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高中北师大版 (2019)5 正态分布精品当堂达标检测题
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这是一份高中北师大版 (2019)5 正态分布精品当堂达标检测题，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册65正态分布分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册65正态分布分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性与离散程度，即可求解．
【详解】由图可知，乙的正态分布密度曲线的对称轴在甲的正态分布密度曲线对称轴的右侧，由正态分布密度曲线关于对称可知，，
乙的正态分布密度曲线数据分布的离散程度大于甲的正态分布密度曲线的分布的离散程度，
因为越小正态曲线越尖陡，越大越扁平，所以．
故选：A．
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性求解可得.
【详解】因为，且，所以，
又，所以.
故选：A
3．某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（ ）
A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
【答案】A
【详解】根据给定信息得成绩服从正态分布，再利用和的含义逐项判断作答.
【分析】依题意，不妨设成绩服从正态分布，由正态曲线的性质知，
曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，
为正态曲线的对称轴，且为平均数，
由所给图像知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大，
甲、乙、丙总体的平均数相同，BCD错误，A正确.
故选：A
4．在某项测量中，测得变量,若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（ ）
A．0.2B．0.1C．0.8D．0.4
【答案】D
【分析】利用正态分布的对称性可得答案.
【详解】因为变量，，
所以 .
故选：D.
5．据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ）
附：，，，
A．0.4987B．0.8413C．0.9773D．0.9987
【答案】C
【分析】根据原则求得正确答案.
【详解】依题意，，
.
故选：C
6．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量，可以证明，对给定的是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（ ）
A．341B．477C．498D．683
【答案】B
【分析】根据已知，利用正态分布的性质计算求解.
【详解】因为考生的成绩基本服从正态分布，
所以考试成绩在的考生人数即为考试成绩在的人数，
因为共有1000名考生参加这次考试，
所以考试成绩在的考生人数大约为，故A，C，D错误.
故选：B.
7．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解.
【详解】由正态分布密度函数，可得.
故选：C.
8．已知随机变量，其正态曲线如图所示，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的图形，利用正态分布的对称性求解作答.
【详解】随机变量，由图知，而，
所以.
故选：D
9．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据、、、、、、、的第分位数（中位数）为
B．一组数据、、、、、、、的第分位数为
C．若变量服从，，则
D．若变量服从，，则
【答案】ABD
【分析】利用百分位数的定义可判断AB选项；利用正态分布的对称性可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，数据、、、、、、、共个数，
因为，，
因此，这组数据的分位数（中位数）为，
这组数据的分位数为，AB都对；
对于CD选项，因为变量服从，，
则，C错D对.
故选：ABD.
10．（多选）已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（ ）
，，）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据正态曲线的对称性及参考数据可得答案.
【详解】∵随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，且，，从而A正确，B错误，
根据题意可得，，，
∴，故C正确；
与不关于直线对称，故D错误．
故选：AC．
11．设随机变量，且，则实数的值为 .
【答案】
【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为随机变量，且，则，解得.
故答案为：.
12．今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 .
【答案】135
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得 ，乘以总人数即可得出答案.
【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
则数学成绩为优秀的人数是.
故答案为：135.
13．若随机变量，其密度函数为，则 .（附：若（单位：）服从正态分布，则，，.）
【答案】0.84135
【分析】求出正态分布的均值和方差，即可得出的值.
【详解】由题意，
在随机变量中，，，
∴，，
∴，
故答案为：0.84135
14．若随机变量，且，则 .
【答案】/
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：
15．影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下：
(1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
(2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取揹施的效果．
附：参考数据与公式：若，则①；②；③．
【答案】(1)偏矮率为，正常率为，偏高率为，超高率为
(2)调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好
【分析】（1）利用正态分布中概率求解公式求解即可.
（2）利用古典概型概率公式求解调整后的相对应的概率以及平均得分，分别与调整前的比较，即可得出结论.
【详解】（1）调整前，
偏矮率为，
正常率为，
偏高率为，
超高率为．
（2）由（1）知，调整前，
身高指数平均得分为；
调整后，偏高率为，
超高率为，
身高指数平均得分为，
由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，
说明学校采取的措施效果好．
1．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）
参考数据：若，则，．
A．75人B．77人C．79人D．81人
【答案】C
【分析】，，由概率计算人数即可.
