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湖南省益阳市2022-2023学年高三下学期4月月考数学试题 Word版含解析
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这是一份湖南省益阳市2022-2023学年高三下学期4月月考数学试题 Word版含解析，共19页。试卷主要包含了 已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
A. 15B. 12C. 1D. 5
2. 已知集合A={x|−2≤x<7}，B={x|2x≥1}，则A∩∁RB为( )
A. {x|−2≤x<7}B. {x|−2≤x<0或2C. {x|−2≤x≤0或23. 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，相对于三角函数，双曲函数具有良好的可解性.现有双曲正弦函数sinhx=ex−e−x2，双曲余弦函数cshx=ex+e−x2，则f(x)=sinhxcshx是( )
A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 在R上单调递减
4. 函数f(x)=ln(e2x+1)−xx2−1的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(−c,0)，F2(c,0)，直线x=c与椭圆C相交于A、B两点，当三角形ABF1为直角三角形时，椭圆C的离心率e等于( )
A. 22B. 2−1C. 3−1D. 33
6. 金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为183，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是( )
A. 18πB. 92πC. 6πD. 6π
7. 已知a=(2+1)e2−1，b=(3+2)e3−2，c=2+2，则下列结论正确的是( )
A. a8. 已知直线l与曲线y=x3−3x2+4x−1相交，交点依次为D、E、F，且|DE|=|EF|=5，则直线l的方程为( )
A. y=3x−2B. y=2x−1C. y=2x+3D. y=3x+2
9. 给定事件A，B，C，且P(C)>0，则下列选项正确的是( )
A. P(A∪B|C)≤P(A|C)+P(B|C)
B. 若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C. 若P(A|C)+P(B|C)=1，则A，B互为对立事件
D. 若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则A，B，C两两独立
10. 如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，BF∩AE=O，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( )
A. CF⊥OPB. 存在点P，使得PE//CF
C. 存在点P，使得PE⊥EDD. 三棱锥P−AED的体积最大值为26
11. 如图，有一列曲线Ω1，Ω2，⋯，Ωn，⋯，且Ω1是边长为6的等边三角形，Ωi+1是对Ωi(i=1,2,⋯)进行如下操作而得到：将曲线Ωi的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到Ωi+1，记曲线Ωn(n=1,2,⋯)的边长为an，周长为cn，则下列说法正确的是( )
A. an=2⋅(13)n−2B. c5=2569
C. 在Ω3中OA⋅OC=OD⋅OCD. 在Ω3中OB⋅OC=40
12. 定义在{0,+∞)上的函数g(x)的导函数为g′(x)，xg′(x)>g(x)，∀x1，x2∈(0,+∞)(x1≠x2)，则下列不等式中一定成立的是( )
A. g(x1x2)g(x1)+g(x2)
C. g(x1+x22)x2x1g(x1)+x1x2g(x2)
13. 已知向量a=(2,4)，b=(−1,m)，且a⋅b=10，则m=__________.
14. 甲乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲乙中间有空位的概率为__________.
15. 过抛物线y2=6x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若AF=3FB，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为__________.
16. 已知函数f(x)=8x,0≤x≤124cs2πx,1217. △ABC中，角 A， B， C的对边分别为a， b， c，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①csinB+C2=asinC;
②asinC1−csA=3c;
③△ABC的面积为34(b2+c2−a2).
(1)求角A的大小;
(2)求sinBsinC的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 数列an的前n项的和为Sn，已知a1=1，a2=3，当n≥2时，Sn+1+Sn−1=2Sn+n+1.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设bn=(−1)n⋅an，求bn的前2m项和T2m.
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABFE为菱形，AB=AD=2DC=2，DE=6，∠BAE=∠DAB=60∘，DC//AB.
(1)证明：BC⊥AF;
(2)若M为线段AD的中点，求二面角A−BF−M的余弦值.
20. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%.
(1)求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈。求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
21. 已知F1F2分别为双曲线C1:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点，其中F1坐标为(0,2)点M(3,2)是双曲线C1上的一个点.
(1)求双曲线C1的方程;
(2)已知过点P(4,1)的直线与C1:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q总在某条定直线上.
22. 已知函数f(x)=x2−1，g(x)=2axlnx.
(1)若f(x)≥g(x)对x∈[1,+∞)成立，求实数a的取值范围;
(2)若a∈[233,53]，函数ℎ(x)=f(x)−g(x)x存在两个极值点x1，x2(x1答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了复数的模，涉及复数的除法运算，属于基础题.
【解答】
解：因为z(3+4i)=5i，
所以z=5i3+4i=5i3−4i3+4i3−4i=45+35i，
所以z=1.
故选C.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了交集和补集混合运算，属基础题.
【解答】
解：B={x|2x≥1}={x|02}，
因此，A∩(∁RB)={x|−2⩽x<7}∩{x|x⩽0或x>2}={x|−2⩽x⩽0或2
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
根据题意，依次判断即可.
【解答】
解：由题可知：f(x)=sinhxcshx=ex−e−x2⋅ex+e−x2=e2x−e−2x4，定义域为R，且∀x∈R，f(−x)=−f(x)，所以函数为奇函数.
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了函数图像的识别，属于中档题.
【解答】
解：因为x2−1≠0，x≠±1，
而f(−12)=ln (1e+1)+12−34<0，所以C，D错误.
