广西专用高考数学一轮复习考点规范练43直线平面垂直的判定与性质含解析新人教A版理

这是一份广西专用高考数学一轮复习考点规范练43直线平面垂直的判定与性质含解析新人教A版理，共15页。
考点规范练43　直线、平面垂直的判定与性质基础巩固1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则(　　)A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直答案:D解析:对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.2.(2020河北石家庄模拟)已知α,β是空间两个不同的平面,m,n是空间两条不同的直线,则给出的下列说法中正确的是(　　)①m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β;②m∥α,n∥β,且m⊥n,则α⊥β;③m⊥α,n⊥β,且m∥n,则α∥β;④m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β.A.①②③ B.①③④ C.②④ D.③④答案:D解析:对于①,当m∥α,n∥β,且m∥n时,有α∥β或α,β相交,所以①错误;对于②,当m∥α,n∥β,且m⊥n时,有α⊥β或α∥β或α,β相交但不垂直,所以②错误;对于③,当m⊥α,n⊥β,且m∥n时,得出m⊥β,所以α∥β,③正确;对于④,当m⊥α,n⊥β,且m⊥n时,α⊥β成立,所以④正确.综上知,正确的命题序号是③④.故选D.3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(　　)A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE答案:C解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.4.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是(　　)A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β答案:D解析:对于A,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,如图(1),α,β不垂直;对于B,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,如图(2),α,β不垂直;图(1)图(2)对于C,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,直线l的位置没有确定,则α,β的位置关系也不能确定;对于D,l⊂α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知,α⊥β.5.在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有(　　)A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC答案:C解析:∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.故选C.6.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,则(　　)A.PA=PB>PC B.PA=PB<PCC.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC答案:C解析:∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.7.(2020广西梧州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是(　　)A.A'C⊥BDB.∠BA'C=90°C.CA'与平面A'BD所成的角为30°D.四面体A'-BCD的体积为答案:B解析:若A成立可得BD⊥A'D,产生矛盾,所以A错误;由题设知,△BA'D为等腰直角三角形,CD⊥平面A'BD,得BA'⊥平面A'CD,于是BA'⊥A'C,所以B正确;由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°,知C错误;由VA'-BCD=VC-A'BD=,知D错误.故选B.8.在四面体ABCD中,DA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱BC上一点,且平面ADE⊥平面BCD,则DE=　　　　　. 答案:解析:过A作AH⊥DE,∵平面ADE⊥平面BCD,且平面ADE∩平面BCD=DE,∴AH⊥平面BCD,∴AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AD⊥BC,∴BC⊥平面ADE,∴BC⊥AE.∵AE=,AD=1,∴DE=9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　　　　　　　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析:连接AC.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.∵PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.故填DM⊥PC(或BM⊥PC等).10.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.答案:证明(1)连接AC,AN,BN,∵PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PA⊥AC.在Rt△PAC中,∵N为PC的中点,∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.∵PB⊂平面PAB,∴BC⊥PB.在Rt△PBC中,∵BN为斜边PC上的中线,∴BN=PC.∴AN=BN.∴△ABN为等腰三角形.又M为AB的中点,∴MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.(2)连接PM,MC,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∴AP=BC.又M为AB的中点,∴AM=BM.∵∠PAM=∠CBM=90°,∴△PAM≌△CBM.∴PM=CM.又N为PC的中点,∴MN⊥PC.