2024版高考数学微专题专练4函数及其表示理（附解析）

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[基础强化]
一、选择题
1．已知集合A到集合B的映射f：(x，y)→(x＋2y，2x－y)，在映射f下对应集合B中元素(3，1)的A中元素为( )
A．(1，3) B．(1，1)
C．(3，1) D．(5，5)
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
B．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2
C．f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)，g(x)＝eq \r(x2－1)
3．已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x2＋1(x≥1)
C．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)
D．f(x)＝x2－2x(x≥1)
4．[2022·濮阳模拟]函数y＝eq \r(－x2＋x＋6)＋eq \f(1,x－1)的定义域为( )
A．[－2，3]
B．[－2，1)∪(1，3]
C．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
D．(－2，1)∪(1，3)
5．若函数y＝f(x)的定义域为[1，2019]，则函数g(x)＝eq \f(f（x＋1）,x－1)的定义域为( )
A．[0，2018] B．[0，1)∪(1，2018]
C．(1，2018] D.[－1，1)∪(1，2018]
6．[2022·江西省高三一模]设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(21－x，x≤1,1－lg2x，x>1))则满足f(x)≤2的x取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
7．如图所表示的函数解析式为( )
A．y＝eq \f(3,2)|x－1|，0≤x≤2
B．y＝eq \f(3,2)－eq \f(3,2)|x－1|，0≤x≤2
C.y＝eq \f(3,2)－|x－1|，0≤x≤2
D．y＝1－|x－1|，0≤x≤2
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋2，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－4B．－1
C．1D．4
9．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，2]
C．[－1，2] D．[2，5]
二、填空题
10．[2022·吉林省质量监测]已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex＋1，x≤0,f（x－2），x>0))，则f(3)的值为________．
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－2，x≤1，,－lg2（x＋1），x>1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
12．若函数y＝eq \f(ax＋1,ax2＋2ax＋3)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·吉林省高三质量监测]已知函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝x，那么f(21)＝( )
A．210B．211
C．220D．221
14．[2022·江西省一模]已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))
若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝( )
A.2B．eq \r(2)
C．1D．0
15．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1（x≥0），,\f(1,x)（x<0），))若f(f(a))＝－eq \f(1,2)，则实数a＝________．
16．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs\f(πx,2)，0专练4 函数及其表示
1．B 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3，,2x－y＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))∴集合A中的元素为(1，1).
2．A
3．C 设eq \r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，
∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).
4．B 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋x＋6≥0，,x－1≠0，))解得－2≤x＜1或1＜x≤3.
5．B 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1≤x＋1≤2019，,x－1≠0，))得0≤x≤2018且x≠1.
6．D 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤1,21－x≤2))，可得0≤x≤1；或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>1,1－lg2x≤2))，可得x>1；
综上，f(x)≤2的x取值范围是[0，＋∞).
7．B 当x∈[0，1]时，f(x)＝eq \f(3,2)x；
当1≤x≤2时，设f(x)＝kx＋b，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝\f(3,2)，,2k＋b＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(3,2)，,b＝3.))
∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－eq \f(3,2)x＋3.
结合选项知选B.
8．A f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：
当a>0时，2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；
当a≤0时，a＋2＋2＝0，解得a＝－4，满足题意．故选A.
9．C ∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.
10.eq \f(1,e)＋1
解析：f(3)＝f(1)＝f(－1)＝eq \f(1,e)＋1.
11．－eq \f(3,2)
解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；
当a>1时，由f(a)＝－lg2(a＋1)＝－3，
得a＋1＝8，a＝7，
∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－eq \f(3,2).
12．[0，3)
解析：由题意得ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即y＝ax2＋2ax＋3与x轴无交点，当a＝0时y＝3符合题意；当a≠0时，Δ＝4a2－12a<0，得013．A 因为f(x＋2)＝2f(x)，
由题意f(21)＝f(19＋2)＝2f(19)＝22f(17)＝…＝210f(1)＝210.
14．B 作出函数f(x)的图像，f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增．
由f(a－3) ＝f(a＋2)，若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3≤0,a＋2>0))，即－2所以a＝eq \r(a＋2)，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝eq \r(a＋2)，舍去)，
此时a＝2满足题意，则f(a)＝eq \r(2).
若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3>0,a＋2≤0))，此时不存在满足条件的a.
15．4或－eq \f(1,2)
解析：若f(a)≥0，则f(a)＝1，此时只能是a>0，于是a＝4；若f(a)<0，则f(a)＝－2，此时只能是a<0，于是a＝－eq \f(1,2)(若a>0，由eq \f(a,2)－1＝－2，解得a＝－2不满足题意).
16.eq \f(\r(2),2)
解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，所以f(f(15))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).