令g(x)=ln (e2x+1)−2x，所以g′(x)=−2e2x+1<0，即g(x)单调递减，
当x>1时，g(x)=ln (e2x+1)−2x所以x>1时，ln (e2x+1)−x令ℎ(x)=xx2−1，
所以x>1时，f(x)而ℎ′(x)=x2−1−2x2x2−12=−x2−1x2−12<0，即x>1时，ℎ(x)=xx2−1单调递减，
所以所以x>1时，f(x)=ln (e2x+1)−xx2−1，在x→+∞单调递增错误，B错误.
故选A.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了求椭圆的离心率，属基础题.
【解答】
解：将x=c代入椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，可得y=±b2a，则|AB|=2b2a，
当三角形ABF1为直角三角形时，由F1F2=12AB，得2c=b2a，即2ac=a2−c2，
亦即2e=1−e2，解得e=2−1.
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查棱锥的表面积、球的体积，属于基础题.
【解答】
解：由题可知，最大球即为其内切球；
如图，设底面 ABCD中心为O，连接 CO， EO，由几何关系知，
在ΔEBC中BC边上的高=32−(32)2=332，
又EO=274−94=322，设内切圆半径为r
由等面积法可知：322⋅32=332⋅r，解得r=62
则内切球体积为V=43π(62)3=6π.
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了比较数的大小，属于中档题.
【解答】
解：因为a=(2+1)e2−1>0，b=(3+2)e3−2>0，
所以ab=2+1e2−13+2e3−2=2+13+2e22−3−1<1，
所以a因为ac=2+1e2−12+2=2+12−2e2−12=e2−12
令设f(x)=ex−ex，令f′(x)=ex−e=0，可得x=1，且f′(x)>0时，x>1，
所以f(2)>f(1)=0，即e2−2e>0，可得e2−1>2，即e2−12>1
所以a>c.
故选C.
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了函数的对称性，涉及两点间的距离公式、求直线方程，属较难题.
【解答】
解：∵y=x3−3x2+4x−1=(x−1)3+(x−1)+1，
∴曲线y=x3−3x2+4x−1的对称中心为(1,1)，
由|DE|=|EF|=5，可知点E为对称中心，故E的坐标为(1,1)，
不妨设D(x,x3−3x2+4x−1)，
则由|DE|=5，得(x−1)2+(x3−3x2+4x−2)2=5，
即(x−1)2+[(x−1)3+(x−1)]2=5，
令x−1=t，则t2+(t3+t)2=5⇒t6+2t4+2t2−5=0，
即t6−t4+3t4+2t2−5=0⇒t4(t2−1)+(3t2+5)(t2−1)=0，
∴(t2−1)(t4+3t2+5)=0，∴t=±1.
当t=1时，x=t+1=2，A(2,3).
又l过E(1,1)，∴直线l的方程为y=2x−1，
当t=−1时，x=t+1=0，A(0,−1).
又l过E(1,1)，直线l的方程为y=2x−1.
综上，直线l的方程为y=2x−1.
9.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查对立事件、互斥事件、独立事件、条件概率，属于基础题.
【解答】
对于A:①当A，B互斥时，P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)
②当A，B不互斥时，P(A∪B|C)对于B:若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，那么P(AB)=0≠P(A)P(B)，故A，B不可能相互独立；
对于C，由P(A|C)+P(B|C)=1，并不能得出A与B是对立事件;
对D，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则事件AB与C相互独立，但推导不出A，B，C两两独立，故D错误;
10.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查了空间线线位置关系，锥体体积，属于基础题.
【解答】
解：由已知可得，，所以故A正确；
因为，若，则，不存在，故B错误；
因为，当时，，可得，故C正确；
当时，取最大值，此时，，所以，故D正确.
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查了推理案例、向量的数量积的运算、等比数列等知识，属较难题.
【解答】
解：根据题意将曲线Ωi的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角
形，再将中间部分的线段去掉得到Ωi+1 ，
记曲线Ωn(n=1,2,⋯) 的边长为an，
数列{an}是首项为6，公比为13的等比数列an=6×13n−1=2⋅(13)n−2，故A正确;
封闭曲线Ωn(n=1,2,⋯)的周长为cn，则数列{cn}是首项为c1=18，公比为43的等比数列，
所以cn=18×(43)n−1，则c5=18×(43)5−1=5129，故B错误;
由题知OA=6，∠OAC=90∘，可求得AC=23，
则OC=OA+AC，于是OA⋅OC=OA⋅(OA+AC)=OA2=36，
又∠OCD=30∘，OC=43，CD=2，OD=OC+CD，
则OD⋅OC=(OC+CD)⋅OC=OC2+OC⋅CD=48−12=36，故C正确；
由题知∠OAB=90∘，AB=233，OB=OA+AB，结合C可知，AC=3AB，
则OB⋅OC=OA+AB⋅OA+AC=OA+AB⋅OA+3AB
=OA2+3AB2=36+3×2332=40，故D正确.
12.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数单调性，属于中档题.
