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人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算教学设计及反思
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这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算教学设计及反思，共8页。教案主要包含了创设情境，构建概念，例题讲解，课堂练习，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
教学目标：
1、类比1度的概念，理解1弧度的角及弧度的概念；
2、掌握角度与弧度之间的换算公式，并能熟练进行角度与弧度的换算；
3、理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用；
4、学生在探究弧度制概念及其与角度值的换算公式的过程中，体会类比的思想、转化化归的思想、归纳推理的思想以及数形结合的思想，培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的学科素养.
教学重点：
理解弧度制的定义；正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用.
教学难点：
弧度制引入的必要性以及定义的合理性.
教学过程：
一、创设情境
问题1：一个矩形长1米，宽50厘米，试计算这个矩形的面积.
【学生活动1】
学生自主完成计算.
【教师活动1】
教师点评学生计算结果.
问题2：长度单位既有国际公制，又有中国市制，不同的单位制度会给不同环境下解决问题带来方便.除了米以外，还有尺、英尺、码（约91.4厘米）、海里等，你还能举出生活中类似的实例吗？
【学生活动2】
由学生口答.
【教师活动2】
教师补充学生列举的实例，引出角既可以用角度来度量，也可以用弧度来度量.
【设计意图】
通过以上两个问题，学生感受到无论在数学中，还是在实际生活中，同一个量可以有不同的度量单位，不同背景下可根据实际需要选择不同的度量单位.同时，在同一个问题中不同的度量单位之间不能直接运算，需要进行换算成统一单位才能计算.为弧度制的引入做好铺垫.
二、构建概念
问题3：在初中几何里，1°的角是怎样定义的?度、分、秒之间采用什么进制？
【学生活动3】
由学生回忆并口答.
【教师活动3】
教师点拨：“度”定义中的关键词—等分，角度制—60进制.
【设计意图】
学生已经知道用角度度量角，这点很重要，它是弧度教学的知识基础.60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度.给出弧度制引入的必要性.
问题4：折扇在打开、合拢的过程中，可以看成是扇形的圆心角在变大、变小.那么在这个过程中，哪些量在发生变化？哪些量没变？圆心角的大小与半径有关吗？
【学生活动4】
学生在教师的引导下，观察GGB演示动画1，将折扇抽象成扇形，体会折扇在打开、合拢的过程中，扇形的圆心角的变化情况，并回答：扇形半径不变，扇形的圆心角随弧长的增大而增大，随弧长的减小而减小.
【教师活动4】
教师引导学生观察GGB演示动画，对回答问题的学生及时鼓励.
问题5：在射线上任取两点A,B，绕着O点旋转得到两段弧.那么，这两段弧的半径相等吗？所对的圆心角相等吗？圆心角的大小与半径有关系吗？你能利用学过的知识进行解释吗？
【学生活动5】
学生先独立思考，然后小组讨论形成小组意见，最后展示本组讨论结果.
【教师活动5】
教师演示GGB动画2，并参与到学生的讨论中，鼓励学生借助初中的弧长公式展开讨论.师生共同得到讨论结果：扇形的圆心角与半径无关，与弧长和半径的比值成正比，即.
问题6：通常，我们把叫做角的弧度数.那么如何定义1弧度的角呢？你能给出弧度制的概念吗?
【学生活动6】
由学生自主给出1弧度和弧度制的定义，提高学生概括归纳能力.
【教师活动6】
教师评价学生回答的问题.
追问：弧度制下的扇形弧长公式是什么？
教师板书：弧度制（这只是本节课课题的前半部分）.
【设计意图】
通过设计层层递进的数学问题，解释引入弧度制的合理性.
通过问题4、问题5，学生发现扇形的圆心角的大小与半径无关，引起学生的思维冲突，大胆猜测与弧长和半径的比值有关系.不论是定性、定量还是几何直观，得出共同的结论：同一个圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关.（弧度制的唯一确定性，即合理性）
问题7：请你用尺规作图，测量1弧度的角等于的角吗?你能说出角度制和弧度制的相同点和不同点吗？
【学生活动7】
学生自己利用圆规画出1弧度的角，用量角器测量后，发现1弧度的角大约是，远远大于的角.