由(1)知,MN⊥CD,又PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.11.(2020广西柳州模拟)如图,菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,E为CD中点,将△ADE沿AE折起使得平面ADE⊥平面ABCE,BE与AC相交于点O,H是棱DE上的一点,且满足DH=2HE.(1)求证:OH∥平面BCD;(2)求四面体ABDH的体积.答案:(1)证明由题意得CE∥AB,AB=2CE,所以OE∶OB=1∶2.又DH=2HE,所以OH∥BD.又BD⊂平面BCD,OH⊄平面BCD,所以OH∥平面BCD.(2)解因为平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,AE⊥CE,所以CE⊥平面ADE.因为CE∥AB,所以AB⊥平面ADE.所以四面体ABDH的体积VABDH=VB-ADH=S△ADH·AB=24=能力提升12.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.其中正确命题的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误;②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α.又n⊥β,∴α∥β,故②正确;③过直线m作平面γ交平面β于直线c,∵m,n是两条异面直线,∴设n∩c=O.∵m∥β,m⊂γ,γ∩β=c,∴m∥c.∵m⊂α,c⊄α,∴c∥α.∵n⊂β,c⊂β,n∩c=O,c∥α,n∥α,∴α∥β.故③正确;④∵α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,∴n⊥α.故④正确.故正确命题有3个,故选C.13.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部答案:A解析:由BC1⊥AC,又BA⊥AC,则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.14.如图,直线PA垂直于☉O所在的平面,△ABC内接于☉O,且AB为☉O的直径,点M为线段PB的中点.下列结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(　　)A.①② B.①②③ C.① D.②③答案:B解析:对于①,∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB为☉O的直径,∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;对于②,∵点M为线段PB的中点,AB为☉O的直径,∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,∴OM∥平面PAC;对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.故①②③都正确.15.(2020青海海东市模拟)在三棱锥P-ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,PB=PC=4,平面PBC⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为　　　　. 答案:80π解析:如图,设△ABC的外接圆的圆心为O1,连接O1C,O1A.设BC∩O1A=H,连接PH.由题意可得AH⊥BC,且AH=O1A=2,BH=BC=2因为PB=PC,H为BC的中点,所以PH⊥BC.因为平面PBC⊥平面ABC,且交线为BC,PH⊂平面PBC,所以PH⊥平面ABC,且PH==6.设O为三棱锥P-ABC外接球的球心,连接OO1,OP,OC,过点O作OD⊥PH,垂足为D,则外接球的半径R满足R2=O+O1C2=(6-OO1)2+O1H2,即O+42=(6-OO1)2+22,解得OO1=2,从而R2=20,故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=80π.16.(2020广东广州模拟)如图①,C,D是以AB为直径的圆上两点,且AB=2AD,AC=BC,将△ABC所在的半圆沿直径AB折起,使得点C在平面ABD上的投影E在BD上,如图②.(1)求证:平面ACD⊥平面BCD;(2)在线段AB上是否存在点F,使得AD∥平面CEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.答案:(1)证明∵AB是圆的直径,∴AD⊥BD.∵CE⊥平面ABD,AD⊂平面ABD,∴CE⊥AD.又CE∩BD=E,BD,CE⊂平面BCD,∴AD⊥平面BCD.∵AD⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面BCD.(2)解连接AE,∵CE⊥平面ABD,AE,BE⊂平面ABD,∴CE⊥AE,CE⊥BE.在Rt△ACE和Rt△BCE中,由AC=BC,得AE=BE.在Rt△ABD中,由AB=2AD,得∠ABD=30°,∴∠AED=∠ABE+∠BAE=60°.∴在Rt△ADE中,DE=AE,∴E是BD的三等分点,且DE=EB.在线段AB上存在点F,使得AF=FB,则有FE∥AD.∵FE⊂平面CEF,AD⊄平面CEF,∴AD∥平面CEF.故在线段AB上存在点F,使得AD∥平面CEF,此时高考预测17.在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,A1B1=A1C1=m,A1B=A1C,∠BAC=90°,M为BC中点.(1)证明平面A1AM⊥平面ABC;(2)若∠BA1C=90°,多面体A1B1C1CB的体积为,求m的值.参考公式:V台体=(S'++S)h(S',S分别为上、下底面面积,h为台体高).答案:(1)证明∵M为BC中点,AB=AC=2,∴AM⊥BC.∵A1B=A1C,∴A1M⊥BC.∵AM∩A1M=M,AM,A1M⊂平面A1AM,∴BC⊥平面A1AM.∵BC⊂平面ABC,∴平面A1AM⊥平面ABC.(2)解在△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=AC=2,∴BC=2又M为BC的中点,∴AM=∵∠BA1C=90°,∴A1M=BC=,又AA1=2,∴∠A1MA=90°.由(1)知平面A1AM⊥平面ABC,且交线为AM,A1M⊂平面A1AM,∴A1M⊥平面ABC.∴棱台的高为h=A1M=由已知可得S△ABC=2,m2.∵多面体A1B1C1CB的体积为,m2+mh=,把h=代入,得m=1.