2022-2023学年湖南省益阳市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年湖南省益阳市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集的定义和运算直接得出结果.

【详解】由题意知，

.

故选：D.

2．已知，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断命题.

【详解】当时，，但，则命题p推不出命题q；

当时，，则命题q推出命题p，

所以命题p是命题q的必要不充分条件.

故选：B.

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的真数大于0，即可解出其定义域.

【详解】 有意义，则，

所以函数定义域为.

故选：C.

4．化简：（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合诱导公式和二倍角公式，逐步化简，即可得到本题答案.

【详解】.

故选：C

5．已知函数，则（    ）

A．6 B．3 C．2 D．

【答案】B

【分析】将代入分段函数，即可得到的值.

【详解】由题意，

在中，

，

故选：B.

6．下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对选项函数的奇偶性和单调性逐个判断，即可得到本题答案.

【详解】A、D为奇函数，B为非奇非偶函数，C为偶函数，排除B、C，

在上单调递增，不满足题意，排除D，

易知在区间上为增函数.

故选：A

7．为了得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】利用三角函数图象变换可得结论.

【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度.

故选：B

8．已知函数的部分图像大致如图所示，则其解析式可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】通过分析各个函数的单调性和奇偶性，与所给图像的单调性和奇偶性进行对比，即可得出正确的解析式.

【详解】解：由题意及图像可知，

，函数关于轴对称，故为偶函数，

在到的某点处单调递增，在的某点处到0处单调递减；

在0处到的某点处单调递减，在的某点处到处单调递减.

对于A，

在中，，

当时，，，

当时，解得：，

∴当时函数单调递增，当时函数单调递减，

当时，，，

当时，解得：，

∴当时函数单调递增，当时函数单调递减，

与所给图像相同，故A正确.

对于B，

在中，

当时，，，

当时，解得：，

∴当时函数单调递增，当时函数单调递减，

当时，，，

当时，解得：，

∴当时函数单调递增，当时函数单调递减，

与图像不符，故错误.

对于C，

在中，，，

故C错误.

对于D项，

在中，，

故D错误.

故选：A.

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．是上的奇函数 B．的最小正周期为

C．有最大值1 D．在上为增函数

【答案】AB

【分析】根据正弦函数的性质依次判断选项即可.

【详解】A：函数的定义域为R，且，为奇函数，故A正确；

B：函数的最小值正周期为，故B正确；

C：，得的最大值为2，故C错误；

D：函数的单调增区间为，

当时，，即函数在上为增函数，故D错误.

故选：AB.

10．下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，且，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】根据特例判断A，由作差法可判断B，由均值不等式可判断CD.

【详解】对A，成立，但不成立，故A错误；

对B，，

而（a,b不同时为零），所以，即，故B正确；

对C, 由均值不等式可得，故不成立，故C错误；

对D, ，，，即，故D正确.

故选：BD

11．已知,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】结合对数函数的单调性可判断的大小范围,结合的单调性可判断的取值范围,从而可判断选项A,B,C的正误;通过比较的大小,可判断出,即可判断选项D的正误.

【详解】解:因为在单调递增,

所以,即,

因为在单调递增,

所以,,

综上:,故选项B错误,选项A、C正确;

因为,且,

即,所以,故选项D正确.

故选:ACD

12．已知函数的所有非负零点从小到大依次记为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数零点转化为方程的根的问题，再转化为两函数图象交点问题，故作出函数图象，数形结合判断交点个数，再由正弦型函数的对称性判断CD选项.

【详解】由，

可得，

即与的图象在第一象限交点横坐标即为，

因为，时，，如图，

由图可知，共有9个符合要求的交点，所以，

令，解得，，即，

故由图象可知，，，，

所以，

因为，若，

则需，由图知，，故不成立，

综上可知，BC正确，AD错误.

故选：BC

三、填空题

13．计算：__________.

【答案】

【分析】将分数指数幂转化为根式形式,求出值即可.

【详解】由题知.

故答案为:

14．已知点为角终边上的一点，则__________.