【详解】，，，
因为，
所以，
所以数学成绩在分以上的人数约为人.
故选：C．
2．某学校共人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（ ）
A．人B．人C．人D．人
【答案】C
【分析】根据正态密度曲线的对称性求出的值，再乘以可得结果.
【详解】由已知可得，，所以．又，
则，
估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（人）．
故选：C．
3．某市高三联考后，统一调查研究本次考试的数学成绩，得出全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，则下列说法错误的是（ ）
A．本次联考的数学平均分近似为90分
B．本次联考数学成绩的方差近似为50
C．随机抽取一名学生的成绩，
D．随机抽取一名学生的成绩，
【答案】D
【分析】对于AB，由分析判断，对于CD，由正态分布的对称性分析判断.
【详解】对于AB，因为全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，所以，所以AB正确；
对于C，因为，所以，故C正确，
对于D，因为，所以，所以D错，
故选：D.
4．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量，则
B．若随机变量，，则
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．从除颜色外完全相同的个红球和个白球中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；
【答案】D
【分析】选项A根据二项分布的概率公式进行计算；选项B根据正态分布的对称性进行计算；选项C根据互斥事件与对立事件的定义进行判断；选项D根据超几何分布的定义进行判断.
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，，所以，故B错误；
对于选项C，至少有一个黑球包含的基本事件有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件有“一黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故C错误；
对于选项D，设摸出红球的个数为k，则，符合超几何分布，故D正确.
故选：D
5．（多选）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B．有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C．若随机变量，则其数学期望
D．若随机变量，，则
【答案】ACD
【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项，根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率.
【详解】A选项：平均数为：，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，
将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为，故A正确；
B选项：样本的容量为，故B错误；
C选项：由，故C正确；
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
6．（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A．数据0，1，2，3的极差与中位数之积为3
B．数据20，20，21，22，22，23，24的第80百分位数为23
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越差
【答案】BC
【分析】A求极差和中位数即可判断；B由百分数求法求第80百分位数；C利用正态分布对称性求指定区间的概率；D根据决定系数实际意义判断.
【详解】A：数据极差、中位数分别为3、，则它们的积为，错；
B：由，则数据从小到大的第6位，23是第80百分位数，对；
C：由正态分布的对称性，，对；
D：由回归分析中决定系数实际意义知：越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，错；
故选：BC.
7．某地区调研考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【详解】由正态分布知，均值，且，所以，
则数学成绩在的概率为，
故答案为：.
8．某校期末统考数学成绩服从正态分布．按，，，的比例将考试成绩划为四个等级，其中分数大于或等于83分的为等级，则等级的分数应为 ．（用区间表示）
【答案】
【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解．
【详解】设考试成绩为，
由题意可知，，，，，
所以，
所以等级的分数应为，
故答案为：．
9．目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:若,则,,,,.
【答案】(1)
(2)随机变量的分布列见解析；期望为
【分析】（1）由正态分布的对称性有,求各学生能进入面试的概率,再由独立事件的乘法公式及对立事件的概率求法,求人中至少有一人进入面试的概率.
（2）求出的可能取值为的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,
所以,
则,
即这人中至少有一人进入面试的概率为.
（2）的可能取值为,
,
,
,
,
则随机变量的分布列为：
,.
10．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于.
(1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少；
(2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
【答案】(1)
(2)检测员的判断是合理的，理由见解析
【分析】（1）由正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），要求得 正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于的概率, 化为 的形式, 然后求解即可;
（2）由（1）可知正常情况下，任意抽取一包食盐,质量大于的概率为,可求得随机抽取两包检查,质量都大于的概率几乎为零, 即可判定检测员的判断是合理的.
【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为，由题意可知.
由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知，
.
（2）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都大于的概率约为：
，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的.
1．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位数为18
B．若随机变量，且，则．
C．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则
D．设随机事件A，B，已知，，，则．
【答案】ABD
【分析】根据百分位数的定义计算即可判断选项A；根据正态分布的性质计算即可判断选项B；根据条件概率的计算方法求解即可判断选项C；根据条件概率与对立事件的计算公式计算即可判断选项D.
