专题02 直线与圆锥曲线位置关系（弦长与三角形）（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与三角形）
知识点一：直线与椭圆联立，求解步骤：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式；
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式；
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离
第八步:利用,，计算
第九步：利用,计算
知识点二：弦长问题
（最常用公式，使用频率最高）
知识点三：弦长问题
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
知识点四：圆锥曲线中的三角形的面积
1、三角形面积问题
直线方程：
2、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
必考题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（1）、（2023·四川南充·统考一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线所过定点以及方程表示椭圆来求得的取值范围．
【详解】直线过定点，
所以，解得①．
由于方程表示椭圆，所以且②．
由①②得的取值范围是.
故选：C
（2）、（2022·陕西·统考一模）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在轴对参数范围的限制．
【详解】由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，，
又焦点在x轴上，..
故答案为：．
1．（2023·广东肇庆·肇庆市第一中学校考模拟预测）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案．
【详解】由直线，则可知其过定点，
易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，
则，解得且.
故答案为：且.
2．（2023·重庆北碚·校联考模拟预测）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆上两点关于直线对称，则可设直线方程为，将其与椭圆方程联立，令，可算出的范围，又线段的中点也在直线上，结合韦达定理可以算出的关系式，从而得解．
【详解】设，线段的中点，
若此椭圆上存在不同的两点关于直线对称，
所以直线的方程可以设为，
联立，化为，
，解得，
而，所以，即，
代入直线可得，
所以，即实数m的取值范围是.
故选：D.
必考题型二：弦长问题
例2．（1）、（2022·河南郑州·统考三模）斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值．
【详解】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:D.
（2）、（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，．若弦长，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的弦长公式即可得解．
【详解】由题意，直线的斜率不等于零，，
设直线的方程为，，，
联立，消得，
恒成立，
则，
所以，
解得，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
1．（2023·河南·统考模拟预测）斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，即可求出弦长的表达式，结合的面积求得参数p，即可求得答案．
【详解】由题意知抛物线的焦点F坐标为，
设直线l的方程为，联立，
得，，
设，则，
故，

又点O到直线的距离为，
则，即，
故，
故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F，AB为抛物线的过点F的一条弦，若从点F发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则 ．
【答案】
【分析】首先设，，，由题意中的光学性质可知，，再联立方程，利用韦达定理即可求直线方程，最后代入弦长公式．
【详解】由题意知，设，，，由两条平行直线之间的距离为5知．
易知AB的斜率不为0，设AB：，由得，
∴，，
∴，
∴，∴AB的方程为，
∴．
故答案为：
必考题型三：中点弦问题
例3．（1）、（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．
【答案】
【分析】联立直线与椭圆方程，由韦达定理以及中点坐标公式即可求解．
【详解】法一：（直接法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆方程为，由，消去，
得，
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则
由题意知，解得．
所求椭圆方程为．
法二：（点差法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆的方程为．
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则
得
，
即，
又弦的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，
，代入上式得，解得，故所求的椭圆方程为．
故答案为：
（2）、（2022·全国·校联考三模）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果．
【详解】设，，则，，所以，
即，
因为AB的中点为，，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
所以焦点到直线的距离，
故选：A.
1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的一条弦恰好以点为中点，弦的长为，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，，得到，，结合“点差法”求得，得到直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得，进而求得抛物线的准线方程．
【详解】设，，弦所在直线方程为，
则，，
也点A，B在抛物线上，可得，
两式相减可得，所以，即，
所以弦所在直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，，
所以，
所以，即，
可得，解得，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点．若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由点差法代入计算，可得，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果．
【详解】设，，，
将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得，，
两式相减可得.
又因为M为AB的中点，所以，
所以，
所以，，
又直线l与OM的斜率之积为，
所以，即，
所以椭圆C的离心率.
故选：D.
例4．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组，解出即可．
（2）设，利用点差法得，再根据中点坐标求出，，代入即可得到直线斜率，最后写出直线方程即可．
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得．．
又椭圆的长轴比短轴长2，所以，
联立方程组，解得
所以椭圆的方程为．
（2）显然点在椭圆内，
设，因为在椭圆上，所以，
两个方程相减得，即，
因为线段的中点为，所以，，
所以．
所以的方程为，即．
1．（2023·全国·模拟预测）已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用点差法可求得，结合，求出，即可求出双曲线的方程；
（2）直线与双曲线方程联立，求出点坐标，因为直线与垂直，所以用替换，得到点的坐标，求出直线的方程，即可得出恒过定点，即可得出与的面积之比
【详解】（1）依题意可知，设，，
则两式作差可得，
即，又当时，直线的斜率为1，
所以．又，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）联立直线与双曲线方程，得
消去整理得，则，，
则所以，，所以．
又因为直线与垂直，所以用替换，得到．
当，即时，直线的方程为，直线过点．
当且，时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线过点．
综上，直线恒过点．
所以与的面积之比为．
2．（2022·上海·统考模拟预测）设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)A、B、C、D四点共圆，理由见解析．
【分析】（1）点差法求解中点弦的斜率及方程；（2）求出AB两点坐标，求出AB的垂直平分线，联立后求出CD点的坐标，得到CD的中点M的坐标，计算得到，从而得到四点共圆．
【详解】（1）设，显然，
由题意得：，
两式相减得：，
即，
因为点是线段的中点，
所以，
所以，
即直线的斜率为1，
所以直线的方程为，整理得：
（2）联立与，得到：
，
解得：，当时，，
当时，，
不妨设，
直线AB的垂直平分线为，与联立得：，
解得：，当时，，
当时，，
不妨设，
则CD的中点为，
又，，
，
所以，
故A、B、C、D四点共圆，圆心为，半径为.
必考题型四：三角形问题
例5．（1）、（2023·全国·模拟预测）椭圆的两焦点分别为，过点的直线交椭圆于点，若的最大值为3，则当取得最小值时，的面积为（ ）
A．4B．C．3D．2
【答案】C
【分析】由题意，求得，再由公式算得通径长度以及当取得最小值时，的面积
【详解】由的最大值为3，即右焦点到左顶点的距离，
得，即，两边同时平方得，所以，．
易知当直线垂直于轴时，取得最小值，此时，
所以.
故选：C
（2）、（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 .
【答案】
【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用，求得点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解．
【详解】由抛物线：得其标准方程为，所以，得，
所以焦点为，准线方程为，
又因为在抛物线上且，由抛物线定义可得，代入抛物线方程得，
所以.
故答案为：.
1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若的离心率为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】根据离心率求出双曲线的渐近线方程，利用两角差的正切公式求出，再根据求出的值，由的面积等于的面积，即可求解．
【详解】由的离心率为，可得，则，
则的渐近线方程为，则，
则，
设渐近线方程为，，
则点到双曲线的渐近线的距离为， 则，
因为，则，即，，
易知的面积等于的面积，
即．