【解答】
解：由题意可设F(x)=g(x)x，则F′(x)=xg′(x)−g(x)x2，
∴F′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则F(x)在(0,+∞)上单调递增，
对于A:取g(x)=x2，满足xg′(x)>g(x)，但g(x1x2)=g(x1)g(x2)；
对于B:∵x1+x2>x1，∴F(x1+x2)>F(x1)，即g(x1+x2)x1+x2>g(x1)x1，
∴x1x1+x2g(x1+x2)>g(x1)①，
∵x1+x2>x2，∴F(x1+x2)>F(x2)，即g(x1+x2)x1+x2>g(x2)x2，∴x2x1+x2g(x1+x2)>g(x2)②，
由①+②得g(x1+x2)>g(x1)+g(x2)，故B正确;
对于C:取g(x)=x2，则g(x1+x22)=(x1+x22)2，g(x1x2)=x1x2，
g(x1+x22)−g(x1x2)>0，故C错误
对于D:∵g(x1)−x2x1g(x1)=x1−x2x1g(x1)①，
x1x2g(x2)−g(x2)=−x2−x1x2g(x2)②，
由①-②得
g(x1)−x2x1g(x1)−x1x2g(x2)+g(x2)=x1−x2x1g(x1)+x2−x1x2g(x2)=(x1−x2)(g(x1)x1−g(x2)x2)>0，
∴g(x1)+g(x2)>x2x1g(x1)+x1x2g(x2)，故D正确，
故选BD
13.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.
【解答】
解：因为a⋅b=10，
所以−2+4m=10，可得m=3.
14.【答案】23
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型及其计算，涉及排列问题，属基础题.
【解答】
解：甲乙两人要在一排六个空座上就坐，则有A62=30种坐法，
而甲乙一定相邻的坐法有5A22=10种坐法，
则甲乙中间有空位的概率为P=30−1030=23.
15.【答案】33
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系，属于基础题.
【解答】
解：由题可知F=32，设直线l方程为x=my+32，A(xA,yA),B(xB,yB)，
联立方程可得：x=my+32y2=6x，消去x可得：y2−6my−9=0，
故|yAyB|=9，又|yA||yB|=3，可得：|yA|=33,|yB|=3，
所以S△OAB=12⋅|OF|⋅(|yA|+|yB|)=12×32×43=33.
16.【答案】[1516,1+1π)
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数求最值，属于拔高题.
【解答】
解：由题意，函数f(x)的大致图象如图所示，
由图象知，x2∈[34,1);
由x2，x3关于x=1对称，可得x3=2−x2，
由8x1=4cs2πx2，可得x1=12cs2πx2，
那么x2x3+2πx1=x2(2−x2)+1πcs2πx2
构造新函数g(x)=−x2+2x+1πcs2πx，x∈[34,1)
则g′(x)=−2x+2−2sin2πx，x∈[34,1),
则g′′(x)=−2−4πcs2πx，在区间[34,1)单调递减，
g′′(34)<0，
即在区间[34,1),g′′(x)<0,
所以g′(x)=−2x+2−2sin2πx在区间[34,1)单调递减，
又因为g′(1)=−2+2−2sin2π=0，
所以在区间[34,1)g′(x)=−2x+2−2sin2πx>0
所以在区间[34,1),g(x)=−x2+2x+1πcs2πx单调递增，
因为g(34)=1516，g(1)=1+1π，
所以x2x3+2πx1的取值范围为[1516,1+1π)
17.【答案】解：(1)选择①:由正弦定理，sinCcsA2=sinAsinC，
因为sinC>0，所以csA2=sinA，即csA2=2sinA2csA2，
因为00，所以sinA2=12，
所以A2=π6，即A=π3
选择②:asinC1−csA=3c⇒asinC=3c−3ccsA，
由正弦定理，sinAsinC=3sinC−3sinCcsA，
因为sinC>0，所以sinA=3−3csA，即sin(A+π3)=32，
因为0选择③:由S△ABC=34(b2+c2−a2)=12bcsinA，
可得3b2+c2−a22bc=sinA，即3csA=sinA，
所以tanA=3，A=π3.
方法一：
sinBsinC
=sinB⋅sin(B+π3)
=sinB(12sinB+32csB)
=12sin2B+32sinBcsB
=14−14cs2B+34sin2B
=14+12sin(2B−π6)
因为0所以−12所以0<14+12sin(2B−π6)≤34，
即sinBsinC的取值范围为(0,34].
方法二：由余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，
再由正弦定理，sin2A=sin2B+sin2C−sinBsinC，
因为A=π3，
所以34=sin2B+sin2C−sinBsinC≥2sinBsinC−sinBsinC，
即34≥sinBsinC，当且仅当sinB=sinC=32时“=”成立.
又因为sinB>0，sinC>0，所以0即sinBsinC的取值范围为(0,34]
【解析】本题考查了正、余弦定理的综合应用、三角恒等变换的综合应用，属中档题.
18.【答案】解：(1)当n≥2时，Sn+1−Sn=Sn−Sn−1+n+1即an+1=an+n+1，
所以a1=1，a2=3，所以n=1时也满足an+1=an+n+1
当n≥2时，an=an−1+n=an−2+(n−1)+n=⋯=a2+3+4+⋯+(n−1)+n
an=1+2+3+4+⋯+(n−1)+n=n(n+1)2
当n=1时，a1=1，也满足上式，所以an=n(n+1)2
(2)bn=(−1)n⋅n(n+1)2
T2m=12[−1×2+2×3−3×4+4×5+⋯−(2m−1)×2m+2m×(2m+1)]
=12[2×2+4×2+⋯+2m×2]
=2+4+⋯+2m
=m(2+2m)2=m(m+1)
【解析】本题考查数列通项，前n项和，属于中档题.
