2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用考点2弦长弦的中点问题

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第4讲圆与圆的位置关系圆的综合应用考点2弦长弦的中点问题，共2页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·北京房山区开学考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝ eq \f(2\r(5),5) .
[解析] 由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，c2＝a2＋b2得eq \f(b,a)＝2，∴渐近线方程为2x－y＝0，又圆心(2,2)到渐近线的距离d＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，∴|AB|＝2eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq \f(2\r(5),5).
2．(2024·江苏南京六校联合调研)已知直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆C：x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( D )
A．2 B．eq \r(2)
C．4 D．2eq \r(2)
[解析] 直线l：λ(x－1)－y＋1＝0过定点P(1,1)，显然P在圆内，则直线l与圆必有两交点，因为圆心C(0,2)到直线l的距离d≤eq \r(1－02＋1－22)＝eq \r(2)，所以|AB|＝2eq \r(22－d2)≥2eq \r(2).故选D.
[引申]本例中|AB|最小时AB的方程为 x－y＝0 .
[解析] |AB|最小时P为AB的中点，且kAB＝－eq \f(1,kPC)＝1，∴AB的方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.
角度2 弦的中点问题
(2024·湖北云学新高考联盟联考)若点A、B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，|AB|＝2eq \r(2)，P为AB的中点．Q点在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵点A、B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，|AB|＝2eq \r(2)，∴AB中点P到圆心C1(2,0)的距离为eq \r(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))2)＝1，由圆的定义可知，点P的运动轨迹为以C1(2,0)，半径1的圆(x－2)2＋y2＝1，
又∵Q点在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1，
∴|PQ|的最小值为|C1C2|－1－1＝2.故选B.
名师点拨：
1．求直线被圆截得的弦长的常用方法
2.若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＝r2，,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＝r2，))∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(x0,y0).
【变式训练】
1．(角度1)(2024·云南曲靖一中月考)直线l与直线x－y＋3＝0垂直，且被圆(x－2)2＋(y－3)2＝8截得的弦长为2eq \r(6)，则直线l的一个方程为 x＋y－3＝0或x＋y－7＝0 .(写出一个方程即可)
[解析] 由直线l与直线x－y＋3＝0垂直，可设l：x＋y＋m＝0，圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，半径为2eq \r(2)，因为弦长为2eq \r(6)，所以圆心到直线l的距离为d＝eq \r(2\r(2)2－\r(6)2)＝eq \r(2)，即eq \f(|2＋3＋m|,\r(2))＝eq \r(2)，解得m＝－7或m＝－3，则直线l的方程为x＋y－3＝0或x＋y－7＝0.
2．(角度2)(2024·山东临沂联考)已知A，B为圆O：x2＋y2＝1上的两点，|AB|＝eq \r(3)，M为AB的中点，则M到直线l：x－eq \r(3)y＋2＝0距离的最小值为 eq \f(1,2) .
[解析] 由垂径定理可知2eq \r(1－|OM|2)＝eq \r(3)，∴|OM|＝eq \f(1,2)，∴M的轨迹是以O为圆心，eq \f(1,2)为半径的圆，O到l的距离d＝eq \f(2,\r(4))＝1，∴M到直线l距离的最小值为d－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).几
何
法
直线被圆截得的半弦长eq \f(l,2)，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＋d2
代
数
法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)(k≠0)