湖南省益阳市2022-2023学年高三数学下学期4月月考试题（Word版附解析）

2022-2023学年湖南省益阳市高三年级下学期4 月教学质量检测数学试卷

1.  若复数z满足，则(    )

A.  B.  C. 1 D. 5

2.  已知集合，，则为(    )

A.  B. 或
C. 或 D. 或

3.  双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，相对于三角函数，双曲函数具有良好的可解性.现有双曲正弦函数，双曲余弦函数，则是(    )

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 周期函数 D. 在R上单调递减

4.  函数的部分图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知椭圆的焦点为，，直线与椭圆C相交于A、B两点，当三角形为直角三角形时，椭圆C的离心率e等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知直线l与曲线相交，交点依次为D、E、F，且，则直线l的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  给定事件A，B，C，且，则下列选项正确的是(    )

A.
B. 若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C. 若，则A，B互为对立事件
D. 若，则A，B，C两两独立

10.  如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是(    )
 

A.  B. 存在点P，使得
C. 存在点P，使得 D. 三棱锥的体积最大值为

11.  如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 在中 D. 在中

12.  定义在上的函数的导函数为，，，，则下列不等式中一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

13.  已知向量，，且，则__________.

14.  甲乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲乙中间有空位的概率为__________.

15.  过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为__________.

16.  已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是__________.

17.  中，角 A， B， C的对边分别为a， b， c，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①
②
③的面积为

求角A的大小;

求的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.  数列的前n项的和为，已知，，当时，

求数列的通项公式

设，求的前2m项和

19.  如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABFE为菱形，，，，

证明：

若M为线段AD的中点，求二面角的余弦值.

20.  为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占
 

求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;

根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?

用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈。求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.

附：

21.  已知分别为双曲线的上、下焦点，其中坐标为点是双曲线上的一个点.

求双曲线的方程;

已知过点的直线与上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某条定直线上.

22.  已知函数，

若对成立，求实数a的取值范围;

若，函数存在两个极值点，，记的最大值与最小值为M，m，求的值.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的模，涉及复数的除法运算，属于基础题.

【解答】

解：因为，
所以，
所以
故选

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了交集和补集混合运算，属基础题.

【解答】

解：，则，
因此，或

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，属于基础题.

根据题意，依次判断即可.

【解答】

解：由题可知：，定义域为R，且，，所以函数为奇函数.

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图像的识别，属于中档题.

【解答】

解：因为，，
而，所以C，D错误.
令，所以，即单调递减，
当时，，即，
所以时，，
令，
所以时，，
而，即时，单调递减，
所以所以时，，在单调递增错误，B错误.
故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了求椭圆的离心率，属基础题.

【解答】

解：将代入椭圆方程，可得，则，
当三角形为直角三角形时，由，得，即，
亦即，解得

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查棱锥的表面积、球的体积，属于基础题.

【解答】

解：由题可知，最大球即为其内切球；
如图，设底面 ABCD中心为O，连接 CO， EO，由几何关系知，
在中BC边上的高，
又，设内切圆半径为r
由等面积法可知：，解得
则内切球体积为
 

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了比较数的大小，属于中档题.

【解答】

解：因为，，
所以，
所以，
因为
令设，令，可得，且时，，
所以，即，可得，即
所以
故选

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的对称性，涉及两点间的距离公式、求直线方程，属较难题.

【解答】

解：，
曲线的对称中心为，
由，可知点E为对称中心，故E的坐标为，
不妨设，
则由，得，
即，
令，则，
即，
，
当时，，
又l过，直线l的方程为，
当时，，
又l过，直线l的方程为
综上，直线l的方程为

9.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查对立事件、互斥事件、独立事件、条件概率，属于基础题.

【解答】

对于①当A，B互斥时，

          ②当A，B不互斥时，

对于若，且A，B互斥，那么，故A，B不可能相互独立；
对于C，由，并不能得出A与B是对立事件;

对D，若，则事件AB与C相互独立，但推导不出A，B，C两两独立，故D错误;

10.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了空间线线位置关系，锥体体积，属于基础题.