19.【答案】解：(I)过点D作DO//BC交AB于点O，连接OE，由已知条件可知：AO=OB=1，
OD2=AO2+AD2−2AO⋅AD⋅cs60∘得OD=3
∴AO2+OD2=AD2
∴OD⊥AB，
同理OE=3，而DE=6，
∴OD2+OE2=DE2，即OD⊥OE，
∵OD∩OE=O，∴OD⊥平面ABFE，
∴BC⊥平面ABFE，
∴BC⊥AF
(II)建立如图空间直角坐标系O−xyz，
可知：A(0,−1,0)，M(0,−12,32)，B(0,1,0)，F(3,2,0)平面ABF的法向量为m=(0,0,1)，
设平面MBF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BF=0n⋅MB=0，又BF=(3,1,0)MB=(0,32,−32)
∴3x+y=032y−32z=0，可取n=(1,−3,−3)，
∴cs=m⋅n|m||n|=−31+3+9=−31313，
依题意可知，二面角A−BF−M的余弦值为31313
【解析】本题考察了空间线线垂直的，利用空间向量求二面角，属于中档题.
20.【答案】解：(1)由题意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1，
解得m=0.015，
学生期中考试数学成绩的上四分位数为：110+20×0.75−分；
(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人，不优秀的人100×50%=50人，经常整理错题的有100×(40%+20%)=60人，不经常错题的是100−60=40人，经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人，则
零假设为H0:数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得χ2=100(35×25−15×25)250×50×60×40=256>3.841，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
(3)由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，
则X=0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件Ak(k=0,1,2)，P(Ak)=C3k⋅C22−kC52
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件Bm(m=0,1,2)
则P(B0|A0)=1，P(B0|A1)=512，P(B0|A2)=(512)2=25144，P(B1|A1)=712，
P(B1|A2)=C21512×712=3572，P(B2|A2)=(712)2=49144，
P(X=0)=P(A0)⋅P(B0|A0)+P(A1)⋅P(B0|A1)+P(A2)⋅P(B0|A2)
=C22C52×1+C31C21C52×512+C32C52×25144=5791440，
P(X=1)=P(A1)⋅P(B1|A1)+P(A2)⋅P(B1|A2)
=C31C21C52×712+C32C52×3572=7141440，
P(X=2)=P(A2)⋅P(B2|A2)=C32C52×49144=1471440，
故X的分布列如下：
则可得X的数学期望为E(X)=0×5791440+1×7141440+2×1471440=0.7.
【解析】本题考查了求百分位数、独立性检验、离散型随机变量的分布列与均值，属较难题.
21.【答案】解(1)由F1坐标为(0,2)得a2+b2=4，
点M(3,2)在双曲线C1上得2a2−3b2=1
可以解得a2=1b2=3，双曲线方程为y2−x23=1.
(2)设直线与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)点Q(x,y)，
由|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|得|AP||PB|=|AQ||QB|=λ(λ>0且λ≠1)，AP=−λPB，AQ=λQB，
代入坐标得：(4−x1,1−y1)=λ(x2−4,y2−1),(x−x1,y−y1)=λ(x2−x,y2−y)，整理得：x1−λx2=4(1−λ)①,x1+λx2=x(1+λ)②
得x12−λ2x22=4x(1−λ2)③
同理y1−λy2=1−λ ,④，y1+λy2=y(1+λ)⑤
得y12−λ2y22=y(1−λ2)⑥
由于双曲线C1上的点满足3y2−x2=3
⑥×3−③得3y12−x12−λ2(3y22−x22)=(3y−4x)(1−λ2)
即3−3λ2=(3y−4x)(1−λ2)有3y−4x=3
表示点Q(x,y)在定直线4x−3y+3=0上
【解析】本题考查双曲线中的定直线问题，双曲线方程，属于中档题.
22.【答案】解：(I)由f(x)≥g(x)对x≥1恒成立可知：x2−1≥2axlnx，即x−1x−2alnx≥0;
令ℎ(x)=x−1x−2alnx，ℎ′(x)=1+1x2−2ax=x2−2ax+1x2;
当a≤1时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，ℎ(x)≥ℎ(1)=0;
当a>1时，令ℎ′(x)=0得x1=a−a2−1，x2=a+a2−1，且0x∈(0,x1)时ℎ′(x)>0，x∈(x1,x2)时ℎ′(x)<0，x∈(x2,+∞)时ℎ′(x)>0，
所以x∈(1,x2)有ℎ(x)单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，与题设矛盾，不成立;
所以实数a的取值范围为a≤1;
(Ⅱ)由题知：ℎ(x)=x−1x−2alnx，
由(1)可知a∈[233,53]，ℎ(x)有两个极值点x1，x2，则x1+x2=2a，x1x2=1，
∴ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2=x1−1x1−2alnx1−(x2−1x2−2alnx2)x1−x2
=2(x1−x2)+2alnx2x1x1−x2=2+x1+x2x1−x2lnx2x1=2+1+x2x11−x2x1lnx2x1⋅
令t=x2x1，则4a2=(x1+x2)2x1x2=x2x1+x1x2+2，
由a∈[233,53]，可知3≤t≤9，
设F(t)=2+1+t1−tlnt，则F′(t)=−t2−1−2tlntt(t−1)2
设r(t)=t2−1−2tlnt，则r′(t)=2(t−lnt−1)，
而(t−lnt−1)′=1−1t>0，r′(t)单调递增，可知r′(t)>r′(3)>0，
∴r(t)单调递增，可知r(t)>r(3)>0，
∴F′(t)<0，可知F′(t)单调递减，
可知M=Fmax(t)=F(3)，m=Fmin(t)=F(9)，
M−m=F(3)−F(9)=12ln3.
