高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案，共10页。


摄氏度与华氏温度
“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度”．
摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其结冰点是0℃，沸点为100℃．1714年德国人法勒海特(F ahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度．人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1°F”．按照华氏温标，则水的冰点为32°F，沸点为212°F．
“华氏温标”是经验温标之一．规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，
每等份代表1度．华氏温度用字母°F表示．
摄氏温度℃和华氏温度°F之间的换算关系为：
华氏度°F＝32＋摄氏度℃×1.8，摄氏度℃＝华氏度°F－32÷1.8．
问题 1温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？
2摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？
3今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？
[提示] 1弧度，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，即为1弧度的角．
2可以，1°＝ EQ \f(π,180) rad，1 rad＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up12(°)．
3弧度，书写方便简单．
知识点1 弧度制
1．角度制与弧度制的概念
(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．
(2)弧度制
①定义：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角．
③表示方法：1弧度记作1 rad．
2．角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数α＝eq \f(l,r)．
1．公式α＝eq \f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关？
[提示] 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点2 弧度制与角度制的换算
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则eq \f(n,180)＝eq \f(α,π)．
一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．( )
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( )
(3)160°化为弧度制是eq \f(8,9)π rad．( )
[提示] (1)×．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(2)√．“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
(3)√．160°＝160×eq \f(π,180) rad＝eq \f(8,9)π rad．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．1 080°等于( )
A．1 080B．eq \f(π,10)
C．eq \f(3π,10) D．6π
D [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π．]
知识点3 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αr．
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2．
2．我们初中学过的半径为r，圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么？
[提示] 半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝eq \f(nπr,180)，扇形面积公式为S扇＝eq \f(nπr2,360)．
在应用公式l＝αr和S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2时，要注意α的单位是弧度．
3．圆心角为eq \f(π,3)弧度，半径为6的扇形的面积为________．
6π [扇形的面积为S＝eq \f(1,2)×62×eq \f(π,3)＝6π．]
类型1 弧度制的概念
【例1】 下列命题中假命题的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．]
弧度制与角度制的区别与联系
eq \([跟进训练])
1．下列说法中，错误的说法是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
D [根据弧度制的定义可知1弧度是指长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，故D错误．]
类型2 角度制与弧度制的转换
【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq \f(3,5)π，β2＝－eq \f(7,3)π．
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．
[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．
α1＝－570°＝－eq \f(19,6)π＝－4π＋eq \f(5,6)π，
α2＝750°＝eq \f(25,6)π＝4π＋eq \f(π,6)．
所以α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝eq \f(3π,5)＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，
由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，
所以k＝－2或k＝－1，
所以在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°．
同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°．
角度制与弧度制的转换中的注意点
(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up12(°)＝度数．
(2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合使用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法．
(4)判断角α终边所在的象限时，若α∉[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限．
eq \([跟进训练])
2．(1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－eq \f(5π,12) rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝eq \f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq \f(7π,12)，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)①eq \f(5π,8) rad ②－75° [①因为1°＝eq \f(π,180) rad，
所以112°30′＝eq \f(π,180)×112.5 rad＝eq \f(5π,8) rad．
②因为1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up12(°)，
所以－eq \f(5π,12) rad＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)×\f(180,π)))eq \s\up12(°)＝－75°．]
(2)[解] 法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq \f(π,180)＝eq \f(π,12)，
θ＝105°＝105×eq \f(π,180)＝eq \f(7π,12)．
显然eq \f(π,12)法二(化为角度)：β＝eq \f(π,10)＝eq \f(π,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up12(°)＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up12(°)＝105°．
显然，15°<18°<57.30°<105°．故α<β<γ<θ＝φ．
类型3 弧长公式与扇形面积公式
【例3】 (1)(对接教材P12练习BT6改编)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A．2B．eq \f(2,sin 1)
C．2sin 1 D．eq \f(4,sin 1)
(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
扇形周长、面积各如何表示？怎么求圆心角的弧度数及扇形面积最值？
[提示] 扇形周长l＋2r，扇形面积S＝eq \f(1,2)lr；由扇形周长和面积建立方程组求出l与r，进而求出圆心角，求面积最值可通过建立扇形面积的目标函数求解．
(1)D [连接圆心B与弦AC的中点F，则以弦心距BF、弦AC的一半AF、半径AB为长度的线段构成一个直角三角形，
半弦长AF为2，其所对的圆心角为1弧度，故半径AB＝eq \f(2,sin 1)，这个圆心角所对的弧长为2×eq \f(2,sin 1)＝eq \f(4,sin 1)．]
(2)[解] 设扇形的半径为r，圆心角为α，弧长为l，面积为S．
则l＝20－2r，所以S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)．
所以当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2．
此时α＝eq \f(l,r)＝eq \f(20－2×5,5)＝2 rad．
所以当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大面积为25 cm2．
[母题探究]
(变条件)将本例(1)中条件改为：已知扇形周长为8 cm，圆心角为2，则扇形面积为________ cm2．
4 [设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则l＝2r，
∴l＋2r＝4r＝8 cm，∴r＝2 cm，l＝4 cm，
故扇形面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×4×2＝4(cm2)．]
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝αr，S＝eq \f(1,2)αr2和S＝eq \f(1,2)lr(这里α必须是弧度制下的角)；
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
eq \([跟进训练])
3．已知扇形AOB的周长为8．
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时，圆心角的大小和弦长AB．
[解] 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α．
(1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝3，,l＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝6，))所以α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,3)或α＝eq \f(l,r)＝6．
(2)因为2r＋l＝8，所以l＝8－2r，
所以S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝eq \f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4，所以弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．
1．把56°15′化为弧度是( )
A．eq \f(5π,8)B．eq \f(5π,4)
C．eq \f(5π,6) D．eq \f(5π,16)
D [56°15′＝56.25°＝eq \f(225,4)×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,16)．]
2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A．eq \f(40,3)πB．eq \f(20,3)π
C．eq \f(200,3)πD．eq \f(400,3)π
A [240°＝240×eq \f(π,180) rad＝eq \f(4,3)π rad，所以弧长l＝αr＝eq \f(4,3)π×10＝eq \f(40,3)π，选A．]
3．下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
C [A，B中弧度与角度混用，不正确；eq \f(9π,4)＝2π＋eq \f(π,4)，所以eq \f(9π,4)与eq \f(π,4)终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C．]
4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
－10π＋eq \f(7,4)π [由－1 485°＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°可以表示为－10π＋eq \f(7,4)π．]
5．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为________ rad．
2 [设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4．①
由扇形的面积公式S＝eq \f(1,2)lr，得eq \f(1,2)lr＝1．②
由①②得r＝1，l＝2，所以α＝eq \f(l,r)＝2 rad．
所以扇形的圆心角为2 rad．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．弧度制的定义中，角的弧度数与圆的半径大小有关吗？
[提示] 无关．
2．角度制与弧度制怎么互化？
[提示] 解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数×eq \f(π,180) rad＝弧度数，弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))eq \s\up12(°)＝度数．
3．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
[提示]
1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．
2．了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点)
3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
1．通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．
2．借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养．
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2,3)π
eq \f(3,4)π
eq \f(5,6)π
π
区别
(1)单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位
(2)定义不同
联系
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值
角度制
弧度制
弧长
l＝eq \f(nπr,180)
l＝αr
面积
S＝eq \f(nπr2,360)
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2