甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
2. 设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（ ）
A. 2B. C. D.
3. 在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ）
A B.
C D.
7. 已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项}符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，分别为直线，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 是平面的一个法向量
D. 点到平面的距离为
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间中三点，设，若，且，则向量______
13. 如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
14. 某商户销售、两种小商品，当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，如果该商户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投入______千元
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若，求MN的长．
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
（1）求证：平面PBC；
（2）求证：平面BDE．
17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点．
（1）求点到平面的距离.
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
18. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的单调区间，
（2）若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
19. 已知函数，（，为自然对数的底数）.
（1）求函数的极值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.