【解析】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100
X
0
1
2
P
5791440
7141440
1471440
A. 15B. 12C. 1D. 5
2. 已知集合A={x|−2≤x<7}，B={x|2x≥1}，则A∩∁RB为( )
A. {x|−2≤x<7}B. {x|−2≤x<0或2
A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 在R上单调递减
4. 函数f(x)=ln(e2x+1)−xx2−1的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(−c,0)，F2(c,0)，直线x=c与椭圆C相交于A、B两点，当三角形ABF1为直角三角形时，椭圆C的离心率e等于( )
A. 22B. 2−1C. 3−1D. 33
6. 金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为183，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是( )
A. 18πB. 92πC. 6πD. 6π
7. 已知a=(2+1)e2−1，b=(3+2)e3−2，c=2+2，则下列结论正确的是( )
A. a
A. y=3x−2B. y=2x−1C. y=2x+3D. y=3x+2
9. 给定事件A，B，C，且P(C)>0，则下列选项正确的是( )
A. P(A∪B|C)≤P(A|C)+P(B|C)
B. 若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C. 若P(A|C)+P(B|C)=1，则A，B互为对立事件
D. 若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则A，B，C两两独立
10. 如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，BF∩AE=O，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( )
A. CF⊥OPB. 存在点P，使得PE//CF
C. 存在点P，使得PE⊥EDD. 三棱锥P−AED的体积最大值为26
11. 如图，有一列曲线Ω1，Ω2，⋯，Ωn，⋯，且Ω1是边长为6的等边三角形，Ωi+1是对Ωi(i=1,2,⋯)进行如下操作而得到：将曲线Ωi的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到Ωi+1，记曲线Ωn(n=1,2,⋯)的边长为an，周长为cn，则下列说法正确的是( )
A. an=2⋅(13)n−2B. c5=2569
C. 在Ω3中OA⋅OC=OD⋅OCD. 在Ω3中OB⋅OC=40
12. 定义在{0,+∞)上的函数g(x)的导函数为g′(x)，xg′(x)>g(x)，∀x1，x2∈(0,+∞)(x1≠x2)，则下列不等式中一定成立的是( )
A. g(x1x2)
C. g(x1+x22)
13. 已知向量a=(2,4)，b=(−1,m)，且a⋅b=10，则m=__________.
14. 甲乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲乙中间有空位的概率为__________.
15. 过抛物线y2=6x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若AF=3FB，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为__________.
16. 已知函数f(x)=8x,0≤x≤124cs2πx,12
②asinC1−csA=3c;
③△ABC的面积为34(b2+c2−a2).
(1)求角A的大小;
(2)求sinBsinC的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 数列an的前n项的和为Sn，已知a1=1，a2=3，当n≥2时，Sn+1+Sn−1=2Sn+n+1.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设bn=(−1)n⋅an，求bn的前2m项和T2m.
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABFE为菱形，AB=AD=2DC=2，DE=6，∠BAE=∠DAB=60∘，DC//AB.
(1)证明：BC⊥AF;
(2)若M为线段AD的中点，求二面角A−BF−M的余弦值.
20. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%.
(1)求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈。求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
21. 已知F1F2分别为双曲线C1:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点，其中F1坐标为(0,2)点M(3,2)是双曲线C1上的一个点.
(1)求双曲线C1的方程;
(2)已知过点P(4,1)的直线与C1:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q总在某条定直线上.
22. 已知函数f(x)=x2−1，g(x)=2axlnx.
(1)若f(x)≥g(x)对x∈[1,+∞)成立，求实数a的取值范围;
(2)若a∈[233,53]，函数ℎ(x)=f(x)−g(x)x存在两个极值点x1，x2(x1
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了复数的模，涉及复数的除法运算，属于基础题.
【解答】
解：因为z(3+4i)=5i，
所以z=5i3+4i=5i3−4i3+4i3−4i=45+35i，
所以z=1.
故选C.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了交集和补集混合运算，属基础题.
【解答】
解：B={x|2x≥1}={x|0
因此，A∩(∁RB)={x|−2⩽x<7}∩{x|x⩽0或x>2}={x|−2⩽x⩽0或2
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
根据题意，依次判断即可.
【解答】
解：由题可知：f(x)=sinhxcshx=ex−e−x2⋅ex+e−x2=e2x−e−2x4，定义域为R，且∀x∈R，f(−x)=−f(x)，所以函数为奇函数.
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了函数图像的识别，属于中档题.
【解答】
解：因为x2−1≠0，x≠±1，
而f(−12)=ln (1e+1)+12−34<0，所以C，D错误.
