠MPN的余弦值为13 1050．
【解析】(1)根据AM是ΔABC的边BC的中线，得到AM=12(AB+AC)，两边平方并代入题中数据，结合数量积的定义算出cs∠BAC，进而得到∠BAC的大小；
(2)根据向量的减法法则与三角形中线的性质，表示出BN=AN−AB=12AC−AB，然后求出AM⋅BN与|BN|，进而利用向量的夹角公式算出∠MPN的余弦值．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为bcsC+ 3bsinC−a−c=0，由正弦定理可得sinBcsC+ 3sinBsinC−sinA−sinC=0，
而sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以−csBsinC+ 3sinBsinC−sinC=0，
因为sinC>0，
所以 3sinB−csB=1，即sin(B−π6)=12，
而B∈(0,π)，B−π6∈(−π6,5π6)，
可得B−π6=π6，解得B=π3，
所以A+C=π−B=2π3，
所以2B=A+C，得证；
(2)由(1)可得B=π3，
又因为a2+c2=b2+2b，可得2accsB=2b，可得ac=2b，
由正弦定理可得csinA=2sinB=2× 32= 3，可得c= 3sinA，
可得asinC=2sinB= 3，可得a= 3sinC= 3sin(2π3−A)，
可得△ABC面积S=12acsinB= 34ac= 34× 3sin(2π3−A)× 3sinA=3 34⋅1( 32csA+12sinA)sinA=3 34⋅112sin(2A−π6)+14，
因为△ABC为锐角三角形，0所以sin(2A+π6)∈(−12,1)，
所以△ABC面积S=3 34⋅112sin(2A−π6)+14∈( 3,+∞)，
可得△ABC面积的取值范围( 3,+∞)．
【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sin(B−π6)=12，可求范围B−π6∈(−π6,5π6)，解得B=π3，即可得证；
(2)由(1)可得B=π3，利用余弦定理可得ac=2b，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求S=3 34⋅112sin(2A−π6)+14，由题意可求2A+π6∈(π2,7π6)，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．学生
测试序号
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲同学
138
127
131
132
128
135
乙同学
130
116
128
115
126
120
丙同学
108
105
113
112
115
123
班级平均分
128.2
118.3
125.4
120.3
115.7
122.1