【答案】

【分析】根据三角函数的定义计算可得；

【详解】解：点为角终边上的一点，所以

故答案为：

15．科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，记里氏级地震､7.0级地震所释放出来的能量分别为，则__________.

【答案】##1000

【分析】把9.0和7.0代入到，然后两式相减，即可得到本题答案.

【详解】由题可得，，

所以，得.

故答案为：##1000

16．已知定义在上的奇函数满足是上的偶函数，且，则__________.

【答案】##0.5

【分析】通过讨论函数的奇偶性、对称性和周期性，即可计算出所求的式子的值.

【详解】由题意，，

在中，是奇函数，是偶函数，

∴，，，

∴，

∴，则，

∴，即，

∴函数是以4为周期的周期函数，，

∴，，，

∴.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）已知，求的值.

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据同角的基本关系求解即可；

（2）根据二倍角的正弦公式及同角基本关系即可得证.

【详解】（1）是的内角，，又，

，

（2）证明：左边=

=右边

所以等式成立.

18．设集合.

(1)当时，求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据交集的定义和运算直接求解；

(2)结合(1)，根据交集的结果即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）

当时，，

；

（2）由(1)知，，

，解得：，

所以的取值范围是.

19．已知函数

(1)若对一切实数都成立，求的取值范围；

(2)已知，请根据函数单调性的定义证明在上单调递减.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据判别式小于0求解即可；

（2）利用定义法证明函数的单调即可.

【详解】（1），有，即恒成立，

解得，所以的取值范围是

（2）由已知有，任取，设，

，

所以，即，

在上单调递减.

20．已知函数的图象与轴交于点，若是方程的三个连续的实根，且.

(1)求的解析式；

(2)求的单调递增区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据三角函数的对称性求出函数的最小正周期，进而求得，将点P的坐标代入求出，即可求解；

(2)利用整体代换法结合正弦函数的单调增区间即可求解.

【详解】（1）是方程的三个连续的实根，且，

记是三根之间从左到右的两条相邻对称轴，

则，

，即，

再将点代入得：，且得，

.

（2）由

解之得：，

的单调递增区间为.

21．生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：

为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：①；②且.

(1)请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；

(2)根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：）

【答案】(1)；

(2)24个月

【分析】（1）分别代入前2列数据到两个函数模型的解析式，解方程组，即可得到本题答案；

（2）分别把和代入到两个函数模型的解析式，选择数据差距较小的函数模型；然后把代入到，解出，即可得到本题答案.

【详解】（1）将前2列数据代入解析式①得：，解之得：，

①；

将前2列数据代入解析式②得：，解之得：，

②.

（2）当时，模型①，模型②；

当时，模型①，模型②；

选模型②；

当总量再翻一番时有：，解之得，

即再经过26-2=24个月时，总量能再翻一番.

22．已知函数.

(1)若函数是上的奇函数，求的值；

(2)若函数的在上的最小值是，确定的值；

(3)在（2）的条件下，设且，若在上的最小值为1，请确定的值.

【答案】(1)1

(2)

(3)

【分析】(1)根据奇函数的定义可得，即可求出a，验证即可；

(2)当时，利用基本不等式计算即可求解；当时，利用定义法证明函数在上单调递增，没有最小值；

(3)由(2)可得在上的最小值为1，根据指数函数的性质知当时，当时.利用换元法得()，结合分类讨论的思想和二次函数的性质求出对应的m值即可.

【详解】（1）是上奇函数，

即，

经验证时，符合题意，故；

（2）当时，，

则，

当且仅当即时取等号，

即；

当时，设，且，则，

，

所以在上单调递增，没有最小值；

综上所述，函数在上的最小值是时，.

（3）由（2）以及的单调性可知：当时，，

，

记，则在上的最小值为1，

当时，单调递减，有，

当时，单调递增，有，

记，则；

①当时，

，其中，

在上单调递增，

，

解得（舍）；

②当时，，

（a）当时，，此时在上单调递增，

，

解得；

（b）当时，，

此时在上单调递减，

，

解得（舍）；

（c）当时，，

此时在上单调递减，上单调递增，

（舍）；

综上所述，满足题意.