令g(x)=ln (e2x+1)−2x，所以g′(x)=−2e2x+1<0，即g(x)单调递减，
当x>1时，g(x)=ln (e2x+1)−2x
所以x>1时，f(x)
所以所以x>1时，f(x)=ln (e2x+1)−xx2−1，在x→+∞单调递增错误，B错误.
故选A.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了求椭圆的离心率，属基础题.
【解答】
解：将x=c代入椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，可得y=±b2a，则|AB|=2b2a，
当三角形ABF1为直角三角形时，由F1F2=12AB，得2c=b2a，即2ac=a2−c2，
亦即2e=1−e2，解得e=2−1.
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查棱锥的表面积、球的体积，属于基础题.
【解答】
解：由题可知，最大球即为其内切球；
如图，设底面 ABCD中心为O，连接 CO， EO，由几何关系知，
在ΔEBC中BC边上的高=32−(32)2=332，
又EO=274−94=322，设内切圆半径为r
由等面积法可知：322⋅32=332⋅r，解得r=62
则内切球体积为V=43π(62)3=6π.
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了比较数的大小，属于中档题.
【解答】
解：因为a=(2+1)e2−1>0，b=(3+2)e3−2>0，
所以ab=2+1e2−13+2e3−2=2+13+2e22−3−1<1，
所以a
令设f(x)=ex−ex，令f′(x)=ex−e=0，可得x=1，且f′(x)>0时，x>1，
所以f(2)>f(1)=0，即e2−2e>0，可得e2−1>2，即e2−12>1
所以a>c.
故选C.
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了函数的对称性，涉及两点间的距离公式、求直线方程，属较难题.
【解答】
解：∵y=x3−3x2+4x−1=(x−1)3+(x−1)+1，
∴曲线y=x3−3x2+4x−1的对称中心为(1,1)，
由|DE|=|EF|=5，可知点E为对称中心，故E的坐标为(1,1)，
不妨设D(x,x3−3x2+4x−1)，
则由|DE|=5，得(x−1)2+(x3−3x2+4x−2)2=5，
即(x−1)2+[(x−1)3+(x−1)]2=5，
令x−1=t，则t2+(t3+t)2=5⇒t6+2t4+2t2−5=0，
即t6−t4+3t4+2t2−5=0⇒t4(t2−1)+(3t2+5)(t2−1)=0，
∴(t2−1)(t4+3t2+5)=0，∴t=±1.
当t=1时，x=t+1=2，A(2,3).
又l过E(1,1)，∴直线l的方程为y=2x−1，
当t=−1时，x=t+1=0，A(0,−1).
又l过E(1,1)，直线l的方程为y=2x−1.
综上，直线l的方程为y=2x−1.
9.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查对立事件、互斥事件、独立事件、条件概率，属于基础题.
【解答】
对于A:①当A，B互斥时，P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)
②当A，B不互斥时，P(A∪B|C)
对于C，由P(A|C)+P(B|C)=1，并不能得出A与B是对立事件;
对D，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则事件AB与C相互独立，但推导不出A，B，C两两独立，故D错误;
10.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查了空间线线位置关系，锥体体积，属于基础题.
【解答】
解：由已知可得，，所以故A正确；
因为，若，则，不存在，故B错误；
因为，当时，，可得，故C正确；
当时，取最大值，此时，，所以，故D正确.
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查了推理案例、向量的数量积的运算、等比数列等知识，属较难题.
【解答】
解：根据题意将曲线Ωi的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角
形，再将中间部分的线段去掉得到Ωi+1 ，
记曲线Ωn(n=1,2,⋯) 的边长为an，
数列{an}是首项为6，公比为13的等比数列an=6×13n−1=2⋅(13)n−2，故A正确;
封闭曲线Ωn(n=1,2,⋯)的周长为cn，则数列{cn}是首项为c1=18，公比为43的等比数列，
所以cn=18×(43)n−1，则c5=18×(43)5−1=5129，故B错误;
由题知OA=6，∠OAC=90∘，可求得AC=23，
则OC=OA+AC，于是OA⋅OC=OA⋅(OA+AC)=OA2=36，
又∠OCD=30∘，OC=43，CD=2，OD=OC+CD，
则OD⋅OC=(OC+CD)⋅OC=OC2+OC⋅CD=48−12=36，故C正确；
由题知∠OAB=90∘，AB=233，OB=OA+AB，结合C可知，AC=3AB，
则OB⋅OC=OA+AB⋅OA+AC=OA+AB⋅OA+3AB
=OA2+3AB2=36+3×2332=40，故D正确.
12.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数单调性，属于中档题.