【详解】对于A，共有10个数，，
所以数据的第80百分位数为16和20的平均数，即为18，故A正确．
对于B，因为，且，
所以，
则，故B正确．
对于C，因为，
所以，则，故C错误．
对于D，因为，，
所以，
又因为，所以，
则，
所以，故D正确．
故选：ABD.
2．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立
C．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项
D．设随机变量服从正态分布，若，则
【答案】BD
【分析】利用百分位数的定义判断A；利用对立事件和条件概率的公式，结合独立事件的定义判断B；利用赋值法求出指数判断C；利用正态分布的对称性计算判断D.
【详解】对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，而，
因此这组数据的第百分位数为，A错误；
对于B，，又，
因此，即事件与相互独立，B正确；
对于C，在二项式中，令，得展开式中所有项的系数和为，
解得，因此展开式共有8项，C错误；
对于D，由随机变量服从正态分布，得对应的正态曲线关于直线对称，
而，则，因此，D正确.
故选：BD
3．某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．
参考数据：若，则，，．
【答案】0.84/
【分析】由正态分布的性质可知，有，结合原则即可求解.
【详解】由题意知，该产品服从，则，
所以
，
又，
，
所以，
所以，
即.
所以抽到“可用产品”的概率为.
故答案为：0.84.
4．近期，广西军训冲上了热搜，军训项目包括无人机模拟轰炸、战场救护、实弹打靶、坦克步兵同步行军等.十万学生十万兵，无惧挑战、无惧前行，青春正当时.为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.
(1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.
(3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)，平均数为76分
(2)分布列见解析，期望为
(3)46
【分析】（1）根据频率和为1求的值，并结合平均数公式运算求解；
（2）由题意可知随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600，进而求分布列和期望；
（3）根据正态分布的性质和题中数据分析求解.
【详解】（1）依题意，得，解得.
由频率分布直方图，知成绩的平均数为.
所以估计这100名学生测试成绩的平均数为76分.
（2）随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600.
，，
，
，
，，
.
所以的分布列为
所以.
（3）由（1）可知.
因为，
所以，
所以，
所以该高校军训学生中“优秀标兵”的人数约为46.
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数（单位：）
学生得分
50
70
80
90
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数（单位：）
人数
3
9
12
6
0
100
200
300
400
500
600
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性与离散程度，即可求解．
【详解】由图可知，乙的正态分布密度曲线的对称轴在甲的正态分布密度曲线对称轴的右侧，由正态分布密度曲线关于对称可知，，
乙的正态分布密度曲线数据分布的离散程度大于甲的正态分布密度曲线的分布的离散程度，
因为越小正态曲线越尖陡，越大越扁平，所以．
故选：A．
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.4D．0.6
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性求解可得.
【详解】因为，且，所以，
又，所以.
故选：A
3．某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（ ）
A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
【答案】A
【详解】根据给定信息得成绩服从正态分布，再利用和的含义逐项判断作答.
【分析】依题意，不妨设成绩服从正态分布，由正态曲线的性质知，
曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，
为正态曲线的对称轴，且为平均数，
由所给图像知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大，
甲、乙、丙总体的平均数相同，BCD错误，A正确.
故选：A
4．在某项测量中，测得变量,若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（ ）
A．0.2B．0.1C．0.8D．0.4
【答案】D
【分析】利用正态分布的对称性可得答案.
【详解】因为变量，，
所以 .
故选：D.
5．据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ）
附：，，，
A．0.4987B．0.8413C．0.9773D．0.9987
【答案】C
【分析】根据原则求得正确答案.
【详解】依题意，，
.
故选：C
6．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量，可以证明，对给定的是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（ ）
A．341B．477C．498D．683
【答案】B
【分析】根据已知，利用正态分布的性质计算求解.
【详解】因为考生的成绩基本服从正态分布，
所以考试成绩在的考生人数即为考试成绩在的人数，
因为共有1000名考生参加这次考试，
所以考试成绩在的考生人数大约为，故A，C，D错误.
故选：B.
7．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解.
【详解】由正态分布密度函数，可得.
故选：C.
8．已知随机变量，其正态曲线如图所示，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的图形，利用正态分布的对称性求解作答.
【详解】随机变量，由图知，而，
所以.