【解答】

解：由已知可得，，所以故A正确；
因为，若，则，不存在，故B错误；
因为，当时，，可得，故C正确；
当时，取最大值，此时，，所以，故D正确.

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了推理案例、向量的数量积的运算、等比数列等知识，属较难题.

【解答】

解：根据题意将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角
形，再将中间部分的线段去掉得到 ，
记曲线 的边长为，
数列是首项为6，公比为的等比数列，故A正确;
封闭曲线的周长为，则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，故B错误;
由题知，，可求得，
则，于是，
又，，，，
则，故C正确；
由题知，，，结合C可知，，
则
，故D正确.

12.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数单调性，属于中档题.

【解答】

解：由题意可设，则，
在上恒成立，则在上单调递增，

对于取，满足，但；
对于，，即，
①，
，，即，②，
由①+②得，故B正确;
对于取，则，，
，故C错误
对于①，
②，
由①-②得
，
，故D正确，
故选BD

13.【答案】3 

【解析】

【分析】

本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.

【解答】

解：因为，
所以，可得

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型及其计算，涉及排列问题，属基础题.

【解答】

解：甲乙两人要在一排六个空座上就坐，则有种坐法，
而甲乙一定相邻的坐法有种坐法，
则甲乙中间有空位的概率为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线位置关系，属于基础题.

【解答】

解：由题可知，设直线l方程为，，
联立方程可得：，消去x可得：，
故，又，可得：，
所以

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数求最值，属于拔高题.

【解答】

解：由题意，函数的大致图象如图所示，

由图象知，
由，关于对称，可得，
由，可得，
那么
构造新函数，
则，
则，在区间单调递减，
，
即在区间
所以在区间单调递减，
又因为，
所以在区间
所以在区间单调递增，
因为，，
所以的取值范围为

17.【答案】解：选择①由正弦定理，，

因为，所以，即，

因为，所以，所以，
所以，即

选择②，

由正弦定理，，

因为，所以，即，

因为，所以，所以，即

选择③由，

可得，即，

所以，

方法一：

因为，所以，

所以，

所以，
即的取值范围为

方法二：由余弦定理，，

再由正弦定理，，

因为，
所以，

即，当且仅当时“=”成立.

又因为，，所以，

即的取值范围为

【解析】本题考查了正、余弦定理的综合应用、三角恒等变换的综合应用，属中档题.
 

18.【答案】解：当时，即，
所以，，所以时也满足

当时，

当时，，也满足上式，所以

【解析】本题考查数列通项，前n项和，属于中档题.
 

19.【答案】解：过点D作交AB于点O，连接OE，由已知条件可知：，

得

，

同理，而，

，即，

，平面ABFE，

平面ABFE，
 

建立如图空间直角坐标系，
 

可知：，，，平面ABF的法向量为，

设平面MBF的法向量为，

则，又

，可取，

，，

依题意可知，二面角的余弦值为

【解析】本题考察了空间线线垂直的，利用空间向量求二面角，属于中档题.
 

20.【答案】解：由题意可得，
解得，

学生期中考试数学成绩的上四分位数为：分；

数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则

零假设为数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；
由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，
则，1，2，

经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，

参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件

则，，，，

，，
 

，

，

，
故X的分布列如下：

则可得X的数学期望为

【解析】本题考查了求百分位数、独立性检验、离散型随机变量的分布列与均值，属较难题.
 

21.【答案】解由坐标为得，

点在双曲线上得

可以解得，双曲线方程为

设直线与双曲线交于，点，

由得且，，，

代入坐标得：，整理得：①②

得③

同理④，⑤

得⑥

由于双曲线上的点满足

⑥③得

即有

表示点在定直线上

【解析】本题考查双曲线中的定直线问题，双曲线方程，属于中档题.
 

22.【答案】解：由对恒成立可知：，即

令，

当时，，单调递增，

当时，令得，，且

时，时，时，

所以有单调递减，，与题设矛盾，不成立;

所以实数a的取值范围为

由题知：，

由可知，有两个极值点，，则，，

令，则，

由，可知，

设，则

设，则，

而，单调递增，可知，

单调递增，可知，

，可知单调递减，

可知，，

【解析】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.