【解答】
解：由题意可设F(x)=g(x)x，则F′(x)=xg′(x)−g(x)x2，
∴F′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则F(x)在(0,+∞)上单调递增，
对于A:取g(x)=x2，满足xg′(x)>g(x)，但g(x1x2)=g(x1)g(x2)；
对于B:∵x1+x2>x1，∴F(x1+x2)>F(x1)，即g(x1+x2)x1+x2>g(x1)x1，
∴x1x1+x2g(x1+x2)>g(x1)①，
∵x1+x2>x2，∴F(x1+x2)>F(x2)，即g(x1+x2)x1+x2>g(x2)x2，∴x2x1+x2g(x1+x2)>g(x2)②，
由①+②得g(x1+x2)>g(x1)+g(x2)，故B正确;
对于C:取g(x)=x2，则g(x1+x22)=(x1+x22)2，g(x1x2)=x1x2，
g(x1+x22)−g(x1x2)>0，故C错误
对于D:∵g(x1)−x2x1g(x1)=x1−x2x1g(x1)①，
x1x2g(x2)−g(x2)=−x2−x1x2g(x2)②，
由①-②得
g(x1)−x2x1g(x1)−x1x2g(x2)+g(x2)=x1−x2x1g(x1)+x2−x1x2g(x2)=(x1−x2)(g(x1)x1−g(x2)x2)>0，
∴g(x1)+g(x2)>x2x1g(x1)+x1x2g(x2)，故D正确，
故选BD
13.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.
【解答】
解：因为a⋅b=10，
所以−2+4m=10，可得m=3.
14.【答案】23
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型及其计算，涉及排列问题，属基础题.
【解答】
解：甲乙两人要在一排六个空座上就坐，则有A62=30种坐法，
而甲乙一定相邻的坐法有5A22=10种坐法，
则甲乙中间有空位的概率为P=30−1030=23.
15.【答案】33
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系，属于基础题.
【解答】
解：由题可知F=32，设直线l方程为x=my+32，A(xA,yA),B(xB,yB)，
联立方程可得：x=my+32y2=6x，消去x可得：y2−6my−9=0，
故|yAyB|=9，又|yA||yB|=3，可得：|yA|=33,|yB|=3，
所以S△OAB=12⋅|OF|⋅(|yA|+|yB|)=12×32×43=33.
16.【答案】[1516,1+1π)
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数求最值，属于拔高题.
【解答】
解：由题意，函数f(x)的大致图象如图所示，
由图象知，x2∈[34,1);
由x2，x3关于x=1对称，可得x3=2−x2，
由8x1=4cs2πx2，可得x1=12cs2πx2，
那么x2x3+2πx1=x2(2−x2)+1πcs2πx2
构造新函数g(x)=−x2+2x+1πcs2πx，x∈[34,1)
则g′(x)=−2x+2−2sin2πx，x∈[34,1),
则g′′(x)=−2−4πcs2πx，在区间[34,1)单调递减，
g′′(34)<0，
即在区间[34,1),g′′(x)<0,
所以g′(x)=−2x+2−2sin2πx在区间[34,1)单调递减，
又因为g′(1)=−2+2−2sin2π=0，
所以在区间[34,1)g′(x)=−2x+2−2sin2πx>0
所以在区间[34,1),g(x)=−x2+2x+1πcs2πx单调递增，
因为g(34)=1516，g(1)=1+1π，
所以x2x3+2πx1的取值范围为[1516,1+1π)
17.【答案】解：(1)选择①:由正弦定理，sinCcsA2=sinAsinC，
因为sinC>0，所以csA2=sinA，即csA2=2sinA2csA2，
因为0
所以A2=π6，即A=π3
选择②:asinC1−csA=3c⇒asinC=3c−3ccsA，
由正弦定理，sinAsinC=3sinC−3sinCcsA，
因为sinC>0，所以sinA=3−3csA，即sin(A+π3)=32，
因为0
可得3b2+c2−a22bc=sinA，即3csA=sinA，
所以tanA=3，A=π3.
方法一：
sinBsinC
=sinB⋅sin(B+π3)
=sinB(12sinB+32csB)
=12sin2B+32sinBcsB
=14−14cs2B+34sin2B
=14+12sin(2B−π6)
因为0
即sinBsinC的取值范围为(0,34].
方法二：由余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，
再由正弦定理，sin2A=sin2B+sin2C−sinBsinC，
因为A=π3，
所以34=sin2B+sin2C−sinBsinC≥2sinBsinC−sinBsinC，
即34≥sinBsinC，当且仅当sinB=sinC=32时“=”成立.
又因为sinB>0，sinC>0，所以0
【解析】本题考查了正、余弦定理的综合应用、三角恒等变换的综合应用，属中档题.
18.【答案】解：(1)当n≥2时，Sn+1−Sn=Sn−Sn−1+n+1即an+1=an+n+1，
所以a1=1，a2=3，所以n=1时也满足an+1=an+n+1
当n≥2时，an=an−1+n=an−2+(n−1)+n=⋯=a2+3+4+⋯+(n−1)+n
an=1+2+3+4+⋯+(n−1)+n=n(n+1)2
当n=1时，a1=1，也满足上式，所以an=n(n+1)2
(2)bn=(−1)n⋅n(n+1)2
T2m=12[−1×2+2×3−3×4+4×5+⋯−(2m−1)×2m+2m×(2m+1)]
=12[2×2+4×2+⋯+2m×2]
=2+4+⋯+2m
=m(2+2m)2=m(m+1)
【解析】本题考查数列通项，前n项和，属于中档题.
