甘肃省酒泉市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省酒泉市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知数列的一个通项公式为,且,则实数a等于( )
A.1B.3C.D.
2、直线的一个方向向量是( )
A.B.C.D.
3、已知等差数列中,,,则公差( )
A.4B.3C.D.
4、直线,,若,则实数m的值为( )
A.0B.3C.0或D.0或3
5、在等比数列中,,,则( )
A.8B.6C.4D.2
6、已知直线与曲线有两个不同的交点,则m的取值范围为( )
A.B.C.D.
7、“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现,该数列满足递推关系:,.已知数列为“斐波那契”数列,为数列的前n项和,若,则( )
A.B.C.2mD.
8、若圆上存在点M,点M关于直线的对称点在圆上,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知等比数列的前项和为,若,则数列的公比可能是( )
A.1B.C.3D.
10、下列各直线中,与直线平行的是( )
A.B.C.D.
11、下列关于直线与圆的说法正确的是( )
A.若直线l与圆C相切,则为定值
B.若,则直线l与圆C截得的弦长为定值
C.若,则圆上仅有两个点到直线l的距离相等
D.当时,直线与圆相交
12、已知数列满足,,且数列的前n项和为,则下列结论正确的是( )
A.数列是等差数列B.
C.D.若,则实数的取值范围为
三、填空题
13、已知直线l经过点,.直线l的倾斜角是___________.
14、已知等比数列的前n项和为,,,则______.
15、已知圆与圆只有一条公切线,则__________.
16、已知数列中,,,若对任意,,则数列的前n项和______.
四、解答题
17、已知直线l经过点,.
（1）求直线l的一般式方程;
（2）若直线m与直线l垂直,且在y轴上的截距为2,求直线m的方程.
18、已知等差数列的前n项和为,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）求的最小值及取得最小值时n的值.
19、已知圆C经过,,且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程;
（2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆C的圆周,求反射光线所在直线的方程.
20、已知等差数列中,,且,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）,求数列的前n项和.
21、直线,圆.
（1）证明:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标;
（2）当直线l被圆C截得的弦最短时,求此时l的方程;
（3）设直线l与圆C交于A,B两点,当的面积最大时,求直线l方程.
22、已知数列是公差为1的等差数列,且,数列是等比数列,且,.
（1）求和的通项公式;
（2）设,求数列的前2n项和;
（3）设,求数列的前项和.
参考答案
1、答案：B
解析:因为,,
所以,解得.
故选:B.
2、答案：C
解析:直线的斜率,
直线的一个方向向量为.
故选:C.
3、答案：B
解析:在等差数列中,,,
所以有.
故选:B
4、答案：C
解析:因为,,,
所以,即,解得或.
故选:C.
5、答案：C
解析:设该等比数列的公比为q,
因为,所以由,
因此.
故选:C.
6、答案：A
解析:曲线表示圆在x轴的上半部分,
当直线与圆相切时,,
解得,当点在直线上时,
,可得,所以实数取值范围为.
故选:A
7、答案：D
解析:,以此类推,.
故选:D
8、答案：A
解析:由题知,如图所示:
因为圆的圆心为,
所以关于直线对称的点为,
所以圆关于直线对称的圆为,
若要圆上存在点M,点M关于直线的对称点
在圆上,
其中圆的圆心为,半径为2,
则只需与有交点即可,
又
所以在外,
根据两圆有交点,则两圆心的距离大于半径等于之差的绝对值,小于等于半径之和.
可得:,两圆分别内切与外切的时候取等号,
解得:.
故选:A.
9、答案：AB
解析:设数列的公比为q,若,
则,满足题意;
若,由,得,解得,
综上,或.
故选:AB
10、答案：ABC
解析:两直线,,
其平行的充要条件为且或,
对于A项,易知且,即A正确;
对于B项,易得,有且,即B正确;
对于C项,易知且,即C正确;
对于D项,易知,D项不符合.
故选:ABC
11、答案：ABD
解析:圆的圆心为,半径为1,
对于A选项,若与圆相切,则,可得,A正确;
对于B选项,若,圆心到直线的距离为,此时直线被圆截得的弦长为,B正确;
对于C选项,因为,圆心到直线的距离为,此时圆上有3个点到直线l的距离相等,C错误;
对于D选项,当时,直线的方程为,即直线过定点,又因为,可得点在圆内,故直线与圆相交,D正确.
故选:ABD.
12、答案：ABD
解析:由,,得,即,
所以是等差数列,公差为,首项为,A正确;
所以,则,B正确;
数列的前n项和为:,①
,②
由①减②可得
,
即,C错误;
由,得,因为当时,单调递增,
所以当时,的值最小.即,所以,
所以实数的取值范围为,D正确.
故选:ABD.
13、答案：或
解析:因为过,两点的直线的斜率为:,
因为,是直线的倾斜角,且
所以直线的倾斜角为:.
故答案为:.
14、答案：12
解析:法一:设等比数列的公比为q,由,,得,
而,于是,
所以.
法二:因为为等比数列,所以,,也成等比数列,
即4,4,成等比数列,即.
故答案为:12
15、答案：16
解析:圆的圆心为,半径,
圆的圆心为,半径,
因为圆与圆只有一条公切线,
所以两圆相内切,所以,即,
所以.
故答案为:16
16、答案：
解析:由,且,,可知,
则可化为,
则有,即等比数列,
且公比为2,首项为,则,
所以,
即数列的前n项和为.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）直线l的斜率为,
直线l的方程为,
直线l的一般式方程为.
（2）直线m与直线l垂直,由（1）知:直线l的斜率为2,
直线m存在斜率,设直线m的方程为,且,即,
直线m的方程为,即.
18、答案：（1）
（2）当时,最小,最小值为.
解析:（1）设等差数列的公差为d,
由,,得,,
解得,,
所以.
（2）由（1）知,
又,所以当时,取最小,最小值为.
19、答案：（1）
（2）
解析:（1）由题知AB中点为,,
所以AB的垂直平分线方程为,即,
联立,解得,即圆心为,
所以圆C的半径为,
故圆C的方程为.
（2）设M关于的对称点为,
则直线MN与垂直,且MN的中点在直线上,
则,解得,
由题意知反射光线过圆心,故,
即.
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）因为为等差数列,设公差为d,
又因为,,成等比数列,即,
即,解得,
所以;
（2）,
所以.
21、答案：（1）证明见解析,
（2）
（3）
解析:（1）证明:由题意知l可化为,
故,解得,
直线l恒过定点.
（2）因为
所以圆C的圆心为,半径,
如图所示:
,
当直线l被圆截得的弦长最短时,l与PC垂直,
,
,即.
（3）方法1(几何法)
,且为钝角,
当时有最大值,即面积有最大值,
此时同（2）,即.
方法2
设圆心到直线AB的距离为d,则,
,
当时有最大值,此时同（2）,
或者由,,解得,
.
22、答案：（1）,
（2）
（3）
解析:（1）由题可知数列是公差为1的等差数列,且,
则,解得,
所以,
设等比数列的公比为q,且,,
则,解得,
所以,
所以和的通项公式为,.
（2）由（1）得为,则,
所以数列的前n项和
.
（3）由（1）得为,,
所以,
因为当为奇数时,则,
所以求列的前2n项和为
故.