湖南省长沙市湖南师大附中2022-2023学年高三数学下学期月考（七）试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市湖南师大附中2022-2023学年高三数学下学期月考（七）试题（Word版附解析），共26页。
湖南师大附中2023届高三月考试卷（七）
数学
时量：120分钟满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知模为2的复数对应的向量为（为坐标原点），它对应的点位于第二象限，与实轴正向的夹角为，则复数为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设复数对应的点为，根据题意可得，即可得解.
【详解】设复数对应的点为，
则，
所以.
故选：D.
2. 若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则真子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.
【详解】由题中定义可知，而，
所以，因此真子集个数为，
故选：C
3. 已知为奇函数，且时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数性质及解析式求解即可.
【详解】为奇函数，且时，，.
故选：D
4. 杭州亚运会共设个竞赛大项，包括个奥运项目和个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区、现需从名管理者中选取人分别到温州、金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且人中甲、乙两人不去温州赛区，则不同的选择方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】利用排列组合的知识分别求解甲、乙都没有被选派、甲、乙有且仅有一人被选派和甲、乙均被选派三种情况下的方案数，加和即可求得结果.
【详解】若甲、乙都没有被选派，则共有种方案；
若甲、乙有且仅有一人被选派，则共有种方案；
若甲、乙均被选派，则共有种方案；
综上所述：不同的选择方案有种.
故选：B.
5. “碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：）
A. 13年 B. 14年 C. 15年 D. 16年
【答案】D
【解析】
分析】由条件列式先确定参数，再结合对数运算解方程.
【详解】由题意，，即，所以，
令，即，故，即，
可得，即．
故选：D
6. 已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．

7. 已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用可得，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值.
【详解】，且在上单调递减，
由得：，即，，
（当且仅当时取等号），
则的最小值为.
故选：B.
8. 如图，在中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量加法的运算法则，结合平面向量基本定理和平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，
所以，所以
因为，，
所以，
当时，有最小值，
最小值为，
故选：C
【点睛】关键点睛：运用平面向量加法的运算法则，利用平面向量数量积的运算性质是解题的关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
品牌
甲
乙
其他
市场占有率




优质率



在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，，，，因为，所以，，故正确的有ABD；
故选：ABD
10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）

A.
B. 在第2022行中第1011个数最大
C. 记“杨辉三角”第行的第i个数为，则
D. 第34行中第15个数与第16个数之比为
【答案】AC
【解析】
分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可.
【详解】A：所以本选项正确；
B：第2022行是二项式的展开式的系数，故第2022行中第个数最大，所以本选项不正确；
C：“杨辉三角”第行是二项式的展开式系数，
所以，
，
因此本选项正确；
D：第34行是二项式的展开式系数，
所以第15个数与第16个数之比，因此本选项不正确，
故选：AC
11. 已知球O的半径为4，球心O在大小为的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体得体积为V，则一定正确的是（ ）
A. O，E，，四点共圆 B.
C. D. V的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】连结，判断出，利用勾股定理求，判断B，证明,，四点共面，即可判断四点共圆，判断A，利用正弦定理求出，由此判断C；设，求出的最大值，结合体积公式判断D.
【详解】
因为公共弦AB在棱l上，连结，则，
则，故B错误；
因为二面角的两个半平面分别截球面得两个圆O1，O2，O为球心，
所以OO1⊥,OO2⊥，又平面,，平面，
所以,，,，
因为平面，所以平面，同理可证平面，
所以四点共面，又，
所以，对角互补的四边形为圆内接四边形，
所以四点共圆，故选项A正确；
因为E为弦AB的中点,故⊥AB， ⊥AB，
故为二面角的平面角，所以，
由正弦定理得，故选项C正确；
设，在△中,由余弦定理可得，
，所以，
故，所以，
当且仅当以时取等号，故选项D正确，
故选：ACD
12. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）

A. 曲线关于轴和轴对称
B. 曲线所围成的封闭图形的面积小于8
C. 设，直线交曲线于两点，则的周长小于8
D. 曲线上的点到原点的距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据用替换，不变，得方程不变，用替换，不变，得方程不变，可判断A正确；根据曲线的范围，可判断B正确；先得到椭圆在曲线内(除四个交点外)，再根据椭圆的定义可判断C不正确；利用两点间的距离公式、三角换元和三角函数知识求出最大值，可判断D正确；
【详解】当时，曲线：，
对于A，用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称；用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称，故A正确；
对于B，由，得，，所以曲线在由直线和所围成的矩形内（除曲线与坐标轴的四个交点外），所以曲线所围成的封闭图形的面积小于该矩形的面积，该矩形的面积为，故B正确；

对于C，对于曲线和椭圆，
设点在上，点在上，
因为
，
所以，所以，
设点在上，点在上，
因为
，
所以，所以，
所以椭圆在曲线内(除四个交点外)，如图：

设直线交椭圆于两点，交轴于，
易知，为椭圆的两个焦点，
由椭圆的定义可知，，，
所以的周长为，
由图可知，的周长不小于，故C不正确；
对于D，设曲线上的点，则该点到原点的距离为，
因为，所以设，，，
则，其中，，
所以当时，取得最大值，取得最大值.故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式计算可得；
【详解】，

．
故答案为：．
14. 已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接交与点，连接分别交为点，则之间即为点的变动范围．再求出直线的斜率即可．
【详解】∵，∴直线方程为，直线方程为,
如图， 作关于的对称点，则，
再作关于的对称点，则,  
连接交与点，则直线方程为,
∴，
连接分别交为点， 
则直线方程为，直线方程为， 
∴，连接， 
则之间即为点 的变动范围． 
∵直线方程为，直线的斜率为  
∴斜率的范围为 
故答案为：.