故选：B.
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为， 为坐标原点, 点在上且满足（均不与重合），则面积的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．20
【答案】C
【分析】求出抛物线方程，设出点坐标，将直线和抛物线联立，求出直线的方程，进而写出面积的表达式，即可求出最小值．
【详解】在中，焦点为，
焦点关于直线即的对称点为，
，解得，
∴抛物线的方程为,
显然直线的斜率不为 0 , 设直线的方程为, 且,

设,
联立, 整理可得,
, 即, 且,,
又因为, 即,
∴,
∴即直线的方程为，
∴直线恒过 点，
∴，
当且仅当时, 等号成立．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线与直线的综合问题，韦达定理和三角形面积求法，考查学生的计算和作图能力，具有很强的综合性．
例6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率为，M为C上的动点，且面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，直线l交C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为，，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率为、面积的最大值为1及a，b，c之间的关系求出a，b，即可求出椭圆C的标准方程；
（2）求出直线l的斜率不存在时的面积，当直线l的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，然后利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，最后结合三角形的面积公式即可得解．
【详解】（1）因为椭圆C的离心率为，所以．
因为面积的最大值为1，所以，
又，所以，，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，不妨设点P在第一象限，
根据椭圆的对称性知，又，可得，
此时直线OP的方程为，与联立并求解，得，
所以的面积为．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为（），
联立，得，
，即．
设，，则，，
所以，
．
由，得，
所以，即，满足．
因为点O到直线l的距离，
所以，
综上，．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解．
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为为上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且（为坐标原点），记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用抛物线焦半径公式即可得解；
（2）联立直线与抛物线方程，结合题设条件求得，从而得证；再求得直线所过的定点，从而得解．
【详解】（1）因为在上，所以，
又，所以，则，
所以，则，解得或，
当时，，满足要求；当时，，不满足，
故，所以抛物线的方程为.
（2）设，
联立，消去整理得，
所以，且，所以，
因为，解得，
所以直线的方程为，则直线过定点，
直线，即过定点，
又，所以，
所以.
2．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线和上，且，记PQ的中点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，结合中点坐标公式即可求解曲线C的方程为
（2）将代入双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积的表达式，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解最值．
【详解】（1）由于点P和Q分别在直线和上，所以可设，，
由，得，所以，
根据点P，Q在y轴同侧，得，所以．
设，则于是
得，即，
故曲线C的方程为．
（2）设，，
把代入，得，
故，，，
所以
，
又点O到直线的距离，
所以的面积
令，则，
令，则，
因为，所以，
由，得，
由，得，
由，得，当且仅当，即，即，即时等号成立，故面积的最小值为．

【点睛】方法点睛：解决解析几何中与面积有关的最值或范围问题的一般步骤：一是求出面积的表达式（常用直接法或分割法）；二是明确自变量及自变量的限制条件（如方程根的判别式大于0等）；三是利用配方法、基本不等式、函数单调性等求出面积的最值或取值范围．