19.【答案】解：(I)过点D作DO//BC交AB于点O，连接OE，由已知条件可知：AO=OB=1，
OD2=AO2+AD2−2AO⋅AD⋅cs60∘得OD=3
∴AO2+OD2=AD2
∴OD⊥AB，
同理OE=3，而DE=6，
∴OD2+OE2=DE2，即OD⊥OE，
∵OD∩OE=O，∴OD⊥平面ABFE，
∴BC⊥平面ABFE，
∴BC⊥AF
(II)建立如图空间直角坐标系O−xyz，
可知：A(0,−1,0)，M(0,−12,32)，B(0,1,0)，F(3,2,0)平面ABF的法向量为m=(0,0,1)，
设平面MBF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BF=0n⋅MB=0，又BF=(3,1,0)MB=(0,32,−32)
∴3x+y=032y−32z=0，可取n=(1,−3,−3)，
∴cs
依题意可知，二面角A−BF−M的余弦值为31313
【解析】本题考察了空间线线垂直的，利用空间向量求二面角，属于中档题.
20.【答案】解：(1)由题意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1，
解得m=0.015，
学生期中考试数学成绩的上四分位数为：110+20×0.75−分；
(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人，不优秀的人100×50%=50人，经常整理错题的有100×(40%+20%)=60人，不经常错题的是100−60=40人，经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人，则
零假设为H0:数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得χ2=100(35×25−15×25)250×50×60×40=256>3.841，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
(3)由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，
则X=0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件Ak(k=0,1,2)，P(Ak)=C3k⋅C22−kC52
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件Bm(m=0,1,2)
则P(B0|A0)=1，P(B0|A1)=512，P(B0|A2)=(512)2=25144，P(B1|A1)=712，
P(B1|A2)=C21512×712=3572，P(B2|A2)=(712)2=49144，
P(X=0)=P(A0)⋅P(B0|A0)+P(A1)⋅P(B0|A1)+P(A2)⋅P(B0|A2)
=C22C52×1+C31C21C52×512+C32C52×25144=5791440，
P(X=1)=P(A1)⋅P(B1|A1)+P(A2)⋅P(B1|A2)
=C31C21C52×712+C32C52×3572=7141440，
P(X=2)=P(A2)⋅P(B2|A2)=C32C52×49144=1471440，
故X的分布列如下：
则可得X的数学期望为E(X)=0×5791440+1×7141440+2×1471440=0.7.
【解析】本题考查了求百分位数、独立性检验、离散型随机变量的分布列与均值，属较难题.
21.【答案】解(1)由F1坐标为(0,2)得a2+b2=4，
点M(3,2)在双曲线C1上得2a2−3b2=1
可以解得a2=1b2=3，双曲线方程为y2−x23=1.
(2)设直线与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)点Q(x,y)，
由|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|得|AP||PB|=|AQ||QB|=λ(λ>0且λ≠1)，AP=−λPB，AQ=λQB，
代入坐标得：(4−x1,1−y1)=λ(x2−4,y2−1),(x−x1,y−y1)=λ(x2−x,y2−y)，整理得：x1−λx2=4(1−λ)①,x1+λx2=x(1+λ)②
得x12−λ2x22=4x(1−λ2)③
同理y1−λy2=1−λ ,④，y1+λy2=y(1+λ)⑤
得y12−λ2y22=y(1−λ2)⑥
由于双曲线C1上的点满足3y2−x2=3
⑥×3−③得3y12−x12−λ2(3y22−x22)=(3y−4x)(1−λ2)
即3−3λ2=(3y−4x)(1−λ2)有3y−4x=3
表示点Q(x,y)在定直线4x−3y+3=0上
【解析】本题考查双曲线中的定直线问题，双曲线方程，属于中档题.
22.【答案】解：(I)由f(x)≥g(x)对x≥1恒成立可知：x2−1≥2axlnx，即x−1x−2alnx≥0;
令ℎ(x)=x−1x−2alnx，ℎ′(x)=1+1x2−2ax=x2−2ax+1x2;
当a≤1时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，ℎ(x)≥ℎ(1)=0;
当a>1时，令ℎ′(x)=0得x1=a−a2−1，x2=a+a2−1，且0
所以x∈(1,x2)有ℎ(x)单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，与题设矛盾，不成立;
所以实数a的取值范围为a≤1;
(Ⅱ)由题知：ℎ(x)=x−1x−2alnx，
由(1)可知a∈[233,53]，ℎ(x)有两个极值点x1，x2，则x1+x2=2a，x1x2=1，
∴ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2=x1−1x1−2alnx1−(x2−1x2−2alnx2)x1−x2
=2(x1−x2)+2alnx2x1x1−x2=2+x1+x2x1−x2lnx2x1=2+1+x2x11−x2x1lnx2x1⋅
令t=x2x1，则4a2=(x1+x2)2x1x2=x2x1+x1x2+2，
由a∈[233,53]，可知3≤t≤9，
设F(t)=2+1+t1−tlnt，则F′(t)=−t2−1−2tlntt(t−1)2
设r(t)=t2−1−2tlnt，则r′(t)=2(t−lnt−1)，
而(t−lnt−1)′=1−1t>0，r′(t)单调递增，可知r′(t)>r′(3)>0，
∴r(t)单调递增，可知r(t)>r(3)>0，
∴F′(t)<0，可知F′(t)单调递减，
可知M=Fmax(t)=F(3)，m=Fmin(t)=F(9)，
M−m=F(3)−F(9)=12ln3.
【解析】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100
X
0
1
2
P
5791440
7141440
1471440
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