对于角度值与弧度制的联系和区别，小组间展开讨论，并展示讨论结果：
1.角度制是“等分”出来的，而弧度制“用圆的半径作单位去度量弧”来刻画的，即圆心角的弧度数就是弧长与半径的比值.
2.角度制是六十进制，而弧度制是十进制，弧度是实数.
3.角度制的单位是，而弧度制的单位是1弧度.
【教师活动7】
教师根据学生的回答，进行补充完善.弧度单位rad可以省略不写.不论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
【设计意图】
角度制与弧度制的区别、联系、变化，新旧概念的辩证统一.
问题8：请独立填写下列表格.并回答：角度制、弧度制之间如何换算？
【学生活动8】
如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.
【教师活动8】
追问：如果把角的旋转方向变为顺时针，你能得到怎样的结论？
教师引导学生从特殊到一般来探究弧度制与角度制之间的换算公式.同时教师板书课题的另一部分：及其与角度值的换算.
追问：特殊地，1弧度近似为多少度？1度近似为多少弧度？
【设计意图】总结角度与弧度的互化，明确核心公式，以及弧度制与角度制之间的换算公式.
三、例题讲解
例1（课本10页）把化为弧度（用表示），并在平面直角坐标系下作出它们的终边.
例2（课本10页）把化为角度.
变式练习：请填写下表
【设计意图】
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.学生能熟练套用公式解决问题.要求学生熟练掌握特殊角角度与弧度的换算.
例3（课本10页）利用弧度制推导扇形的面积公式，其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径.
练习：
1.推导扇形的面积公式，其中是扇形的圆心角，r是扇形的半径.
2.已知扇形圆心角为，半径为2cm，求扇形的面积.
【设计意图】
学生独立完成，展示交流，教师在学生解题思路和规范性方面进行指导.要求学生熟练掌握弧度制的扇形面积公式.
四、课堂练习
1.（课本11页练习A第1题）
2.（课本11页练习A第2题（1）（3）（5），第3题（1）（3）（5））
3.（课本11页练习A第5题（1），并求扇形面积）
五、课堂小结
通过本节课，你有哪些收获或不足？
1.知识层面
2.思想方法层面
教学目标：
1、类比1度的概念，理解1弧度的角及弧度的概念；
2、掌握角度与弧度之间的换算公式，并能熟练进行角度与弧度的换算；
3、理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用；
4、学生在探究弧度制概念及其与角度值的换算公式的过程中，体会类比的思想、转化化归的思想、归纳推理的思想以及数形结合的思想，培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的学科素养.
教学重点：
理解弧度制的定义；正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用.
教学难点：
弧度制引入的必要性以及定义的合理性.
教学过程：
一、创设情境
问题1：一个矩形长1米，宽50厘米，试计算这个矩形的面积.
【学生活动1】
学生自主完成计算.
【教师活动1】
教师点评学生计算结果.
问题2：长度单位既有国际公制，又有中国市制，不同的单位制度会给不同环境下解决问题带来方便.除了米以外，还有尺、英尺、码（约91.4厘米）、海里等，你还能举出生活中类似的实例吗？
【学生活动2】
由学生口答.
【教师活动2】
教师补充学生列举的实例，引出角既可以用角度来度量，也可以用弧度来度量.
【设计意图】
通过以上两个问题，学生感受到无论在数学中，还是在实际生活中，同一个量可以有不同的度量单位，不同背景下可根据实际需要选择不同的度量单位.同时，在同一个问题中不同的度量单位之间不能直接运算，需要进行换算成统一单位才能计算.为弧度制的引入做好铺垫.
二、构建概念
问题3：在初中几何里，1°的角是怎样定义的?度、分、秒之间采用什么进制？
【学生活动3】
由学生回忆并口答.
【教师活动3】
教师点拨：“度”定义中的关键词—等分，角度制—60进制.
【设计意图】
学生已经知道用角度度量角，这点很重要，它是弧度教学的知识基础.60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度.给出弧度制引入的必要性.