故选：D
9．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据、、、、、、、的第分位数（中位数）为
B．一组数据、、、、、、、的第分位数为
C．若变量服从，，则
D．若变量服从，，则
【答案】ABD
【分析】利用百分位数的定义可判断AB选项；利用正态分布的对称性可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，数据、、、、、、、共个数，
因为，，
因此，这组数据的分位数（中位数）为，
这组数据的分位数为，AB都对；
对于CD选项，因为变量服从，，
则，C错D对.
故选：ABD.
10．（多选）已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（ ）
，，）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据正态曲线的对称性及参考数据可得答案.
【详解】∵随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，且，，从而A正确，B错误，
根据题意可得，，，
∴，故C正确；
与不关于直线对称，故D错误．
故选：AC．
11．设随机变量，且，则实数的值为 .
【答案】
【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为随机变量，且，则，解得.
故答案为：.
12．今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 .
【答案】135
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得 ，乘以总人数即可得出答案.
【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
则数学成绩为优秀的人数是.
故答案为：135.
13．若随机变量，其密度函数为，则 .（附：若（单位：）服从正态分布，则，，.）
【答案】0.84135
【分析】求出正态分布的均值和方差，即可得出的值.
【详解】由题意，
在随机变量中，，，
∴，，
∴，
故答案为：0.84135
14．若随机变量，且，则 .
【答案】/
【分析】根据正态分布的性质计算可得.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：
15．影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下：
(1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
(2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取揹施的效果．
附：参考数据与公式：若，则①；②；③．
【答案】(1)偏矮率为，正常率为，偏高率为，超高率为
(2)调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好
【分析】（1）利用正态分布中概率求解公式求解即可.
（2）利用古典概型概率公式求解调整后的相对应的概率以及平均得分，分别与调整前的比较，即可得出结论.
【详解】（1）调整前，
偏矮率为，
正常率为，
偏高率为，
超高率为．
（2）由（1）知，调整前，
身高指数平均得分为；
调整后，偏高率为，
超高率为，
身高指数平均得分为，
由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，
说明学校采取的措施效果好．
1．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）
参考数据：若，则，．
A．75人B．77人C．79人D．81人
【答案】C
【分析】，，由概率计算人数即可.
【详解】，，，
因为，
所以，
所以数学成绩在分以上的人数约为人.
故选：C．
2．某学校共人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（ ）
A．人B．人C．人D．人
【答案】C
【分析】根据正态密度曲线的对称性求出的值，再乘以可得结果.
【详解】由已知可得，，所以．又，
则，
估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（人）．
故选：C．
3．某市高三联考后，统一调查研究本次考试的数学成绩，得出全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，则下列说法错误的是（ ）
A．本次联考的数学平均分近似为90分
B．本次联考数学成绩的方差近似为50
C．随机抽取一名学生的成绩，
D．随机抽取一名学生的成绩，
【答案】D
【分析】对于AB，由分析判断，对于CD，由正态分布的对称性分析判断.
【详解】对于AB，因为全体考生的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，所以，所以AB正确；
对于C，因为，所以，故C正确，
对于D，因为，所以，所以D错，
故选：D.
4．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量，则
B．若随机变量，，则
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．从除颜色外完全相同的个红球和个白球中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；
【答案】D
【分析】选项A根据二项分布的概率公式进行计算；选项B根据正态分布的对称性进行计算；选项C根据互斥事件与对立事件的定义进行判断；选项D根据超几何分布的定义进行判断.
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，，所以，故B错误；
对于选项C，至少有一个黑球包含的基本事件有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件有“一黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故C错误；
对于选项D，设摸出红球的个数为k，则，符合超几何分布，故D正确.
故选：D
5．（多选）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B．有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C．若随机变量，则其数学期望
D．若随机变量，，则
【答案】ACD
【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项，根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率.
【详解】A选项：平均数为：，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，
将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为，故A正确；
B选项：样本的容量为，故B错误；
C选项：由，故C正确；
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
6．（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A．数据0，1，2，3的极差与中位数之积为3
B．数据20，20，21，22，22，23，24的第80百分位数为23
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越差
【答案】BC
【分析】A求极差和中位数即可判断；B由百分数求法求第80百分位数；C利用正态分布对称性求指定区间的概率；D根据决定系数实际意义判断.