【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.
15. 设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
16. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】将不等式恒成立转化为在上恒成立,进一步转化为恒成立，即恒成立.再构造函数,利用导数求最值可解决.
【详解】易求得函数的定义域为 ，由，
得，
因为函数与函数互为反函数，
其图象关于直线对称，

所以要使得恒成立，
只需恒成立，即恒成立，
设，则，
在上递减，在递增，
可知当时，取得最小值，
所以，又因为，所以的取值范围是.
【点睛】本题考查了等价转化思想,不等式恒成立问题.属中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的图象如图所示.

（1）求函数的对称中心；
（2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心.
（2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由图可知：，所以，所以，，
又，
所以，.
所以.
令，，
则，.
所以的对称中心为，.
【小问2详解】
由题.
当时，.
因为对任意的恒成立，
则.
所以.
18. 如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.

（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行及面面平行的判定定理即得；
（2）方法一，延长与交于，由题可得面面，过作，过作，进而可得即为面与面所成二面角的平面角，结合条件即得；
方法二，利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
【小问1详解】
连接，∵为中点，为中点，

∴，又面，面，
∴面，
在中，，，，
∴，即，
在中，，，∴，，
在中，，，，，
∴，，∴，
∵F为AB中点，∴，，
∴，又∵面，面，
∴面，又∵，CF，面，
∴平面平面；
【小问2详解】
解法一：延长与交于，连，则面面，
在中，，，，所以，
又，，，面，
∴面，面，
∴面面，
在面内过作，则面，
∵面，∴，

过作，连，∵，面，面，
∴面，面，
∴，
∴即为面与面所成二面角的平面角，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，，又，
∴，， ，
∴.
解法二：在中，，，，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，
又∵，，
∴，
以为轴，为轴，过且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，
设平面的法向量，，，
，令，则，∴，
设平面的法向量，，
令，则，，
∴，
所以，
∴平面与平面所成角的余弦值为.
19. 已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系，得到，再利用隔项等差数列的性质，分别求出为奇数与为偶数时的通项，进而可得答案.
（2）利用倒序相加，求得，整理得，进而利用裂项求和法，得到
【小问1详解】
时，，，两式相减，可得，由题意得，可得，则有
当为奇数时，为等差数列，，
当为偶数时，为等差数列，，

【小问2详解】
，
，利用倒序相加，可得
，
解得，
，

20. 2022年12月15至16日，中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三点新提法，其中“住房改善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精神，推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间到访客户的情况，统计数据如下表：（注：活动开始的第i天记为，第i天到访的人次记为，，2，3，…）
（单位：人次）
1
2
3
4
5
6
7
（单位：人次）
12
22
42
68
132
202
392

（1）根据统计数据，通过建模分析得到适合函数模型为（c，d均为大于零的常数）.请根据统计数据及上表中的数据，求活动到访人次关于活动开展的天次的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次：
（2）该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房意向的决定因素主要有三类：A类是楼层的品质与周边的生态环境，B类是楼盘的品质与房子的设计布局，C类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：
类别
A类
B类
C类
频率
0.4
0.2
0.4
从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言人，视频率为概率，记随机变量为被抽取的3人中A类和C类的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：其中，，，；
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小一乘估计公式分别为：，；
【答案】（1）；当时，.
（2），分布列见解析
【解析】
【分析】（1）将转换成，由最小二乘法求回归直线方程，再换回的形式即可；
（2）根据题意，结合二项分布的概率公式及期望公式即可求解.
【小问1详解】
由可得，
由，，，
则，，
所以，
，所以，
则所求回归方程为，
当时，，
所以第8天售楼部来访的人次大约为.
【小问2详解】
由题意得，类和类被抽到的概率为，
的可能取值为，且，
所以；；
；；
所以的分布列为










所以.
21. 已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求证：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意表示出点的横坐标，求出纵坐标，表示面积即可求解；
（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理证明求解.
【小问1详解】
设双曲线，易知.
由题意可知：等腰三角形，则，代入得：
，则，
又，则解得，
则双曲线.
【小问2详解】
设直线的方程为：，（且），，.
联立，消得：，
，，
，①，②
联立①②，解得：
又，同理，，
把它们代入，得
，
故，得证.
22. 已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）若对恒成立，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，分别在、和的情况下，根据的正负确定的单调性，根据每段区间内都有可证得结论；
（2）将问题转化为在上恒成立，根据和最值点的特征可确定为的极大值点，由极值点定义可求得；代回函数中验证，利用导数可说明当时，，由此可确定其符合题意.
【小问1详解】
；
①当时，，，
又，，在上单调递增，
，即；
②当时，，此时单调递增，
又在上单调递减，在上单调递减，
，，
，使得，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当时，；
③当时，，，
又，，在上单调递减，
，即；
综上所述：当时，.
【小问2详解】
令，
则在上恒成立；
，，
为的一个极大值点，
又，，解得：；
当时，由知：，
令，则，
令，则；
当时，，单调递减，，
在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，在上恒成立，符合题意；
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数证明不等式、导数中的恒成立问题；本题求解恒成立中的参数值的基本思路是：通过函数的最值，结合自变量区间和函数最值只能在极值点或区间端点处取得的特征，确定函数的极值点，从而求解出参数值；易错点是求解出参数值后，忽略验证的过程，导致解析过程不够严谨.