问题4：折扇在打开、合拢的过程中，可以看成是扇形的圆心角在变大、变小.那么在这个过程中，哪些量在发生变化？哪些量没变？圆心角的大小与半径有关吗？
【学生活动4】
学生在教师的引导下，观察GGB演示动画1，将折扇抽象成扇形，体会折扇在打开、合拢的过程中，扇形的圆心角的变化情况，并回答：扇形半径不变，扇形的圆心角随弧长的增大而增大，随弧长的减小而减小.
【教师活动4】
教师引导学生观察GGB演示动画，对回答问题的学生及时鼓励.
问题5：在射线上任取两点A,B，绕着O点旋转得到两段弧.那么，这两段弧的半径相等吗？所对的圆心角相等吗？圆心角的大小与半径有关系吗？你能利用学过的知识进行解释吗？
【学生活动5】
学生先独立思考，然后小组讨论形成小组意见，最后展示本组讨论结果.
【教师活动5】
教师演示GGB动画2，并参与到学生的讨论中，鼓励学生借助初中的弧长公式展开讨论.师生共同得到讨论结果：扇形的圆心角与半径无关，与弧长和半径的比值成正比，即.
问题6：通常，我们把叫做角的弧度数.那么如何定义1弧度的角呢？你能给出弧度制的概念吗?
【学生活动6】
由学生自主给出1弧度和弧度制的定义，提高学生概括归纳能力.
【教师活动6】
教师评价学生回答的问题.
追问：弧度制下的扇形弧长公式是什么？
教师板书：弧度制（这只是本节课课题的前半部分）.
【设计意图】
通过设计层层递进的数学问题，解释引入弧度制的合理性.
通过问题4、问题5，学生发现扇形的圆心角的大小与半径无关，引起学生的思维冲突，大胆猜测与弧长和半径的比值有关系.不论是定性、定量还是几何直观，得出共同的结论：同一个圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关.（弧度制的唯一确定性，即合理性）
问题7：请你用尺规作图，测量1弧度的角等于的角吗?你能说出角度制和弧度制的相同点和不同点吗？
【学生活动7】
学生自己利用圆规画出1弧度的角，用量角器测量后，发现1弧度的角大约是，远远大于的角.
对于角度值与弧度制的联系和区别，小组间展开讨论，并展示讨论结果：
1.角度制是“等分”出来的，而弧度制“用圆的半径作单位去度量弧”来刻画的，即圆心角的弧度数就是弧长与半径的比值.
2.角度制是六十进制，而弧度制是十进制，弧度是实数.
3.角度制的单位是，而弧度制的单位是1弧度.
【教师活动7】
教师根据学生的回答，进行补充完善.弧度单位rad可以省略不写.不论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
【设计意图】
角度制与弧度制的区别、联系、变化，新旧概念的辩证统一.
问题8：请独立填写下列表格.并回答：角度制、弧度制之间如何换算？
【学生活动8】
如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.
【教师活动8】
追问：如果把角的旋转方向变为顺时针，你能得到怎样的结论？
教师引导学生从特殊到一般来探究弧度制与角度制之间的换算公式.同时教师板书课题的另一部分：及其与角度值的换算.
追问：特殊地，1弧度近似为多少度？1度近似为多少弧度？
【设计意图】总结角度与弧度的互化，明确核心公式，以及弧度制与角度制之间的换算公式.
三、例题讲解
例1（课本10页）把化为弧度（用表示），并在平面直角坐标系下作出它们的终边.
例2（课本10页）把化为角度.
变式练习：请填写下表
【设计意图】
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.学生能熟练套用公式解决问题.要求学生熟练掌握特殊角角度与弧度的换算.
例3（课本10页）利用弧度制推导扇形的面积公式，其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径.
练习：
1.推导扇形的面积公式，其中是扇形的圆心角，r是扇形的半径.
2.已知扇形圆心角为，半径为2cm，求扇形的面积.
【设计意图】
学生独立完成，展示交流，教师在学生解题思路和规范性方面进行指导.要求学生熟练掌握弧度制的扇形面积公式.
四、课堂练习
1.（课本11页练习A第1题）
2.（课本11页练习A第2题（1）（3）（5），第3题（1）（3）（5））
3.（课本11页练习A第5题（1），并求扇形面积）
五、课堂小结
通过本节课，你有哪些收获或不足？
1.知识层面
2.思想方法层面
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