【详解】A：数据极差、中位数分别为3、，则它们的积为，错；
B：由，则数据从小到大的第6位，23是第80百分位数，对；
C：由正态分布的对称性，，对；
D：由回归分析中决定系数实际意义知：越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，错；
故选：BC.
7．某地区调研考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【详解】由正态分布知，均值，且，所以，
则数学成绩在的概率为，
故答案为：.
8．某校期末统考数学成绩服从正态分布．按，，，的比例将考试成绩划为四个等级，其中分数大于或等于83分的为等级，则等级的分数应为 ．（用区间表示）
【答案】
【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解．
【详解】设考试成绩为，
由题意可知，，，，，
所以，
所以等级的分数应为，
故答案为：．
9．目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:若,则,,,,.
【答案】(1)
(2)随机变量的分布列见解析；期望为
【分析】（1）由正态分布的对称性有,求各学生能进入面试的概率,再由独立事件的乘法公式及对立事件的概率求法,求人中至少有一人进入面试的概率.
（2）求出的可能取值为的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件,由已知得:,
所以,
则,
即这人中至少有一人进入面试的概率为.
（2）的可能取值为,
,
,
,
,
则随机变量的分布列为：
,.
10．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：），该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于.
(1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率为多少；
(2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
【答案】(1)
(2)检测员的判断是合理的，理由见解析
【分析】（1）由正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：g），要求得 正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于的概率, 化为 的形式, 然后求解即可;
（2）由（1）可知正常情况下，任意抽取一包食盐,质量大于的概率为,可求得随机抽取两包检查,质量都大于的概率几乎为零, 即可判定检测员的判断是合理的.
【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为，由题意可知.
由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知，
.
（2）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都大于的概率约为：
，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的.
1．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位数为18
B．若随机变量，且，则．
C．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则
D．设随机事件A，B，已知，，，则．
【答案】ABD
【分析】根据百分位数的定义计算即可判断选项A；根据正态分布的性质计算即可判断选项B；根据条件概率的计算方法求解即可判断选项C；根据条件概率与对立事件的计算公式计算即可判断选项D.
【详解】对于A，共有10个数，，
所以数据的第80百分位数为16和20的平均数，即为18，故A正确．
对于B，因为，且，
所以，
则，故B正确．
对于C，因为，
所以，则，故C错误．
对于D，因为，，
所以，
又因为，所以，
则，
所以，故D正确．
故选：ABD.
2．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立
C．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项
D．设随机变量服从正态分布，若，则
【答案】BD
【分析】利用百分位数的定义判断A；利用对立事件和条件概率的公式，结合独立事件的定义判断B；利用赋值法求出指数判断C；利用正态分布的对称性计算判断D.
【详解】对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，而，
因此这组数据的第百分位数为，A错误；
对于B，，又，
因此，即事件与相互独立，B正确；
对于C，在二项式中，令，得展开式中所有项的系数和为，
解得，因此展开式共有8项，C错误；
对于D，由随机变量服从正态分布，得对应的正态曲线关于直线对称，
而，则，因此，D正确.
故选：BD
3．某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．
参考数据：若，则，，．
【答案】0.84/
【分析】由正态分布的性质可知，有，结合原则即可求解.
【详解】由题意知，该产品服从，则，
所以
，
又，
，
所以，
所以，
即.
所以抽到“可用产品”的概率为.
故答案为：0.84.
4．近期，广西军训冲上了热搜，军训项目包括无人机模拟轰炸、战场救护、实弹打靶、坦克步兵同步行军等.十万学生十万兵，无惧挑战、无惧前行，青春正当时.为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.
(1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.
(3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)，平均数为76分
(2)分布列见解析，期望为
(3)46
【分析】（1）根据频率和为1求的值，并结合平均数公式运算求解；
（2）由题意可知随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600，进而求分布列和期望；
（3）根据正态分布的性质和题中数据分析求解.
【详解】（1）依题意，得，解得.
由频率分布直方图，知成绩的平均数为.
所以估计这100名学生测试成绩的平均数为76分.
（2）随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600.
，，
，
，
，，
.
所以的分布列为
所以.
（3）由（1）可知.
因为，
所以，
所以，
所以该高校军训学生中“优秀标兵”的人数约为46.
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数（单位：）
学生得分
50
70
80
90
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数（单位：）
人数
3
9
12
6
0
100
200
300
400
500
600
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